Una serie de tiempo esta definida como una coleccion de variables aleatorias \({X_t}\) indexadas en el tiempo. (Wayne A. Woodward 2022)
Proceso estocastico
Una coleccion de variables aleatorias se refiere generalmente como un proceso estocastico. Cuando el conjunto indexado es tiempo, nos podemos referir al proceso estocastico como una serie de tiempo. Cada tiempo \(t\) , esta asociado con su propia variable aleatoria \({X_t}\)(Wayne A. Woodward 2022)
Parametros de una serie de tiempo
Debido a que cada tiempo tiene su propia variable aleatoria \({X_t}\) . estas variables tienen su propia distribucion y es asi como poseen sus propios parametros(Wayne A. Woodward 2022)
La variable aleatoria \({X_t}\) tiene media \(\mu_t\)
La variable aleatoria \({X_t}\) tiene varianza \(\sigma^2_{X_t}\)
Entre dos variables aleatorias \(X_{t_1}\) y \(X_{t_2}\) existe covarianza \(\gamma_{X_{t_1},X_{t_2}}\) y correlacion \(\rho_{X_{t_1},X_{t_2}}\), en el caso de una serie de tiempo esto se denomina autocovarianza y autocorrelacion respectivamente
Nota:
Si \(t_1=t_2\) entonces \(\rho_{X_{t_1},X_{t_2}}\)=\(\rho_{X_{t_1},X_{t_1}}=1\)
Una realizacion de la serie de tiempo \({\{X_t\}}\), es un conjunto de salidas especificas del fenomeno aleatorio, normalmente la realizacion de \(n\) salidas se denota utilizando la notacion \(x_t\) donde \(t=1,..., n\)
Se tiene la serie de tiempo\({\{X_t\}}\) de la cual se tienen \(m\) realizaciones inpendientes \(x^{(1)}_t, x^{(2)}_t,...,x^{(m)}_t\), donde \(t=1,..., n\) Asi, \(x^ {(i)}_{1}, i=1,...,m\) son los varoles observados de la muestra aleatoria de la variable aleatoria \(X_{1}\), es decir La primera realizacion de cada observacion.
Series de tiempo estacionarias.
En la mayoria de escenarios donde se tienen series de tiempo de manera general se encuentra que solo existe una sola realizacion disponible para analisis, por lo que no se piede devolver el tiempo y obtener otras realizaciones. Si bien una cantidad grande de realizaciones poseen gran cantidad de informacion, a menudo es comun. La series de tiempo estacionarizas son un tipo de series de tiempo de las cuales se puede realizar un analisis significativo aun teniendo una sola relizacion.
En las series de tiempo estacionarias parece haber un tipo de equilibrio en el que el comportamiento basico de la serie no cambia con el tiempo. Teniendo en cuenta lo anterior la estacionariedad de una serie de tiempo esta definida si:
\(\mu_{X_t}=\mu\) media contastante para todos los \(t\)
\(\sigma^{2}_{X_t}=\sigma^{2}<\infty\) Varianza constante y finita para todos los t
Los procesos que satisfacen esta condicion tienen un variabilidad que no cambia con el tiempo
\(\gamma_{X_{t_{1}},X_{t_{2}}}\) y \(\rho_{X_{t_{1}},X_{t_{2}}}\) dependen solo de \(t_2 - t_1\)
La autocorrelacion entre \(X_{t_{1}}\) y \(X_{t_{2}}\) depende en que tan lejos estan \(t_1\) y $t_2$$, no donde estan ellas en el tiempo. Si se satisface esta condicion se podria referiri a la autocovarianza y la autocorrelacion en el resago \(k\), donde \(k\) se define como $t_2-t_1$. Ademas sigue la propiedad que \(\gamma_k=\gamma_{-k}\) y \(\rho_{k}=\rho_{-k}\)
Proceso estocastico estacionario en el sentido debil
Proceso estocastico estacionario en el sentido estricto
Wayne A. Woodward, Stephen Robertson, Bivin Philip Sadler. 2022. Time Series for Data Science: Analysis and Forecasting. Chapman & Hall/CRC Texts in Statistical Science. CRC Press.
