- Un consultor que habitualmente evalúa un proceso de producción reporta el número de defectos importantes encontrados en cada artículo examinado. Sea \(X\) el número de defectos importantes en un artículo seleccionado al azar. Se sabe que la función de distribución acumulada de \(X\) es: \[ F_X(x) = \begin{cases} 0.00 \,,\,\,\, x < 0; \\ 0.06 \,,\,\,\, 0 \leq x < 1; \\ 0.19 \,,\,\,\, 1 \leq x < 2; \\ 0.39 \,,\,\,\, 2 \leq x < 3; \\ 0.67 \,,\,\,\, 3 \leq x < 4; \\ 0.92 \,,\,\,\, 4 \leq x < 5; \\ 0.97 \,,\,\,\, 5 \leq x < 6; \\ 1.00 \,,\,\,\, 6 \leq x ; \\ \end{cases} \]
- Obtener la función de masa de probabilidad \(f_X(x)\).
El recorrido de \(X\) es \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\). Además, teniendo en cuenta que \(f_X(x) = F_X(x) - F_X(x^-)\), donde \(x^-\) es el valor de la variable inmediatamente anterior a \(x\), se tiene que \[\begin{align} f_X(0) &= F_X(0) = 0.06 \\ f_X(1) &= F_X(1) - F_X(0) = 0.19-0.06 = 0.13\\ f_X(2) &= F_X(2) - F_X(1) = 0.39-0.19 = 0.20\\ f_X(3) &= F_X(3) - F_X(2) = 0.67-0.39 = 0.28\\ f_X(4) &= F_X(4) - F_X(3) = 0.92-0.67 = 0.25\\ f_X(5) &= F_X(5) - F_X(4) = 0.97-0.92 = 0.05\\ f_X(6) &= F_X(6) - F_X(5) = 1.00-0.97 = 0.03\\ \end{align}\] Observe que, \[ \sum_k f_X(x_k) = f_X(0)+f_X(1)+\ldots+f_X(6) = 0.06+0.13+\ldots+0.03 = 1 \]
# f.m.p
fx <- c(0.06,0.13,0.20,0.28,0.25,0.05,0.03)
sum(fx)## [1] 1- Graficar \(f_X(x)\) y \(F_X(x)\).
A contiuación se presentan los gráficos correspondientes:
# recorrido de X
x <- 0:6
# f.m.p.
fx <- c(0.06,0.13,0.20,0.28,0.25,0.05,0.03)
# f.d.a.
Fx <- cumsum(fx)
# gráficos
par(mfrow = c(1,2))
# f.m.p
plot(x = x, y = fx, xlab = "x", ylab = "f(x)", pch = 16, col = "blue")
segments(x0 = x, y0 = 0, x1 = x, y1 = fx, lwd = 2, col = "blue")
# f.d.a.
plot(x = c(0, x), y = c(0, Fx), type = "s", xlab = "x", ylab = "F(x)", col = "blue", lwd = 2)
points(x, Fx, col = "blue", pch = 16)
- Calcular e interpretar \(Pr(X=2)\), \(Pr(X>3)\), \(P(2\leq X\leq 5)\).
\[ Pr(X=2) = f_X(2) = F_X(2) - F_X(1) = 0.39-0.19 = 0.20 \] \[ Pr(X>3) = 1 - Pr(X\leq 3) = 1 - F_X(3) = 1 - 0.67 = 0.33 \] \[ P(2\leq X\leq 5) = F_X(5)-F_X(1) = 0.97 - 0.19 = 0.78 \]
- Calcular e interpretar el valor esperado de \(X\).
Dado que \(X\) es una v.a.d., se tiene que \[ \mu_X = \sum_k x_k f_X(x_k) = 0*f_X(0) + 1*f_X(1)+\ldots+6*f_X(6) = 0*0.06+1*0.13+\ldots+6*0.03=2.8 \]
# recorrido de X
x <- 0:6
# f.m.p.
fx <- c(0.06,0.13,0.20,0.28,0.25,0.05,0.03)
# valor esperado
sum(x*fx)## [1] 2.8Por lo tanto, el número esperado (media) del número de defectos importantes en un artículo seleccionado al azar es 2.8.
- Calcular e interpretar el coeficiente de variación \(X\).
Primero, se calcula la varianza de \(X\), \[ \sigma^2_X = E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - 2.8^2 \] donde \[ E(X^2)=\sum_k x_k^2 f_X(x_k) = 0^2*f_X(0) + 1^2*f_X(1)+\ldots+6^2*f_X(6) = 0^2*0.06+1^2*0.13+\ldots+6^2*0.03=9.78 \] Por lo tanto, la varianza de \(X\) es \[ \sigma^2_X = E(X^2) - (E(X))^2 = 9.78 - 2.8^2 = 1.94. \] Así, el coeficiente de variación de \(X\) está dado por \[ CV(X)=100*\frac{\sqrt{\sigma^2_X}}{\mu_X}=49.74\% \] Como el coeficiente de variación de \(X\) es 49.74%, entonces la variabilidad del número de defectos importantes es alta respecto al valor esperado.
# recorrido de X
x <- 0:6
# f.m.p.
fx <- c(0.06,0.13,0.20,0.28,0.25,0.05,0.03)
# valor esperado
EX <- sum(x*fx)
EX## [1] 2.8# valor esperado de X^2
EX2 <- sum(x^2*fx)
EX2## [1] 9.78# varianza
VAR <- EX2 - EX^2
VAR## [1] 1.94# coeficiente de variacion
sqrt(VAR)/EX*100## [1] 49.74424- La variable aleatoria \(X\) que representa el pH del agua (medido en una escala continua) de un proceso experimental de limpieza tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: \[ f_X(x) = \begin{cases} k\,(7-x)^2 \,,\,\,\, 5 < x < 7; \\ 0 \,,\,\,\, \text{en otro caso}; \\ \end{cases} \]
- Demostrar que el valor de \(k\) para que \(f_X(x)\) sea una función de densidad de probabilidad auténtica es \(k=3/8=0.375\). Sugerencia: para que \(f_X(x)\) sea una función de densidad autentica se debe satisfacer que \(f_X(x)\geq 0\) y \(\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,\text{d}x = 1\).
Se tiene que la constante \(k\) es tal que \(k > 0\) dado que \((7-x)^2 > 0\) para todo \(x\in (5,7)\). Además, para que \(f_X(x)\) sea una f.d.p. auténtica se tiene que satisfacer que \(\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,\text{d}x = 1\). Por lo tanto, \[\begin{align*} \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,\text{d}x &= 1\\ \int_{5}^7 k\,(7-x)^2\,\text{d}x &= 1\\ k\,\int_{5}^7 (7-x)^2\,\text{d}x &= 1\\ k* \left(-\frac{(7-x)^3}{3}\Big|_5^7\right) &= 1\\ k*\left(\left[-\frac{(7-7)^3}{3}\right]-\left[-\frac{(7-5)^3}{3}\right]\right)&= 1\\ k*\left(0+\frac{8}{3}\right)&= 1\\ k&= \frac{3}{8} \end{align*}\] Así, la f.d.p. de \(X\) es \[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}\,(7-x)^2 \,,\,\,\, 5 < x < 7; \\ 0 \,,\,\,\, \text{en otro caso}; \\ \end{cases} \] b. Obtener una fórmula general para la función de distribución acumulada \(F_X(x)\).
Como \(X\) es una v.a.c., en este caso se tiene que para \(x\in(5,7)\), \[ F_X(x)=Pr(X\leq x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,\text{d}t = \int_{5}^x \frac{3}{8}\,(7-t)^2\,\text{d}t \] y así \[\begin{align*} F_X(x) &= \int_{5}^x \frac{3}{8}\,(7-t)^2\,\text{d}t \\ &=\frac{3}{8} \int_{5}^x \,(7-t)^2\,\text{d}t \\ &=\frac{3}{8} * -\frac{(7-t)^3}{3} \Big|_5^x \\ &=\frac{3}{8}*\left(\left[-\frac{(7-x)^3}{3}\right]-\left[-\frac{(7-5)^3}{3}\right]\right)\\ &=\frac{3}{8}*\left(-\frac{(7-x)^3}{3}+\frac{8}{3}\right)\\ &=-\frac{(7-x)^3}{8}+1\\ \end{align*}\] y por lo tanto, la f.d.a. es: \[ F_X(x) = \begin{cases} 0 \,,\,\,\, x \leq 5; \\ 1-\frac{1}{8}(7-x)^3 \,,\,\,\, 5 < x < 7; \\ 1 \,,\,\,\, x \geq 7; \\ \end{cases} \] c. Graficar \(f_X(x)\) y \(F_X(x)\).
A continuación se presentan los gráficos correspondientes en el recorrido \((5,7)\):
# f.d.p.
ff <- function(x) (3/8)*(7-x)^2
# f.d.a.
FF <- function(x) 1 - (1/8)*(7-x)^3
# grafico
par(mfrow = c(1,2))
# f.m.p
curve(expr = ff, from = 5, to = 7, col = "red", lwd = 2, main = "f.d.p.", ylab = "f(x)")
# f.d.a.
curve(expr = FF, from = 5, to = 7, col = "blue", lwd = 2, main = "f.d.a.", ylab = "F(x)")
- Calcular e interpretar \(Pr(X=6)\), \(Pr(X>6)\), \(P(5.5\leq X\leq 6.5)\).
\[ Pr(X=6) = \int_6^6 \frac{3}{8}\,(7-x)^2 \,\text{d}x = 0 \] \[ Pr(X>6) = 1-Pr(X\leq6)=1-F_X(6) = 1-\left[ 1-\frac{1}{8}(7-6)^3 \right] = \frac{1}{8} = 0.125 \] \[ P(5.5\leq X\leq 6.5) = F_X(6.5)-F_X(5.5) = \left[ 1-\frac{1}{8}(7-6.5)^3 \right] - \left[ 1-\frac{1}{8}(7-5.5)^3 \right] = \frac{1}{8}\left( 1.5^3-0.5^3 \right)=0.40625. \]
- Calcular e interpretar la mediana de \(X\).
Se necesita encontrar \(x\) tal que \(F_X(x) = 0.5\). Así, \[\begin{align*} F_X(x) &= 0.5\\ 1-\frac{1}{8}(7-x)^3 &= 0.5\\ \frac{1}{8}(7-x)^3 &= 0.5\\ (7-x) &= (8*0.5)^{\frac13}\\ x &= 7-(8*0.5)^{\frac13} \end{align*}\] Por lo tanto, \(x=5.41\), y así, el valor del pH del agua es de lo más 5.41 el 50% de las mediciones.
7-(8*0.5)^(1/3)## [1] 5.412599- Calcular e interpretar el valor esperado de \(X\).
Como \(X\) es una v.a.c., entonces \[ \mu_X=\int_{-\infty}^\infty x f_X(x)\,\text{d}x=\int_{5}^7 x * \frac{3}{8}\,(7-x)^2 \,\text{d}x = 5.5 \]
Por lo tanto, el valor esperado (media) del pH del agua es 5.5.
f <- function(x) x*(3/8)*(7-x)^2
integrate(f, lower = 5, upper = 7)## 5.5 with absolute error < 6.1e-14- Calcular e interpretar el coeficiente de variación \(X\).
Primero, se calcula la varianza de \(X\), \[ \sigma^2_X = E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - 5.5^2 \] donde \[ E(X^2)=\int_{-\infty}^\infty x^2 f_X(x_k)\,\text{d}x = \int_{5}^7 x^2 * \frac{3}{8}\,(7-x)^2\,\text{d}x = 30.4 \] Por lo tanto, la varianza de \(X\) es \[ \sigma^2_X = E(X^2) - (E(X))^2 = 30.4 - 5.5^2 = 0.15. \] Así, el coeficiente de variación de \(X\) está dado por \[ CV(X)=100*\frac{\sqrt{\sigma^2_X}}{\mu_X}=7.04\% \] Como el coeficiente de variación de \(X\) es 7.04%, entonces la variabilidad del pH del agua es moderada respecto al valor esperado.
# recorrido de X
# f.m.p.
f <- function(x) x^2*(3/8)*(7-x)^2
integrate(f, lower = 5, upper = 7)## 30.4 with absolute error < 3.4e-13# valor esperado
EX <- 5.5
EX## [1] 5.5# valor esperado de X^2
EX2 <- 30.4
EX2## [1] 30.4# varianza
VAR <- EX2 - EX^2
VAR## [1] 0.15# coeficiente de variacion
sqrt(VAR)/EX*100## [1] 7.041788- Debido a un error de calibración del instrumento de medición todos los valores de la variable \(X\) se deben disminuir 10%. Calcular nuevamente el valor esperado y el coeficente de variación.
Sea \(Y\) la v.a. que represeta la variable \(X\) disminuida 10%, es decir, \(Y=X-0.1X=0.9X\). Así, se tiene que: \[ E(Y) = E(0.9*X)=0.9*E(X)=0.9*5.5=4.95 \] y \[ CV(Y)=\frac{\sqrt{Var(Y)}}{E(Y)}=\frac{\sqrt{Var(0.9*X)}}{E(0.9*X)} = \frac{\sqrt{0.9^2*Var(X)}}{0.9*E(X)} = \frac{0.9*\sqrt{Var(X)}}{0.9*E(X)} = CV(X)=7.04\% \]
- El porcentaje de individuos de una ciudad a favor de una medida económica es una variable aleatoria (v.a.) \(X\) con la siguiente función de densidad de probabilidad (f.d.p.): \[ f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \theta x^{\theta-1},& \hbox{si $0<x<1$;} \\ 0, & \hbox{en otro caso,} \end{array} \right. \] donde \(\theta > 0\) es el parámetro que controla la f.d.p. de \(X\).
- ¿Cuál es la variable de estudio \(X\)? ¿Cuál es el rango de \(X\)?
La variable aleatoria de estudio \(X\) es “el porcentaje de individuos de una ciudad a favor de una medida económica”. Además, el rango de \(X\) es \((0,1)\).
- Demostrar que \(f_X(x)\) es una f.d.p. válida.
Dado que \(\theta>0\) entonces \(\theta x^{\theta-1}\) para todo \(x\) en \((0,1)\). Además, se tiene que \(\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1\) dado que: \[ \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{0}^1 \theta x^{\theta-1} dx = x^\theta \Big|_{0}^= 1^\theta - 0^\theta = 1 - 0 = 1. \] c. Graficar la f.d.p. de \(X\) para \(\theta\in\{1/3, 1/2, 1, 2, 3\}\).
f <- function(x, theta) theta*x^(theta-1)
curve(expr = f(x, theta = 1/3), from = 0, to = 1, xlab = "x", ylab = "f(x)", main = "", col = 1)
curve(expr = f(x, theta = 1/2), col = 2, add = T)
curve(expr = f(x, theta = 1), col = 3, add = T)
curve(expr = f(x, theta = 2), col = 4, add = T)
curve(expr = f(x, theta = 3), col = 5, add = T)
legend("topright", legend = c("1/3","1/2","1","2","3"), col = 1:5, fill = 1:5, border = 1:5, bty = "n")
- Encontrar una expresión general para el valor esperado de \(X\).
\[ E(X) = \int_0^1 x*\theta x^{\theta-1}dx = \int_0^1 \theta x^{\theta} = \theta\frac{x^{\theta+1}}{\theta+1}\Big|_0^1= \frac{\theta}{\theta+1} \] e. Encontrar una expresión general para la varianza de \(X\). \[ Var(X) = E(X^2) - E(X)^2 = E(X^2) - \left[ \frac{\theta}{\theta+1} \right]^2 \] Además, \[ E(X^2) = \int_0^1 x^2*\theta x^{\theta-1}dx = \int_0^1 \theta x^{\theta+1}dx = \theta\frac{x^{\theta+2}}{\theta+2}\Big|_0^1= \frac{\theta}{\theta+2} \] Por lo tanto, \[ Var(X) = \left[ \frac{\theta}{\theta+2} \right] - \left[ \frac{\theta}{\theta+1} \right]^2 = \frac{\theta}{(\theta+1)^2(\theta+2)} \]
- Encontrar una expresión general para el coeficiente de variación de \(X\).
\[ CV(X) = \Big|\frac{\sigma_X}{\mu_X} \Big | = \frac{\sqrt{ \frac{\theta}{(\theta+1)^2(\theta+2)} }}{ \frac{\theta}{\theta+1} } = \frac{1}{\sqrt{\theta(\theta+2)}} \]
- Encontrar una expresión general para la función de distribución acumulada (f.d.a.).
\[ F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u)du = \int_{0}^x \theta u^{\theta-1} du = u^{\theta}\Big|_{u=0}^{u=x} = x^\theta \]
Por lo tanto, \[ f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{si $x \leq 0$} \\ x^{\theta}, & \hbox{si $0<x<1$;} \\ 1, & \hbox{si $x \geq 1$} \end{array} \right. \]
- Encontrar una expresión general para la mediana de \(X\).
La mediana \(\pi_{50}\) es tal que \(F_X(\pi_{50}) = 0.5\) y por lo tanto \[ \pi_{50}^\theta = 0.5 \] de donde \(\pi_{50} = 0.5^{1/\theta}\).