Ejercicio Tema 1 y 2

En el clásico juego de Super Mario Bros existen diversos enemigos, entre ellos podemos encontrar los Koppa, los

cuales son unas tortugas con diferentes colores en los caparazones.

En un nivel donde únicamente hay koppas podemos encontrar que el 40% de los Koppa tienen el caparazón rojo, y el

60% tienen el caparazón verde. Además, los Koppas rojos tienen una probabilidad del 25% de que suelten una moneda y ## los verdes tienen una probabilidad del 10% para lo mismo.

1. Cuál es la probabilidad de que un Koppa suelte una moneda.

P(monedas) = P(rojo) * P(monedas | rojo) + P(verde) * P(monedas | verde).

P(monedas) = 0.4 * 0.25 + 0.6 * 0.1

P(monedas) = 0.16 + 0.06

P(monedas) = 0.22

2. ¿Si se selecciona al azar un enemigo que no tiene una moneda oculta en su interior, ¿cuál es la probabilidad de ##que sea un Koopa verde?

P(Koopa verde | no monedas) = P(Koopa verde y no monedas) / P(no monedas)

P(Koopa verde | no monedas) = P(Koopa verde) * P(no monedas | Koopa verde) / P(no monedas)

P(Koopa verde | no monedas) = 0.6 * (1 - 0.1) / (1 - 0.25 * 0.4 - 0.1 * 0.6)

P(Koopa verde | no monedas) = 0.54 / 0.775

P(Koopa verde | no monedas) = 0.6968

3. Si elegimos a 5 koppas al azar cuál es la probabilidad de que menos de 3 tengan una moneda

1º Calculamos de que un Koppa cualquiera tenga una moneda:

Koopa rojo tenga una moneda (0.4 * 0.25)

Koopa verde tenga una moneda (0.6 * 0.1)

(0.4 * 0.25)+ (0.6 * 0.1)=0.16

distribución binomial:

X <- dbinom(0:2, 5, 0.4 * 0.25 + 0.6 * 0.1)

sum(X)= 0.60741

4. Si seleccionamos a 5 koppas al azar, probabilidad de que más de 3 sean rojos y tengan moneda

1º Calculamos la probabilidad de que un Koppa rojo tenga una mondeda

p = 0.4 * 0.25 = 0.1

Utilizamos la distribución binomial.

P(X > 3) = 1 - P(X ≤ 3)

1 - pbinom(3, 5, 0.1)= 0.0054

Ejercicio Tema 3

David es un hombre de campo, y como todo buen hombre de bien tiene viñas que vendimia una vez al año. De momento

tiene una hectárea de variedad airén que le suele dar de media una cosecha de 15,000 kilos, con una desviación

típica de 2,500 kilos. Suponiendo que la cosecha forma una distribución normal:

a) Calcula la probabilidad de recoger más de 5,000 kilos. Calcula también la probabilidad de que recoja más de

20,000, kilos suponiendo que se han recogido 5,000 kilos de uva.

Para facilitar los cálculos los haremos en miles de kilos.

P(X > 5) = 1 – P(X <= 5) = 1 – pnorm(5,15,2.5) = 0.9999

1-pnorm(5,15,2.5)
## [1] 0.9999683

P(X> 20)/P(X>5) = (1 – pnorm(20,15,2.5))/ (1 – pnorm(5,15,2.5)) = 0.02275

(1-pnorm(20,15,2.5))/ (1-pnorm(5,15,2.5))
## [1] 0.02275085

b) Antonio, el padre de David también es un hombre de bien y tiene 12 hectáreas de moscatel. Calcula en su caso,

la probabilidad de que la media de su producción de una hectárea esté entre 14,700 y 22,500 kilos.

X ~ Norm( μ, σ / √12)

P(14.7 <= X <= 22.5) = P(X<=22.5) – P(X<=14.7)

pnorm(22.5,15,2.5)/sqrt(12)) - pnorm(14.7,15,2.5)/sqrt(12)) = 0.15773

pnorm(22.5,15,2.5)/sqrt(12)-pnorm(14.7,15,2.5)/sqrt(12)
## [1] 0.1577346

c) El abuelo de David, Enrique, es otro hombre de campo, viene de familia la cosa. Por lo tanto, él tiene esta vez

48 hectáreas de uva macabeo y cencibel. Si sabemos que un 60% de las veces la hectárea promedia consigue 12,700

kilos con desviación de 3,100 kilos, calcula la media de la hectárea.

X ~ Norm( μ, σ / √48)

P (X <= 12.7) = 0.6; Hay que tipificar

P (Z <= ( (12.7 – μ) / (3.1/√48)) = 0.6

( (12.7 – μ) / (3.1/√48)) = qnorm (0.6) = 0.25334

12.7 – μ = 0.25334 * (3.1/√48), μ = 12.7 - 0.25334 * (3.1/√48) = 12.586

De media, la hectárea saca unos 12,586 kilos de uva

d) Si sabemos que la hectárea empieza a ser rentable a partir de los 12,700 kilos de vendimia, calcula la

probabilidad de que justo 36 de sus hectáreas sean rentables.

Y ~ Binom (48, 0.6)

P (Y = 36) = dbinom(36,48,0.6) = 0.01205

dbinom(36,48,0.6)
## [1] 0.01205595

Ejercicio Tema 4

Una empresa desarrolladora de videojuegos quiere lanzar un nuevo videojuego de supervivencia al mercado,

pero antes de ello quieren comprobar si la dificultad es la adecuada, por lo que deciden lanzar una beta cerrada

y repartirla a 300 personas al azar.

Cuando termina la duración de la beta, obtienen como resultado que la media de tiempo que sobrevivieron los jugadores ## dentro del juego es de 42 horas, con una desviación típica poblacional de 10

Calcular un intervalo de confianza al 97% para la media

bar_x=42
sigma=10
n=300
alpha=0.03


z_alpha2=qnorm(1-alpha/2)
bar_x-z_alpha2*sigma/sqrt(n);bar_x+z_alpha2*sigma/sqrt(n)
## [1] 40.7471
## [1] 43.2529

¿Sería 39 una media aceptable con una confianza del 99%?

bar_x=42
sigma=10
n=300
alpha=0.01


z_alpha2=qnorm(1-alpha/2)
bar_x-z_alpha2*sigma/sqrt(n);bar_x+z_alpha2*sigma/sqrt(n)
## [1] 40.51284
## [1] 43.48716

No, ya que 39 no está dentro del intervalo de confianza al 99%

Como han visto que los resultados no eran los esperados, han decidido sacar una segunda beta con una dificultad

algo más reducida, pero esta vez se la han dado a 500 jugadores y han obtenido una media de 46 horas con una

desviación típica de 11

Calcular el intervalo de confianza al 97% de esta prueba y decir si 42 es una media válida para este caso

bar_x2=46
sigma2=11
n2=500
alpha2=0.03


z_alpha22=qnorm(1-alpha2/2)
bar_x2-z_alpha22*sigma2/sqrt(n2);bar_x2+z_alpha22*sigma2/sqrt(n2)
## [1] 44.93246
## [1] 47.06754

Como 42 no está dentro del intervalo, podemos decir que no es una media válida.

¿Se podría decir que las medias de ambas pruebas son iguales, con una confianza del 97%?

alpha=0.03
sigma1=10
sigma2=11
bar_x1=42
bar_x2=46
n1=300
n2=500
(bar_x1-bar_x2)-qnorm(1-alpha/2)*sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2));(bar_x1-bar_x2)+qnorm(1-alpha/2)*sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))
## [1] -5.646029
## [1] -2.353971

Como vemos que 0 no está dentro del intervalo, podemos concluir que las medias no son iguales