Séries Temporais - Avaliação Parte I

Author

Paulo Manoel; Eraldo Rocha

Avaliação I - Atividade Prática

rm(list=ls(all=T))

Questão 2

Para cada um dos processos abaixo gere 200 observações (t = 1,…,200), apresente o plot temporal da série, a função de autocorrelação, comente os resultados e as conclusões dos itens solicitados a seguir:

    1. Observações não correlacionadas a partir da distribuição \(N(0,1)\)
set.seed(2023)
y <- rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
plot.ts(y, xlab = "Tempo", ylab = "Observações")

Como essas observações são não correlacionadas assim como o passeio aleatório é observado através do gráfico da série temporal de que não possui tendência.

acf(y,xlab = "Defasagem", main = "Gráfico de autocorrelação")

    1. \(y_t = y_{t−1} +e_t,\quad et \sim N (0,(0.1)^2).\)
e <- rnorm(100, mean  = 0, sd = 0.1)
yy <- cumsum(e)
plot.ts(yy, xlab = "Tempo", ylab = "Observações")

É observado que como os erros estão sendo acumuludos, é notada uma tendência crescente na série.

acf(yy, xlab = "Defasagem", main = "Gráfico de autocorrelação")

    1. \(y_t = 0.7y_{t−1} + e_t,\quad t \sim N (0,1)\).
z <- arima.sim(n = 100, list(ar=0.7))
plot.ts(z, xlab = "Tempo", ylab = "Observações")

Como é característico de uma série AR, ficou evidente no plot da série que mostrou a não estacionariedade da série.

acf(z, xlab = "Defasagem", main = "Gráfico de autocorrelação")

    1. \(y_t = 0.7y_{t−1} + e_t,\quad t \sim N (0,1)\).
w <- arima.sim(n = 100, list(ar=0.7))
plot.ts(w, xlab = "Tempo", ylab = "Observações")

acf(w, xlab = "Defasagem", main = "Gráfico de autocorrelação")

Foi observado através dos gráficos de autocorrelação que a série que depende da informação anterior, sendo característico de um processo autoregressivo tem o decaimento exponencial, o que já é experado dado a correlação ser apenas \(\phi^n\).

Questão 3

  • Considere 200 observações de um processo AR(1) com \(\phi = 0.8\) e \(\phi = −0.8\). O que podemos observar sobre as séries temporais e o gráfico da função de autocorrelação? Comente e explique as principais diferenças entre os gráficos dos dois processos AR(1) solicitados.
p <- arima.sim(n = 100, list(ar=0.8))
j <- arima.sim(n = 100, list(ar=-0.8))
par(mfrow=c(2,1))
plot.ts(p, xlab = "Tempo", ylab = "Observações")
plot.ts(j, xlab = "Tempo", ylab = "Observações")

O observado é que todos os dois processos são estacionários, e que não tem tendência, por isso é observado a estacionariedade do processo.

par(mfrow=c(2,1))
acf(p, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(AR(1)~~~phi==+0.8)))
acf(j, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações",main=(expression(AR(1)~~~phi==-0.8)))

Questão 4

  • . Considere 200 observações de um processo MA(1)) com \(\theta = 0.8\) e \(\theta = − 0.8\). O que podemos observar sobre as séries temporais e o gráfico da função de autocorrelação? Comente e explique as principais diferenças entre os gráficos dos dois processos MA(1) solicitados.
u <- arima.sim(n = 100, list(ma=0.8))
k <- arima.sim(n = 100, list(ma=-0.8))
par(mfrow=c(2,1))
plot.ts(u, xlab = "Tempo", ylab = "Observações", main=(expression(MA(1)~~~theta==+0.8)))
plot.ts(k, xlab = "Tempo", ylab = "Observações", main=(expression(MA(1)~~~theta==-0.8)))

O observado é que todos os dois processos são estacionários, e que não tem tendência, por isso é observado a estacionariedade do processo.

par(mfrow=c(2,1))
acf(u, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(MA(1)~~~theta==+0.8)))
acf(k, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(MA(1)~~~theta==-0.8)))

É observado através do gráfico de autocorrelação a ordem do processo de médias móveis, que como esperado e foi o resultado de um processo de ordem 1, dependendo apenas do erro anterior.

Questão 5

Apresente os gráficos da função de autocorrelação amostral e parcial para os seguintes processos. Comente os resultados. Considere a série tamanho da série igual a 100.

rm(list=ls(all=T))
    1. AR(1) com \(\phi = 0.3\);
par(mfrow=c(2,1))
x <- arima.sim(n=100, list(ar=0.3))
acf(x, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(ACF - AR(1)~~~phi==+0.3)))
pacf(x, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(PACF-AR(1)~~~phi==+0.3)))

A ordem do processo AR é observada através do PACF, foi observada ordem 1.

    1. MA(1) com \(\theta = 0.7\);
par(mfrow=c(2,1))
y <- arima.sim(n=100, list(ma=0.7))
acf(y, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(ACF - MA(1)~~~theta==+0.7)))
pacf(y, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(PACF-MA(1)~~~theta==+0.7)))

Através do gráfico de autocorrelação é averiguada a ordem do processo MA, sendo averiguada a ordem deste processo, ordem 1.

    1. MA(1) com \(\theta = −0.7\);
par(mfrow=c(2,1))
z <- arima.sim(n=100, list(ma=-0.7))
acf(z, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(ACF - MA(1)~~~theta==-0.7)))
pacf(z, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(PACF-MA(1)~~~theta==-0.7)))

Segue-se apenas a inversão do eixo, pois o valor de \(\theta\) agora é negativo, todavia a ordem do processo permanece a mesma, e os comentários supracitados do processo com mesma ordem permanecem.

    1. MA(1) com \(\theta = 0.3\);
par(mfrow=c(2,1))
k <- arima.sim(n=100, list(ma=0.3))
acf(k, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(ACF - MA(1)~~~theta==0.3)))
pacf(k, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(PACF-MA(1)~~~theta==0.3)))

Conforme visto em sala de aula a correlação de um processo MA a partir de t=3, se t começar de 1, temos que a correlação vai começar a ser zero, o que fica evidente no gráfico de autocorrelação acima, onde é utilizado valores estimados para a autocorrelação.

    1. AR(2) com \(\phi_1 = 0.5\) e \(\phi_2 = 0.3\)
par(mfrow=c(2,1))
p <- arima.sim(n=100, list(ar=c(0.5, 0.3)))
acf(p, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(ACF - AR(2)~~~phi1==0.5~~~phi2==0.3)))
pacf(p, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(PACF-AR(2)~~~phi1==0.5~~~phi2==0.3)))

De acordo com o gráfico de autocorrelação parcial é observado a ordem do processo, um processo de ordem 2, e o gráfico de autocorrelação evidencia um decaimento suave.

    1. MA(2) com \(\theta_1 = 0.5\) e \(\theta_2 = 0.3\)
par(mfrow=c(2,1))
e <- arima.sim(n=100, list(ma=c(0.5, 0.3)))
acf(e, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(ACF - MA(2)~~~theta1==0.5~~~theta2==0.3)))
pacf(e, xlab = "Defasagem", ylab = "Autocorrelações", main=(expression(PACF-MA(2)~~~theta1==0.5~~~theta2==0.3)))

Neste caso, o gráfico de autocorrelação evidenciou de que a possível ordem do processo é de ordem 2 para baixo.