Questao 1

Em uma campanha de segurança, de 16 carros inspecionados 6 foram considerados inseguros. Testar a hipótese de que no máximo 10% dos carros na população são inseguros. Efetue o teste determinando uma região crítica apropriada e o correspondente nível de significância de tal forma que este seja no máximo 5%. Calcule o p-valor.

Hipóteses

$H_0 : p \leq 0.1$

$H_1 : p > 0.1$

(alfa<- 0.05)

## [1] 0.05

x<- 6
n<- 16
p<- 0.10
binom.test(x,n,p,alternative = c("greater"),conf.level = 0.95)

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  x and n
## number of successes = 6, number of trials = 16, p-value = 0.003297
## alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.1
## 95 percent confidence interval:
##  0.1777659 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##                  0.375

qbinom(0.05,n,prob = 0.1,lower.tail = FALSE)

## [1] 4

(p_valor =round( 0.003297,digits = 4))

## [1] 0.0033

(decisao<- ifelse(p_valor>alfa,"Não Rejeita H0","Rejeita H0"))

## [1] "Rejeita H0"

Resposta

Rejeitamos $H_0$ , há evidência estatística, que no máximo $10$% dos carros da população são inseguros, com $95$% de confiança.

Questão 2

Em uma população de manufaturados suponha que a proporção p de itens produzidos com defeito é desconhecida e queremos testar as hipóteses $H_0 : p = 0.2$ contra $H_1 : p\neq 0.2$. Uma amostra aleatória de $20$ itens é obtida desta população e a regra de decisão consiste em rejeitar $H_0$ se o número de itens defeituosos na amostra for menor ou igual a 1 ou maior ou igual a 8.

$\alpha = [P(X\leq 1)+ P(X \geq 8)]$

$\alpha = 1 - P(1 < X \leq 8)$

Qual o nível de significância do teste?

(alfa_q2<- 1-(choose(20,2)*0.2^2*0.8^18+choose(20,3)*0.2^3*0.8^17+choose(20,4)*0.2^4*0.8^16+choose(20,5)*0.2^5*0.8^15+choose(20,6)*0.2^6*0.8^14+choose(20,7)*0.2^7*0.8^13))

## [1] 0.101318

Resposta

Temos que o resultado do nível de significância é de: $0.101318$

Calcule o nível descritivo do teste (p-valor) supondo que o número observado de itens defeituosos foi 9. Compare o p-valor com o valor verdadeiro de $\alpha$. Qual a conclusão?

binom.test(9,20,p=0.2, alternative = "two.sided",conf.level = 0.95)

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  9 and 20
## number of successes = 9, number of trials = 20, p-value = 0.009982
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.2
## 95 percent confidence interval:
##  0.2305779 0.6847219
## sample estimates:
## probability of success 
##                   0.45

Resposta

De acordo com o resultado do teste, Rejeitamos H0 a um nível de confiança de $95$% com base na amostra, ou seja, a verdadeira proporção de itens defeituoso é diferente de $20$%

Questão 3

Deseja-se testar se a mediana de determinada população é diferente de 3.5. Considere, para efetuar o teste, amostra aleatória de 11 medições a seguir e tome uma decisão para $\alpha = 5$%.

1.80, 2.25, 2.50, 2.70, 2.75, 3.00, 3.10, 3.25, 3.30, 3.55, 5. 65.

Hipóteses

$H_0:\widetilde{\mu} = 3.5$

$H_1: \widetilde{\mu}\neq 3.5$

alfa_q3<- 0.05
x1<-c(1.80, 2.25, 2.50, 2.70, 2.75, 3.00, 3.10, 3.25, 3.30, 3.55, 5.65)
mu_til=3.5
wilcox.test(x1,mu=mu_til,conf.level = 0.95)

## 
##  Wilcoxon signed rank exact test
## 
## data:  x1
## V = 12, p-value = 0.06738
## alternative hypothesis: true location is not equal to 3.5

(p_valor3<- round(0.06738,digits = 4))

## [1] 0.0674

(decisao_q3<- ifelse(p_valor3>alfa_q3,"Não Rejeita H0","Rejeita H0"))

## [1] "Não Rejeita H0"

Resposta

Como podemos observar há evidência estatística com $95$% de confiança e com base na amostra de que não rejeitamos H0, ou seja, o valor da mediana da população é 3.5

Questão 4

Pesquisadores desejam saber se o QI mediano de usuários de drogas com 16 anos ou mais difere de 107. Use, para efetuar o teste, $\alpha = 5$% e a seguinte amostra aleatória do QI de 15 pessoas da população de interesse:

99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125.

Hipóteses

$H_0 : \widetilde{\mu} = 107$

$H_1 : \widetilde{\mu} \neq 107$

x4<- c(99,100,90,94,135,108,107,111,119,104,127,109,117,105,125)
alfa_q4<- 0.05
mu_til_4=107
wilcox.test(x4,mu=mu_til_4,conf.level = 0.95)

## Warning in wilcox.test.default(x4, mu = mu_til_4, conf.level = 0.95): cannot
## compute exact p-value with ties

## Warning in wilcox.test.default(x4, mu = mu_til_4, conf.level = 0.95): cannot
## compute exact p-value with zeroes

## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  x4
## V = 64.5, p-value = 0.4702
## alternative hypothesis: true location is not equal to 107

(p_valor4<- round(0.4702,digits = 4))

## [1] 0.4702

(decisao_q3<- ifelse(p_valor4>alfa_q4,"Não Rejeita H0","Rejeita H0"))

## [1] "Não Rejeita H0"

Resposta

Como podemos observar, há evidência estatística com $95$% de confiança e com base na amostra não rejeitamos H0. A mediana do QI de usuários de drogas de 16 anos é igual a 107.

Questão 5

Uma máquina de lavar roupas é vendida em cinco cores: Branco, Bege, Vermelho, Azul e Castanho. Num estudo de mercado para apreciar a popularidade das várias cores, analisou-se uma amostra aleatória de 200 vendas recentes com o seguinte resultado:

$Cor$	$Branco$	$Bege$	$Vermelho$	$Azul$	$Castanho$	$Total$
$O_i$	$58$	$44$	$34$	$38$	$26$	$200$

Hipóteses

$p = \frac{1}{5}$

$p \neq \frac{1}{5}$

x5<- c(58, 44, 34, 38, 26)
p=1/5
decisao_q5<- function(x5){
  x5<- c(x5)
  e5<- sum(x5)*p
  A<- x5^2
  B<- (A)/e5
  n=length(x5)
  estatistica<- sum(B)-sum(x5)
  cat(ifelse(estatistica>qchisq(1-0.01,4),"rejeita H0","nao rejeita H0"))
  cat("\n",estatistica)
}
decisao_q5(x5)

## rejeita H0
##  14.4

chisq.test(x5)

## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  x5
## X-squared = 14.4, df = 4, p-value = 0.006122

Resposta

Como podemos observar, há evidência estatística com $99$% de confiança que existe preferência na escolha da cor da máquina de lavar.

Questão 6

Uma grande loja de um centro comercial está dividida em cinco departamentos. O administrador desta loja deseja averiguar se a proporção de visitantes em cada um dos cinco departamentos é a mesma. Para isso, coletou uma amostra aleatória de 1000 visitantes e obteve os seguintes resultados:

$Setor$	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$Total$
$O_i$	$214$	$231$	$182$	$154$	$219$	$1000$

Hipóteses

$p=\frac{1}{5}$

$p\neq \frac{1}{5}$

x6<-c(214, 231, 182, 154, 219)
p6<- 1/5

decisao_q6<- function(x6){
  x6<- c(x6)
  e6<- sum(x6)*p6
  A6<- x6^2
  B6<- (A6)/e6
  n=length(x6)
  estatistica6<- sum(B6)-sum(x6)
  cat(ifelse(estatistica6>qchisq(1-0.01,4),"rejeita H0","nao rejeita H0"))
  cat("\n",estatistica6)
}
decisao_q6(x6)

## rejeita H0
##  19.79

chisq.test(x6)

## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  x6
## X-squared = 19.79, df = 4, p-value = 0.0005494

Resposta

Como podemos observar, há evidência estatística com $99$% de confiança que existe preferência para visita de cada um dos setores na loja.

Questão 7

Verificar, ao nível $\alpha = 0.05$, se os dados abaixo se distribuem segundo uma distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda = 3$.

$X_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$Total$
$O_i$	$7$	$14$	$18$	$23$	$22$	$9$	$3$	$4$	$100$

Hipóteses

$H_0 : X \sim Poisson (3)$

$H_1 : X $ $Não$ $Segue$ $Uma$ $Distribuição$ $Poisson$

fe<- c(7, 14, 18, 23, 22, 9, 3 ,4)
x7<- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
lambda7<- 3
prob_0<-round((exp(-lambda7)*lambda7^x7[1])/factorial(x7[1]),digits = 4)
prob_1<- round((exp(-lambda7)*lambda7^x7[2])/factorial(x7[2]),digits = 4)
prob_2<- round((exp(-lambda7)*lambda7^x7[3])/factorial(x7[3]),digits = 4)
prob_3<- round((exp(-lambda7)*lambda7^x7[4])/factorial(x7[4]),digits = 4)
prob_4<- round((exp(-lambda7)*lambda7^x7[5])/factorial(x7[5]),digits = 4)
prob_5<- round((exp(-lambda7)*lambda7^x7[6])/factorial(x7[6]),digits = 4)
prob_6<- round((exp(-lambda7)*lambda7^x7[7])/factorial(x7[7]),digits = 4)

Fn_x<- c(fe[1]/sum(fe),(fe[1]+fe[2])/sum(fe),(fe[1]+fe[2]+fe[3])/sum(fe),
         (fe[1]+fe[2]+fe[3]+fe[4])/sum(fe),(fe[1]+fe[2]+fe[3]+fe[4]+fe[5])/sum(fe),
         (fe[1]+fe[2]+fe[3]+fe[4]+fe[5]+fe[6])/sum(fe),
         (fe[1]+fe[2]+fe[3]+fe[4]+fe[5]+fe[6]+fe[7])/sum(fe))
(Fx<- c(prob_0,(prob_0+prob_1),(prob_0+prob_1+prob_2),
         (prob_0+prob_1+prob_2+prob_3),
         (prob_0+prob_1+prob_2+prob_3+prob_4),
          (prob_0+prob_1+prob_2+prob_3+prob_4+prob_5),
          (prob_0+prob_1+prob_2+prob_3+prob_4+prob_5+prob_6)))

## [1] 0.0498 0.1992 0.4232 0.6472 0.8152 0.9160 0.9664

(estatisticadotesteq7<- (max(abs(Fx-Fn_x))))

## [1] 0.0332

(estattbq7<- (1.36/sqrt(sum(fe))))

## [1] 0.136

(decisao7<-ifelse(estatisticadotesteq7<estattbq7,"Nao Rejeita H0","Rejeita H0"))

## [1] "Nao Rejeita H0"

Resposta

Há evidência estatística com $95$% de confiança, que a amostra, segue uma distribuição $Poisson$.

Questão 8

Verificar, ao nível $\alpha = 0.05$, se os dados abaixo se distribuem segundo uma distribui¸c˜ao normal:

12.0, 10.5, 13.1, 11.9, 10.4, 12.8, 11.2, 11.4, 12.2, 11.9

Hipóteses

$H_0 : F(X) = Normal (\mu,\sigma^2)$

$H_1 : F(X) \neq Normal (\mu , \sigma^2)$

x8<- c(12.0, 10.5, 13.1, 11.9, 10.4, 12.8, 11.2, 11.4, 12.2, 11.9)
alfa_q8<- 0.05
library(nortest)
lillie.test(x8)

## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  x8
## D = 0.17176, p-value = 0.5512

p_valorq8<-  0.5512
(decisao_q8<- ifelse(p_valorq8>alfa_q8,"Nao Rejeita H0","Rejeita H0"))

## [1] "Nao Rejeita H0"

Resposta

Há evidência estatística com $95$% de confiança, com base no p-valor, que a amostra pertence a uma distribuição normal.

Questão 9

Testar, ao níıvel $\alpha = 0.05$, se há aleatoriedade nos seguintes valores observados:

12.4, 14.2, 11.7, 14.0, 12.7, 15.7, 12.8, 14.1, 17.9, 18.4, 17.5, 20.2, 20.8 20.3.

Hipóteses

$H_0 : $ $A$ $amostra$ $é$ $aleatória$

$H_1 :$ $A$ $amostra$ $não$ $é$ $aleatória$

(alfa_q9<- 0.05)

## [1] 0.05

x9<- c(12.4, 14.2, 11.7, 14.0, 12.7, 15.7, 12.8, 14.1, 17.9, 18.4, 17.5, 20.2, 20.8, 20.3)
library(randtests)
cox.stuart.test(x9)

## 
##  Cox Stuart test
## 
## data:  x9
## statistic = 7, n = 7, p-value = 0.01562
## alternative hypothesis: non randomness

(p_valorq9<- 0.01562)

## [1] 0.01562

(decisao_q9<- ifelse(p_valorq9>alfa_q9,"Aleatorio","Nao e aleatorio"))

## [1] "Nao e aleatorio"

Resposta

Há evidência estatística com $95$% confiança que dados não aleatória, com base no teste aplicado de Cox Stuart, analisando o p-valor.

Questão 10

Testar, usando um nível de 5% de significância, se a seguinte sequência de sinais + e − é aleatória:

- − − + + − − − − + + + − − − − + + − − −

Hipóteses

$H_0 :$ $A$ $amostra$ $é$ $aleatória$

$H_1 :$ $A$ $amostra$ $não$ $é$ $aleatória$

(alfa_q10<- 0.05)

## [1] 0.05

x10<- c(1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1
        ,-1,-1,-1)
library(randtests)
cox.stuart.test(x10)

## 
##  Cox Stuart test
## 
## data:  x10
## statistic = 2, n = 4, p-value = 1.375
## alternative hypothesis: non randomness

(p_valorq10<-1.375)

## [1] 1.375

(decisao_q10<- ifelse(p_valorq10>alfa_q10,"Aleatorio","Nao e aleatorio"))

## [1] "Aleatorio"

Resposta

Há evidência estatística com $95$% de confiança que os dados são aleatório, base no teste aplicado, Cox Stuart, analisando o p-valor.

\(Cor\)	\(Branco\)	\(Bege\)	\(Vermelho\)	\(Azul\)	\(Castanho\)	\(Total\)
\(O_i\)	\(58\)	\(44\)	\(34\)	\(38\)	\(26\)	\(200\)

Estatística Não Paramétrica

2023-04-10

Questao 1

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Questão 2

Resposta

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Questão 10

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