Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

A partir de una función de densidad, representar la curva de densidad y calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la distribución de los datos.

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

Cargar las librerías necesarias para la práctica correspondiente.
Cargar los datos estadísticos, en este caso, las estaturas de la mujeres
Declarar e implementar la función de densidad para estatura mujeres.
Implementar las funciones de variables aleatorias continuas previamente codificadas.
Representar gráficamente la función de densidad de los datos estadísticos generados.
Calcular los valores de la varianza, el valor esperado y la desviación estándar de los datos estadísticos.
Realizar la interpretación de la práctica correspondiente.

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario.

Además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

* Las Variables Estadísticas

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable estadística es una característica de una muestra o población de datos que puede adoptar diferentes valores.

Cuando hablamos de variable estadística estamos hablando de una cualidad que, generalmente adopta forma numérica. Por ejemplo, la altura de Juan es de 180 centímetros. La variable estadística es la altura y está medida en centímetros.

También podríamos, por ejemplo, decir que el beneficio de una empresa ha sido de 22.300 dólares el último año. En este caso, la variable sería el beneficio y estaría medido en dólares. Las variables son del tipo cuantitativo (se expresan con un número)

Claro que no todas las variables estadísticas son iguales y, por supuesto, no todas se pueden (en principio) expresar en forma de número.

Así, otra variable que podríamos encontrarnos es el color de ojos de una persona. Por ejemplo, Juan tiene los ojos verdes y Andrés los tiene azules. La variable sería el color de ojos y sería una variable cualitativa. Es decir, no se expresa con número.

Los Tipos De Variables Estadísticas

Aunque hay decenas de tipos de variables estadísticas, por norma general podemos encontrarnos dos tipos de variables:

Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente.
- Variable Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos. El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.
- Variable Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Número de helados vendidos.
Variable Cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.
- Variable Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.
- Variable Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado. Por ejemplo el color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.

* Las Variables Aleatorias Continuas

La definición propia de una variable aleatoria cuantitativa continua es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable aleatoria es continua, siempre y cuando la función de distribución que se encuentra asociada a ella sea continua.

Una variable aleatoria continua, por tanto, es un tipo de variable aleatoria. Como variable aleatoria, es una función matemática que muestra los resultados de un experimento aleatorio. Ahora bien, la característica que hace que sea continua es, precisamente, que, dentro del intervalo de resultados, esta puede tomar cualquier valor.

En otras palabras, pensemos en una variable aleatoria que tome valores enteros.

Por ejemplo, 1, 2 o 3. En este caso, la variable aleatoria no sería continua. Solo puede tomar el valor 1, el valor 2 o el valor 3. No puede, por ejemplo, tomar el valor 2,5 o 2,53. Si se tratara de una variable aleatoria continua, podría tomar cualquier valor en el intervalo de datos [1,3]. Por ejemplo, 1,02 o 2,067.

Cabe ser preciso, así como recalcar que una variable continua es un tipo de variable cuantitativa, o lo que es lo mismo, que se puede expresar mediante cifras. De esta forma, a parte de estos datos se pueden realizar análisis estadísticos y operaciones matemáticas.

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función $f(x)$ de modo tal que para dos números cualesquiera a y b con $a \le b$

\[ P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx\ \]

La probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo $[a, b]$ es el área sobre este intervalo y bajo la curva de la función de densidad, como se ilustra en la figura siguiente en relación a los datos de las estaturas de mujeres del Durango vista con anterioridad en el caso anterior.

De acuerdo a Devore, para que $f(x)$ sea una función de densidad de probabilidad legítima debe satisfacer las dos siguientes condiciones:

\[ f(x) \ge 0 \text{ para todas las x's} \]

\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\text{ área bajo toda la curva de f(x)} \]

* La Función integrate()

La función integrate() en R, utiliza un algoritmo numérico para aproximar la integral, y la aproximación puede tener un cierto grado de error.

El grado de error depende del algoritmo numérico utilizado, así como de los límites de integración y la función en sí. Por lo tanto, es posible que el valor obtenido mediante integrate() sea ligeramente diferente al valor calculado de forma analítica.

En general, se espera que el valor obtenido mediante integrate() sea una buena aproximación del valor real de la integral.

Para estimar el valor esperado y la varianza se va a utilizar la función integrate() de R.

* El Valor Esperado

El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es el valor que se espera que se de en promedio:

\[ \mu_{x} = VE(x) = \int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx \therefore \\ \mu_{x} = VE(x) = \int_{0}^{2}x\cdot 1 - \frac{x}{2}dx \]

* La Varianza

Es una medida de dispersión, se representa con $\sigma^2$ o $V(X)$. La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad $f(x)$ y valor medio $\mu$ está dada por:

\[ varianza = \sigma^2=V(x)=\int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2\cdot f(x) dx \]

\[ varianza = \sigma^2=V(x)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot f(x)dx - \mu^2 \]

* La Desviación Estándar

Es medida de dispersión representada por $\sigma$ y es la raíz cuadrada de la varianza.

\[ Desv.Std = \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

En el desarrollo de estos ejercicios algunos de ellos cargan datos de los cuales se asume una función de densidad, otros ejercicios extraídos de la literatura de probabilidad sólo presentan la función de densidad.

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

library(readr)
library(ggplot2)

* Actividad No. 2 - Importar E Implementar Las Funciones Previamente Codificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/fuciones_variables_continuas.R")

* Actividad No. 3 - La Actividad De f(x) = 1 - x/2

Determinar los valores de la función de la densidad, la varianza y la desviación estándar, para la función propuesta de:

f(x) = 1 - x/2

* La Función De Densidad

Se crea una función de densidad por decir función de gauss. \[ f(x) =1 - \frac{x}{2} \]

* Las Condiciones De ésta Función De Densidad

X debe estar entre un intervalo de $0 $ y $2$
Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = 1 - \frac{x}{2} \]

\[ f(x) = \begin{cases} {1 - \frac{x}{2}} & \text{:if } (0 \leq x \leq 2)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

* La Función De Densidad En El Entorno De R

minimo <- 0
maximo <- 2

f_dens <- function(x) {
  ifelse(0 <= x & x <= 2, 1 - x/2, 0) }

* La Construcción De Los Datos Con Algunos Valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función.
Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

Se generan valores de una secuencia de valores numéricos que significan altura en centímetros y simulando el resultado de una encuesta a $n$ mujeres en donde se les pregunta su estatura en centímetros.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad.

# Los Valores Contruidos 
x <- c(-4, -3, -2, -1, 0, 0.5, 0.75, 1, 2, 2.1, 3) 
a <- 0.5
b <- 1.0

La estructura de los datos son las coordenadas x e y; en la columna f se etiqueta como f(x) aquellos valores de x que están dentro del intervalo de los valores mínimos y máximos permisibles de la función; en la columna p aquellos valores que están dentro del intervalo de probabilidad [a, b] a calcular.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)

##        x     y    f    p
## 1  -4.00 0.000    0    0
## 2  -3.00 0.000    0    0
## 3  -2.00 0.000    0    0
## 4  -1.00 0.000    0    0
## 5   0.00 1.000 f(x) f(x)
## 6   0.50 0.750 f(x) P(x)
## 7   0.75 0.625 f(x) P(x)
## 8   1.00 0.500 f(x) P(x)
## 9   2.00 0.000 f(x) f(x)
## 10  2.10 0.000    0    0
## 11  3.00 0.000    0    0

tail(datos_graf, 20)

##        x     y    f    p
## 1  -4.00 0.000    0    0
## 2  -3.00 0.000    0    0
## 3  -2.00 0.000    0    0
## 4  -1.00 0.000    0    0
## 5   0.00 1.000 f(x) f(x)
## 6   0.50 0.750 f(x) P(x)
## 7   0.75 0.625 f(x) P(x)
## 8   1.00 0.500 f(x) P(x)
## 9   2.00 0.000 f(x) f(x)
## 10  2.10 0.000    0    0
## 11  3.00 0.000    0    0

* La Gráfica De La Función De Densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

* Los Cuestionamientos Realizados

Responder a las siguientes preguntas, a partir de la información obtenida hasta el momento.

¿Cuánto vale el área en color azul si toda el área en color rosa vale 1.0?
¿Cuál es la probabilidad de que el valor de x esté entre a y b, es decir entre 0.5 y 1.0?

\[ P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} (1 - x/2) dx \]

\[ \int_{0.5}^{1.0} (1 - x/2) dx \]

* La Función integrate() En Acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)

## [1] 0.5

print(b)

## [1] 1

# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)
# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")

## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0.5  y  1  es de  31.25 %, aproximadamente"

paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))

## [1] "El error absoluto es de  0"

* El Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))

## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  0.6667"

paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

* La Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))

## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.2222"

paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

* La Desviación Estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)

## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.4714"

* Actividad No. 4 - La Actividad De La Estatura De Mujeres.

Realizar la siguiente actividad propuesta por el docente, en el contexto de las estaturas de las mujeres.

* Importar E Implementar Los Datos Estadísticos

Se cargan los datos de estatura de mujeres del Estado de Durango (Dgo).

datos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/datos/datos_estaturas_edad_mujeres_durango.csv")

* La Estructura De Los Datos Obtenidos

str(datos)

## 'data.frame':    296 obs. of  4 variables:
##  $ estatura: num  151 154 162 152 153 ...
##  $ genero  : int  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ entidad : int  10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ...
##  $ edad    : int  54 48 43 33 36 59 54 25 29 43 ...

* La Variable De Interés “Estatura”

La media de los datos de la variable de interés es de 157.4 cms. de altura de las mujeres con una desviación estándar de 6.22.

En el conjunto de los datos existe 28 valores sin NA’s que significa que son valores no capturados correctamente desde origen de los datos.

media <- round(mean(datos$estatura, na.rm = TRUE), 4)
desv.std <- round(sd(datos$estatura, na.rm = TRUE), 4)
summary(datos$estatura)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   140.2   152.5   156.9   157.1   161.5   173.5

paste("La media aritmética de estatura es: ", media, "; con desviación estándar de: ", desv.std)

## [1] "La media aritmética de estatura es:  157.0905 ; con desviación estándar de:  6.2227"

* La Función De Densidad

Se crea una función de densidad por decir función de gauss. \[ f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} \]

en donde: $\pi = 3.14159$ y $e = 2.71828$ y se conoce la media de los datos $154.7$ y la desviación estándar de $6.22$.

* Las Condiciones De Esta Función De Densidad

X debe estar entre un intervalo de $-\infty$ y $\infty$ o para estar en contexto dejarlo en $100$ y $220$ cms.
Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} \therefore \]

\[ f(x) = \begin{cases} {f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} } & \text{:if } (100 \leq x \leq 220)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

* La Función De Densidad En El Entorno De R

minimo <- 100
maximo <- 220

f_dens <- function(x) {
  ifelse(minimo <= x & x <= maximo, (exp(1)^(-(x - media)^2 / (2 * desv.std^2))) / (desv.std * sqrt(2 * pi)), 0) }

* La Construcción De Los Datos Con Algunos Valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.
Se generan valores de una secuencia de valores numéricos que significan altura en centímetros y simulando el resultado de una encuesta a $n$ mujeres en donde se les pregunta su estatura en centímetros.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad; se incluye en las estaturas los valores mínimos y máximos.

x <- seq(minimo-1, maximo + 1, 0.5)
head(x); tail(x)

## [1]  99.0  99.5 100.0 100.5 101.0 101.5

## [1] 218.5 219.0 219.5 220.0 220.5 221.0

a <- 155
b <- 165

Se presentan solo los primeros y últimos 20 registros de la simulación de la encuesta.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)

##        x            y    f    p
## 1   99.0 0.000000e+00    0    0
## 2   99.5 0.000000e+00    0    0
## 3  100.0 3.381552e-20 f(x) f(x)
## 4  100.5 7.044808e-20 f(x) f(x)
## 5  101.0 1.458204e-19 f(x) f(x)
## 6  101.5 2.998912e-19 f(x) f(x)
## 7  102.0 6.127807e-19 f(x) f(x)
## 8  102.5 1.244063e-18 f(x) f(x)
## 9  103.0 2.509435e-18 f(x) f(x)
## 10 103.5 5.029278e-18 f(x) f(x)
## 11 104.0 1.001455e-17 f(x) f(x)
## 12 104.5 1.981313e-17 f(x) f(x)
## 13 105.0 3.894671e-17 f(x) f(x)
## 14 105.5 7.606497e-17 f(x) f(x)
## 15 106.0 1.476028e-16 f(x) f(x)
## 16 106.5 2.845776e-16 f(x) f(x)
## 17 107.0 5.451334e-16 f(x) f(x)
## 18 107.5 1.037531e-15 f(x) f(x)
## 19 108.0 1.961983e-15 f(x) f(x)
## 20 108.5 3.686256e-15 f(x) f(x)

tail(datos_graf, 20)

##         x            y    f    p
## 226 211.5 1.605018e-18 f(x) f(x)
## 227 212.0 7.924236e-19 f(x) f(x)
## 228 212.5 3.887148e-19 f(x) f(x)
## 229 213.0 1.894527e-19 f(x) f(x)
## 230 213.5 9.174166e-20 f(x) f(x)
## 231 214.0 4.413961e-20 f(x) f(x)
## 232 214.5 2.110019e-20 f(x) f(x)
## 233 215.0 1.002168e-20 f(x) f(x)
## 234 215.5 4.729231e-21 f(x) f(x)
## 235 216.0 2.217363e-21 f(x) f(x)
## 236 216.5 1.032949e-21 f(x) f(x)
## 237 217.0 4.780984e-22 f(x) f(x)
## 238 217.5 2.198628e-22 f(x) f(x)
## 239 218.0 1.004574e-22 f(x) f(x)
## 240 218.5 4.560460e-23 f(x) f(x)
## 241 219.0 2.056986e-23 f(x) f(x)
## 242 219.5 9.218282e-24 f(x) f(x)
## 243 220.0 4.104542e-24 f(x) f(x)
## 244 220.5 0.000000e+00    0    0
## 245 221.0 0.000000e+00    0    0

* La Gráfica De La Densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

* Los Cuestionamientos Realizados

Responder a las siguientes preguntas, a partir de la información obtenida hasta el momento.

¿Cuánto vale el área en color azul si toda el área en color rosa vale 1.0?
¿Cuál es la probabilidad de que el valor de x esté entre a y b, es decir entre 155 y 165?

\[ P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} dx \]

\[ \int_{155}^{165} \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} dx \]

* La Función integrate() En Acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)

## [1] 155

print(b)

## [1] 165

# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)
# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")

## [1] "La probabilidad de que x esté entre  155  y  165  es de  52.9693 %, aproximadamente"

paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))

## [1] "El error absoluto es de  0"

* El Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))

## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  157.0905"

paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0.0163"

* La Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))

## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  38.722"

paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

* La Desviación Estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)

## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  6.2227"

* Actividad No. 5 - La Actividad De La Constructura.

La distribución de la cantidad de grava (en toneladas) que vende a una empresa constructora en una semana se comporta una función continua:

* La Función De La Densidad

\[ f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) \]

* Las Condiciones De Esta Función De Densidad

X debe estar entre un intervalo de $0$ y $1$
Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) \therefore \]

\[ f(x) = \begin{cases} {f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) } & \text{:if } (0 \leq x \leq 1)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

* La Función De Densidad En El Entorno De R

f_dens <- function(x) {
  ifelse(minimo <= x & x <= maximo, (3/2) * (1 -x ^2), 0) }

* La Construcción De Los Datos Con Algunos Valores

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad; se incluye en las estaturas los valores y máximos.

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.
Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

minimo <- 0
maximo <- 1

x <- seq(minimo-1, maximo + 1, 0.1)
x

##  [1] -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4
## [16]  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  1.9
## [31]  2.0

a <- 0.40
b <- 0.60

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)

##       x     y    f    p
## 1  -1.0 0.000    0    0
## 2  -0.9 0.000    0    0
## 3  -0.8 0.000    0    0
## 4  -0.7 0.000    0    0
## 5  -0.6 0.000    0    0
## 6  -0.5 0.000    0    0
## 7  -0.4 0.000    0    0
## 8  -0.3 0.000    0    0
## 9  -0.2 0.000    0    0
## 10 -0.1 0.000    0    0
## 11  0.0 1.500 f(x) f(x)
## 12  0.1 1.485 f(x) f(x)
## 13  0.2 1.440 f(x) f(x)
## 14  0.3 1.365 f(x) f(x)
## 15  0.4 1.260 f(x) P(x)
## 16  0.5 1.125 f(x) P(x)
## 17  0.6 0.960 f(x) f(x)
## 18  0.7 0.765 f(x) f(x)
## 19  0.8 0.540 f(x) f(x)
## 20  0.9 0.285 f(x) f(x)

tail(datos_graf, 20)

##      x     y    f    p
## 12 0.1 1.485 f(x) f(x)
## 13 0.2 1.440 f(x) f(x)
## 14 0.3 1.365 f(x) f(x)
## 15 0.4 1.260 f(x) P(x)
## 16 0.5 1.125 f(x) P(x)
## 17 0.6 0.960 f(x) f(x)
## 18 0.7 0.765 f(x) f(x)
## 19 0.8 0.540 f(x) f(x)
## 20 0.9 0.285 f(x) f(x)
## 21 1.0 0.000 f(x) f(x)
## 22 1.1 0.000    0    0
## 23 1.2 0.000    0    0
## 24 1.3 0.000    0    0
## 25 1.4 0.000    0    0
## 26 1.5 0.000    0    0
## 27 1.6 0.000    0    0
## 28 1.7 0.000    0    0
## 29 1.8 0.000    0    0
## 30 1.9 0.000    0    0
## 31 2.0 0.000    0    0

* La Gráfica De La Densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

* Los Cuestionamientos Realizados

Responder a las siguientes preguntas, a partir de la información obtenida hasta el momento.

¿Cómo se comporta la curva de densidad?
¿Cuál es la probabilidad de vender cuando $x$ está entre $0.40$ a $0.60$?
¿Cuál es el valor medio que espera vender la constructora?. El Valor Esperado
¿Cuánto puede variar? La Desviación estándar

* La Función integrate() En Acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)

## [1] 0.4

print(b)

## [1] 0.6

# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)
# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")

## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0.4  y  0.6  es de  22.4 %, aproximadamente"

paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))

## [1] "El error absoluto es de  0"

* El Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))

## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  0.375"

paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

0.375 significa lo que se espera vender de grava en la semana.

* La Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))

## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.0594"

paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

* La Desviación Estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)

## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.2437"

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

Desarrollar ejercicio de la siguiente función de densidad:

\[ f(x) =\frac{x}{4}\cdot(1+ln(\frac{4}{x}) \]

La función log() calcula el logaritmo natural o neperiano.

Se solicita:

Crear la función de densidad en R? para las siguientes condiciones:

\[ f(x) = \begin{cases} {\frac{x}{4}\cdot(1+ln(\frac{4}{x})} & \text{:if } (0 \leq x \leq 1)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

f_dens <- function(x) 
{
  ifelse (0 <= x & x <= 4, (x/4) * (1 + log(4/x)), 0)
}

¿Cómo se ve la curva de densidad? con los siguientes datos para la variable continua x?

x <- seq(-1, 4.5, 0.1) 
x

##  [1] -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4
## [16]  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  1.9
## [31]  2.0  2.1  2.2  2.3  2.4  2.5  2.6  2.7  2.8  2.9  3.0  3.1  3.2  3.3  3.4
## [46]  3.5  3.6  3.7  3.8  3.9  4.0  4.1  4.2  4.3  4.4  4.5

minimo <- 0
maximo <- 4

# Probabilidad x <= 1
a <- 0
b <- 1

¿Cuál es la probabilidad para cuando x menor o igual a 1 $x $?

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )

## Warning in log(4/x): NaNs produced

head(datos_graf, 20)

##       x         y    f    p
## 1  -1.0 0.0000000    0    0
## 2  -0.9 0.0000000    0    0
## 3  -0.8 0.0000000    0    0
## 4  -0.7 0.0000000    0    0
## 5  -0.6 0.0000000    0    0
## 6  -0.5 0.0000000    0    0
## 7  -0.4 0.0000000    0    0
## 8  -0.3 0.0000000    0    0
## 9  -0.2 0.0000000    0    0
## 10 -0.1 0.0000000    0    0
## 11  0.0       NaN f(x) P(x)
## 12  0.1 0.1172220 f(x) P(x)
## 13  0.2 0.1997866 f(x) P(x)
## 14  0.3 0.2692700 f(x) P(x)
## 15  0.4 0.3302585 f(x) P(x)
## 16  0.5 0.3849302 f(x) P(x)
## 17  0.6 0.4345680 f(x) P(x)
## 18  0.7 0.4800196 f(x) P(x)
## 19  0.8 0.5218876 f(x) P(x)
## 20  0.9 0.5606223 f(x) P(x)

tail(datos_graf, 20)

##      x         y    f    p
## 37 2.6 0.9300089 f(x) f(x)
## 38 2.7 0.9403037 f(x) f(x)
## 39 2.8 0.9496725 f(x) f(x)
## 40 2.9 0.9581481 f(x) f(x)
## 41 3.0 0.9657616 f(x) f(x)
## 42 3.1 0.9725415 f(x) f(x)
## 43 3.2 0.9785148 f(x) f(x)
## 44 3.3 0.9837068 f(x) f(x)
## 45 3.4 0.9881411 f(x) f(x)
## 46 3.5 0.9918400 f(x) f(x)
## 47 3.6 0.9948245 f(x) f(x)
## 48 3.7 0.9971144 f(x) f(x)
## 49 3.8 0.9987286 f(x) f(x)
## 50 3.9 0.9996849 f(x) f(x)
## 51 4.0 1.0000000 f(x) f(x)
## 52 4.1 0.0000000    0    0
## 53 4.2 0.0000000    0    0
## 54 4.3 0.0000000    0    0
## 55 4.4 0.0000000    0    0
## 56 4.5 0.0000000    0    0

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

## Warning: Removed 1 rows containing non-finite values (`stat_align()`).

# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)

# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")

## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0  y  1  es de  36.0787 %, aproximadamente"

paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))

## [1] "El error absoluto es de  1e-04"

¿Cuál es la probabilidad para cuando x esté entre 1 y 3 en el intervalo 1≤x≤31≤�≤3

minimo <- 0
maximo <- 4

# Probabilidad 1 <= x <= 3
a <- 1
b <- 3
datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )

## Warning in log(4/x): NaNs produced

head(datos_graf, 20)

##       x         y    f    p
## 1  -1.0 0.0000000    0    0
## 2  -0.9 0.0000000    0    0
## 3  -0.8 0.0000000    0    0
## 4  -0.7 0.0000000    0    0
## 5  -0.6 0.0000000    0    0
## 6  -0.5 0.0000000    0    0
## 7  -0.4 0.0000000    0    0
## 8  -0.3 0.0000000    0    0
## 9  -0.2 0.0000000    0    0
## 10 -0.1 0.0000000    0    0
## 11  0.0       NaN f(x) f(x)
## 12  0.1 0.1172220 f(x) f(x)
## 13  0.2 0.1997866 f(x) f(x)
## 14  0.3 0.2692700 f(x) f(x)
## 15  0.4 0.3302585 f(x) f(x)
## 16  0.5 0.3849302 f(x) f(x)
## 17  0.6 0.4345680 f(x) f(x)
## 18  0.7 0.4800196 f(x) f(x)
## 19  0.8 0.5218876 f(x) f(x)
## 20  0.9 0.5606223 f(x) f(x)

tail(datos_graf, 20)

##      x         y    f    p
## 37 2.6 0.9300089 f(x) P(x)
## 38 2.7 0.9403037 f(x) P(x)
## 39 2.8 0.9496725 f(x) P(x)
## 40 2.9 0.9581481 f(x) P(x)
## 41 3.0 0.9657616 f(x) P(x)
## 42 3.1 0.9725415 f(x) f(x)
## 43 3.2 0.9785148 f(x) f(x)
## 44 3.3 0.9837068 f(x) f(x)
## 45 3.4 0.9881411 f(x) f(x)
## 46 3.5 0.9918400 f(x) f(x)
## 47 3.6 0.9948245 f(x) f(x)
## 48 3.7 0.9971144 f(x) f(x)
## 49 3.8 0.9987286 f(x) f(x)
## 50 3.9 0.9996849 f(x) f(x)
## 51 4.0 1.0000000 f(x) f(x)
## 52 4.1 0.0000000    0    0
## 53 4.2 0.0000000    0    0
## 54 4.3 0.0000000    0    0
## 55 4.4 0.0000000    0    0
## 56 4.5 0.0000000    0    0

Code

## Warning: Removed 1 rows containing non-finite values (`stat_align()`).

Code

## [1] "La probabilidad de que x esté entre  1  y  3  es de  165.0356 %, aproximadamente"

Code

## [1] "El error absoluto es de  0"

¿Cuál es el valor Esperado VE de la función de densidad?

Code

## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  7.1111"

Code

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

7.1111111 significa el valor que se espera en promedio de acuerdo a la función.

¿Cuál es el valor de la varianza?

Code

## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  70.5679"

Code

## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0.0053"

¿Cuál es el valor de la desviación estándar?

Code

## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  8.4005"

El último ejercicio genera valores infinitos por ejemplo cuando x es 0, el valor de la función de densidad es infinito. De tal forma que es posible que no sea como tal una función de densidad.

De igual forma al ser posible que no sea una función de densidad se presume que sea la razón del porqué genera una probabilidad mayor que 1 en el intervalo de 1 a 3.

* Referencias Bibliográficas

Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.
Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.
Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.

U3C15 - Las Variable Aleatorias Continuas - La Varianza, El Valor Esperado Y La Desviación Estandar

Cristopher Joshua Reyes Gutiérrez

2023-03-28

Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

* Las Variables Estadísticas

Los Tipos De Variables Estadísticas

* Las Variables Aleatorias Continuas

* La Función integrate()

* El Valor Esperado

* La Varianza

* La Desviación Estándar

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

* Actividad No. 2 - Importar E Implementar Las Funciones Previamente Codificadas

* Actividad No. 3 - La Actividad De f(x) = 1 - x/2

* La Función De Densidad

* Las Condiciones De ésta Función De Densidad

* La Función De Densidad En El Entorno De R

* La Construcción De Los Datos Con Algunos Valores

* La Gráfica De La Función De Densidad

* Los Cuestionamientos Realizados

* La Función integrate() En Acción

* El Valor Esperado

* La Varianza

* La Desviación Estándar

* Actividad No. 4 - La Actividad De La Estatura De Mujeres.

* Importar E Implementar Los Datos Estadísticos

* La Estructura De Los Datos Obtenidos

* La Variable De Interés “Estatura”

* La Función De Densidad

* Las Condiciones De Esta Función De Densidad

* La Función De Densidad En El Entorno De R

* La Construcción De Los Datos Con Algunos Valores

* La Gráfica De La Densidad

* Los Cuestionamientos Realizados

* La Función integrate() En Acción

* El Valor Esperado

* La Varianza

* La Desviación Estándar

* Actividad No. 5 - La Actividad De La Constructura.

* La Función De La Densidad

* Las Condiciones De Esta Función De Densidad

* La Función De Densidad En El Entorno De R

* La Construcción De Los Datos Con Algunos Valores

* La Gráfica De La Densidad

* Los Cuestionamientos Realizados

* La Función integrate() En Acción

* El Valor Esperado

* La Varianza

* La Desviación Estándar

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

* Referencias Bibliográficas