Lista 2 - Estatística Não-Paramétrica

Autor

Paulo Manoel da Silva Junior

Lista de Exercícios - Número 2

Resolução da lista de exercícios de Estatística não-paramétrica período 2022.2 da Universidade Federal da Paraíba.

rm(list=ls(all=T))

Questão 1

Em uma pesquisa sobre o racismo na infância, inquiriram-se aleatoriamente 17 crianças com 7 anos de idade, antes e depois de serem submetidas a uma campanha anti-racista. Verificar se a campanha produziu efeito positivo nas atitudes das crianças. Use \alpha = 0.05 e a tabela de resultados seguinte:
Definindo as hipóteses:

H_0: Não \hspace{0.1cm} houve \hspace{0.1cm} efeito \hspace{0.1cm} na \hspace{0.1cm} atitude \hspace{0.1cm} das \hspace{0.1cm} crianças H_1: Houve \hspace{0.1cm} efeito \hspace{0.1cm} na \hspace{0.1cm} atitude \hspace{0.1cm} das \hspace{0.1cm} crianças

x <- matrix(c(4,6,3,4),2,2,byrow = T)
mcnemar.test(x)


    McNemar's Chi-squared test with continuity correction

data:  x
McNemar's chi-squared = 0.44444, df = 1, p-value = 0.505

Resposta: A um nível de significância de 5% e com base na amostra não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, com base na amostra e com 95% de confiança a campanha não produziu efeito na atitude das crianças.

Questão 2

Para verificar se o tipo de pneu utilizado tem ou não influência no consumo de gasolina, fez-se o seguinte experimento: oito carros diferentes, equipados com pneus radiais, percorreram um determinado trajeto; a seguir, os mesmos carros foram equipados com pneus comuns e percorreram o mesmo trajeto. Os consumos (em km/litro) para cada carro foram os seguintes:

Testar, ao nível \alpha = 0.05, se o tipo de pneu utilizado tem ou não influência no consumo de gasolina.

Definindo as hipóteses:

H_0: \tilde{\mu_D} = 0 H_1: \tilde{\mu_D} \neq 0

pneus_comuns <- c(25.8,14.5,12.1,19.9,15.1,15.8,23.0,16.0)
pneus_radiais <- c(26.5,14.3,12.7,20.2,15.1,16.9,23.4,16.4)
wilcox.test(pneus_radiais, pneus_comuns, paired = T, conf.level = 0.95, exact = T)


    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  pneus_radiais and pneus_comuns
V = 27, p-value = 0.03429
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Resposta: De acordo com o resultado do teste, como o p-valor que foi de 0.034 menor do que o \alpha, podemos concluir ao nível de 95% de confiança e com base na amostra rejeitamos H_0, ou seja, podemos concluir que o uso de pneus diferentes afeta o desempenho do veículo.

Questão 3

Uma empresa submeteu 8 de seus empregados a um curso sobre um novo método a ser implantado, visando aumentar o rendimento na produção. O resultado em número médio de peças produzidas por empregado para o método antigo e novo estão na tabela seguinte. Compare a eficiência dos dois métodos. Use \alpha = 0.05.

Empregado	1	2	3	4	5	6	7	8
Método antigo	18	15	19	23	12	16	28	18
Método novo	24	14	22	28	16	20	20	18

Definindo as hipóteses:

H_0:\tilde{\mu_D} \geq 0 H_1:\tilde{\mu_D} < 0

antigo <- c(18,15,19,23,12,16,28,18)
novo <- c(24,14,22,28,16,20,20,18)
BSDA::SIGN.test(antigo, novo, alternative = "less")


    Dependent-samples Sign-Test

data:  antigo and novo
S = 2, p-value = 0.2266
alternative hypothesis: true median difference is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf 0.8642857
sample estimates:
median of x-y 
         -3.5 

Achieved and Interpolated Confidence Intervals: 

                  Conf.Level L.E.pt U.E.pt
Lower Achieved CI     0.8555   -Inf 0.0000
Interpolated CI       0.9500   -Inf 0.8643
Upper Achieved CI     0.9648   -Inf 1.0000

Resposta: De acordo com o resultado do teste, obtivemos um p-valor de 0.2266, sendo maior do que o \alpha com 95% de confiança e com base na amostra não rejeitamos H_0, ou seja, o método mostrou ser mais eficiente.

Questão 4

Um pesquisador alega que uma nova vacina reduzirá o número de resfriados em adultos. Obtém-se uma amostra aleatória de 14 adultos e anota-se o número de resfriados que cada um teve durante um ano. Depois de vacinar cada adulto, anota-se novamente o número de resfriados durante um ano. Os resultados estão na tabela seguinte. Para \alpha = 0.05, pode-se confirmar a alegação do pesquisador?

Paciente	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Antes da vacina	3	4	2	1	3	6	4	5	2	0	2	5	3	3
Depois da vacina	2	1	0	1	1	3	3	2	2	2	3	4	3	2

Definindo as hipóteses:

H_0:\tilde{\mu_D} \leq 0 H_1:\tilde{\mu_D} > 0

antes <- c(3,4,2,1,3,6,4,5,2,0,2,5,3,3)
depois <- c(2,1,0,1,1,3,3,2,2,2,3,4,3,2)
BSDA::SIGN.test(antes, depois, alternative = "greater")


    Dependent-samples Sign-Test

data:  antes and depois
S = 9, p-value = 0.03271
alternative hypothesis: true median difference is greater than 0
95 percent confidence interval:
   0 Inf
sample estimates:
median of x-y 
            1 

Achieved and Interpolated Confidence Intervals: 

                  Conf.Level L.E.pt U.E.pt
Lower Achieved CI     0.9102      0    Inf
Interpolated CI       0.9500      0    Inf
Upper Achieved CI     0.9713      0    Inf

Resposta: De acordo com o resultado do teste, obtivemos um p-valor de 0.0327, sendo maior do que o \alpha com 95% de confiança e com base na amostra rejeitamos H_0, ou seja, não existe evidências de que a alegação do pesquisador seja verdadeira.

Questão 5

Dois grupos de crianças emparelhadas quanto a idade, sexo, nível sócio-econômico e inteligência foram submetidas a dois métodos de ensino: Piaget e Tradicional. No final do treinamento foi aplicado um teste de desenvolvimento cognitivo, obtendo os resultados seguintes:

Tradicional	6	7	14	10	5	13	11	12	15	18
Piaget	5	11	13	19	15	12	17	13	16	9

Testar, ao nível \alpha = 0.01, se há diferença entre os dois métodos, quanto ao desenvolvimento cognitivo.
Definindo as hipóteses:

H_0: \tilde{\mu_D} = 0

H_1: \tilde{\mu_D} \neq 0

tradicional <- c(6,7,14,10,5,13,11,12,15,18)
piaget <- c(5,11,13,19,15,12,17,13,16,9)
wilcox.test(tradicional, piaget, paired = T, conf.level = 0.99)


    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  tradicional and piaget
V = 17.5, p-value = 0.3262
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Resposta: De acordo com o resultado do teste, temos que não é rejeitada a hipótese nula, pois o resultado do p-valor foi de 0.326 sendo maior do que o nível de significância, ou seja, com base na amostra e com 99% de confiança não há diferença no desenvolvimento cognitivo se preferido um método ao outro.

Questão 6

Para verificar se existe ou não associação entre sexo e a área do curso universitário escolhido, uma amostra aleatória de 200 universitários foi obtido. Os estudantes foram classificados de acordo com o sexo e a área de conhecimento escolhida conforme tabela seguinte. Use um nível de 5% de significância para efetuar o teste.

Área	Exatas	Humanas	Saúde	Total
Gênero
Masculino	37	48	16	101
Feminino	20	40	39	99
Total	57	88	55	200

Definindo as hipóteses:

H_0: Não \hspace{0.1cm} existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} curso \hspace{0.1cm} universitário \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} gênero

H_1: Existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} curso \hspace{0.1cm} universitário \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} gênero

y <- matrix(c(37,48,16,20,40,39),2,3,byrow = T)
chisq.test(y, correct = T)


    Pearson's Chi-squared test

data:  y
X-squared = 15.397, df = 2, p-value = 0.0004535

Resposta: Podemos ver de acordo com o resultado do teste, que a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, rejeitamos H_0, o resultado do p-valor foi de 5^{-4}, sendo menor do que o nível de significância, logo existe evidências de que há associação entre o gênero e a área do curso universitário escolhido.

Questão 7

Uma companhia de seguros de automóveis estava interessada em saber se o fato de uma pessoa dirigir alcoolizada, influencia ou não no número de acidentes ocorrido um determinado final de semana. Observou-se o número de carros que passam em determinado cruzamento de uma avenida movimentada em determinado tempo e obteve a seguinte tabela:

Motorista	Alcoolizado	Sóbrio	Total
Ocorrência de acidentes
Sim	40	10	50
Não	15	85	100
Total	55	95	150

A que conclusão chega a companhia de seguros? Use \alpha = 0.01.

Definindo as hipóteses:

H_0: Não \hspace{0.1cm} existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} consumo \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} alcool \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm} ocorrência \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} acidentes

H_1: Existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} consumo \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} alcool \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm} ocorrência \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} acidentes

z <- matrix(c(40,10,15,85),2,2,byrow = T)
chisq.test(z, correct = T)


    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  z
X-squared = 57.879, df = 1, p-value = 2.787e-14

Resposta: Podemos ver de acordo com o resultado do teste, que a um nível de confiança de 99% e com base na amostra, rejeitamos H_0, o resultado do p-valor foi de 2.7872^{-14}, sendo menor do que o nível de significância, logo existe evidências de que há associação entre o consumo de alcool e a ocorrência de acidentes.

Questão 8

Suponha a presença de uma enzima em uma amostra de 10 pacientes submetidos a uma reação sorológica. Testar a independência dos fatores usando um nível de 5% de significância.

Enzima	Presente	Ausente	Total
Reação Sorológica
Positiva	6	1	7
Negativa	0	3	3
Total	6	4	10

Definindo as hipóteses:

H_0:p_1 = p_2 H_1: p_1 \neq p_2

w <- matrix(c(6,1,0,3),2,2,byrow = T)
fisher.test(w, conf.level = 0.95)


    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  w
p-value = 0.03333
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.8554844       Inf
sample estimates:
odds ratio 
       Inf

Resposta: De acordo com o resultado do teste, rejeitamos H_0 a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, ou seja, significa que os fatores são independentes. O resultado do p-valor foi de 0.0333.

Questão 9

Testar se a incidência de infecção parasitária é a mesma se ou não uma substância experimental é ingerida. Use um nível \alpha = 0.05 de significância e os dados seguintes:

Substância	Ingerida	Não Ingerida	Total
Infecçaõ
Sim	6	8	14
Não	12	2	14
Total	18	10	28

Definindo as hipóteses:

H_0:p_1 = p_2 H_1: p_1 \neq p_2

j <- matrix(c(6,8,12,2),2,2,byrow = T)
fisher.test(j, conf.level = 0.95)


    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  j
p-value = 0.04607
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.0107728 0.9737676
sample estimates:
odds ratio 
 0.1357897

Resposta: De acordo com o resultado do teste, rejeitamos H_0 a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, ou seja, significa que a incidência da infecção parasitária não é a mesma com a ingestão ou não da substância experimental. O resultado do p-valor foi de 0.0461.

Questão 10

A reação ao tratamento por quimioterapia está sendo estudada em quatro grupos de pacientes com câncer. Deseja-se investigar se todos os tipos reagem da mesma maneira. Uma amostra de pacientes de cada grupo foi escolhida ao acaso e classificou-se a reação em três categorias:

Reação	Pouca	Média	Alta	Total
Câncer
Tipo I	51	33	16	100
Tipo II	58	29	13	100
Tipo III	48	42	30	120
Tipo IV	26	38	16	80
Total	183	142	75	400

Teste ao nível de significância de 5% se a reação é a mesma para os diferentes tipos da doença.

Definindo as hipóteses:

H_0: Os \hspace{0.1cm} tipos \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} câncer \hspace{0.1cm} reagem \hspace{0.1cm} da \hspace{0.1cm} mesma \hspace{0.1cm} maneira

H_1: Os \hspace{0.1cm} tipos \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} câncer \hspace{0.1cm} não \hspace{0.1cm} reagem \hspace{0.1cm} da \hspace{0.1cm} mesma \hspace{0.1cm} maneira

xx <- matrix(c(51,33,16,58,29,13,48,42,30,26,38,16),4,3,byrow = T)
chisq.test(xx)


    Pearson's Chi-squared test

data:  xx
X-squared = 17.173, df = 6, p-value = 0.008669

Resposta: De acordo com o resultado do teste, obtivemos que o resultado a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, rejeitamos a hipótese de que os tipos diferente de câncer reagem da mesma forma. O resultado do p-valor foi de 0.0087.

Questão 11

Na tabela seguinte, estão as notas de um mesmo exame aplicado em duas classes de 15 estudantes cada. Ao nível de 5% de significância, testar a hipótese de que as duas classes de estudantes são de populações com a mesma mediana.

Classe I	9	10	6	8	4	5	9	6	4	6	5	7	7	9	6
Classe II	4	5	9	9	6	6	8	3	7	5	9	6	10	8	8

Definindo as hipóteses:

H_0: \tilde{\mu_{X}} = \tilde{\mu_Y}

H_1: \tilde{\mu_{X}} \neq \tilde{\mu_Y}

classe1 <- c(9,10,6,8,4,5,9,6,4,6,5,7,7,9,6)
classe2 <- c(4,5,9,9,6,6,8,3,7,5,9,6,10,8,8)
nonpar::mediantest(classe1, classe2)


 Exact Median Test 
 
 H0: The 2 population medians are equal.  
 HA: The 2 population medians are not equal. 
 
  
 
 Significance Level = 0.05 
 The p-value is  0.53390777521456 
 There is not enough evidence to conclude that the population medians are different at a significance level of  0.05 .

Resposta: Como o resultado do teste, obtivemos a um nível de significância de 5% e com base na amostra de que as amostras foram extraídas de populações com a mesma mediana, o resultado pode ser visto através do p-valor do teste que foi de 0,5339.

Questão 12

Na tabela seguinte, estão amostras aleatórias e independentes dos salários (em milhares de reais por ano) de uma mesma categoria profissional em duas regiões diferentes. Ao nível de 5% de significância, testar a hipótese de que os salários nas duas regiões são de populações com a mesma mediana.

Região I	17	19	22	25	24	25	30	29	31	28	37	15	40	17	38	39
Região II	18	21	20	23	17	26	28	28	29	32	16	35	19	27

Definindo as hipóteses:

H_0: \tilde{\mu_{X}} = \tilde{\mu_Y}

H_1: \tilde{\mu_{X}} \neq \tilde{\mu_Y}

região1 <- c(17,19,22,25,24,25,30,29,31,28,37,15,40,17,38,39)
região2 <- c(18,21,20,23,17,26,28,28,29,32,16,35,19,27)
nonpar::mediantest(região1,região2)


 Exact Median Test 
 
 H0: The 2 population medians are equal.  
 HA: The 2 population medians are not equal. 
 
  
 
 Significance Level = 0.05 
 The p-value is  0.569501626895531 
 There is not enough evidence to conclude that the population medians are different at a significance level of  0.05 .

Questão 13

Testar, ao nível de 5% de significância e considerando as amostras aleatórias seguintes, a hipótese de que não existe diferença nos pesos (em kg) de mulheres e homens adultos.

Mulheres	68	63	75	65	73
Homens	83	78	70	93	88	80	85

Definindo as hipóteses:

H_0: \tilde{\mu_X} = \tilde{\mu_Y}

H_1: \tilde{\mu_X} \neq \tilde{\mu_Y}

mulheres <- c(68,63,75,65,73)
homens <- c(83,78,70,93,88,80,85)
wilcox.test(mulheres, homens, correct = F, alternative = "two.sided")


    Wilcoxon rank sum exact test

data:  mulheres and homens
W = 2, p-value = 0.0101
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Resposta: De acordo com o resultado do teste, a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, existe diferença no peso entre homens e mulheres adultos. O resultado do p-valor foi de 0.0101.

Questão 14

Verificar se os valores do grupo Y tendem a ser maiores do que os do grupo X. Considere, para efetuar o teste, um nível de 5% de significância e as amostras aleatórias seguintes:

x_i	22	26	16	27	19	38	37
y_i	35	22	31	23	28	18	25	21

Definindo as hipóteses:

H_0: \tilde{\mu_X} \leq \tilde{\mu_Y} H_1: \tilde{\mu_X} > \tilde{\mu_Y}

rm(list=ls(all=T))
x <- c(22,26,16,27,19,38,37)
y <- c(35,22,31,23,28,18,25,21)
wilcox.test(x,y,correct = F, alternative = "greater")

Warning in wilcox.test.default(x, y, correct = F, alternative = "greater"): não
é possível computar o valor de p exato com o de desempate


    Wilcoxon rank sum test

data:  x and y
W = 29.5, p-value = 0.431
alternative hypothesis: true location shift is greater than 0

Resposta: Conforme o resultado do teste, temos que não rejeitamos a hipótese nula com 95% de confiança e com base na amostra, ou seja, os valores do grupo Y não tendem a ser maiores do que o do grupo X.

Questão 15

Considerando as amostras aleatórias seguintes e, ao nível de 5% de significância, verificar se existe diferença significativa entre os dois grupos:

x_i	28.4	34.2	29.5	32.2	30.1
y_i	32.2	34.3	36.2	35.6	32.5

Definindo as hipóteses:

H_0: F_X = G_Y

H_1: F_X \neq G_Y

xx <- c(28.4,34.2,29.5,32.2,30.1)
yy <- c(32.2,34.3,36.2,35.6,32.5)
ks.test(xx,yy)


    Exact two-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  xx and yy
D = 0.6, p-value = 0.3571
alternative hypothesis: two-sided

Resposta: De acordo com o resultado do teste, temos que a hipótese nula é rejeitada a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, ou seja, existe diferença significativa entre os dois grupos. O resultado do p-valor foi de 0.3571.

--- title: "Lista 2 - Estatística Não-Paramétrica" lang: pt author: "Paulo Manoel da Silva Junior" format: html: theme: dark: darkly toc: true toc-title: Sumário toc_float: collapsed: true background_color: "#f5f5f5" border_color: "#dddddd" border_width: "1px" width: "20%" toc_theme: united toc-depth: 2 toc-location: left code-copy: true number-sections: false code-tools: true code-block-bg: true smooth-scroll: true code-block-border-left: "#31BAE9" number-depth: 3 html-math-method: katex self-contained: true page-layout: full --- # Lista de Exercícios - Número 2 Resolução da lista de exercícios de Estatística não-paramétrica período 2022.2 da Universidade Federal da Paraíba. ```{r} rm(list=ls(all=T)) ``` ## Questão 1 - Em uma pesquisa sobre o racismo na infância, inquiriram-se aleatoriamente 17 crianças com 7 anos de idade, antes e depois de serem submetidas a uma campanha anti-racista. Verificar se a campanha produziu efeito positivo nas atitudes das crianças. Use $\alpha = 0.05$ e a tabela de resultados seguinte: - Definindo as hipóteses: $$H_0: Não \hspace{0.1cm} houve \hspace{0.1cm} efeito \hspace{0.1cm} na \hspace{0.1cm} atitude \hspace{0.1cm} das \hspace{0.1cm} crianças$$ $$H_1: Houve \hspace{0.1cm} efeito \hspace{0.1cm} na \hspace{0.1cm} atitude \hspace{0.1cm} das \hspace{0.1cm} crianças$$ ```{r} x <- matrix(c(4,6,3,4),2,2,byrow = T) mcnemar.test(x) ``` `Resposta:` A um nível de significância de 5% e com base na amostra não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, com base na amostra e com 95% de confiança a campanha não produziu efeito na atitude das crianças. ## Questão 2 - Para verificar se o tipo de pneu utilizado tem ou não influência no consumo de gasolina, fez-se o seguinte experimento: oito carros diferentes, equipados com pneus radiais, percorreram um determinado trajeto; a seguir, os mesmos carros foram equipados com pneus comuns e percorreram o mesmo trajeto. Os consumos (em km/litro) para cada carro foram os seguintes: Testar, ao nível $\alpha = 0.05$, se o tipo de pneu utilizado tem ou não influência no consumo de gasolina. - Definindo as hipóteses: $$H_0: \tilde{\mu_D} = 0$$ $$H_1: \tilde{\mu_D} \neq 0$$ ```{r, warning=FALSE} pneus_comuns <- c(25.8,14.5,12.1,19.9,15.1,15.8,23.0,16.0) pneus_radiais <- c(26.5,14.3,12.7,20.2,15.1,16.9,23.4,16.4) wilcox.test(pneus_radiais, pneus_comuns, paired = T, conf.level = 0.95, exact = T) ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, como o p-valor que foi de `r round(wilcox.test(pneus_radiais, pneus_comuns, paired = T, conf.level = 0.95, exact = T)$p.value,3)` menor do que o $\alpha$, podemos concluir ao nível de 95% de confiança e com base na amostra rejeitamos $H_0$, ou seja, podemos concluir que o uso de pneus diferentes afeta o desempenho do veículo. ## Questão 3 - Uma empresa submeteu 8 de seus empregados a um curso sobre um novo método a ser implantado, visando aumentar o rendimento na produção. O resultado em número médio de peças produzidas por empregado para o método antigo e novo estão na tabela seguinte. Compare a eficiência dos dois métodos. Use $\alpha = 0.05$. | **Empregado** | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |:-----------------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **Método antigo** | 18 | 15 | 19 | 23 | 12 | 16 | 28 | 18 | | **Método novo** | 24 | 14 | 22 | 28 | 16 | 20 | 20 | 18 | - Definindo as hipóteses: $$H_0:\tilde{\mu_D} \geq 0$$ $$H_1:\tilde{\mu_D} < 0$$ ```{r} antigo <- c(18,15,19,23,12,16,28,18) novo <- c(24,14,22,28,16,20,20,18) BSDA::SIGN.test(antigo, novo, alternative = "less") ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, obtivemos um p-valor de `r round(BSDA::SIGN.test(antigo, novo, alternative = "less")$p.value,4)`, sendo maior do que o $\alpha$ com 95% de confiança e com base na amostra não rejeitamos $H_0$, ou seja, o método mostrou ser mais eficiente. ## Questão 4 - Um pesquisador alega que uma nova vacina reduzirá o número de resfriados em adultos. Obtém-se uma amostra aleatória de 14 adultos e anota-se o número de resfriados que cada um teve durante um ano. Depois de vacinar cada adulto, anota-se novamente o número de resfriados durante um ano. Os resultados estão na tabela seguinte. Para $\alpha = 0.05$, pode-se confirmar a alegação do pesquisador? | **Paciente** | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |:-------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **Antes da vacina** | 3 | 4 | 2 | 1 | 3 | 6 | 4 | 5 | 2 | 0 | 2 | 5 | 3 | 3 | | **Depois da vacina** | 2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 3 | 2 | - Definindo as hipóteses: $$H_0:\tilde{\mu_D} \leq 0$$ $$H_1:\tilde{\mu_D} > 0$$ ```{r} antes <- c(3,4,2,1,3,6,4,5,2,0,2,5,3,3) depois <- c(2,1,0,1,1,3,3,2,2,2,3,4,3,2) BSDA::SIGN.test(antes, depois, alternative = "greater") ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, obtivemos um p-valor de `r round(BSDA::SIGN.test(antes, depois, alternative = "greater")$p.value,4)`, sendo maior do que o $\alpha$ com 95% de confiança e com base na amostra rejeitamos $H_0$, ou seja, não existe evidências de que a alegação do pesquisador seja verdadeira. ## Questão 5 - Dois grupos de crianças emparelhadas quanto a idade, sexo, nível sócio-econômico e inteligência foram submetidas a dois métodos de ensino: Piaget e Tradicional. No final do treinamento foi aplicado um teste de desenvolvimento cognitivo, obtendo os resultados seguintes: | **Tradicional** | 6 | 7 | 14 | 10 | 5 | 13 | 11 | 12 | 15 | 18 | |:---------------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **Piaget** | 5 | 11 | 13 | 19 | 15 | 12 | 17 | 13 | 16 | 9 | - Testar, ao nível $\alpha = 0.01$, se há diferença entre os dois métodos, quanto ao desenvolvimento cognitivo. - Definindo as hipóteses: $$H_0: \tilde{\mu_D} = 0$$ $$H_1: \tilde{\mu_D} \neq 0$$ ```{r, warning=FALSE} tradicional <- c(6,7,14,10,5,13,11,12,15,18) piaget <- c(5,11,13,19,15,12,17,13,16,9) wilcox.test(tradicional, piaget, paired = T, conf.level = 0.99) ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, temos que não é rejeitada a hipótese nula, pois o resultado do p-valor foi de `r round(wilcox.test(tradicional, piaget, paired = T, conf.level = 0.99)$p.value,3)` sendo maior do que o nível de significância, ou seja, com base na amostra e com 99% de confiança não há diferença no desenvolvimento cognitivo se preferido um método ao outro. ## Questão 6 - Para verificar se existe ou não associação entre sexo e a área do curso universitário escolhido, uma amostra aleatória de 200 universitários foi obtido. Os estudantes foram classificados de acordo com o sexo e a área de conhecimento escolhida conforme tabela seguinte. Use um nível de 5% de significância para efetuar o teste. | **Área** | **Exatas** | **Humanas** | **Saúde** | **Total** | |:-------------:|:----------:|:-----------:|:---------:|:---------:| | **Gênero** | | | | | | **Masculino** | 37 | 48 | 16 | 101 | | **Feminino** | 20 | 40 | 39 | 99 | | **Total** | 57 | 88 | 55 | 200 | - Definindo as hipóteses: $$H_0: Não \hspace{0.1cm} existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} curso \hspace{0.1cm} universitário \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} gênero $$ $$H_1: Existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} curso \hspace{0.1cm} universitário \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} gênero $$ ```{r} y <- matrix(c(37,48,16,20,40,39),2,3,byrow = T) chisq.test(y, correct = T) ``` `Resposta:` Podemos ver de acordo com o resultado do teste, que a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, rejeitamos $H_0$, o resultado do p-valor foi de `r round(chisq.test(y, correct = T)$p.value,4)`, sendo menor do que o nível de significância, logo existe evidências de que há associação entre o gênero e a área do curso universitário escolhido. ## Questão 7 - Uma companhia de seguros de automóveis estava interessada em saber se o fato de uma pessoa dirigir alcoolizada, influencia ou não no número de acidentes ocorrido um determinado final de semana. Observou-se o número de carros que passam em determinado cruzamento de uma avenida movimentada em determinado tempo e obteve a seguinte tabela: | **Motorista** | **Alcoolizado** | **Sóbrio** | **Total** | |:---------------------------:|:---------------:|:----------:|:---------:| | **Ocorrência de acidentes** | | | | | **Sim** | 40 | 10 | 50 | | **Não** | 15 | 85 | 100 | | **Total** | 55 | 95 | 150 | A que conclusão chega a companhia de seguros? Use $\alpha = 0.01$. - Definindo as hipóteses: $$H_0: Não \hspace{0.1cm} existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} consumo \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} alcool \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm} ocorrência \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} acidentes$$ $$H_1: Existe \hspace{0.1cm} associação \hspace{0.1cm} entre \hspace{0.1cm} o \hspace{0.1cm} consumo \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} alcool \hspace{0.1cm} e \hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm} ocorrência \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} acidentes$$ ```{r} z <- matrix(c(40,10,15,85),2,2,byrow = T) chisq.test(z, correct = T) ``` `Resposta:` Podemos ver de acordo com o resultado do teste, que a um nível de confiança de 99% e com base na amostra, rejeitamos $H_0$, o resultado do p-valor foi de `r round(chisq.test(z, correct = T)$p.value,18)`, sendo menor do que o nível de significância, logo existe evidências de que há associação entre o consumo de alcool e a ocorrência de acidentes. ## Questão 8 - Suponha a presença de uma enzima em uma amostra de 10 pacientes submetidos a uma reação sorológica. Testar a independência dos fatores usando um nível de 5% de significância. | **Enzima** | **Presente** | **Ausente** | **Total** | |:---------------------:|:------------:|:-----------:|:---------:| | **Reação Sorológica** | | | | | **Positiva** | 6 | 1 | 7 | | **Negativa** | 0 | 3 | 3 | | **Total** | 6 | 4 | 10 | - Definindo as hipóteses: $$H_0:p_1 = p_2$$ $$H_1: p_1 \neq p_2$$ ```{r} w <- matrix(c(6,1,0,3),2,2,byrow = T) fisher.test(w, conf.level = 0.95) ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, rejeitamos $H_0$ a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, ou seja, significa que os fatores são independentes. O resultado do p-valor foi de `r round(fisher.test(w,conf.level=0.95)$p.value,4)`. ## Questão 9 - Testar se a incidência de infecção parasitária é a mesma se ou não uma substância experimental é ingerida. Use um nível $\alpha = 0.05$ de significância e os dados seguintes: | **Substância** | **Ingerida** | **Não Ingerida** | **Total** | |:--------------:|:------------:|:----------------:|:---------:| | **Infecçaõ** | | | | | **Sim** | 6 | 8 | 14 | | **Não** | 12 | 2 | 14 | | **Total** | 18 | 10 | 28 | - Definindo as hipóteses: $$H_0:p_1 = p_2$$ $$H_1: p_1 \neq p_2$$ ```{r} j <- matrix(c(6,8,12,2),2,2,byrow = T) fisher.test(j, conf.level = 0.95) ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, rejeitamos $H_0$ a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, ou seja, significa que a incidência da infecção parasitária não é a mesma com a ingestão ou não da substância experimental. O resultado do p-valor foi de `r round(fisher.test(j,conf.level=0.95)$p.value,4)`. ## Questão 10 - A reação ao tratamento por quimioterapia está sendo estudada em quatro grupos de pacientes com câncer. Deseja-se investigar se todos os tipos reagem da mesma maneira. Uma amostra de pacientes de cada grupo foi escolhida ao acaso e classificou-se a reação em três categorias: | **Reação** | **Pouca** | **Média** | **Alta** | **Total** | |:------------:|:---------:|:---------:|:--------:|:---------:| | **Câncer** | | | | | | **Tipo I** | 51 | 33 | 16 | 100 | | **Tipo II** | 58 | 29 | 13 | 100 | | **Tipo III** | 48 | 42 | 30 | 120 | | **Tipo IV** | 26 | 38 | 16 | 80 | | **Total** | 183 | 142 | 75 | 400 | Teste ao nível de significância de 5% se a reação é a mesma para os diferentes tipos da doença. - Definindo as hipóteses: $$H_0: Os \hspace{0.1cm} tipos \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} câncer \hspace{0.1cm} reagem \hspace{0.1cm} da \hspace{0.1cm} mesma \hspace{0.1cm} maneira$$ $$H_1: Os \hspace{0.1cm} tipos \hspace{0.1cm} de \hspace{0.1cm} câncer \hspace{0.1cm} não \hspace{0.1cm} reagem \hspace{0.1cm} da \hspace{0.1cm} mesma \hspace{0.1cm} maneira$$ ```{r} xx <- matrix(c(51,33,16,58,29,13,48,42,30,26,38,16),4,3,byrow = T) chisq.test(xx) ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, obtivemos que o resultado a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, rejeitamos a hipótese de que os tipos diferente de câncer reagem da mesma forma. O resultado do p-valor foi de `r round(chisq.test(xx)$p.value,4)`. ## Questão 11 - Na tabela seguinte, estão as notas de um mesmo exame aplicado em duas classes de 15 estudantes cada. Ao nível de 5% de significância, testar a hipótese de que as duas classes de estudantes são de populações com a mesma mediana. | **Classe I** | 9 | 10 | 6 | 8 | 4 | 5 | 9 | 6 | 4 | 6 | 5 | 7 | 7 | 9 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **Classe II** | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 | 6 | 8 | 3 | 7 | 5 | 9 | 6 | 10 | 8 | 8 | - Definindo as hipóteses: $$H_0: \tilde{\mu_{X}} = \tilde{\mu_Y}$$ $$H_1: \tilde{\mu_{X}} \neq \tilde{\mu_Y}$$ ```{r} classe1 <- c(9,10,6,8,4,5,9,6,4,6,5,7,7,9,6) classe2 <- c(4,5,9,9,6,6,8,3,7,5,9,6,10,8,8) nonpar::mediantest(classe1, classe2) ``` `Resposta:` Como o resultado do teste, obtivemos a um nível de significância de 5% e com base na amostra de que as amostras foram extraídas de populações com a mesma mediana, o resultado pode ser visto através do p-valor do teste que foi de 0,5339. ## Questão 12 - Na tabela seguinte, estão amostras aleatórias e independentes dos salários (em milhares de reais por ano) de uma mesma categoria profissional em duas regiões diferentes. Ao nível de 5% de significância, testar a hipótese de que os salários nas duas regiões são de populações com a mesma mediana. | **Região I** | 17 | 19 | 22 | 25 | 24 | 25 | 30 | 29 | 31 | 28 | 37 | 15 | 40 | 17 | 38 | 39 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **Região II** | 18 | 21 | 20 | 23 | 17 | 26 | 28 | 28 | 29 | 32 | 16 | 35 | 19 | 27 | | | - Definindo as hipóteses: $$H_0: \tilde{\mu_{X}} = \tilde{\mu_Y}$$ $$H_1: \tilde{\mu_{X}} \neq \tilde{\mu_Y}$$ ```{r} região1 <- c(17,19,22,25,24,25,30,29,31,28,37,15,40,17,38,39) região2 <- c(18,21,20,23,17,26,28,28,29,32,16,35,19,27) nonpar::mediantest(região1,região2) ``` `Resposta:` Como o resultado do teste, obtivemos a um nível de significância de 5% e com base na amostra de que as amostras foram extraídas de populações com a mesma mediana, o resultado pode ser visto através do p-valor do teste que foi de 0,5695. ## Questão 13 - Testar, ao nível de 5% de significância e considerando as amostras aleatórias seguintes, a hipótese de que não existe diferença nos pesos (em kg) de mulheres e homens adultos. | **Mulheres** | 68 | 63 | 75 | 65 | 73 | | | |:------------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **Homens** | 83 | 78 | 70 | 93 | 88 | 80 | 85 | - Definindo as hipóteses: $$H_0: \tilde{\mu_X} = \tilde{\mu_Y}$$ $$H_1: \tilde{\mu_X} \neq \tilde{\mu_Y}$$ ```{r} mulheres <- c(68,63,75,65,73) homens <- c(83,78,70,93,88,80,85) wilcox.test(mulheres, homens, correct = F, alternative = "two.sided") ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, existe diferença no peso entre homens e mulheres adultos. O resultado do p-valor foi de `r round(wilcox.test(mulheres, homens, correct = F, alternative = "two.sided")$p.value,4)`. ## Questão 14 - Verificar se os valores do grupo Y tendem a ser maiores do que os do grupo X. Considere, para efetuar o teste, um nível de 5% de significância e as amostras aleatórias seguintes: | $x_i$ | 22 | 26 | 16 | 27 | 19 | 38 | 37 | | |-------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| | $y_i$ | 35 | 22 | 31 | 23 | 28 | 18 | 25 | 21 | - Definindo as hipóteses: $$H_0: \tilde{\mu_X} \leq \tilde{\mu_Y}$$ $$H_1: \tilde{\mu_X} > \tilde{\mu_Y}$$ ```{r} rm(list=ls(all=T)) x <- c(22,26,16,27,19,38,37) y <- c(35,22,31,23,28,18,25,21) wilcox.test(x,y,correct = F, alternative = "greater") ``` `Resposta:` Conforme o resultado do teste, temos que não rejeitamos a hipótese nula com 95% de confiança e com base na amostra, ou seja, os valores do grupo Y não tendem a ser maiores do que o do grupo X. ## Questão 15 - Considerando as amostras aleatórias seguintes e, ao nível de 5% de significância, verificar se existe diferença significativa entre os dois grupos: | $x_i$ | 28.4 | 34.2 | 29.5 | 32.2 | 30.1 | |-------|------|------|------|------|------| | $y_i$ | 32.2 | 34.3 | 36.2 | 35.6 | 32.5 | - Definindo as hipóteses: $$H_0: F_X = G_Y$$ $$H_1: F_X \neq G_Y$$ ```{r} xx <- c(28.4,34.2,29.5,32.2,30.1) yy <- c(32.2,34.3,36.2,35.6,32.5) ks.test(xx,yy) ``` `Resposta:` De acordo com o resultado do teste, temos que a hipótese nula é rejeitada a um nível de confiança de 95% e com base na amostra, ou seja, existe diferença significativa entre os dois grupos. O resultado do p-valor foi de `r round(ks.test(xx,yy)$p.value,4)`.