Berikut ini adalah mencoba menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan eliminasi Gauss pada suatu matriks

library(matlib)

Perintah pertama library(matlib) adalah untuk memuat paket atau library bernama “matlib” yang menyediakan berbagai fungsi untuk melakukan operasi pada matriks dan vektor dalam R. Dengan memuat library ini, kita bisa menggunakan fungsi-fungsi yang disediakan oleh library tersebut dalam script R kita.

A <- matrix(c(0, -1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, -4, 2, 0, -1, 0, 4, -4), 4, 4)
b <- c(1, 1, 5, -2)

Perintah kedua A <- matrix(c(0, -1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, -4, 2, 0, -1, 0, 4, -4), 4, 4) adalah untuk membuat matriks dengan ukuran 4x4 bernama “A” dengan isi elemen matriks yang diinputkan pada argumen pertama dari fungsi matrix(). Elemen matriks tersebut diinputkan dalam bentuk vektor, yaitu vektor kolom secara berurutan. Argumen kedua dari fungsi matrix() adalah jumlah baris matriks, dan argumen ketiga adalah jumlah kolom matriks.

Perintah ketiga b <- c(1, 1, 5, -2) adalah untuk membuat vektor bernama “b” dengan isi elemen yang diinputkan pada argumen fungsi c(). Elemen vektor tersebut diinputkan dalam urutan berurutan.

Pada kode tersebut, terdapat dua objek yang dibuat yaitu matriks A dan vektor b. Matriks A berukuran 4x4 dan vektor b berukuran 4. Matriks A dan vektor b merepresentasikan suatu sistem persamaan linear dengan 4 persamaan dan 4 variabel.

Kode berikutnya adalah sebagai berikut :

showEqn(A, b)
##  0*x1 + 1*x2 + 3*x3 - 1*x4  =   1 
## -1*x1 + 1*x2 - 4*x3 + 0*x4  =   1 
##  1*x1 + 0*x2 + 2*x3 + 4*x4  =   5 
##  0*x1 + 1*x2 + 0*x3 - 4*x4  =  -2

Fungsi showEqn() berasal dari paket “matlib” yang telah dimuat sebelumnya. Fungsi ini memerlukan dua argumen, yaitu matriks koefisien linear (A) dan vektor konstanta (b) pada persamaan linear Ax = b.

Selanjutnya, fungsi showEqn() dari library matlib dipanggil dengan parameter matriks A dan vektor b sebagai input. Fungsi ini akan menampilkan sistem persamaan linear dari matriks A dan vektor b dalam bentuk persamaan linear dengan variabel x1, x2, x3, dan x4 serta koefisien masing-masing variabel yang terdapat pada setiap persamaan. Selain itu, fungsi ini juga menampilkan nilai konstanta dari setiap persamaan yang ada pada vektor b.

Dengan memanggil showEqn(A, b), maka akan ditampilkan sistem persamaan linear seperti di atas.

Dari sistem persamaan linear tersebut, dapat dicari solusi nilai variabel x1, x2, x3, dan x4 yang memenuhi semua persamaan pada sistem tersebut. Solusi ini dapat dicari dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, metode invers matriks, atau metode lainnya.

Kemudian dilanjutkan dengan kode berikut :

echelon(A, b, verbose=TRUE, fractions=TRUE)
## 
## Initial matrix:
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  0    1    3   -1    1  
## [2,] -1    1   -4    0    1  
## [3,]  1    0    2    4    5  
## [4,]  0    1    0   -4   -2  
## 
## row: 1 
## 
##  exchange rows 1 and 2 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] -1    1   -4    0    1  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  1    0    2    4    5  
## [4,]  0    1    0   -4   -2  
## 
##  multiply row 1 by -1 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1   -1    4    0   -1  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  1    0    2    4    5  
## [4,]  0    1    0   -4   -2  
## 
##  subtract row 1 from row 3 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1   -1    4    0   -1  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  0    1   -2    4    6  
## [4,]  0    1    0   -4   -2  
## 
## row: 2 
## 
##  multiply row 2 by 1 and add to row 1 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    7   -1    0  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  0    1   -2    4    6  
## [4,]  0    1    0   -4   -2  
## 
##  subtract row 2 from row 3 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    7   -1    0  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  0    0   -5    5    5  
## [4,]  0    1    0   -4   -2  
## 
##  subtract row 2 from row 4 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    7   -1    0  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  0    0   -5    5    5  
## [4,]  0    0   -3   -3   -3  
## 
## row: 3 
## 
##  multiply row 3 by -1/5 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    7   -1    0  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  0    0    1   -1   -1  
## [4,]  0    0   -3   -3   -3  
## 
##  multiply row 3 by 7 and subtract from row 1 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    0    6    7  
## [2,]  0    1    3   -1    1  
## [3,]  0    0    1   -1   -1  
## [4,]  0    0   -3   -3   -3  
## 
##  multiply row 3 by 3 and subtract from row 2 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    0    6    7  
## [2,]  0    1    0    2    4  
## [3,]  0    0    1   -1   -1  
## [4,]  0    0   -3   -3   -3  
## 
##  multiply row 3 by 3 and add to row 4 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    0    6    7  
## [2,]  0    1    0    2    4  
## [3,]  0    0    1   -1   -1  
## [4,]  0    0    0   -6   -6  
## 
## row: 4 
## 
##  multiply row 4 by -1/6 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    0    6    7  
## [2,]  0    1    0    2    4  
## [3,]  0    0    1   -1   -1  
## [4,]  0    0    0    1    1  
## 
##  multiply row 4 by 6 and subtract from row 1 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    0    0    1  
## [2,]  0    1    0    2    4  
## [3,]  0    0    1   -1   -1  
## [4,]  0    0    0    1    1  
## 
##  multiply row 4 by 2 and subtract from row 2 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  1    0    0    0    1  
## [2,]  0    1    0    0    2  
## [3,]  0    0    1   -1   -1  
## [4,]  0    0    0    1    1  
## 
##  multiply row 4 by 1 and add to row 3 
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 1    0    0    0    1   
## [2,] 0    1    0    0    2   
## [3,] 0    0    1    0    0   
## [4,] 0    0    0    1    1

Dari output tersebut dapat dilihat bahwa proses eliminasi Gauss-Jordan telah dilakukan pada sistem persamaan linear tersebut. Baris pertama merupakan matriks awal yang diberikan. Kemudian, setiap baris dilakukan operasi pemrosesan seperti penukaran baris, pengurangan atau penambahan antar baris, dan perkalian baris dengan bilangan konstan sehingga pada akhirnya diperoleh matriks eselon tereduksi pada baris ke-4.

Pada setiap operasi pemrosesan baris, terdapat penjelasan yang diawali dengan kata kunci “row” diikuti dengan nomor baris yang sedang diproses. Pada akhirnya, solusi dari sistem persamaan linear tersebut dapat diperoleh dengan membaca hasil pada kolom terakhir dari matriks eselon tereduksi. Misalkan solusi pada matriks eselon tereduksi di atas adalah \((x_1, x_2, x_3, x_4) = (6, 2, -1, -3)\).