Campionamento casuale semplice

Piano di campionamento in cui ogni possibile combinazione di elementi della popolazione ha la stessa probabilità di essere scelta per il campione.

Il numero di combinazioni totale è dato dal coefficiente binomiale tra il numero di elementi da inserire nel campione e il numero di elementi della popolazione.

Ogni combinazione ha la medesima probabilità di essere scelta.

Questa probabilità è data dall’inverso del totale di combinazioni che è possibile effettuare.

Popolazione = c(1:5)
N = 6
n1 = 4

totale_combinazioni = choose(N,n1)

totale_combinazioni

[1] 15

prob_scelta = 1/(totale_combinazioni)

prob_scelta

[1] 0.06666667

Probabilità di selezione di ogni singolo campione:

La prima unità viene estratta con probabilità n/N e, dal momento che il campione è senza ripetizione, la seconda unità viene estratta con probabilità n-1/(N -1), e così via fino ad arrivare alla n-esima estrazione che viene effettuata con probabilità 1/(N - n + 1).

p_1 = n1/N

p_1

[1] 0.6666667

p_2 = (n1-1)/(N-1)

p_2

[1] 0.6

p_i = 1/((N-n1+1))

p_i

[1] 0.3333333

Probabilità di estrazione

Visto che si parla di campione casuale semplice senza reinserimento le estrazioni saranno dipendenti.

Se consideriamo la probabilità di estrarre un’i-esima unità dalla popolazione alla prima estrazione sarà:

#probabilità di ogni unità di essere selezionata alla prima estrazione 

prob_1 = 1/N
prob_1

[1] 0.1666667

#probabilità delle unità rimanenti di essere selezionate alla seconda estrazione 

prob_2 = 1/(N-1)

prob_2

[1] 0.2

Campionamento Casuale Senza Ripetizione in r

Si è realizzato un vettore contenente gli elementi di una popolazione fittizia, su cui è stata applicata la funzione per il campionamento casuale semplice.

popolazione_prova = c("Marco" , "Angelica", "Alessandra", "Eleonora", "Claudia", "Daniele", "Francesco","Cesare", "Kevin","Paolo", "Mattia", "Matteo", "Maurizio", "Angelo" , "Mariateresa", "Carmen", "Giovanni")

CCS <- function(popolazione, n) {
  popolazione = as.data.frame(popolazione)
  k = sample(1:nrow(popolazione),n)
  campione = popolazione[k,]
  campione
}
campione1 = CCS(popolazione_prova, 8)

campione1

[1] "Marco"       "Mariateresa" "Angelica"    "Angelo"      "Carmen"     
[6] "Maurizio"    "Cesare"      "Giovanni"   

Campionamento casuale con ripetizione

Si chiama campionamento casuale semplice con ripetizione il piano di campionamento tale che ciascuno degli N^n elementi possibili ordinati con ripetizione abbia la stessa probabilità di essere estratta.

La probabilità associata a ciascuna estrazione è costante e pari a:

prob_3 = 1/N

prob_3

[1] 0.1666667

In questo caso lo spazio campionario risulta costituito dall’insieme dei campioni con ripetizione. Quindi ciascun campione ordinato ha probabilità 1/N^n di essere estratto.

prob_4 = 1/(N^n1)

prob_4

[1] 0.0007716049

Esempio di campionamento casuale con ripetizione

RCS <- function(popolazione, n) {
  popolazione = as.data.frame(popolazione)
  k = sample(1:nrow(popolazione),n, replace = TRUE)
  campione = popolazione[k,]
  campione
}

campione3 = RCS(popolazione_prova, 8)
campione3

[1] "Eleonora"    "Eleonora"    "Mariateresa" "Angelo"      "Mattia"     
[6] "Paolo"       "Maurizio"    "Cesare"     

Campionamento casuale semplice con dataset “produzione”

Il dataset “produzione” riporta l’indice mensile della produzione industriale tra Gennaio 1990 e Dicembre 2003. Le osservazioni sono 168.

produzione = read.table("D:/università/secondo anno/statistica sociale e indagini campionarie/campionamento casuale/produzione.txt", header = TRUE, sep = "", dec = ".")
head(produzione)

  produzione
1       86.1
2       87.3
3       96.3
4       89.3
5       93.8
6       91.3

Costruiamo il nostro campione

Attraverso la funzione creata in precedenza possiamo creare il nostro campione.

produzione = as.data.frame(produzione)
n = 80
campione_produzione = CCS(produzione, n)
head(campione_produzione)

[1]  99.9 105.8  86.1 105.4 100.9  92.2