\[EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS\]

\[EJERCICIO - 38\]

Safegate Foods Inc. está rediseñando las cajas de cobro en sus supermercados en todo el país y prueba dos diseños. Ambos sistemas se instalaron en dos supermercados y se midió el tiempo que tardaban los clientes en pasar por la caja. Los resultados se presentan resumidos en la siguiente tabla.

\[H0 : mu1 - mu2 = 0\]

\[H1 : mu1 - mu2 \neq 0\]

z = ((x1-x2)/(sqrt(((sd1)^2)/n1 + ((sd2)^2)/n2)))
z
## [1] 2.792563
qnorm(0.025)
## [1] -1.959964
qnorm(0.975)
## [1] 1.959964

dado que se rechaza la hipotesis nula, entonces se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, el sistema A tiene diferente media de tiempo frente al sistema B.

\[EJERCICIO -39\]

  1. Proporcione una estimación puntual para la diferencia entre las medias poblacionales de los precios en los dos años

\[H0: MU-2006 \leq MU-2009\]

\[H1: MU-2006 > MU-2009\]

attach(HomePrices)
alpha = 0.01
var.test(`2006 ($1000s)`,`2009 ($1000s)`,ratio = 1, alternative = "two.sided", conf.level = 1 - alpha)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  2006 ($1000s) and 2009 ($1000s)
## F = 1.5079, num df = 29, denom df = 39, p-value = 0.2299
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 99 percent confidence interval:
##  0.6198851 3.8672642
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           1.507909
t.test(x = `2006 ($1000s)`, y = `2009 ($1000s)`, alternative = "greater", mu = 0, paired = F, var.equal = T,conf.level = 1-alpha )
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  2006 ($1000s) and 2009 ($1000s)
## t = 4.5842, df = 68, p-value = 1.004e-05
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 99 percent confidence interval:
##  26369.93      Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  225896.7  170992.5

la diferencia entre las medias poblacionales de los precios en los dos años es del \(54904,2\)

  1. Desarrolle una estimación por intervalo de 99% de confianza para la diferencia entre los precios de reventa de casas en 2006 y 2009.

una estimación por intervalo de 99% de confianza para la diferencia entre los precios de reventa de casas en 2006 y 2009 es de \([225896.7,Inf]\)

  1. ¿Consideraría justificado concluir que los precios de reventa han disminuido de 2006 a 2009? ¿Por qué?

dado que se rechaza la hipotesis nula, entonces se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, los precios de reventa han disminuido del año 2006 a 2009.

\[EJERCICIO-40\]

  1. Formule H0 y Ha de manera que el rechazo de H0 lleve a la conclusión de que en este periodo de cinco años los fondos de inversión con comisión ofrecieron un mayor rendi- miento medio anual.

\[HO : MU-Mutual Funds–No Load \geq MU-Mutual Funds–Load\] \[HA : MU-Mutual Funds–No Load < MU-Mutual Funds–Load\]

  1. Use los 60 fondos de inversión de la base de datos Mutual para realizar la prueba de hipó- tesis. ¿Cuál es el valor-p? Con \(α = 0.05\), ¿cuál es su conclusión?
attach(Mutual)
alpha = 0.05
var.test(Return...4,Return...2,ratio = 1, alternative = "less", conf.level = 1 - alpha)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  Return...4 and Return...2
## F = 0.8869, num df = 29, denom df = 29, p-value = 0.3744
## alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.000000 1.650361
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           0.886904
attach(Mutual)
## The following objects are masked from Mutual (pos = 3):
## 
##     Mutual Funds - Load, Mutual Funds - No Load, Return...2, Return...4
t.test(x = Return...4, y = Return...2, alternative = "less", mu = 0, paired = F, var.equal = T,conf.level = 1-alpha )
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  Return...4 and Return...2
## t = -0.59022, df = 58, p-value = 0.2787
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##       -Inf 0.9545043
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  15.70467  16.22567

\[Valor - p = 0.2787\]

Dado que no se rechaza la hipotesis nula, entonces se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, en este periodo de cinco años los fondos de inversión con comisión ofrecieron menor rendimiento medio anual

\[EJERCICIO -41\]

La Asociación Estadounidense de Constructores de Casas presenta datos sobre los costos de las remodelaciones más frecuentes que se realizan en casas habitación. A continuación se pre- sentan datos muestrales, en miles de dólares, de los dos tipos de proyectos de remodelación más frecuentes.

c = c(25.2, 17.4, 22.8, 21.9, 19.7, 23, 19.7,16.9, 21.8, 23.6)
rp = c(18, 22.9, 26.4, 24.8, 26.9, 17.8, 24.6, 21)
  1. Desarrolle una estimación puntual de la diferencia entre las medias poblacionales de los costos de los dos tipos de remodelación.
t.test(x = c, y = rp, alternative = "two.sided", mu = 0, paired = F, var.equal = T,conf.level = 0.9 )
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  c and rp
## t = -1.0868, df = 16, p-value = 0.2932
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 90 percent confidence interval:
##  -4.1704209  0.9704209
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      21.2      22.8
X = 21.2 - 22.8
X
## [1] -1.6

Hay un 1.6 % de diferencia entre las medias de remodelacion

  1. Proporcione un intervalo de 90% de confianza para la diferencia entre estas dos medias poblacionales.

\[H0:sigma^2C = sigma^2P\]

\[H1: sigma^2C \neq sigma^2P\]

dado que no se rechaza la hipotesis nula, entonces se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, remodelar una cocina tiene el mismo costo que remodelar una habitacion.

EJERCICIO 42

  1. ¿Cuál es el cambio en el precio medio por acción en el periodo de cuatro meses?
attach(Price)
a = Price$`April 30 ($)`
b = Price$`January 1 ($)`
c = b-a
mean (c)
## [1] 2.45

El promedio en el precio medio por accion en un periodo de 4 meses es de 2.45

  1. Proporcione una estimación por intervalo de 90% de confianza del cambio en el precio medio por acción. Interprete los resultados.

\[H0: MU-JANUARY \geq MU-APRIL\] \[H1: MU-JANUARY < MU-APRIL\]

alpha  = 0.1

var.test(a,b,ratio = 1, alternative = "less", conf.level = 1 - alpha)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  a and b
## F = 0.68709, num df = 14, denom df = 14, p-value = 0.2458
## alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1
## 90 percent confidence interval:
##  0.000000 1.389604
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.6870948
t.test(x = a, y = b, alternative = "less", mu = 0, paired = T, var.equal = T,conf.level = 0.9 )
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  a and b
## t = -2.0043, df = 14, p-value = 0.03239
## alternative hypothesis: true mean difference is less than 0
## 90 percent confidence interval:
##        -Inf -0.8058893
## sample estimates:
## mean difference 
##           -2.45

una estimación por intervalo de 90% de confianza del cambio en el precio medio por acción es \([-Inf,-0.8058893]\)

dado que se rechaza la hipotesis nula, entonces se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, se tuvo un aumento en el cambio del precio medio por acción en Abril con respecto a Enero.

  1. ¿De cuánto fue el cambio porcentual en el precio medio por acción en el periodo de cuatro meses?

tenemos un aumento del 2.45%

  1. Si este mismo cambio porcentual hubiera ocurrido en los siguientes cuatro meses y de nuevo en los cuatro meses posteriores, ¿cuál hubiera sido el precio medio por acción al final de 2009?

\[EJERCICIO-43\]

n1 = 800 
n2 = 600
x1 = 248
x2 = 156
  1. Establezca las hipótesis pertinentes para probar la diferencia entre la proporción poblacio- nal de hombres y la de mujeres que prefieren ver televisión para pasar su tiempo libre.

\[H0 :P1 - P2 = 0 \] \[H1 :P1 - P2 \neq0 \]

  1. ¿Cuál es la proporción muestral de hombres que destinan su tiempo libre a ver televi- sión? ¿Cuál es la proporción muestral de mujeres?
p1 = x1/n1
p2 = x2/n2
  1. Lleve a cabo la prueba de hipótesis y calcule el valor-p. ¿Cuál es la conclusión con 0.05 como nivel de significancia?
prop.test(x = c(x1,x2), n = c(n1,n2), alternative = "two.sided", conf.level = 0.95, correct = F)
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(x1, x2) out of c(n1, n2)
## X-squared = 4.1751, df = 1, p-value = 0.04102
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  0.002471715 0.097528285
## sample estimates:
## prop 1 prop 2 
##   0.31   0.26

dado que se rechaza la hipotesis nula, se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, La cantidad de hombres que ven television en su tiempo libre es diferente a la cantidad de mujeres.

  1. ¿Cuál es el margen de error y la estimación por intervalo de 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones poblacionales?

Margen de error

me = 1.96*(sqrt((((248/800)*(552/800))/800)+((156/600)*(544/800)/600)))
me
## [1] 0.04646654

la estimación por intervalo de 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones poblacionales es \((0.002471715,0.097528285)\)

\[EJERCICIO-44\]

  1. Use α 􏰂 0.05. Haga una prueba para determinar si la razón de reclamaciones es diferen- te entre asegurados solteros y casados.

\[ H0: Solteros(s) = Casados (c) \] \[ H1: Solteros(s) \neq Casados(c)\]

alpha = 0.05
prop.test(x = c(s,c),n = c(ns,nc),alternative = "two.sided", conf.level = 1 - alpha, correct = F)
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(s, c) out of c(ns, nc)
## X-squared = 20.138, df = 1, p-value = 7.206e-06
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  0.0468474 0.1331526
## sample estimates:
## prop 1 prop 2 
##   0.19   0.10

dado que se rechaza la hipotesis nula, se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, La cantidad de solteros que utilizan el seguro es la misma cantidad de casados que utilizan el seguro.

  1. Proporcione un intervalo de 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones de las dos poblaciones.

con un 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones de las dos poblaciones es \((0.0468474,0.1331526)\)

\(EJERCICIO-45\)

\[ H0: NewJersey(nj) = Texas (t) \] \[ H0: NewJersey(nj) \neq Texas (t) \]

a ) ¿Estos datos indican que existe una diferencia esta- dísticamente significativa entre la proporción de casos resistentes en estos dos estados? Utilice 0.02 como nivel de significancia. ¿Cuál es el valor-p y cuál es la conclusión a que se llega?

alpha = 0.02
prop.test(x = c(nj,t),n = c(nnj,nt),alternative = "two.sided", conf.level = 1 - alpha, correct = F)
## Warning in prop.test(x = c(nj, t), n = c(nnj, nt), alternative = "two.sided", :
## Chi-squared approximation may be incorrect
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(nj, t) out of c(nnj, nt)
## X-squared = 5.6293, df = 1, p-value = 0.01766
## alternative hypothesis: two.sided
## 98 percent confidence interval:
##  -0.006581066  0.096028196
## sample estimates:
##     prop 1     prop 2 
## 0.06338028 0.01865672

\[ Valor-p = 0.01766 \]

dado que se rechaza la hipotesis nula, se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio, hay diferencia significativa entre la proporción de casos resistentes en estos dos estados.

\[EJERCICIO-46\]

  1. Estime la proporción de unidades alquiladas durante la primera semana de marzo de 2007 y la primera semana de marzo de 2008.

  2. Proporcione un intervalo de 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones.

\[H0 : 2007 \leq 2008\] \[H1 : 2007 > 2008\]

Un intervalo con el 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones es \([0.1704751,1]\)

  1. Con base en sus hallazgos, ¿las tasas de alquiler de marzo de 2008 parecen haber aumentado con respecto a las del año anterior?

dado que se rechaza la hipotesis nula, se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio,las tasas de alquiler de marzo de 2008 parecen haber aumentado con respecto a las del año anterior

\[CASO-PARTICULAR\]

1.Formule y justifi que una prueba de hipótesis que le sirva a Par para comparar las distancias de recorrido de la pelota actual y de la nueva pelota.

\[H0: MU-CURRENT \geq MU-NEW\] \[H1: MU-CURRENT < MU-NEW\]

  1. Analice los datos para formular la conclusión de la prueba de hipótesis. ¿Cuál es el valor-p de la prueba? ¿Qué le recomendaría a Par, Inc.?
attach(Golf)

alpha = 0.05
var.test(Current,New,ratio = 1, alternative = "less", conf.level = 1 - alpha)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  Current and New
## F = 0.78219, num df = 39, denom df = 39, p-value = 0.2233
## alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.00000 1.33322
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.7821924
t.test(x = Current, y = New, alternative = "less", mu = 0, paired = F, var.equal = T,conf.level = 1 - alpha)
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  Current and New
## t = 1.3284, df = 78, p-value = 0.906
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 6.252467
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##   270.275   267.500

\[Valor-p = 0.906\]

dado que se rechaza la hipotesis nula, se concluye que hay suficiente evidencia estadistica en la muestra para establacer que, en promedio,la distancia de la nueva pelota es superior a la vieja.

4.¿Cuál es el intervalo de 95% de confi anza para la media poblacional de la distancia de recorrido de cada modelo, y cuál para la diferencia entre las medias de las dos poblaciones?

el intervalo del 95% de confianza para la media poblacional de la distancia de recorrido de cada modelo es \[[-Inf,6.252467]\]

  1. ¿Ve usted que haya necesidad de tomar muestras más grandes y de efectuar más pruebas con las pelotas de golf? Analícelo.

Con una mayor población podriamos generar un intervalo de confianza con un rango menor y mayor precision