Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad,funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.
Desarrollar ejercicios relacionados con variables discretas para identificar variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.
Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.
Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 13 encontrados en la literatura que se encuentran en el caso 14.
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento [@anderson2008c].
Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.
El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma.[@anderson_estadistica_2008].
Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreta.
En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado [@lind_estadistica_2015].
En su libro [@walpole_probabilidad_2012] define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.
Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.
Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que \(0\). \[f(x) \geq 0\]
La suma de las probabilidad de todas las variables \(x\) debe ser igual a \(1\) o la suma de los valores de cada función de probabilidad con respecto a \(x\) debe ser \(1\) \[\sum _xf(x) = 1\]
La probabilidad de cada variable \(x\) es igual a la función de probabilidad con respeto a \(x\) \[P(X=x) = f(x)\] [@walpole_probabilidad_2012].
Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta \(X\) con distribución de probabilidad \(f(x)\) está dada por la suma de sus probabilidades de \(t\) siendo \(t\) menor o igual a \(x\). Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicial de \(x\). El valor final con respecto a valor final de \(x\) debe ser igual a 1. \[F(x)=P(X \le x) = \sum_{t \le x}f(t)\] [@walpole_probabilidad_2012].
La media de una distribución discreta es también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia [@lind_estadistica_2015]
La fórmula para el valor esperado es: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
La varianza de una distribución discreta constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta, describe el grado de dispersión (variación) en una distribución [@lind_estadistica_2015].
Su fórmula es: \[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]
La fórmula anterior significa:
La media se resta de cada valor de la variable aleatoria y la diferencia se eleva al cuadrado.
Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
Se suman los productos resultantes para obtener la varianza.
La desviación estándar, \(\alpha\), se determina al extraer la raíz cuadrada positiva de \(\alpha^2\); es decir, \(\alpha = \sqrt{\alpha^2}\) [@lind_estadistica_2015].
{r warning=FALSE, message=FALSE} library(ggplot2) library(stringr) # String library(stringi) # String library(gtools) library(dplyr) library(knitr) library(kableExtra) options(scipen = 999) # Notación normal
Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere cincuenta billetes. [@course_hero_variables_nodate].
discretas <- c(0,1) # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000 # sum(casos)
casos <- c(4950,50)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum xP(x)\]
# VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE <- sum(tabla$x.f.prob.x)
VEEl valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo
de 5000 boletos r VE
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
#tabla
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2P(x)\]
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianzaLa raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.stdtabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")Un vendedor llamado John Rasgdale vende la mayor cantidad de automóviles el sábado, así que desarrolló la siguiente distribución de probabilidades, en la cual se muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.
La variable discreta venta de automóviles: \(0,1,2,3,4\) el sábado. Los valores de la probabilidad son : \(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1\), previamente definidos.
Ya se dan las probabilidades de tal forma que la cantidad de casos no se dispone en este ejercicio.
¿De qué tipo de distribución se trata?, variables discretas
¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?
¿Cuál es la varianza de la distribución? [@lind_estadistica_2015].
discretas <- 0:4
casos <- rep(0, 5)
probabilidades <- c(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1)
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado (sin número de casos)")¿Cuál es la probabilidad de que se vendan DOS automóviles, es decir \(f(x=2)\) ó \(P(x=2)\)?, 30%
filter(tabla, x == 2 ) %>%
select(x, f.prob.x)¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MENOS DE DOS automóviles, es decir \(f(x< 2)\) ó \(P(x<2)\) ? 30%
\[ \sum P(x=0) + P(x=1) \]
filter(tabla, x < 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MAS DE DOS automóviles, es decir \(f(x> 2)\) ó \(P(x>2)\) ? 40%
\[ \sum P(x=3) + P(x=4) \text{ ó } \]
\[ 1 - \sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) \]
filter(tabla, x > 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VEEl valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza (sin número de casos)")\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianzaLa raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.stdtabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes son igualmente calificados y que no hay preferencia para elegir su género al igual que no importa el orden de género de hombres y mujeres (combinaciones).
Sea \(x\) la variable aleatoria discreta al número de mujeres elegidas para ocupar los dos puestos de trabajo. Encuentre las probabilidades para elegir 0 mujeres, 1 mujer o 2 mujeres. [@mendenhall_introduccion_2010].
Haciendo las combinaciones en donde \(M = Mujer \text{ y }H = Hombre\)
personas <- c("H1", "H2", "H3", "M1", "M2")
S.espacio.muestral <- combinations(n = 5, r = 2, v=personas)
S.espacio.muestral De acuerdo al espacio muestral \(n\) con diez elementos, ¿en cúantas ocasiones hay cero mujeres?, ¿en cuántas ocasiones hay una mujer? y en cuántas ocasiones hay dos mujeres?
discretas <- c(0, 1, 2)
casos <- c(3, 6, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nacumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")¿Cuál es la probabilidad de que haya UNA MUJER?, es decir \(P(X=1)\) ó \(f(x=1)\) ? 60%
filter(tabla, x == 1 ) %>%
select(x, f.prob.x)¿Cuál es la probabilidad de que haya MENOS DE DOS MUJERES?, es decir \(P(x=0) + P(x=1)\) ó \(f(x<2)\) ? 90%
filter(tabla, x < 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)¿Cuál es la probabilidad de que haya MAS DE 1 MUJER O SEA DOS?, es decir \(P(x=2)\) ó \(f(x>1)\) ? 10%
filter(tabla, x > 1 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")Calculando la varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.stdtabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")En la siguiente tabla se presenta la distribución del número de hijos de un grupo de 100 parejas (humanos): Ejercicio extraído de: [@web_descartes_estadistica_2018].
variable aleatoria x No hijos |
cantidad de parejas |
|---|---|
| 0 | 15 |
| 1 | 40 |
| 2 | 23 |
| 3 | 10 |
| 4 | 7 |
| 5 | 4 |
| 6 | 1 |
| Total parejas encuestadas | 100 |
discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
casos <- c(15, 40, 23, 10, 7, 4, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nacumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")¿Cuál es la probabilidad de encontrar aletoriamente parejas con TRES HIJOS, es decir, \(f(x=3)\) ó \(P(x=3)\) 10%
filter(tabla, x == 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MENOS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x<3)\) ó \(\sum f(x={0,1,2})\) ó \(\sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)\) ó \(F \text{ acumulada }(x)\)
78%
filter(tabla, x < 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MAS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x>3)\) ó \(\sum f(x={4,5,6})\) ó \(\sum P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)\) ó \(1 - F(x = 3)\); 12%
filter(tabla, x > 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")Calculando la varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.stdtabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")Se lanza un dado perfecto 240 veces, se anota el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:
| Cara superior | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Número de veces | 40 | 39 | 42 | 38 | 42 | 39 |
Para este caso del lanzamiento de un dado al igual que del caso siguiente de la cantidad de vasos que toman los estudiantes del ITD, se utiliza una función f.discretas.ve.v.sd(casos = …) que fue previamente codificada y preparada para dar solución específica de estos casos en relación al tema de variables aleatorias discretas.
La función se encuentra en la dirección UR siguiente: https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/variables%20discretas.R
La función se carga usando la función source() que carga el programa que contiene la función.
Al cargar el script, se puede disponer de la función y mandarla ejecutar con los argumentos y parámetros adecuados.
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/variables%20discretas.R", encoding = "UTF-8")discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
casos <- c(40, 39, 42, 38, 42, 39 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nAl ejecutar la función se obtiene una estructura de datos tipo lista (list[[]]) de 6 elementos:
El primero elemento la es un data.frame que contiene la tabla de distribución.
El segundo elemento son los valores de la variable aleatoria discreta denominada x.
El tercer elemento es el valor del total de casos.
El cuarto elemento es el valor esperado o esperanza matemática.
El quinto elemento es la varianza.
El sexto elemento de la lista es el valor de la desviación estándar de la tabla de distribución de la variable discreta.
resultado <- f.discretas.ve.v.sd(casos = casos)resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
kable_paper("hover")¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga un DOS, es decir \(f(x=2)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(3, bold = T, color = "white", background = "blue")¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga en CUATRO, es decir \(f(x=4)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(5, bold = T, color = "white", background = "blue")¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MENOR QUE CUATRO, es decir \(F(x < 4)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(4, bold = T, color = "white", background = "blue")¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MAYOR QUE CUATRO, es decir \(F(x > 4) = 1 - F(x>4) = 1 - F(x=5)\)
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(6, bold = T, color = "white", background = "blue")paste("El valor esperado es: ", round(resultado[[4]], 4))paste("La varianza es: ", round(resultado[[5]], 4))paste("La desviación estándar es: ", round(resultado[[6]], 4))Pendiente
Pendiente
Pendiente
Se tiene un estudio de que en época de calor los estudiantes del Tecnológico consumen cierta cantidad de vasos de agua durante el dia.
Se estima que se toman al alrededor de 1 a 8 vasos diarios durante el día para aliviar la sed y hidratar el cuerpo.
La siguiente tabla establece la cantidad de vasos que toman los alumnos durante el día siendo x la variable aleatoria discreta los vasos que se toman.
De un estudio de 150 alumnos esas fueron las respuestas.
| x = vasos de agua | casos |
|---|---|
| 0 | 8 |
| 1 | 12 |
| 2 | 16 |
| 3 | 19 |
| 4 | 24 |
| 5 | 28 |
| 6 | 25 |
| 7 | 14 |
| 8 | 4 |
X <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
casos <- c(8, 12, 16, 19, 24, 28, 25, 14, 4 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nPara determinar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de esta distribución de los casos de agua, se utiliza una función previamente creada y codificada para dicho propósito.
Al ejecutar la función se obtiene una estructura de datos tipo lista (list[[]]) de 6 elementos:
El primero elemento la es un data.frame que contiene la tabla de distribución
El segundo elemento son los valores de la variable aleatoria discreta denominada x
El tercer elemento es el valor del total de casos
El cuarto elemento es el valor esperado o esperanza matemátic
El quinto elemento es la varianza y
El sexto elemento de la lista es el valor de la desviación estándar de la tabla de distribución de la variable discreta.
resultado <- f.discretas.ve.v.sd(casos = casos)resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
kable_paper("hover")¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toman CUATRO VASOS DE AGUA? \(f(x=4)\)
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_paper("hover") %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(5, bold = T, color = "white", background = "blue")¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toma MENOS DE CUATRO VASOS DE AGUA \(F(x=3)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_paper("hover") %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(4, bold = T, color = "white", background = "blue")¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toma MAS DE CUATRO VASOS DE AGUA \(F(x>4) = 1 - F(x>4) = 1 - F(x=5)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_paper("hover") %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(6, bold = T, color = "white", background = "blue")paste("El valor esperado es: ", round(resultado[[4]], 4))o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $VE:
paste("El valor esperado es: ", round(resultado$VE, 4))paste("La varianza es: ", round(resultado[[5]], 4))o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $varianza:
paste("La varianza es: ", round(resultado$varianza, 4))paste("La desviacion estándar es: ", round(resultado[[6]], 4))o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $desv,std:
paste("La varianza es: ", round(resultado$desv.std, 4))tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")ggplot(data = tabla, aes(x = X, y=f.prob.X, fill=X)) +
geom_bar(stat="identity") ggplot(data = tabla, aes(x = X, y=F.acum.X)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")Se presentaron varios ejercicios de variables aleatorias discretas en donde se determiniaron las funciones de probabilidad y la función acumulada, la media o valor esperado, la varianza y su desviación estándard.
Se generaron gráficas de barras de los valores de las variables y la gráfica lineal de las tendencias.
El valor esperado en el ejercicio 1 del sorteo con valor de 1%, significa que es es muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos.
En el ejercicio de vena de automóviles de John, se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria “número de automóviles vendidos”.
El valor esperado es del 2.1 que significa que puede vender 2 autos como esperanza.
El valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a largo plazo. Por ejemplo, si John trabaja \(50\) sábados en un año, puede esperar vender \((50)(2.1)\) o \(105\) automóviles solo durante los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado[@lind2015].
El valor de la varianza es de 1.29 que significa lo que puede variar con respecto al valor esperado. La desviación estándard es de \(1.135782\).
¿Cómo se interpreta la variación?
Por ejemplo, Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados pero tien tal vez una desviacón de 1.9 en comparación del 1.135782 de John, entonces de puede decir que hay mayor variabilidad en la vendedora Rita dado que \((1.91 \geq 1.35)\) [@lind2015].
En el caso de las vacantes de puestos para hombres y mujeres el resultado del valor esperado es de \(0.8\) que significa la probabilidad de contratar mujeres en promedio, su desviación estándar es de \(0.6\) que significa nivel de dispersión (alejamiento) de la probabilidad de cada variable aleatoria con respecto al valor esperado.
Del ejercicio de parejas contestar las preguntas:
¿Cuál es la probabilidad de una pareja elegida al azar tenga menos de dos hijos? \(P(x<2)\)
¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos? \(P(x>3)\)
Si se elige un hijo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos? \(P(x=0)\)
Determina el número de hijos esperado al seleccionar una familia al azar. ¿Cuál es el valor esperado y qué significa?
Calcula la varianza y la desviación de la distribución e interpretar su significado.
Interpretar el ejercicio del dado
En el caso del ejercicio del dado teniamos que se lanzaba un dado 240 veces y en cada lanzamiento se anotaban los resultados consecuentes segun la cara superior del mismo, en este ejercicio obtuvimos el valor esperado, la varianza, desviacion asi como tambien sus funciones de probabilidad y de probabilidad acumulada.
Entonces en este caso tuvimos que el valor esperado al lanzar un dado es de 2.52.5 por cada cara, segun los resultados de las operaciones, asi mismo tambien se obtuvieron los resultados de la varianza y de la desviacion de la distribucion o tambien conocida como la desviacion estandar: 2.92.9 y 1.70291.7029 respectivamente.
Y finalmente a la hora de analizar las graficas podemos darnos cuenta de que los caso que más resultaron aunque sea por minima diferencia es el de 2 y 4 hablando de las caras de los dados, pues empataron en el numero de apariciones en los lanzamientos.
Interpretar el ejercicio de los vasos de agua
Finalmente en el caso de los vasos del agua de los alumnos del ITD pudimos calcular los mismos atributos que ya mencionamos en el caso anterior, es decir: Probabilidades, Varianza, Valor esperado y la desviacion estandar.
En este caso obtuvimos que el resultado del valor esperado o de la media de vasos consumidos por 150 alumnos del ITD es de: 4.11334.1133 lo que en un valor entero representaria un promedio aproximado de unos 4 vasos.
Si hablamos ahora de la varianza y desviacion estadar tenermos que los resultados segun las operaciones son: 4.23284.2328 y 2.05762.0576 lo que como ya mencioné anteriormente refleja la dispercion de los datos con respecto al VE (valor esperado o media).
En el analisis de las graficas podemos observar que el numero de vasos que menos se consumen por alumnos del ITD es de 8 pues la encuesta registró un cantidad pequeña comparada con los demas casos.