1. Un consultor que habitualmente evalúa un proceso de producción reporta el número de defectos importantes encontrados en cada artículo examinado. Sea \(X\) el número de defectos importantes en un artículo seleccionado al azar. Se sabe que la función de distribución acumulada de \(X\) es: \[ F_X(x) = \begin{cases} 0.00 \,,\,\,\, x < 0; \\ 0.06 \,,\,\,\, 0 \leq x < 1; \\ 0.19 \,,\,\,\, 1 \leq x < 2; \\ 0.39 \,,\,\,\, 2 \leq x < 3; \\ 0.67 \,,\,\,\, 3 \leq x < 4; \\ 0.92 \,,\,\,\, 4 \leq x < 5; \\ 0.97 \,,\,\,\, 5 \leq x < 6; \\ 1.00 \,,\,\,\, 6 \leq x ; \\ \end{cases} \]
  1. Obtener la función de masa de probabilidad \(f_X(x)\).
  2. Graficar \(f_X(x)\) y \(F_X(x)\).
  3. Calcular e interpretar \(P(X=2)\), \(P(X>3)\), \(P(2\leq X\leq 5)\).
  4. Calcular e interpretar el valor esperado de \(X\).
  5. Calcular e interpretar el coeficiente de variación \(X\).
  1. La variable aleatoria \(X\) que representa el pH del agua (medido en una escala continua) de un proceso experimental de limpieza tiene la siguiente función de densidad de probabilidad: \[ f_X(x) = \begin{cases} k\,(7-x)^2 \,,\,\,\, 5 < x < 7; \\ 0 \,,\,\,\, \text{en otro caso}; \\ \end{cases} \]
  1. Demostrar que el valor de \(k\) para que \(f_X(x)\) sea una función de densidad de probabilidad auténtica es \(k=3/8=0.375\).
  2. Obtener una fórmula general para la función de distribución acumulada \(F_X(x)\).
  3. Graficar \(f_X(x)\) y \(F_X(x)\).
  4. Calcular e interpretar \(P(X=6)\), \(P(X>6)\), \(P(5.5\leq X\leq 6.5)\).
  5. Calcular e interpretar la mediana de \(X\).
  6. Calcular e interpretar el valor esperado de \(X\).
  7. Calcular e interpretar el coeficiente de variación \(X\).
  8. Debido a un error de calibración del instrumento de medición todos los valores de la variable \(X\) se deben disminuir 10%. Calcular nuevamente el valor esperado y el coeficente de variación.
  1. El porcentaje de individuos de una ciudad a favor de una medida económica es una variable aleatoria (v.a.) \(X\) con la siguiente función de densidad de probabilidad (f.d.p.): \[ f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \theta x^{\theta-1},& \hbox{si $0<x<1$;} \\ 0, & \hbox{en otro caso,} \end{array} \right. \] donde \(\theta > 0\) es el parámetro que controla la f.d.p. de \(X\).
  1. ¿Cuál es la variable de estudio \(X\)? ¿Cuál es el rango de \(X\)?
  2. Demostrar que \(f_X(x)\) es una f.d.p. válida.
  3. Graficar la f.d.p. de \(X\) para \(\theta\in\{1/3, 1/2, 1, 2, 3\}\).
  4. Encontrar una expresión general para el valor esperado de \(X\).
  5. Encontrar una expresión general para la varianza de \(X\).
  6. Encontrar una expresión general para el coeficiente de variación de \(X\).
  7. Encontrar una expresión general para la función de distribución acumulada (f.d.a.).
  8. Encontrar una expresión general para la mediana de \(X\).