1 Introdução

Utilizamos a base de dados em anexo do moodle para aplicar uma análise fatorial com o objetivo de explorar a estrutura de correlações entre as variáveis e identificar fatores comuns subjacentes. Para isso, devemos realizar inicialmente uma boa análise descritiva, seguida pela análise fatorial.

2 Materiais e Métodos

2.1 Descrição dos Dados

Para realizar a análise, foi utilizado uma base de 200 consumidores que foram solicitados a dar escores de 0 a 100 quanto à importância de sete diferentes qualidades na decisão pela compra de um pack com seis garrafas de cerveja. As variáveis (qualidades) são as seguintes:

COST: Custo do pack;
SIZE: Volume de cerveja no pack;
ALCOHOL: porcentagem de álcool na bebida;
REPUTATION: reputação da marca;
COLOR: cor da bebida;
AROMA: aroma da bebida;
TASTE: sabor da bebida;

3 Resultados e Discussão

Abaixo, alguns pacotes para realização de uma analise fatorial exploratoria

library("readxl")
library("MVN")
library("goft")
library("psych")
library("MVar.pt")
library("Hmisc")
library("factoextra")
library("GPArotation")
library("tidyverse")
library("corrr")
library("igraph")
library("ggraph")
library("corrplot")
library("REdaS")

3.0.1 Carregando a base de dados:

dados = read_excel("BaseAF.xlsx")
dados = dados[-match(c('SES', 'GROUP'),names(dados))]
head(dados)

## # A tibble: 6 × 7
##    COST  SIZE ALCOHOL REPUTAT COLOR AROMA TASTE
##   <dbl> <dbl>   <dbl>   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1    90    80      70      20    50    70    60
## 2    75    95     100      50    55    40    65
## 3    10    15      20      85    40    30    50
## 4   100    70      50      30    75    60    80
## 5    20    10      25      35    30    35    45
## 6    50   100     100      30    90    75   100

3.0.2 Gráfico e Histograma dos dados:

3.0.3 Computação da matriz de correlações para as variáveis originais:

corrplot(cor(dados), order = "hclust")

De acordo com o gráfico da matriz de correlações, é possível perceber que as variáveis se organizam em dois grupos.Em um primeiro momento, tem-se as variáveis REPUTAT, TASTE, COLOR, AROMA. Já num segundo momento, tem-se as variáveis REPUTAT, COST, SIZE, ALCOHOL. Por outro lado, é possível perceber que a variável REPUTAT aparenta se relacionar bem com os dois grupos. Essa relação é mais perceptível ao analisar o seguinte gráfico.

tidy_cors <- dados %>% correlate() %>% stretch()
graph_cors <- tidy_cors %>%  filter(abs(r) > .3) %>% graph_from_data_frame(directed = FALSE)
ggraph(graph_cors) + geom_edge_link() + geom_node_point() + geom_node_text(aes(label = name))

As variáveis estão divididas em 2 grupos, mas a variável reputat se encontra na interseção desses grupos.

3.1 Escolha do Método

Antes de definirmos qual método de extração dos fatores será utilizado, é necessário testar se as variáveis seguem uma distribuição normal. Para isso, iremos utlizar o teste de normalidade multivariada. Nesse teste, temos que:

H0: A amostra provém de uma distribuição normal multivariada Ha: A amostra não provém de uma distribuição normal multivariada

mvn(as.matrix(dados), mvnTest = 'royston')

## $multivariateNormality
##      Test        H      p value MVN
## 1 Royston 177.8607 6.942554e-37  NO
## 
## $univariateNormality
##               Test  Variable Statistic   p value Normality
## 1 Anderson-Darling   COST       9.8935  <0.001      NO    
## 2 Anderson-Darling   SIZE      10.1833  <0.001      NO    
## 3 Anderson-Darling  ALCOHOL    12.3482  <0.001      NO    
## 4 Anderson-Darling  REPUTAT     6.1908  <0.001      NO    
## 5 Anderson-Darling   COLOR      3.3424  <0.001      NO    
## 6 Anderson-Darling   AROMA      2.7748  <0.001      NO    
## 7 Anderson-Darling   TASTE      5.7008  <0.001      NO    
## 
## $Descriptives
##           n  Mean  Std.Dev Median Min Max  25th  75th        Skew   Kurtosis
## COST    220 47.25 34.26403   50.0   0 100 13.75 76.25  0.04738679 -1.5978249
## SIZE    220 43.50 33.73311   32.5   0 100 13.75 72.50  0.34096722 -1.4337335
## ALCOHOL 220 46.50 32.24868   32.5  10 100 20.00 70.00  0.55312070 -1.2181600
## REPUTAT 220 48.25 24.20435   40.0   0 100 30.00 67.50  0.35072629 -0.4266003
## COLOR   220 51.00 26.87533   50.0   0  95 37.50 76.25 -0.20454271 -0.8824860
## AROMA   220 44.75 25.82088   45.0   0  90 27.50 66.25 -0.09125449 -1.0998328
## TASTE   220 67.25 24.11078   65.0  25 100 50.00 91.25 -0.10960661 -1.1548240

Como os testes indicaram não normalidade para todas as variáveis, o método que iremos utilizar para a extração dos fatores é o método das componentes principais.

3.2 Extração dos Fatores

Antes de começar a extrair os fatores, é necessário verificar se a amostra está adequada para fazer uma análise fatorial. Inicialmente, vamos analisar o KMO e o MSA.

KMOS(dados)

## 
## Kaiser-Meyer-Olkin Statistics
## 
## Call: KMOS(x = dados)
## 
## Measures of Sampling Adequacy (MSA):
##      COST      SIZE   ALCOHOL   REPUTAT     COLOR     AROMA     TASTE 
## 0.7792260 0.5500487 0.6297882 0.7626103 0.5899058 0.8011156 0.6760933 
## 
## KMO-Criterion: 0.6652395

O KMO acima de 0,5 mostra que os dados são suficientes para realizar uma análise fatorial.Além disso, a medida MSA, que também está acima de 0,5, fornece o KMO para cada variavel, sendo assim uma interpretação análoga ao KMO.

Agora, vamos analisar se as correlações são significativas.

R = cor(dados)
R

##                COST        SIZE     ALCOHOL    REPUTAT       COLOR       AROMA
## COST     1.00000000  0.83186418  0.76742323 -0.4055537  0.01799991 -0.04619872
## SIZE     0.83186418  1.00000000  0.90358950 -0.3923280  0.17895385  0.09760000
## ALCOHOL  0.76742323  0.90358950  1.00000000 -0.4631535  0.07215265  0.04418483
## REPUTAT -0.40555369 -0.39232803 -0.46315350  1.0000000 -0.37179004 -0.44272816
## COLOR    0.01799991  0.17895385  0.07215265 -0.3717900  1.00000000  0.90874170
## AROMA   -0.04619872  0.09760000  0.04418483 -0.4427282  0.90874170  1.00000000
## TASTE   -0.06391529  0.02578323  0.01178930 -0.4429296  0.90343266  0.87023514
##               TASTE
## COST    -0.06391529
## SIZE     0.02578323
## ALCOHOL  0.01178930
## REPUTAT -0.44292963
## COLOR    0.90343266
## AROMA    0.87023514
## TASTE    1.00000000

A matriz de correlação indica baixa correlação entre as variáveis (diversas estão abaixo de 0,30)

3.2.1 Teste de espericidade de Bartlett

H0: R = I (nao existe correlacao suficiente para aplicacao da tecnica multivariada)

Ha: R <> I (existe correlacao suficiente para aplicacao da tecnica multivariada)

n=dim(dados)[1]
cortest.bartlett(R,n)

## $chisq
## [1] 1637.869
## 
## $p.value
## [1] 0
## 
## $df
## [1] 21

O teste foi significativo, com um p-valor de aproximadamente 0. Com isso, rejeita-se a hipótese nula mostrando assim que existe correlação suficiente para aplicar a técnica multivariada.

cor_2 <- rcorr(as.matrix(dados))
cor_2

##          COST  SIZE ALCOHOL REPUTAT COLOR AROMA TASTE
## COST     1.00  0.83    0.77   -0.41  0.02 -0.05 -0.06
## SIZE     0.83  1.00    0.90   -0.39  0.18  0.10  0.03
## ALCOHOL  0.77  0.90    1.00   -0.46  0.07  0.04  0.01
## REPUTAT -0.41 -0.39   -0.46    1.00 -0.37 -0.44 -0.44
## COLOR    0.02  0.18    0.07   -0.37  1.00  0.91  0.90
## AROMA   -0.05  0.10    0.04   -0.44  0.91  1.00  0.87
## TASTE   -0.06  0.03    0.01   -0.44  0.90  0.87  1.00
## 
## n= 220 
## 
## 
## P
##         COST   SIZE   ALCOHOL REPUTAT COLOR  AROMA  TASTE 
## COST           0.0000 0.0000  0.0000  0.7906 0.4954 0.3454
## SIZE    0.0000        0.0000  0.0000  0.0078 0.1491 0.7037
## ALCOHOL 0.0000 0.0000         0.0000  0.2867 0.5144 0.8620
## REPUTAT 0.0000 0.0000 0.0000          0.0000 0.0000 0.0000
## COLOR   0.7906 0.0078 0.2867  0.0000         0.0000 0.0000
## AROMA   0.4954 0.1491 0.5144  0.0000  0.0000        0.0000
## TASTE   0.3454 0.7037 0.8620  0.0000  0.0000 0.0000

A matriz R apresenta grupos de variaveis correlacionadas entre si e pouca correlacao entre os grupos

A primeira matriz é a correlação entre os dados e a segunda é o p-valor de cada uma das correlações. Para um p-valor alto, rejeita-se a hipótese de que a correlação é nula. Logo,

H0: cor(xi,xj) = 0

HA: cor(xi,xj) != 0

3.3 Determinação do Número de Fatores

Para isso, vamos utilizar o criterio de Kaiser para definir quantos fatores iremos utilizar na análise

k = sum(eigen(R)$values>=1)
k

## [1] 2

3.4 Extração dos Fatores

af = FA(dados,method = "PC",type = 2,nfactor = k, scoresobs = "Bartlett")
af$mtxresult

##             Carga Fator 1 Carga Fator 2 Comunalidade Variancias especificas
## COST           -0.5502440    0.73435109    0.8420400             0.15796003
## SIZE           -0.6673536    0.67525974    0.9013366             0.09866340
## ALCOHOL        -0.6319579    0.69949073    0.8886581             0.11134190
## REPUTAT         0.7353913   -0.07088947    0.5458257             0.45417430
## COLOR          -0.7604789   -0.57603888    0.9101490             0.08985101
## AROMA          -0.7360493   -0.61373125    0.9184346             0.08156541
## TASTE          -0.7102767   -0.64635047    0.9222619             0.07773814
## Variancia       3.3128902    2.61581560    5.9287058                     NA
## % Variancia    47.3270028   37.36879429   84.6957971                     NA

Após a extração, vemos que o fator 1 explica 47,32% da variabilidade do modelo enquanto o fator 2 explica 36,36%. Com isso, podemos notar que juntos os 2 fatores explicam 84,69% da variacao total do sistema, ou seja, da informacao contida no sistema original.

3.4.1 Analisando as comunalidades:

h2 = af$mtxcomuna
h2

##      COST      SIZE   ALCOHOL   REPUTAT     COLOR     AROMA     TASTE 
## 0.8420400 0.9013366 0.8886581 0.5458257 0.9101490 0.9184346 0.9222619

3.4.2 O modelo fatorial explica:

COST 84,20%
SIZE 90,13%
ALCOHOL 88,86%
REPUTAT 54,58%
COLOR 91,01%
AROMA 91,84%
TASTE 92,22

Como nenhuma comunalidade está abaixo de 50%, vemos que o modelo conseguiu uma alta explicacao para todas as variaveis.

Analisando as especificidades, vemos que essa análise mostra o que o modelo fatorial não consegue explicar de cada variavel

psi = af$mtxvaresp
psi

##       COST       SIZE    ALCOHOL    REPUTAT      COLOR      AROMA      TASTE 
## 0.15796003 0.09866340 0.11134190 0.45417430 0.08985101 0.08156541 0.07773814

3.4.3 O modelo fatorial não explica:

COST 15,79%
SIZE 09,86%
ALCOHOL 11,13%
REPUTAT 45,41%
COLOR 08,98%
AROMA 08,15%
TASTE 07,77%

Temos que a soma de comunalidade e especificidade é igual a 1. A comunalidade da variável REPUTAT está muito alta, bem próximo ao limite.

3.5 Análise dos Resíduos

3.5.1 Matriz dos residuos

MRes = af$mtxresidue
MRes

##                  COST        SIZE      ALCOHOL    REPUTAT        COLOR
## COST     0.0000000000 -0.03122087 -0.093979591 0.05114871  0.022565732
## SIZE    -0.0312208713  0.00000000  0.009512150 0.14630685  0.060421332
## ALCOHOL -0.0939795914  0.00951215  0.000000000 0.05116938 -0.005504172
## REPUTAT  0.0511487101  0.14630685  0.051169383 0.00000000  0.146624468
## COLOR    0.0225657319  0.06042133 -0.005504172 0.14662447  0.000000000
## AROMA   -0.0005112023  0.02082284  0.008331979 0.05504900 -0.004541328
## TASTE    0.0199074182 -0.01176804  0.015040504 0.03358222 -0.009040771
##                 AROMA        TASTE
## COST    -0.0005112023  0.019907418
## SIZE     0.0208228374 -0.011768035
## ALCOHOL  0.0083319794  0.015040504
## REPUTAT  0.0550490038  0.033582217
## COLOR   -0.0045413283 -0.009040771
## AROMA    0.0000000000 -0.049248962
## TASTE   -0.0492489625  0.000000000

3.5.2 Soma de quadrados dos residuos

af$vlrsqr

## [1] 0.1403536

A soma de quadrados dos resíduos é 0.1403536, Quanto menor essa medida, melhor o modelo explica as variáveis.

3.6 Identificação dos Fatores

L = af$mtxcarga
L

##            Fator 1     Fator 2
## COST    -0.5502440  0.73435109
## SIZE    -0.6673536  0.67525974
## ALCOHOL -0.6319579  0.69949073
## REPUTAT  0.7353913 -0.07088947
## COLOR   -0.7604789 -0.57603888
## AROMA   -0.7360493 -0.61373125
## TASTE   -0.7102767 -0.64635047

3.6.1 Analisando as cargas significativas - n = 220: cargas acima de 0,40 sao significativas

COST - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 02 - comunalidade: 0.8420400 - MSA: 0.7792260
SIZE - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 02 - comunalidade: 0.9013366 - MSA: 0.5500487
ALCOHOL - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 02 - comunalidade: 0.8886581 - MSA: 0.6297882
REPUTAT - fator 01
COLOR - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 02 - comunalidade: 0.9101490 - MSA: 0.5899058
AROMA - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 02 - comunalidade: 0.9184346 - MSA: 0.8011156
TASTE - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 02 - comunalidade: 0.9222619 - MSA: 0.6760933

3.7 Rotação dos Fatores

Como temos muitas cargas cruzadas, vamos em busca de uma solucao melhor. Para isso, utilizaremos a rotacao Varimax.

rot = varimax(L)
rot

## $loadings
## 
## Loadings:
##         Fator 1 Fator 2
## COST             0.916 
## SIZE             0.947 
## ALCOHOL          0.942 
## REPUTAT  0.511  -0.533 
## COLOR   -0.952         
## AROMA   -0.958         
## TASTE   -0.960         
## 
##                Fator 1 Fator 2
## SS loadings      3.016   2.912
## Proportion Var   0.431   0.416
## Cumulative Var   0.431   0.847
## 
## $rotmat
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7579251 -0.6523415
## [2,] 0.6523415  0.7579251

Note que a proporção total da variacao explicada pelos 3 fatores nao muda, continua sendo igual a 84,4%. O que muda é a proporcao da variacao total explicada por cada fator.

LR = unclass(rot$loa)
LR

##             Fator 1     Fator 2
## COST     0.06200396  0.91553016
## SIZE    -0.06530414  0.94713883
## ALCOHOL -0.02266995  0.94241401
## REPUTAT  0.51112742 -0.53345520
## COLOR   -0.95216019  0.05949763
## AROMA   -0.95823264  0.01499316
## TASTE   -0.95997779 -0.02654231

Analisando novamente as cargas significativas - n = 875: cargas acima de 0,30 sao significativas

COST - fator 01
SIZE - fator 01
ALCOHOL - fator 01
REPUTAT - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 02 - comunalidade: 0.5458257 - MSA: 0.7626103
COLOR - fator 02
AROMA - fator 02
TASTE - fator 02

Podemos excluir a variavel (REPUTAT) da analise e estimar o modelo fatorial novamente. Alternativamente, podemos manter a variavel REPUTAT na solucao e tentar uma interpretacao pratica.

3.7.1 Solucao final mantendo a variavel REPUTAT na analise:

Fator 01: associado a COST, SIZE, ALCOHOL E REPUTAT
Fator 02: associado a REPUTAT, COLOR, AROMA, TASTE

3.8 Escores Fatoriais

3.8.1 A representação de cada indivíduo no espaço fatorial

af$coefscores

##            Fator 1     Fator 2
## COST    -0.1660918  0.28073504
## SIZE    -0.2014415  0.25814501
## ALCOHOL -0.1907573  0.26740827
## REPUTAT  0.2219788 -0.02710033
## COLOR   -0.2295515 -0.22021387
## AROMA   -0.2221774 -0.23462329
## TASTE   -0.2143979 -0.24709328

3.9 Segunda Tentativa

Optamos por excluir a variável REPUTAT da análise, uma vez que ela apresenta carga cruzada entre os dois fatores. Analisando então os dados sem essa variável, temos que:

dados2 = dados[-match(c('REPUTAT'),names(dados))]

3.9.1 verificacao da adequabilidade da amostra

R2 = cor(dados2)
R2

##                COST       SIZE    ALCOHOL      COLOR       AROMA       TASTE
## COST     1.00000000 0.83186418 0.76742323 0.01799991 -0.04619872 -0.06391529
## SIZE     0.83186418 1.00000000 0.90358950 0.17895385  0.09760000  0.02578323
## ALCOHOL  0.76742323 0.90358950 1.00000000 0.07215265  0.04418483  0.01178930
## COLOR    0.01799991 0.17895385 0.07215265 1.00000000  0.90874170  0.90343266
## AROMA   -0.04619872 0.09760000 0.04418483 0.90874170  1.00000000  0.87023514
## TASTE   -0.06391529 0.02578323 0.01178930 0.90343266  0.87023514  1.00000000

cor_3 <- rcorr(as.matrix(dados2))
cor_3

##          COST SIZE ALCOHOL COLOR AROMA TASTE
## COST     1.00 0.83    0.77  0.02 -0.05 -0.06
## SIZE     0.83 1.00    0.90  0.18  0.10  0.03
## ALCOHOL  0.77 0.90    1.00  0.07  0.04  0.01
## COLOR    0.02 0.18    0.07  1.00  0.91  0.90
## AROMA   -0.05 0.10    0.04  0.91  1.00  0.87
## TASTE   -0.06 0.03    0.01  0.90  0.87  1.00
## 
## n= 220 
## 
## 
## P
##         COST   SIZE   ALCOHOL COLOR  AROMA  TASTE 
## COST           0.0000 0.0000  0.7906 0.4954 0.3454
## SIZE    0.0000        0.0000  0.0078 0.1491 0.7037
## ALCOHOL 0.0000 0.0000         0.2867 0.5144 0.8620
## COLOR   0.7906 0.0078 0.2867         0.0000 0.0000
## AROMA   0.4954 0.1491 0.5144  0.0000        0.0000
## TASTE   0.3454 0.7037 0.8620  0.0000 0.0000

3.9.2 As correlações entre os dados são significativas.

KMO(R2)

## Kaiser-Meyer-Olkin factor adequacy
## Call: KMO(r = R2)
## Overall MSA =  0.63
## MSA for each item = 
##    COST    SIZE ALCOHOL   COLOR   AROMA   TASTE 
##    0.78    0.51    0.58    0.57    0.82    0.64

O KMO E O MSA estão acima de 0,5

3.9.3 Determinacao do numero de fatores: criterio de Kaiser

k = sum(eigen(R2)$values>=1)
k

## [1] 2

3.9.4 Extracao dos fatores utilizando o metodo das componentes principais

af2 = FA(dados2,method = "PC",type = 2,nfactor = k, scoresobs = "Bartlett")
af2$mtxresult

##             Carga Fator 1 Carga Fator 2 Comunalidade Variancias especificas
## COST           -0.4264083     0.8148700    0.8458371             0.15416287
## SIZE           -0.5750276     0.7825057    0.9429719             0.05702810
## ALCOHOL        -0.5115013     0.7934061    0.8911269             0.10887314
## COLOR          -0.8712890    -0.4367313    0.9498787             0.05012130
## AROMA          -0.8298261    -0.4847928    0.9236355             0.07636455
## TASTE          -0.8042514    -0.5227781    0.9201173             0.07988267
## Variancia       2.8686906     2.6048768    5.4735674                     NA
## % Variancia    47.8115097    43.4146130   91.2261227                     NA

Podemos notar que os 2 fatores explicam juntos 91.22% da variacao total do sistema (informacao contida no sistema original)

3.9.5 Analisando as comunalidades

h22 = af2$mtxcomuna
h22

##      COST      SIZE   ALCOHOL     COLOR     AROMA     TASTE 
## 0.8458371 0.9429719 0.8911269 0.9498787 0.9236355 0.9201173

O modelo conseguiu uma alta explicacao para quase todas as variaveis

Especificidade: o que o modelo fatorial nao consegue explicar de cada variavel

psi2 = af2$mtxvaresp
psi2

##       COST       SIZE    ALCOHOL      COLOR      AROMA      TASTE 
## 0.15416287 0.05702810 0.10887314 0.05012130 0.07636455 0.07988267

3.9.6 Matriz dos residuos

MRes2 = af2$mtxresidue
MRes2

##                 COST          SIZE      ALCOHOL        COLOR         AROMA
## COST     0.000000000 -0.0509727469 -0.097207998  0.002354319 -0.0050003316
## SIZE    -0.050972747  0.0000000000 -0.011382671  0.019683335 -0.0002198258
## ALCOHOL -0.097207998 -0.0113826707  0.000000000 -0.027007493  0.0043652833
## COLOR    0.002354319  0.0196833347 -0.027007493  0.000000000 -0.0260008390
## AROMA   -0.005000332 -0.0002198258  0.004365283 -0.026000839  0.0000000000
## TASTE    0.019141458 -0.0276067143  0.015189028 -0.025616310 -0.0505927741
##               TASTE
## COST     0.01914146
## SIZE    -0.02760671
## ALCOHOL  0.01518903
## COLOR   -0.02561631
## AROMA   -0.05059277
## TASTE    0.00000000

3.9.7 Soma de quadrados dos residuos

af2$vlrsqr

## [1] 0.03718954

Para ver toda a matriz de cargas fatoriais: identificacao dos fatores

L2 = af2$mtxcarga
L2

##            Fator 1    Fator 2
## COST    -0.4264083  0.8148700
## SIZE    -0.5750276  0.7825057
## ALCOHOL -0.5115013  0.7934061
## COLOR   -0.8712890 -0.4367313
## AROMA   -0.8298261 -0.4847928
## TASTE   -0.8042514 -0.5227781

Analisando as cargas significativas - n = 220: cargas acima de 0,40 sao significativas

COST - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - comunalidade: 0.8458371 - MSA: 0.78
SIZE - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - comunalidade: 0.9429719 - MSA: 0.51
ALCOHOL - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - comunalidade: 0.8911269 - MSA: 0.58
COLOR - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - comunalidade: 0.9498787 - MSA: 0.57
AROMA - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - comunalidade: 0.9236355 - MSA: 0.82
TASTE - Apresenta cargas cruzadas - fatores 01 e 03 - comunalidade: 0.9201173 - MSA: 0.64

3.9.8 Vamos em busca de uma solucao melhor: rotacao Varimax()

rot2 = varimax(L2)
rot2

## $loadings
## 
## Loadings:
##         Fator 1 Fator 2
## COST             0.917 
## SIZE             0.968 
## ALCOHOL          0.944 
## COLOR   -0.971         
## AROMA   -0.961         
## TASTE   -0.959         
## 
##                Fator 1 Fator 2
## SS loadings      2.796   2.678
## Proportion Var   0.466   0.446
## Cumulative Var   0.466   0.912
## 
## $rotmat
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.8511505 -0.5249217
## [2,] 0.5249217  0.8511505

Note que a proporcao total da variacao explicada pelos 3 fatores nao muda (91.2%). O que muda é a proporcao da variacao total explicada por cada fator

LR2 = unclass(rot2$loa)
LR2

##             Fator 1     Fator 2
## COST     0.06480539  0.91740797
## SIZE    -0.07868079  0.96787459
## ALCOHOL -0.01888843  0.94380617
## COLOR   -0.97084779  0.08563448
## AROMA   -0.96078520  0.02296215
## TASTE   -0.95895660 -0.02279378

3.9.9 Analisando as cargas significativas - n = 220: cargas acima de 0,40 sao significativas

COST - fator 01
SIZE - fator 01
ALCOHOL - fator 01
COLOR - fator 02
AROMA - fator 02
TASTE - fator 02

3.9.10 analises posteriores: escores fatoriais

escores2 = af2$mtxscores
escores2

##           Fator 1    Fator 2
##   [1,] -0.7195511  0.8218856
##   [2,] -0.6880405  1.2452835
##   [3,]  0.9676049 -0.5256529
##   [4,] -0.9959854  0.3848764
##   [5,]  1.0414255 -0.3636921
##   [6,] -1.8039158  0.2996184
##   [7,]  1.7577184 -0.1415104
##   [8,] -0.6963097 -0.5469786
##   [9,] -1.7422553  0.8059760
##  [10,] -0.6449524  0.8163881
##  [11,] -0.6054945 -1.8487159
##  [12,]  0.6221539 -0.7487484
##  [13,]  0.2832709  0.9586451
##  [14,]  0.4974751 -0.2722008
##  [15,]  0.1345644 -1.2690379
##  [16,]  0.0656031 -1.2613466
##  [17,]  0.9612387  1.3984767
##  [18,]  1.4131892  0.2068853
##  [19,]  0.9673833  1.6368394
##  [20,] -0.8151227 -1.5969909
##  [21,] -0.7195511  0.8218856
##  [22,] -0.6880405  1.2452835
##  [23,]  0.9676049 -0.5256529
##  [24,] -0.9959854  0.3848764
##  [25,]  1.0414255 -0.3636921
##  [26,] -1.8039158  0.2996184
##  [27,]  1.7577184 -0.1415104
##  [28,] -0.6963097 -0.5469786
##  [29,] -1.7422553  0.8059760
##  [30,] -0.6449524  0.8163881
##  [31,] -0.6054945 -1.8487159
##  [32,]  0.6221539 -0.7487484
##  [33,]  0.2832709  0.9586451
##  [34,]  0.4974751 -0.2722008
##  [35,]  0.1345644 -1.2690379
##  [36,]  0.0656031 -1.2613466
##  [37,]  0.9612387  1.3984767
##  [38,]  1.4131892  0.2068853
##  [39,]  0.9673833  1.6368394
##  [40,] -0.8151227 -1.5969909
##  [41,] -0.7195511  0.8218856
##  [42,] -0.6880405  1.2452835
##  [43,]  0.9676049 -0.5256529
##  [44,] -0.9959854  0.3848764
##  [45,]  1.0414255 -0.3636921
##  [46,] -1.8039158  0.2996184
##  [47,]  1.7577184 -0.1415104
##  [48,] -0.6963097 -0.5469786
##  [49,] -1.7422553  0.8059760
##  [50,] -0.6449524  0.8163881
##  [51,] -0.6054945 -1.8487159
##  [52,]  0.6221539 -0.7487484
##  [53,]  0.2832709  0.9586451
##  [54,]  0.4974751 -0.2722008
##  [55,]  0.1345644 -1.2690379
##  [56,]  0.0656031 -1.2613466
##  [57,]  0.9612387  1.3984767
##  [58,]  1.4131892  0.2068853
##  [59,]  0.9673833  1.6368394
##  [60,] -0.8151227 -1.5969909
##  [61,] -0.7195511  0.8218856
##  [62,] -0.6880405  1.2452835
##  [63,]  0.9676049 -0.5256529
##  [64,] -0.9959854  0.3848764
##  [65,]  1.0414255 -0.3636921
##  [66,] -1.8039158  0.2996184
##  [67,]  1.7577184 -0.1415104
##  [68,] -0.6963097 -0.5469786
##  [69,] -1.7422553  0.8059760
##  [70,] -0.6449524  0.8163881
##  [71,] -0.6054945 -1.8487159
##  [72,]  0.6221539 -0.7487484
##  [73,]  0.2832709  0.9586451
##  [74,]  0.4974751 -0.2722008
##  [75,]  0.1345644 -1.2690379
##  [76,]  0.0656031 -1.2613466
##  [77,]  0.9612387  1.3984767
##  [78,]  1.4131892  0.2068853
##  [79,]  0.9673833  1.6368394
##  [80,] -0.8151227 -1.5969909
##  [81,] -0.7195511  0.8218856
##  [82,] -0.6880405  1.2452835
##  [83,]  0.9676049 -0.5256529
##  [84,] -0.9959854  0.3848764
##  [85,]  1.0414255 -0.3636921
##  [86,] -1.8039158  0.2996184
##  [87,]  1.7577184 -0.1415104
##  [88,] -0.6963097 -0.5469786
##  [89,] -1.7422553  0.8059760
##  [90,] -0.6449524  0.8163881
##  [91,] -0.6054945 -1.8487159
##  [92,]  0.6221539 -0.7487484
##  [93,]  0.2832709  0.9586451
##  [94,]  0.4974751 -0.2722008
##  [95,]  0.1345644 -1.2690379
##  [96,]  0.0656031 -1.2613466
##  [97,]  0.9612387  1.3984767
##  [98,]  1.4131892  0.2068853
##  [99,]  0.9673833  1.6368394
## [100,] -0.8151227 -1.5969909
## [101,] -0.7195511  0.8218856
## [102,] -0.6880405  1.2452835
## [103,]  0.9676049 -0.5256529
## [104,] -0.9959854  0.3848764
## [105,]  1.0414255 -0.3636921
## [106,] -1.8039158  0.2996184
## [107,]  1.7577184 -0.1415104
## [108,] -0.6963097 -0.5469786
## [109,] -1.7422553  0.8059760
## [110,] -0.6449524  0.8163881
## [111,] -0.6054945 -1.8487159
## [112,]  0.6221539 -0.7487484
## [113,]  0.2832709  0.9586451
## [114,]  0.4974751 -0.2722008
## [115,]  0.1345644 -1.2690379
## [116,]  0.0656031 -1.2613466
## [117,]  0.9612387  1.3984767
## [118,]  1.4131892  0.2068853
## [119,]  0.9673833  1.6368394
## [120,] -0.8151227 -1.5969909
## [121,] -0.7195511  0.8218856
## [122,] -0.6880405  1.2452835
## [123,]  0.9676049 -0.5256529
## [124,] -0.9959854  0.3848764
## [125,]  1.0414255 -0.3636921
## [126,] -1.8039158  0.2996184
## [127,]  1.7577184 -0.1415104
## [128,] -0.6963097 -0.5469786
## [129,] -1.7422553  0.8059760
## [130,] -0.6449524  0.8163881
## [131,] -0.6054945 -1.8487159
## [132,]  0.6221539 -0.7487484
## [133,]  0.2832709  0.9586451
## [134,]  0.4974751 -0.2722008
## [135,]  0.1345644 -1.2690379
## [136,]  0.0656031 -1.2613466
## [137,]  0.9612387  1.3984767
## [138,]  1.4131892  0.2068853
## [139,]  0.9673833  1.6368394
## [140,] -0.8151227 -1.5969909
## [141,] -0.7195511  0.8218856
## [142,] -0.6880405  1.2452835
## [143,]  0.9676049 -0.5256529
## [144,] -0.9959854  0.3848764
## [145,]  1.0414255 -0.3636921
## [146,] -1.8039158  0.2996184
## [147,]  1.7577184 -0.1415104
## [148,] -0.6963097 -0.5469786
## [149,] -1.7422553  0.8059760
## [150,] -0.6449524  0.8163881
## [151,] -0.6054945 -1.8487159
## [152,]  0.6221539 -0.7487484
## [153,]  0.2832709  0.9586451
## [154,]  0.4974751 -0.2722008
## [155,]  0.1345644 -1.2690379
## [156,]  0.0656031 -1.2613466
## [157,]  0.9612387  1.3984767
## [158,]  1.4131892  0.2068853
## [159,]  0.9673833  1.6368394
## [160,] -0.8151227 -1.5969909
## [161,] -0.7195511  0.8218856
## [162,] -0.6880405  1.2452835
## [163,]  0.9676049 -0.5256529
## [164,] -0.9959854  0.3848764
## [165,]  1.0414255 -0.3636921
## [166,] -1.8039158  0.2996184
## [167,]  1.7577184 -0.1415104
## [168,] -0.6963097 -0.5469786
## [169,] -1.7422553  0.8059760
## [170,] -0.6449524  0.8163881
## [171,] -0.6054945 -1.8487159
## [172,]  0.6221539 -0.7487484
## [173,]  0.2832709  0.9586451
## [174,]  0.4974751 -0.2722008
## [175,]  0.1345644 -1.2690379
## [176,]  0.0656031 -1.2613466
## [177,]  0.9612387  1.3984767
## [178,]  1.4131892  0.2068853
## [179,]  0.9673833  1.6368394
## [180,] -0.8151227 -1.5969909
## [181,] -0.7195511  0.8218856
## [182,] -0.6880405  1.2452835
## [183,]  0.9676049 -0.5256529
## [184,] -0.9959854  0.3848764
## [185,]  1.0414255 -0.3636921
## [186,] -1.8039158  0.2996184
## [187,]  1.7577184 -0.1415104
## [188,] -0.6963097 -0.5469786
## [189,] -1.7422553  0.8059760
## [190,] -0.6449524  0.8163881
## [191,] -0.6054945 -1.8487159
## [192,]  0.6221539 -0.7487484
## [193,]  0.2832709  0.9586451
## [194,]  0.4974751 -0.2722008
## [195,]  0.1345644 -1.2690379
## [196,]  0.0656031 -1.2613466
## [197,]  0.9612387  1.3984767
## [198,]  1.4131892  0.2068853
## [199,]  0.9673833  1.6368394
## [200,] -0.8151227 -1.5969909
## [201,] -0.7195511  0.8218856
## [202,] -0.6880405  1.2452835
## [203,]  0.9676049 -0.5256529
## [204,] -0.9959854  0.3848764
## [205,]  1.0414255 -0.3636921
## [206,] -1.8039158  0.2996184
## [207,]  1.7577184 -0.1415104
## [208,] -0.6963097 -0.5469786
## [209,] -1.7422553  0.8059760
## [210,] -0.6449524  0.8163881
## [211,] -0.6054945 -1.8487159
## [212,]  0.6221539 -0.7487484
## [213,]  0.2832709  0.9586451
## [214,]  0.4974751 -0.2722008
## [215,]  0.1345644 -1.2690379
## [216,]  0.0656031 -1.2613466
## [217,]  0.9612387  1.3984767
## [218,]  1.4131892  0.2068853
## [219,]  0.9673833  1.6368394
## [220,] -0.8151227 -1.5969909

3.9.11 coeficientes dos escores

af2$coefscores

##            Fator 1    Fator 2
## COST    -0.1486421  0.3128248
## SIZE    -0.2004495  0.3004003
## ALCOHOL -0.1783048  0.3045849
## COLOR   -0.3037236 -0.1676591
## AROMA   -0.2892700 -0.1861097
## TASTE   -0.2803549 -0.2006921

3.9.12 Solucao final retirando a variável REPUTAT da analise:

Fator 01: associado a COST, SIZE, ALCOHOL
Fator 02: associado a COLOR, AROMA, TASTE

4 Interpretacao

Fator 01: fator que mensura o custo benefício da cerveja, trazendo as relações entre preço e volume, juntamente com a quantidade de alcool presente em cada garrafa.
Fator 02: fator que mensura a qualidade da cerveja, trazendo as relações entre sabor, aroma e cheiro de cada garrafa.

É possível perceber que a reputação da marca é um fator presente tanto no fator 01 quanto no fator 02, uma vez que cada marca possui seu custo benefício e sua qualidade específica.

5 Referências Bibliográficas

https://moodlepresencial.ufop.br/pluginfile.php/1333752/mod_resource/content/3/Apostila_PA_Multi_I.pdf

Relatório Análise Fatorial

Adriano, Beatriz, Fernanda e Marina

2023-03-28