- Sea \(\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9\}\) el espacio muestral correspondiente a un experimento
aleatorio dado y \[
A = \{0, 1, 2, 3\},\,\, B = \{4, 5, 6, 7\}, \,\, C = \{2, 4, 6\},
\,\, \,\, D = \{1, 8, 9\}.
\] eventos incluidos en \(\Omega\). Listar los elementos de los
conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:
- \((A^C \cup D)^C =\{1, 4, 5, 6, 7, 8,
9\}^C = \{0,2,3\}\).
- \(B \cap C^C = \{4, 5, 6, 7\} \cap
\{0,1,3,5,7,8,9\} = \{5,7\}\) .
- \((D^C \cap A)^C \cup C = D \cup A^C\cup C
= \{1, 8, 9\}\cup\{4,5,6,7,8,9\}\cup\{2, 4,
6\}=\{1,2,4,5,6,7,8,9\}\).
- \((\Omega ^C \cap B)^C = \Omega\cup B^C =
\Omega\).
- \(B \cap C \cap D^C =\{4, 5, 6,
7\}\cap\{2,4,6\}\cap\{2,3,4,5,6,7\} = \{4,6\}\).
- Los estudiantes de un curso de estadística se clasifican como
estudiantes de administración, economía o ingeniería; como repitente o
no repitente y también como hombre o mujer. Encuentre el número total de
clasificaciones posibles para los estudiantes de este curso.
Aplicando directamente el principio fundamental del conteo, el número
total de clasificaciones es: \[
3*2*2 = 12.
\]
- Siete personas se quieren organizar en una fila.
- ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo? Este es una
permutación sin repetición, y por lo tanto la cantidad pedida es: \[
P^7_7 = \frac{7!}{(7-7)!} = 5040.
\]
factorial(7)
## [1] 5040
- ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo si una de ellas no
debe estar al comienzo de la fila? En este caso se aplica el principio
fundamental del conteo junto con una permutación sin repetición, y por
lo tanto la cantidad pedida es: \[
6*P^6_6 = 6*\frac{6!}{(6-6)!} = 4320.
\]
6*factorial(6)
## [1] 4320
- Una caja contiene siete fichas rojas, seis blancas y cuatro azules.
¿Cuántas selecciones de tres fichas se pueden formar si:
- las tres deben ser rojas? El número total de fichas es \(7+6+4=17\). Aplicando el principio
fundamental del conteo junto con combinaciones, se tiene que la cantidad
pedida es: \[
{7 \choose 3}*{6 \choose 0}*{4 \choose 0} = 35
\]
choose(7,3)
## [1] 35
Observe que \({6 \choose 0} = {4 \choose 0}
= 1\).
- ninguna puede ser blanca? Usando la misma metodología, se tiene que
la cantidad pedida es: \[
{7 \choose 3}*{6 \choose 0}*{4 \choose 0}+{7 \choose 2}*{6 \choose 0}*{4
\choose 1}+{7 \choose 1}*{6 \choose 0}*{4 \choose 2}+{7 \choose 0}*{6
\choose 0}*{4 \choose 3} = 165
\]
choose(7,3) + choose(7,2)*choose(4,1) + choose(7,1)*choose(4,2) + choose(4,3)
## [1] 165
- las tres deben ser del mismo color? Usando la misma metodología, se
tiene que la cantidad pedida es: \[
{7 \choose 3}*{6 \choose 0}*{4 \choose 0}+{7 \choose 0}*{6 \choose 3}*{4
\choose 0}+{7 \choose 0}*{6 \choose 0}*{4 \choose 3} = 59.
\]
choose(7,3) + choose(6,3) + choose(4,3)
## [1] 59
- las tres son de colores diferentes? Usando la misma metodología, se
tiene que la cantidad pedida es: \[
{7 \choose 1}*{6 \choose 1}*{4 \choose 1} = 168.
\]
choose(7,1)*choose(6,1)*choose(4,1)
## [1] 168
- Un director de personal tiene ocho candidatos para cubrir cuatro
puestos. De éstos, cinco son hombres y tres, mujeres. Si, de hecho, toda
combinación de candidatos tiene la misma probabilidad de ser elegido que
cualquier otra, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna mujer sea
contratada?
Aplicando el principio fundamental del conteo junto con
combinaciones, y calculando la probabilidad desde el punto de vista
Laplaceano, se tiene que la probabilidad pedida es: \[
\frac{{5 \choose 4}*{3 \choose 0}}{{8 \choose 4}} = 7.14\%.
\]
choose(5,4)/choose(8,4)
## [1] 0.07142857
- ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0,
1, 2, 3, 4, 5 y 6 si puede haber repeticiones? ¿Cuántos son pares?
¿Cuántos son mayores que 330?
- Si puede haber repeticiones: \(6*7^2=294\) (omitiendo los números que
inicien con 0).
6*7^2
## [1] 294
- De estos números de tres cifras, son pares: \(6*7*4=168.\)
6*7*4
## [1] 168
- De estos número de tres cifras, son mayores que 330: \(1*1*6 + 1*3*7 + 3*7*7 = 174.\)
1*1*6 + 1*3*7 + 3*7*7
## [1] 174
- Un comité de doce personas será elegido entre diez hombres y diez
mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección si:
no hay restricciones? Dado que se trata de un grupo de
individuos, sin orden y sin repetición, es preciso usar una combinación
como sigue: \[
{20 \choose 12}
\]
debe de haber seis hombres y seis mujeres? Aplicando el principio
fundamental del conteo junto con combinaciones, se tiene que la cantidad
pedida es: \[
{10 \choose 6}*{10 \choose 6}
\]
debe de haber un número par de mujeres? Usando la misma
metodología, se tiene que la cantidad pedida es: \[
{10 \choose 10}*{10 \choose 2} + {10 \choose 8}*{10 \choose 4} + {10
\choose 6}*{10 \choose 6} + {10 \choose 4}*{10 \choose 8} + {10 \choose
2}*{10 \choose 10}
\]
debe de haber más mujeres que hombres? Usando la misma
metodología, se tiene que la cantidad pedida es: \[
{10 \choose 2}*{10 \choose 10} + {10 \choose 3}*{10 \choose 9} + {10
\choose 4}*{10 \choose 8} + {10 \choose 5}*{10 \choose 7}
\]
debe de haber al menos ocho hombres? Usando la misma metodología,
se tiene que la cantidad pedida es: \[
{10 \choose 8}*{10 \choose 4} + {10 \choose 9}*{10 \choose 3} + {10
\choose 10}*{10 \choose 2}
\]
¿De cuántas formas diferentes pueden contestarse nueve preguntas
de verdadero o falso? Aplicando el principio fundamental del conteo
directamente se tiene que la cantidad pedida es \(2^9\).
Un estudiante debe responder siete de diez preguntas de un
examen. ¿De cuántas formas puede hacer su selección si
no hay restricciones? En este caso, no importa el orden de las
preguntas no es determinante y no hay repetición de preguntas. Por lo
tanto, aplicando combinaciones se tiene que la cantidad pedida es: \[
10\choose7
\]
debe contestar las dos primeras preguntas? Aplicando el principio
fundamental del conteo junto con combinaciones, se tiene que la cantidad
pedida es: \[
1*1* {8\choose5}
\]
debe contestar al menos cuatro de las primeras seis preguntas?
\[
{6\choose4}*{4\choose 3} + {6\choose5}*{4\choose 2} +
{6\choose6}*{4\choose 1}
\]
- El número de permutaciones de un conjunto de \(n\) objetos repartidos en varias categorías
es igual a \[
\dbinom{n}{n_1,n_2,\ldots,n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots n_k!}
\] donde \(n_i\) es la cantidad
de elementos del \(i\)-ésimo tipo para
\(i=1,\ldots,k\) con \(n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n\). La fórmula
anterior se obtiene teniendo en cuenta que los elementos de la \(i\)-ésima categoría no se pueden
diferenciar entre sí, por lo que hay \(n_i!\) permutaciones de estos elementos que
hacen alusión al mismo arreglo puesto que pertenecen a la misma
categoría. Por consiguiente, es necesario descontar todas las
permutaciones repetidas de los elementos de cada categoría que se
encuentran enumeradas en la cantidad \(n!\).
¿Cuántas palabras distintas –con o sin sentido– se pueden formar
con las letras de la palabra “estadística”? Aplicando permutaciones de
objetos repartidos en categorias, se tiene que la cantidad pedida es:
\[
\dbinom{11}{1,2,2,2,1,2,1} = \frac{11!}{1!*2!*2!*2!*1!*2!*1!}
\]
En una clase de biología molecular tienen la siguiente secuencia
de ADN: “ATGCAAATCCATCCCG”. Para que los alumnos de la clase comprendan
por qué es necesario el uso de métodos computacionales intensivos se les
pregunta: ¿cuántas posibles secuencias del mismo tamaño que la anterior
es posible encontrar usando las mismas bases nitrogenadas que se tienen
en el ejemplo? \[
\dbinom{16}{5,3,2,6} = \frac{16!}{5!*3!*2!*6!}
\]
- Una entidad educativa ha propuesto tres proyectos para la mejora de
la educación en una región del país. Para \(i
= 1, 2, 3\), se define \(A_i\)
como el evento que representa “el proyecto \(i\) fue aceptado”. Un experto indica que
\(\textsf{Pr}(A_1) = 0.30\), \(\textsf{Pr}(A_2) = 0.22\), \(\textsf{Pr}(A_3) = 0.35\), \(\textsf{Pr}(A_1 \cap A_2) = 0.08\), \(\textsf{Pr}(A_1 \cap A_3) = 0.09\), \(\textsf{Pr}(A_2 \cap A_3) = 0.06\), \(\textsf{Pr}(A_1 \cap A_2 \cap A_3) =
0.02\). Expresar verbalmente y determinar la probabilidad de que
ocurra cada uno de los siguientes eventos:
\(A_1 \cup A_2\). El proyecto 1
o el proyecto 2 fue aceptado: \[
P(A_1 \cup A_2) = P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2) = 0.30+0.22-0.08=0.44.
\]
\(A_1^C \cap A_2^C\). El
proyecto 1 y el proyecto 2 no fueron aceptados. \[
P(A_1^C \cap A_2^C) = P((A_1\cup A_2)^C) = 1 - P(A_1\cup A_2) = 1 - 0.44
= 0.56.
\]
\(A_1 \cup A_2 \cup A_3\).
Alguno de los proyectos fue aceptado. \[
P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1)+ P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap
A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3) =
0.30+0.22+0.35-0.08-0.09-0.06+0.02 = 0.66.
\]
\(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3^C\).
Ninguno de los proyectos fue aceptado. \[
P(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3^C) = P((A_1\cup A_2\cup A_3)^C) =
1-P(A_1\cup A_2\cup A_3) = 1-0.66 = 0.34.
\]
\(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3\).
El proyecto 3 fue aceptado pero los proyectos 1 y 2 no. \[\begin{align*}
P(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3) &= P(A_3\cap (A_1\cup A_2)^C) = P(A_3 -
(A_1\cup A_2))\\
&= P(A_3) - P(A_3\cap(A_1\cup A_2))\\
&= P(A_3) - P((A_1\cap A_3)\cup (A_2\cap A_3))\\
&= P(A_3)-(P(A_1\cap A_3)+ P(A_2\cap A_3) - P(A_1\cap A_2 \cap
A_3))\\
&= 0.35 - (0.09+0.06-0.02) = 0.22
\end{align*}\]
\(\left(A_1^C \cap A_2^C\right) \cup
A_3\). Los proyectos 1 o 2 no fueron aceptados o el proyecto 3
sí. \[\begin{align*}
P((A_1^C \cap A_2^C) \cup A_3) &= P((A_1 \cup A_2)^C \cup A_3)\\
&=P((A_1 \cup A_2)^C) + P(A_3) - P((A_1 \cup A_2)^C\cap A_3)\\
&=(1-P(A_1 \cup A_2)) + P(A_3) - P(A_1^C \cap A_2^C \cap A_3)\\
&=(1-0.44)+0.35-0.22 = 0.69.
\end{align*}\]

- La tabla que se muestra a continuación muestra la proporción de
adultos de áreas no metropolitanas, clasificados como lectores o no
lectores de un periódico particular y si votaron o no en las elecciones
pasadas.
Sí |
0.63 |
0.13 |
No |
0.14 |
0.10 |
Calcular la probabilidad de que un individuo escogido al azar: i.
Ejerza su derecho al voto. ii. Lea el periódico. iii. Ejerza su derecho
al voto y lea el periódico. iv. Ejerza su derecho al voto o lea el
periódico. v. Lea el periódico pero no ejerza su derecho al voto. vi. No
ejerza su derecho al voto y no lea el periódico. vii. No ejerza su
derecho al voto si este era uno de los lectores.
Se definen los siguientes eventos: \(S
=\) “el individuo sí vota”, \(N
=\) “el individuo no vota”, \(L
=\) “el individuo sí es lector”, \(M
=\) “el individuo no es lector”.
- \(P(S) = 0.63 + 0.13 = 0.76\).
- \(P(L)= 0.63 + 0.14 = 0.77\).
- \(P(S\cap L) = 0.63\).
- \(P(S \cup L) = P(S) + P(L) - P(S\cap L)
=0.76+0.77-0.63 =0.9\).
- \(P(L-N) = P(L)-P(L\cap N) = 0.77-0.14 =
0.63\).
- \(P(N \cap M) = 0.10\).
- \(P(N \mid L) = P(N\cap L)/P(L) =
0.14/0.77 = 0.18189\).
- Un sistema contiene dos componentes, \(A\) y \(B\). El sistema sólo funcionará si ambos
funcionan. La probabilidad de que \(A\)
funcione es 0.98, que \(B\) funcione es
0.95 y que \(A\) o \(B\) funcionen es 0.99. ¿Cuál es la
probabilidad de que el sistema funcione?
Dado que \[
P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)
\] se tiene que \[
P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) = 0.98+0.95-0.99 = 0.94.
\]
- El cuerpo humano puede contener uno o dos antígenos, A y B. A la
sangre que contiene sólo el antígeno A se le denomina tipo A, a la que
contiene sólo el B se le conoce como tipo B, a la que contiene a ambos
se le llama tipo AB y a la sangre que no contiene ninguno se le denomina
tipo O. En un banco de sangre, 35% de los donantes de sangre tiene el
tipo de sangre A, 10% el tipo B y 5% el tipo AB.
¿Cuál es la probabilidad que se elija aleatoriamente a un donante
de sangre de tipo O? \[
P(A^C\cap B^C) = P((A\cup B)^C) = 1 - P(A\cup B) = 1-(P(A\cap B
^C)+P(B\cap A^C)+P(A\cap B)) = 1 - (0.35+0.10+0.05) = 0.5.
\]
Un receptor con sangre tipo A puede recibir sin ningún peligro de
un donante sangre que no tenga el antígeno B. ¿Cuál es la probabilidad
de que un donante elegido aleatoriamente pueda donar al receptor con
sangre tipo A? \[
P(B^C) = 1 - P(B) = = 1 - (P(B\cap A^C) + P(A\cap B)) = 1-(0.1+0.05) =
0.85.
\]
- De un estudio realizado en una universidad, se sabe que el 35% de
los estudiantes hacen deporte por lo menos una vez a la semana y que el
40% de los estudiantes tienen un promedio general superior a 4.0.
Además, el 30% de los que hacen deporte por lo menos una vez a la semana
tienen un promedio general superior a 4.0.
Se definen los eventos \(D =\) “el
estudiante hace deporte por lo menos una vez a la semana”, \(S =\) “el estudiante tiene un promedio
general superior a 4.0”. Se sabe que \(P(D) =
0.35\), \(P(S)=0.4\), y \(P(S\mid D)=0.3\).
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haga
deporte por lo menos una vez a la semana y tenga un promedio general
superior a 4.0? \[
P(D\cap S) = P(S\mid D)P(D) = 0.3*0.35 = 0.105.
\]
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que
tiene un promedio general superior a 4.0, haga deporte por lo menos una
vez a la semana? \[
P(D \mid S) = \frac{P(D\cap S)}{P(S)} = \frac{0.105}{0.4} = 0.2625.
\]
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haga
deporte por lo menos una vez a la semana o tenga una nota media superior
a 4.0? \[
P(D\cup S) = P(D) + P(S) - P(D\cap S) = 0.35+0.4-0.105 = 0.645.
\]
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar, que
no tiene un promedio general superior a 4.0, no haga deporte por lo
menos una vez a la semana? \[
P(D^C\mid S^C) = \frac{P(D^C\cap S^C)}{P(S^C)} = \frac{P((D\cup
S)^C)}{1-P(S)} = \frac{1-P(D\cup S)}{1-P(S)} = \frac{1-0.645}{1-0.4} =
0.59166.
\]
- ¿Son independientes los eventos “hace deporte por lo menos una vez a
la semana” y “tiene un promedio general superior a 4.0”? ¿Son mutuamente
excluyentes? Dado que \(P(S)=0.4 \neq P(S\mid
D)=0.3\) se concluye que los eventos \(S\) y \(D\) no son independientes. Además, dado que
\(P(D\cap S) \neq 0\) se concluye que
los eventos no son excluyentes.
- Un analista de bolsa examina las perspectivas de las acciones de un
gran número de compañías. Cuando se investigó el comportamiento de estas
acciones un año antes, se descubrió que el 15% experimentaron un
crecimiento superior al de la media, el 40% inferior y el 45% restante
se mantuvieron alrededor de la media. El 30% de los valores que
crecieron por encima de la media fueron clasificados como buenas
adquisiciones por el analista, al igual que el 15% de las que crecieron
alrededor de la media y el 20% de las que tuvieron un crecimiento
inferior. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor clasificado como
buena adquisición por el analista crezca por encima de la media del
mercado?
Se definen los eventos \(S =\) “la
acción experimenta un crecimiento superior al de la media”, \(I =\) “la acción experimenta un crecimiento
inferior al de la media”, y \(A =\) “la
acción experimenta un crecimiento alrededor de la media”, y \(B =\) “la acción es clasificada como buena
adquisición”. Se sabe que \(P(S) =
0.15\), \(P(A) = 0.45\), \(P(I) = 0.4\), y además que, \(P(B\mid S) = 0.3\), \(P(B\mid A) = 0.15\), y \(P(B\mid I) = 0.2\). Se pide calcular \[
P(S\mid B) = \frac{P(S\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\mid S)P(S)}{P(B\mid
S)P(S)+P(B\mid A)P(A)+P(B\mid I)P(I)} =
\frac{(0.3)(0.15)}{(0.3)(0.15)+(0.15)(0.45)+(0.2)(0.4)} = 0.23376.
\]
- Una empresa que debe decidir si adquiere un determinado paquete de
acciones, solicita un informe a tres asesores financieros para que se
pronuncien de forma favorable o desfavorable a la compra. Por
experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe que los tres
asesores tienen actitudes ante el riesgo diferente e independiente. Esta
situación se refleja en las probabilidades de aconsejar la compra de
este tipo de operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3. Con
esta información se pide calcular la probabilidad de que
Se definen los eventos \(A_i =\) “el
asesor \(i\) aconseja la compra, para
\(i=1,2,3\). Se tiene que \(P(A_1)=0.8\), \(P(A_2)=0.5\), y \(P(A_3)=0.3\). Además, como los eventos son
independientes, se tiene que \(P(A_i\cap A_j)
= P(A_i)P(A_j)\) para \(i\neq
j\) y \(P(A_1\cap A_2\cap A_3) =
P(A_1)P(A_2)P(A_3)\).
- al menos uno de ellos aconseje la compra. \[
P(A_1\cup A_2\cup A_3) = P(A_1)+ P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap
A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3) =
0.8+0.5+0.3-(0.8*0.5)-(0.8*0.3)-(0.5*0.3)+(0.8*0.5*0.3) = 0.93.
\]
- ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de acciones. \[
P(A_1^C\cap A_2^C\cap A_3^C) = P((A_1\cup A_2\cup A_3)^C) = 1 -
P(A_1\cup A_2\cup A_3) = 1 - 0.93 = 0.07.
\]