En una caja tenemos un 30% de canicas de cristal y un 70% de canicas de plástico. El 15% de las de cristal y el 40% de las de plástico son defectuosas. Las probabilidades de que se rompan al jugar con ellas son las siguientes:
-De las canicas de cristal, un 20% de romperse si no estan defectuosas y un 45% si lo están.
-De las canicas de plástico, un 15% de romperse si no son están defectuosas y un 35% si lo están.
DATOS:
\(P(C)=0.4\) \(P(P)=0.7\) \(P(D/C)=0.15\) \(P(D/P)=0.4\) \(P(R/C \cap D)=0.45\) \(P(R/P \cap D)=0.45\) \(P(R/C \cap ND)=0.35\) \(P(R/P \cap ND)=0.15\)
Si cogemos una canica al azar, calcula:
\[P(R \cap D)= P(C \cap R \cap D)+P(P \cap R \cap D)=0.3*0.15*0.45+0.7*0.4*0.35=0.11825\]
\(P(R)=P(C \cap D
\cap R) + P(C \cap ND \cap R) + P(P \cap D \cap R) + P(P \cap ND \cap
R)=\)
\(=0.3*0.15*0.45+0.3*0.85*0.35+0.7*0.4*0.35 +
0.7*0.6*0.15=0.2705\)
\[P(P \cap D/R)= \frac{P(P \cap D \cap
R)}{P(R)}= \frac{0.7*0.4*0.35}{0.2705}=0.36229\]
\[P(C/R)= \frac{P(C \cap R)}{P(R)}= \frac{0.3*0.15*0.45+0.3*0.85*0.35}{0.2705}=0.4081\]
\[P(R/D)= \frac{P(R \cap D)}{P(D)}= \frac{0.3*0.15*0.45+0.7*0.4*0.35}{0.325}=0.36385\]
El tiempo que tarda el profesor de Estadística en llegar a la universidad viene dado por la siguiente función de densidad de probabilidad: \[f(x)=c \text{ si } 15 \le x \le 25\]
\[\int_{15}^{25}
c ~dx=25c-15c=10c=1; c=0.1\]
Para que sea una función de densidad, el valor de c tiene que ser
0.1
Para calcular la probabilidad de que tarde entre 17 y 22 minutos, calculamos la integral definida de \(f(x)\) entre 17 y 22. \[\int_{17}^{22} 0.1~dx=\frac{22}{10}-\frac{17}{10}=\frac{5}{10}=0.5\]
Para calcular el percentil 10, calculamos
la ecuación de la integral definida entre 15 (extremo inferior) y ‘a’
(extremo superior) sabiendo que esa integral es igual a 0.1
\[\int_{15}^{a} 0.1~dx=0.1\]
\[\frac{a}{10}-\frac{15}{10}=0.1;a-15=1;
a=16\]
Los tiempos que estan por debajo de 16 segundos están en el percentil
10
La función de distribución para un x entre
15 y 25, viene dada por: \[F(x)=\int_{15}^{x}0.1~dt=\frac{x}{10}-\frac{15}{10}=\frac{x-15}{10}\]
Por lo que
\[
F(x)=\left\{\begin{array}{c}
0, \text{ si } x<15\\ \frac{x-15}{10}, \text{ si } 15\le x\le 25 \\
1, \text{ si } x>25
\end{array}\right.
\] La media viene dada por \(\int_{15}^{25}f(x)*x~dx\): \[\mu=\int_{15}^{25}f(x)*x~dx=
\int_{15}^{25}0.1x~dx=
\frac{25^2}{20}-\frac{15^2}{20}=\frac{400}{20}=20; \mu=20
\] ***
El profesor de estadística tiene que corregir los exámenes. Si está de buen humor, hay un 70% de posibilidades que lo apruebe, y si está de mal humor, baja hasta un 20%. Si tiene que corregir 30 30 exámenes, calcula:
\[P(x=19) = \left(\begin{array}{r}30\\19\end{array}\right)*0.7^{19}*0.3^{11}=\frac{30!}{11!*19!}*0.7^{19}*0.3^{11}=0.1103 \] O también
dbinom(19,30,0.7)## [1] 0.1103078\[P(x=30)=0.2^{30}=1.07*10^{-21}\]
\[P(x \ge6/x <10)= \frac{P(6\le x \le 9)}{P(x\le9)}= \frac{P(x\le9)-P(x\le6)}{P(x\le9)}=0.3535\] O también
(pbinom(9,30,0.2)-pbinom(6,30,0.2))/pbinom(9,30,0.2)## [1] 0.35353974.El profesor decide poner en práctica lo explicado y ahora va a poner la nota a los alumnos siguiendo una distribución normal de media 6,8 y desviación estándar de 0.4 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de sacar menos de un 5?
\(X\text{~}N(6.8,0.4)\) \[P(X<5)=P(X\le5)=3.398*10^{-6}\] O también
pnorm(5,6.8,0.4)## [1] 3.397673e-06En un país de estadísticos (admiradores de Platón) llega el día de las votaciones. Estas son un tanto peculiares, ya que cada ciudadano puede emitir su voto una única vez, pero este voto puede o no contar dependiendo del nivel educativo del votante. En este país un 40% de los habitantes pertenecen al nivel educativo 1, 35% al nivel 2 y 25% al nivel 3. Los porcentajes de que el voto sea válido son un 10,30 y 65%, respectivamente.
\(P(N1)=0.4\) \(P(N2)=0.35\) \(P(N3)=0.25\)
\(P(V/N1)=0.1\) \(P(V/N2)=0.3\) \(P(V/N3)=0.65\)
1.Probabilidad de que un voto aleatorio sea válido y del partido A, los porcentajes de votación a este partido son 25,45 y 80% respectivamente.
\[P(A/N1)=0.25, P(A/N2)=0.4, P(A/N3)=0.8\] \[P(A\cap V)=P(N1\cap A\cap V) +P(N2\cap A\cap V) +P(N3\cap A\cap V)=\] \[0.4*0.25*0.1+0.35*0.4*0.3+0.25*0.8*0.65=0.182\]
2.¿Probabilidad de que un votante elegido al azar tenga un voto válido?.
\[P(V)=P(N1\cap V) +P(N2\cap V) +P(N3\cap V)=\] \[0.4*0.1+0.35*0.3+0.25*0.65=0.3075\]
3.¿Probabilidad de que un ciudadano sea de nivel 2, dado que tiene un voto válido?.
\[P(N2/V)= \frac{P(N2 \cap V)}{P(V)}= \frac{0.105}{0.3075}=0.341463\]
4.Un ciudadano de nivel 2 encuentra un vacío legal mediante el cual puede votar más de una vez. Si vota 10 veces, ¿Cuál es la probabilidad de que su voto cuente en al menos 3 de ellas?
\[X\text{~}Bi(10,0.3)\] \[P(x\ge 3)=1-P(x\le 2)=1-\text{pbinom(2,10,0.3)}=0.61717\]
pbinom(2,10,0.3)## [1] 0.3827828Se desea realizar un estudio sobre el peso de los recién nacidos de determinado hospital. Sabemos que el peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 0.6 kg
1.¿Cuál es el número mínimo de individuos que hemos de seleccionar de dicho hospital para tener una probabilidad del 80% de que el peso medio de dicha muestra difiera de la población en menos de 0.3 kg?
\[P(|\overline x -\mu|<0.3)=0.8\] \[\overline x\text{~}N(\mu,\frac{0.6}{\sqrt n})\] \[P(\frac{|\overline x -\mu|}{0.6/\sqrt n}< \frac{0.3}{0.6/\sqrt n})=P(|Z|<\frac{0.3 \sqrt n}{0.6})\] \[=P(|Z|< Z_{\alpha /2})=0.9 =>Z_{\alpha /2}=qnorm(1-\frac{0.2}{2})=1.2815\] \[\frac{0.3 \sqrt n}{0.6}=1.28150=> n=6.569\approx 7\]
qnorm(1-(0.2/2))## [1] 1.2815522.¿Y para que difiera de 0.1 kg con una probabilidad del 95%?
\[P(|\overline x -\mu|<0.1)=0.95\] \[\overline x\text{~}N(\mu,\frac{0.6}{\sqrt n})\] \[P(\frac{|\overline x -\mu|}{0.6/\sqrt n}< \frac{0.1}{0.6/\sqrt n})=P(|Z|<\frac{0.1 \sqrt n}{0.6})\] \[=P(|Z|< Z_{\alpha /2})=0.95 =>Z_{\alpha /2}=qnorm(1-\frac{0.05}{2})=1.96\] \[\frac{0.1 \sqrt n}{0.6}=1.96=> n=138.2976\approx 139\]
qnorm(1-(0.05/2))## [1] 1.9599643.Si ahora contamos con el dato de que la media de los recién nacidos es 3.1kg, ¿qué probabilidad hay de que la media de una muestra de tamaño 50 esté entre 2.5 y 3.5 kg?
\[P(2.5 \le \overline x \le 3.5)=P(\overline x \le 3.5)-P(\overline x\le 2.5)=\] \[pnorm(3.5,3.1, \frac{0.6}{\sqrt 50})-pnorm(2.5,3.1, \frac{0.6}{\sqrt 50})=0.9999\]
pnorm(3.5,3.1,0.6/sqrt(50))## [1] 0.9999988pnorm(2.5,3.1,0.6/sqrt(50))## [1] 7.687299e-13\[\overline x \text{~}N(3.1,\frac{0.6}{\sqrt n})\] \[P(3.1-t \le \overline x\le 3.1+t)=0.95\] \[P(\overline x\le3.1+t)-P(\overline x\le3.1-t)=P(Z\le\frac{t}{0.6/\sqrt 60})-P(Z\le\frac{-t}{0.6/\sqrt 60})=\] \[2P(Z\le \frac{t}{0.6/\sqrt 60})-1=0.95=> P(Z\le12.91t)=0.975\] \[12.91t=qnorm(0.975,3.1,\frac{0.6}{\sqrt 60})=>t=0.2519\] El intervalo es \((2.977,3.223)\)
qnorm(0.975,3.1,0.6/sqrt(60))## [1] 3.251818Un fabricante de cámaras de fotos instantáneas realiza un estudio sobre el tiempo que tardan en revelarse sus fotografías. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 100 fotos y determina que la duración de revelado media es de 8 minutos, con una desviación típica de 1.5 minutos
1.¿Podemos afirmar con una confianza del 95% que la duración de revelado media de las fotos es de al menos 7 minutos?
\[\overline x=8; \sigma=1,5; n=100\] \[\text{IC}=(\overline x\pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n})\] \[P(Z\le Z_{0.05/2})=1.96\] \[\text{IC}=8\pm1.96*\frac{1.5}{\sqrt 100}=(7.706,8.294)\] No, ya que el 7 no se encuentra dentro del Intervalo de confianza
qnorm(1-(0.05/2))## [1] 1.9599642.Halla el intervalo de confianza del 90% para el tiempo de revelado medio de las fotografías \[\text{IC}=(\overline x\pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n})\] \[P(Z\le Z_{0.1/2})=1.64\] \[\text{IC}=8\pm1.64*\frac{1.5}{\sqrt 100}=(7.754,8.246)\]
qnorm(1-(0.1/2))## [1] 1.6448543.¿Cuántas fotografías deberíamos tomar como muestra para que un intervalo de confianza del 98% especifique la media dentro de \(\pm 1\) minuto? \[Z_{\alpha/2}*SE_{\overline x}<1\] \[2.33 *\frac{\sqrt 1.5^2}{\sqrt n}<1=> (\frac{2.33*1.5}{1})^2<n=>n>12.215\approx13\] Debemos tomar 13 fotografías
qnorm(1-(0.02/2))## [1] 2.3263484.¿A qué nivel de confianza corresponde el intervalo de estimación de la media poblacional (7.4,8.4) \[(\overline x-Z_{\alpha/2}\frac{5}{\sqrt n},\overline x+Z_{\alpha/2}\frac{5}{\sqrt n})=(7.4,8.4)=>\] \[8.4-7.4=1.5* Z_{\alpha/2}\frac{5}{\sqrt n}=>\frac{10}{1.5*1.5}=Z_{\alpha/2}=>4=Z_{\alpha/2}\] \[\frac{\alpha}{2}=1-pnorm(4)=1-0.9999683=0.00003167=>\alpha=0.00006334\] \[1-\alpha=99.99367%\]
pnorm(4)## [1] 0.9999683