Plantilla para los trabajos
Utiliza este documento para presentar las prácticas de una manera sencilla y bonita.
Se cumple que \(p(A)= \frac{3}{5}\), \(p(B)=\frac{2}{3}\), \(p(A\cup B)=\frac{5}{6}\). Calcula, sabiendo que son independientes:
\(p(A/B)\)
\(p(A \cap B) = \frac{3}{5}\) x \(\frac{2}{3} = \frac{6}{15}\)
\(p(A/B)\) = \(\frac{p(A\cap B)}{p(B)}\) = \(\frac{\frac{6}{15}}{\frac{2}{3}}\) = \(\frac{3}{5}\)
\(p(B/A)\)
\(p(B/A)\) = \(\frac{p(B\cap A)}{p(A)}\) = \(\frac{\frac{6}{15}}{\frac{3}{5}}\) = \(\frac{2}{3}\)
\(p(A \cap B^c)\)
\(p(B^c) = 1 - p(B)\) entonces, \(p(B^c)= \frac{1}{3}\)
\(p(A \cap B^c)\) = \(p(A)\) x \(p(B^c)\) = \(\frac{3}{5}\) x \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{3}{15}\)
\(p(A/B^c)\)
\(p(A/B^c)\) = \(\frac{p(A \cap B^c)}{p(B^c)}\) = \(\frac{\frac{3}{15}}{\frac{1}{3}}\) = \(\frac{3}{5}\)
Sean X una variable exponencial de media 5.
\(P(3\leq X\leq
8)\)=pexp(8, 1/5) - pexp(3, 1/5)=0.3469151
pexp(8, 1/5) - pexp(3, 1/5)## [1] 0.3469151 \(Var(X)=1/0.25^2\)=1/0.25^2=16
1/0.25^2 ## [1] 16 \(P(X>7/X>4)=\frac{P(X>7)}{P(X>4)}=\frac{1-P(X<7)}{1-P(X<4)}\)=(1-pexp(7,1/5))/(1-pexp(4,1/5))=0.5488116
(1-pexp(7,1/5))/(1-pexp(4,1/5))## [1] 0.5488116
\(P(x<5)=1-P(x>=5)\)
=pexp(5, 1/5)=0.6321206
pexp(5, 1/5) ## [1] 0.6321206***
Se celebra un concurso en el cual, si el concursante acierta 10 preguntas, con 4 posibles respuestas para cada pregunta, ganara un premio.
Sin embargo, el concursante no esta seguro de saber la respuesta correcta de ninguna pregunta, y decide responder de manera aleatoria.
Calcula cual es la probabilidad de…
X = Probabilidad de acierto de una sola pregunta
X~Bi(50,0.25)
Primer cuartil
qbinom(0.25,10,0.75)## [1] 7Mediana
qbinom(0.5,10,0.75)## [1] 8P(X<5)=1-P(X>=5)
1 - pbinom(5,10,0.25) ## [1] 0.01972771P(6<Y<8)=P(X<8)-P(X<6)
pbinom(8,10,0.25)-pbinom(6,10,0.25) ## [1] 0.003476143P(X=10)
dbinom(10,10,0.25)## [1] 9.536743e-07(Primer apartado)
20 jugadores profesionales de fútbol distintos han sido reunidos para realizar un estudio. Se han realizado mediciones en la velocidad máxima que alcanza el esférico cuando chutan con su máxima potencia (Una medición por cada futbolista). A continuación se adjuntan las mediciones obtenidas (en km/h): 85, 89, 90, 85, 91, 86, 97, 79, 101, 89, 88, 110, 95, 86, 85, 82, 81, 96, 92, 87.
x=c(85,89,90,85,91,86,97,79,101,89,88,110,95,86,85,82,81,96,92,87)mean(x)## [1] 89.7sd(x)## [1] 7.334848median(x)## [1] 88.5quantile(x,0.25)## 25%
## 85quantile(x,0.75)## 75%
## 92.75IQR(x)## [1] 7.75(Segundo apartado)
El jugador Javier Galán tiene el record del disparo más potente de la historia con 138 km/h. Debido a las mejoras en el aspecto físico de los jugadores en el futuro, se prevee que la probabilidad de que un jugador profesional promedio en el futuro supere los 138 km/h en un disparo, es de un 0.15. Cuando en el futuro se realice otro estudio con 20 jugadores en el que el comportamiento de los jugadores sea independiente, calcula…
P(X=3)
dbinom(3,20,0.15)## [1] 0.2428289P(X=0)
dbinom(0,20,0.15)## [1] 0.03875953La anchura de las puertas blindadas utilizadas en los bancos españoles tienen una distribución normal con media 1.5 metros y desviación estándar de 0.10 metros.
Su distribucion es: X∼N(1.5,0.10)
Probabilidad de que las puertas blindadas tengan una anchura de menos de 1.8 metros y de mas de 1.2 metros.Sabiendo que si miden mas de 1.8 metros o menos de 1.2 metros, esas puertas no sirven. ¿Cuál es la proporció.n de puertas inservibles?
P(1.8 >= X U X >= 1.2)= 1 - P(1.2 <= X <= 1.8)= 1 - (P(X<=1.8)-P(X<=1.2)) = 1 - (pnorm(1.8,1.5,0.1) - pnorm(1.2,1.5,0.1)) = 1 - 0.9973 = 0.0027
La probabilidad de que al seleccionar 3 puertas blindadas,tengan una anchura de menos de 1.8 metros y de mas de 1.2 metros.¿ Y cuál es la probabilidad de que todas sean inservibles?
Como conocemos la probabilidad de que sean inservibles, ahora tenemos que calcular la probabilidad de que ninguna sea inservibles
P(Y = 0) = dbinom(0,3,0.0027) = 0.9919 P(Y = 3) = 1 - 0.9919 = 0.0080
La probabilidad de que el ancho de 3 puertas blindadeas, de al menos dos tengan una anchura de menos de 1.8 metros y de mas de 1.2 metros.
Como conocemos la probabilidad de que sean inservibles, ahora tenemos que calcular la probabilidad de que 1 o ninguna sean inservibles
P(X<=1) = ppbinom(1,3,0.0027) = 0.9999782
La probabilidad de que la media de los anchos esté entre 1.8 y 1.2 metros.
Por el teorema central del límite, al ser X ∼ N(1.5,0.1) y n = 3, tenemos que X∼N (1.5,(0.1/√ 3)=N(1.5,√3/30)
P(1.8 <= X <= 1.2) = P(Z<=(1.8-1.5)/√3/30)-P(Z<=(1.2-1.5)/√3/30)= P(Z<=5.19)-P(Z<=-5.19)= pnorm(5.19,1.5,sqrt(3)/30) - pnorm(-5.19,1.5,sqrt(3)/30)= 1
Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de σ=25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de x̄= 1014 horas.
bar_x = 1014 (x̄)
sigma=25 (σ)
n=20 (n)
alpha=0.05 (α)
¿z_alpha2 -> (\(Z_{\alpha/2}\))?
qnorm(1-0.05/2)## [1] 1.959964Por la derecha:
\(\bar{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
1014 + 1.96*25/sqrt(20)## [1] 1024.957Por la izquierda:
\(\bar{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
1014 - 1.96*25/sqrt(20)## [1] 1003.043Utilizamos la siguiente fórmula:
\(n=\frac{Z^2\sigma^2}{e^2}\)
α=0.1 (alpha)
\(Z\)= qnorm(1- α/2) -> 1.645
\(n=\frac{(1.645^2)(25^2)}{8^2} = 26.426\)
p =40/100 = 0.4
1 − pˆ = 0.6
α = 0.2
Z =
qnorm(1-0.2/2)## [1] 1.281552Por tanto, el intervalo es:
0.4- 1.281 * sqrt(0.4*0.6/100)## [1] 0.33724410.4+ 1.281 * sqrt(0.4*0.6/100)## [1] 0.4627559El intervalo es: (0.33, 0.46)
alpha=0.05 (α)
\(Z_{\alpha/2}\)
qnorm(1-0.05/2)## [1] 1.959964\(P(1000 < Z < 1050) = P((1000-1025)/1.95 < Z < (1050-1025)/1.95) = P( -12.82< Z < 12.82) =\)
\(183.6831 - 179.0965 = 4.5866\)
(1014 + 12.82) / (25 / sqrt(20))## [1] 183.6831(1014 - 12.82) / (25 / sqrt(20))## [1] 179.0965