1 Objetivo

A partir de una función de densidad, representar la curva de densidad y calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la distribución de los datos.

2 Descripción

  • Se cargan las librerías necesarias

  • Se cargan los datos de estaturas mujeres

  • Se carga la función de densidad para estatura mujeres

  • Se carga funciones de variables aleatorias continuas previamente codificadas

  • Se presenta la gráfica de densidad

  • Se calcula el valor esperado de los datos

  • Se calcula la varianza de los datos

  • Se calcula la desviación estándar de los datos

  • Se interpreta todo el caso

3 Fundamento teórico

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función \(f(x)\) de modo tal que para dos números cualesquiera a y b con \(a \le b\)[@devore2016].

\[ P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx\ \]

La probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo \([a, b]\) es el área sobre este intervalo y bajo la curva de la función de densidad, como se ilustra en la figura siguiente en relación a los datos de las estaturas de mujeres del Durango vista con anterioridad en el caso anterior.

De acuerdo a Devore, para que \(f(x)\) sea una función de densidad de probabilidad legítima debe satisfacer las dos siguientes condiciones:

\[ f(x) \ge 0 \text{ para todas las x's} \]

\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\text{ área bajo toda la curva de f(x)} \]

3.1 La función integrate()

La función integrate() en R, utiliza un algoritmo numérico para aproximar la integral, y la aproximación puede tener un cierto grado de error.

El grado de error depende del algoritmo numérico utilizado, así como de los límites de integración y la función en sí. Por lo tanto, es posible que el valor obtenido mediante integrate() sea ligeramente diferente al valor calculado de forma analítica.

En general, se espera que el valor obtenido mediante integrate() sea una buena aproximación del valor real de la integral.

Para estimar el valor esperado y la varianza se va a utilizar la función integrate() de R.

3.2 Valor Esperado

El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es el valor que se espera que se de en promedio:

\[ \mu_{x} = VE(x) = \int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx \therefore \\ \mu_{x} = VE(x) = \int_{0}^{2}x\cdot 1 - \frac{x}{2}dx \][@devore2016]

[@devore2016]

3.3 Varianza

Es una medida de dispersión, se representa con \(\sigma^2\) o \(V(X)\). La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad \(f(x)\) y valor medio \(\mu\) está dada por:

\[ varianza = \sigma^2=V(x)=\int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2\cdot f(x) dx \]

ó

\[ varianza = \sigma^2=V(x)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot f(x)dx - \mu^2 \]

3.4 Desviación Estándar

Es medida de dispersión representada por \(\sigma\) y es la raíz cuadrada de la varianza.

\[ Desv.Std = \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

4 Desarrollo

En el desarrollo de estos ejercicios algunos de ellos cargan datos de los cuales se asume una función de densidad, otros ejercicios extraídos de la literatura de probabilidad sólo presentan la función de densidad.

4.1 Cargar librerías

library(readr)
library(ggplot2)

4.2 Cargar funciones previamene codificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/fuciones_variables_continuas.R")

4.3 Ejercicio de f(x) = 1 - x/2

4.3.1 Función de densidad

Se crea una función de densidad por decir función de gauss. \[ f(x) =1 - \frac{x}{2} \]

4.3.2 Condiciones de esta función de densidad

X debe estar entre un intervalo de $0 $ y \(2\)

Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = 1 - \frac{x}{2} \]

\[ f(x) = \begin{cases} {1 - \frac{x}{2}} & \text{:if } (0 \leq x \leq 2)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

4.3.3 La función de densidad en R

minimo <- 0
maximo <- 2
f_dens <- function(x) {
  ifelse(0 <= x & x <= 2, 1 - x/2, 0) }

4.3.4 Construir datos con algunos valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

Se generan valores de una secuencia de valores numéricos que significan altura en centímetros y simulando el resultado de una encuesta a \(n\) mujeres en donde se les pregunta su estatura en centímetros.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad.

x <- c(-4, -3, -2, -1, 0, 0.5, 0.75, 1, 2, 2.1, 3) 
a <- 0.5
b <- 1.0

Se presentan solo los primeros y últimos 20 registros de la simulación de la encuesta.

La estructura de los datos son las coordenadas x e y; en la columna f se etiqueta como f(x) aquellos valores de x que están dentro del intervalo de los valores mínimos y máximos permisibles de la función; en la columna p aquellos valores que están dentro del intervalo de probabilidad [a, b] a calcular.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)
##        x     y    f    p
## 1  -4.00 0.000    0    0
## 2  -3.00 0.000    0    0
## 3  -2.00 0.000    0    0
## 4  -1.00 0.000    0    0
## 5   0.00 1.000 f(x) f(x)
## 6   0.50 0.750 f(x) P(x)
## 7   0.75 0.625 f(x) P(x)
## 8   1.00 0.500 f(x) P(x)
## 9   2.00 0.000 f(x) f(x)
## 10  2.10 0.000    0    0
## 11  3.00 0.000    0    0
tail(datos_graf, 20)
##        x     y    f    p
## 1  -4.00 0.000    0    0
## 2  -3.00 0.000    0    0
## 3  -2.00 0.000    0    0
## 4  -1.00 0.000    0    0
## 5   0.00 1.000 f(x) f(x)
## 6   0.50 0.750 f(x) P(x)
## 7   0.75 0.625 f(x) P(x)
## 8   1.00 0.500 f(x) P(x)
## 9   2.00 0.000 f(x) f(x)
## 10  2.10 0.000    0    0
## 11  3.00 0.000    0    0

4.3.5 Gráfica de densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

4.3.6 Cuestionamientos

  • ¿Cuánto vale el área en color azul si toda el área en color rosa vale 1.0?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de x esté entre a y b, es decir entre 0.5 y 1.0?

\[ P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} (1 - x/2) dx \]

\[ \int_{0.5}^{1.0} (1 - x/2) dx \]

4.3.7 Función integrate() en acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)
## [1] 0.5
print(b)
## [1] 1
# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)
# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0.5  y  1  es de  31.25 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  0"

4.3.8 Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))
## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  0.6667"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.3.9 Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))
## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.2222"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.3.10 Desviación estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)
## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.4714"

4.4 Ejercicio de estatura mujeres

4.4.1 Cargar los datos

Se cargan los datos de estatura de mujeres del estado de Durango.

datos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/datos/datos_estaturas_edad_mujeres_durango.csv")

4.4.2 Estructura de los datos

str(datos)
## 'data.frame':    296 obs. of  4 variables:
##  $ estatura: num  151 154 162 152 153 ...
##  $ genero  : int  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ entidad : int  10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ...
##  $ edad    : int  54 48 43 33 36 59 54 25 29 43 ...

4.4.3 Variable de interés estatura

La media de los datos de la variable de interés es de 157.4 cms. de altura de las mujeres con una desviación estándar de 6.22.

En el conjunto de los datos existe 28 valores sin NA’s que significa que son valores no capturados correctamente desde origen de los datos.

media <- round(mean(datos$estatura, na.rm = TRUE), 4)
desv.std <- round(sd(datos$estatura, na.rm = TRUE), 4)
summary(datos$estatura)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   140.2   152.5   156.9   157.1   161.5   173.5
paste("La media aritmética de estatura es: ", media, "; con desviación estándar de: ", desv.std)
## [1] "La media aritmética de estatura es:  157.0905 ; con desviación estándar de:  6.2227"

4.4.4 Función de densidad

Se crea una función de densidad por decir función de gauss. \[ f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} \]

en donde: \(\pi = 3.14159\) y \(e = 2.71828\) y se conoce la media de los datos \(154.7\) y la desviación estándar de \(6.22\).

4.4.5 Condiciones de esta función de densidad

X debe estar entre un intervalo de \(-\infty\) y \(\infty\) o para estar en contexto dejarlo en \(100\) y \(220\) cms.

Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} \therefore \]

\[ f(x) = \begin{cases} {f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} } & \text{:if } (100 \leq x \leq 220)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

4.4.6 La función de densidad en R

minimo <- 100
maximo <- 220
f_dens <- function(x) {
  ifelse(minimo <= x & x <= maximo, (exp(1)^(-(x - media)^2 / (2 * desv.std^2))) / (desv.std * sqrt(2 * pi)), 0) }

4.4.7 Construir datos con algunos valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

Por ejemplo, en el ejercicio de la estatura de mujeres los valores mínimos y máximos serían 100 y 220 respectivamente; con respecto al intervalo de probabilidad [a, b] este será de 155 y 165 respectivamente.

Se generan valores de una secuencia de valores numéricos que significan altura en centímetros y simulando el resultado de una encuesta a \(n\) mujeres en donde se les pregunta su estatura en centímetros.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad; se incluye en las estaturas los valore smínimos y máximos.

x <- seq(minimo-1, maximo + 1, 0.5)
head(x); tail(x)
## [1]  99.0  99.5 100.0 100.5 101.0 101.5
## [1] 218.5 219.0 219.5 220.0 220.5 221.0
a <- 155
b <- 165

Se presentan solo los primeros y últimos 20 registros de la simulación de la encuesta.

La estructura de los datos son las coordenadas x e y; en la columna f se etiqueta como f(x) aquellos valores de x que están dentro del intervalo de los valores mínimos y máximos permisibles de la función; en la columna p aquellos valores que están dentro del intervalo de probabilidad [a, b] a calcular.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)
##        x            y    f    p
## 1   99.0 0.000000e+00    0    0
## 2   99.5 0.000000e+00    0    0
## 3  100.0 3.381552e-20 f(x) f(x)
## 4  100.5 7.044808e-20 f(x) f(x)
## 5  101.0 1.458204e-19 f(x) f(x)
## 6  101.5 2.998912e-19 f(x) f(x)
## 7  102.0 6.127807e-19 f(x) f(x)
## 8  102.5 1.244063e-18 f(x) f(x)
## 9  103.0 2.509435e-18 f(x) f(x)
## 10 103.5 5.029278e-18 f(x) f(x)
## 11 104.0 1.001455e-17 f(x) f(x)
## 12 104.5 1.981313e-17 f(x) f(x)
## 13 105.0 3.894671e-17 f(x) f(x)
## 14 105.5 7.606497e-17 f(x) f(x)
## 15 106.0 1.476028e-16 f(x) f(x)
## 16 106.5 2.845776e-16 f(x) f(x)
## 17 107.0 5.451334e-16 f(x) f(x)
## 18 107.5 1.037531e-15 f(x) f(x)
## 19 108.0 1.961983e-15 f(x) f(x)
## 20 108.5 3.686256e-15 f(x) f(x)
tail(datos_graf, 20)
##         x            y    f    p
## 226 211.5 1.605018e-18 f(x) f(x)
## 227 212.0 7.924236e-19 f(x) f(x)
## 228 212.5 3.887148e-19 f(x) f(x)
## 229 213.0 1.894527e-19 f(x) f(x)
## 230 213.5 9.174166e-20 f(x) f(x)
## 231 214.0 4.413961e-20 f(x) f(x)
## 232 214.5 2.110019e-20 f(x) f(x)
## 233 215.0 1.002168e-20 f(x) f(x)
## 234 215.5 4.729231e-21 f(x) f(x)
## 235 216.0 2.217363e-21 f(x) f(x)
## 236 216.5 1.032949e-21 f(x) f(x)
## 237 217.0 4.780984e-22 f(x) f(x)
## 238 217.5 2.198628e-22 f(x) f(x)
## 239 218.0 1.004574e-22 f(x) f(x)
## 240 218.5 4.560460e-23 f(x) f(x)
## 241 219.0 2.056986e-23 f(x) f(x)
## 242 219.5 9.218282e-24 f(x) f(x)
## 243 220.0 4.104542e-24 f(x) f(x)
## 244 220.5 0.000000e+00    0    0
## 245 221.0 0.000000e+00    0    0

4.4.8 Gráfica de densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

4.4.9 Cuestionamientos

  • ¿Cuánto vale el área en color azul si toda el área en color rosa vale 1.0?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de x esté entre a y b, es decir entre 155 y 165?

\[ P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} dx \]

\[ \int_{155}^{165} \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} dx \]

4.4.10 Función integrate() en acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)
## [1] 155
print(b)
## [1] 165
# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)
# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  155  y  165  es de  52.9693 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  0"

4.4.11 Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))
## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  157.0905"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0.0163"

4.4.12 Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))
## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  38.722"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.4.13 Desviación estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)
## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  6.2227"

4.5 Constructora

La distribución de la cantidad de grava (en toneladas) que vende a una empresa constructora en una semana se comporta una función continua:

[@unam]

4.5.1 Función de densidad

\[ f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) \]

4.5.2 Condiciones de esta función de densidad

X debe estar entre un intervalo de \(0\) y \(1\)

Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) \therefore \]

\[ f(x) = \begin{cases} {f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) } & \text{:if } (0 \leq x \leq 1)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

4.5.3 La función de densidad en R

f_dens <- function(x) {
  ifelse(minimo <= x & x <= maximo, (3/2) * (1 -x ^2), 0) }

4.5.4 Construir datos con algunos valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

Por ejemplo, en el ejercicio de la constructora los valores mínimos y máximos serían 0 y 1 respectivamente; con respecto al intervalo de probabilidad [a, b] este será de 0.40 y 0.60 respectivamente.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad; se incluye en las estaturas los valores y máximos.

minimo <- 0
maximo <- 1
x <- seq(minimo-1, maximo + 1, 0.1)
x
##  [1] -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4
## [16]  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  1.9
## [31]  2.0
a <- 0.40
b <- 0.60

La estructura de los datos son las coordenadas x e y; en la columna f se etiqueta como f(x) aquellos valores de x que están dentro del intervalo de los valores mínimos y máximos permisibles de la función; en la columna p aquellos valores que están dentro del intervalo de probabilidad [a, b] a calcular.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)
##       x     y    f    p
## 1  -1.0 0.000    0    0
## 2  -0.9 0.000    0    0
## 3  -0.8 0.000    0    0
## 4  -0.7 0.000    0    0
## 5  -0.6 0.000    0    0
## 6  -0.5 0.000    0    0
## 7  -0.4 0.000    0    0
## 8  -0.3 0.000    0    0
## 9  -0.2 0.000    0    0
## 10 -0.1 0.000    0    0
## 11  0.0 1.500 f(x) f(x)
## 12  0.1 1.485 f(x) f(x)
## 13  0.2 1.440 f(x) f(x)
## 14  0.3 1.365 f(x) f(x)
## 15  0.4 1.260 f(x) P(x)
## 16  0.5 1.125 f(x) P(x)
## 17  0.6 0.960 f(x) f(x)
## 18  0.7 0.765 f(x) f(x)
## 19  0.8 0.540 f(x) f(x)
## 20  0.9 0.285 f(x) f(x)
tail(datos_graf, 20)
##      x     y    f    p
## 12 0.1 1.485 f(x) f(x)
## 13 0.2 1.440 f(x) f(x)
## 14 0.3 1.365 f(x) f(x)
## 15 0.4 1.260 f(x) P(x)
## 16 0.5 1.125 f(x) P(x)
## 17 0.6 0.960 f(x) f(x)
## 18 0.7 0.765 f(x) f(x)
## 19 0.8 0.540 f(x) f(x)
## 20 0.9 0.285 f(x) f(x)
## 21 1.0 0.000 f(x) f(x)
## 22 1.1 0.000    0    0
## 23 1.2 0.000    0    0
## 24 1.3 0.000    0    0
## 25 1.4 0.000    0    0
## 26 1.5 0.000    0    0
## 27 1.6 0.000    0    0
## 28 1.7 0.000    0    0
## 29 1.8 0.000    0    0
## 30 1.9 0.000    0    0
## 31 2.0 0.000    0    0

4.5.5 Gráfica de densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

4.5.6 Cuestionamientos

  • ¿Como se comporta la curva de densidad?

  • ¿Cuál es la probabilidad de vender cuando \(x\) está entre \(0.40\) a \(0.60\)?

  • ¿Cuál es el valor medio que espera vender la constructora?. Valor esperado

  • ¿Cuánto puede variar?, Desviación estándar

4.5.7 Función integrate() en acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)
## [1] 0.4
print(b)
## [1] 0.6
# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)
# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0.4  y  0.6  es de  22.4 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  0"

4.5.8 Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))
## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  0.375"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

0.375 significa lo que se espera vender de grava en la semana.

4.5.9 Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)
paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))
## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.0594"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.5.10 Desviación estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)
## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.2437"

5 Enlaces

[@pizarro_variable_nodate]

[@pizarro_variables_nodate-1]

[@pizarro_variables_nodate]

6 Interpretación del caso

El valor esperado de una variable continua es el promedio ponderado de los posibles valores que puede tomar, donde los pesos son las probabilidades de ocurrencia de cada valor. La fórmula matemática para el valor esperado de una variable continua es:

E(X) = ∫ xf(x)dx

Donde X es la variable aleatoria continua, f(x) es su función de densidad de probabilidad y la integral se extiende sobre todos los posibles valores de X.

La varianza de una variable aleatoria continua es una medida de cuánto se alejan los valores de la variable aleatoria de su valor esperado. La fórmula matemática de la varianza es:

Var(X) = E[(X - E(X))^2]

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y es una medida de la dispersión de los valores alrededor del valor esperado.

A continuación, se presenta un ejemplo en R para calcular el valor esperado, varianza y desviación estándar de una variable continua:

Suponga que X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal con media 10 y desviación estándar 2. Para calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar en R.

# Definir los parámetros de la distribución normal
media <- 10
desviacion <- 2

# Calcular el valor esperado
esperanza <- integrate(function(x) x * dnorm(x, mean = media, sd = desviacion), -Inf, Inf)$value
esperanza
## [1] 10
# Calcular la varianza
varianza <- integrate(function(x) (x - esperanza)^2 * dnorm(x, mean = media, sd = desviacion), -Inf, Inf)$value
varianza
## [1] 4
# Calcular la desviación estándar
desv_est <- sqrt(varianza)
desv_est
## [1] 2

Resolución del problema en forma gráfica

# Definir los valores para x
x <- seq(0, 20, length = 100)

# Calcular la función de densidad de probabilidad
pdf <- dnorm(x, mean = media, sd = desviacion)

# Graficar la función de densidad de probabilidad
plot(x, pdf, type = "l", xlab = "Valores de X", ylab = "Probabilidad",
     main = "Función de densidad de probabilidad")

# Agregar línea vertical en el valor esperado
abline(v = esperanza, col = "red")

Ideas sobre el caso

El caso nos muestra una funcion de densidad en R con las siguientes condiciones:

La expresión f(x)={x^4⋅(1+ln(4x)) if (0≤x≤4), 0 en cualquier otro caso, define una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua.

En este caso, la función f(x) se define en dos partes:

  • Si x está en el intervalo [0, 4], entonces f(x) = x^4⋅(1+ln(4x)). Esto significa que la función de densidad de probabilidad es proporcional al cuarto poder de x multiplicado por el logaritmo natural de 4x sumado 1. Esta función tiene un máximo en x = 1 y luego disminuye gradualmente hacia cero a medida que x se acerca a 0 o 4.

  • Si x no está en el intervalo [0, 4], entonces f(x) = 0. Esto significa que la función de densidad de probabilidad es cero fuera del intervalo [0, 4].

La gráfica de esta función de densidad de probabilidad muestra una forma característica con un máximo en x = 1 y un comportamiento decreciente en ambas direcciones. Además, la función es simétrica con respecto a x = 2.

f_dens <- function(x) {
 ifelse (0 <= x & x <= 4, (x/4) * (1 + log(4/x)), 0)
} 

x <- seq(-1, 4.5, 0.1) 

minimo <- 0
maximo <- 4
# Probabilidad x <= 1
a <- 0
b <- 1
datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_dens = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
## Warning in log(4/x): Se han producido NaNs
g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g
## Warning: Removed 1 rows containing non-finite values (`stat_align()`).

7 Bibliografía

Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.

Pizarro, Rubén. n.d.a. “Variable Aleatorias Continuas. 1-x/2.” https://rpubs.com/rpizarro/1018819.

———. n.d.b. “Variables Aleatorias Continuas 1/360.” ———. n.d.c. “Variables Aleatorias Continuas. Función de Densidad Automovil.” https://rpubs.com/rpizarro/1018924.

UNAM. n.d. “Variables Aleatorias Continuas.” http://www.economia.unam.mx/profesores/blopez/estadistica-continua.pdf.