Quiz 2 Econometría II - María José Guerrero - María José Otero
2023-03-14
Descripción de los datos
Para el presente trabajo se utilizarán 3 series de tiempo extraídas de un archivo de GoogleSheets específico. En la serie de tiempo se podrán encontrar las siguientes variables, todas con una incidencia mensual desde el año 1990 hasta el 2023.
UNRATE (Unemployment Rate): Representa el número de desempleados como porcentaje de la fuerza laboral de Estados Unidos. Los datos de la fuerza laboral están restringidos a personas mayores de 16 años, que actualmente residen en 1 de los 50 estados
T10Y2YM (10-Year Treasury Constant Maturity Minus 2-Year Treasury Constant Maturity): También conocido como el CMT Index, indica el valor teórico de un Tesoro de Estados Unidos que se basa en los valores recientes de los bonos del Tesos de EEUU subastados
FEDFUND (Federal Funds Effective Rate): Es la tasa de interés a la que las instituciones de depósito (bancos, cajas de ahorro y cooperativas de credito) intercambian fondos federales (saldos mantenidos en los bancos de la Reserva Federal) entre sí durante la noche. Cuando una institución de depósito tiene saldos excedentes en su cuenta de reserva, presta a otros bancos que necesitan saldos mayores. En términos más simples, un banco con exceso de efectivo, lo que a menudo se conoce como liquidez, prestará a otro banco que necesite aumentar rápidamente la liquidez.
Gráfica inicial de la serie para analizar estacionariedad
subdata <- subset(brent, year>="1990/01/01" & year<="2023/01/01")
View(subdata)
subdata2 <- subset(brent, year>="1990/01/01" & year<="2022/09/01")
View(subdata2)
plot.ts(subdata[, c("FEDFUND", "T10Y2YM", "UNRATE")], main = "Análisis gráfico")
En general, se puede observar que las tres variables aparentan tener algún tipo de tendencia, siendo la Tasa de Interés de los Bonos la que resalta con mayor variabilidad a lo largo del tiempo. Por su parte, la última variable de de la tasa de desempleo parece ser una serie no estacionaria por tener altos picos y caídas estrepitosas, al igual que la variable de la Tasa Efectiva de la Reserva .
Análisis Correlogramas
ggarrange((ggAcf(subdata$UNRATE, main = "AC de UNRATE", col="purple")),
(ggPacf(subdata$UNRATE, main = "PAC de UNRATE", col="purple")),
(ggAcf(subdata$FEDFUND, main = "AC de FEDFUND", col="purple")),
(ggPacf(subdata$FEDFUND, main = "PAC de FEDFUND", col="purple")),
(ggAcf(subdata$T10Y2YM, main = "AC de T10Y2YM", col="purple")),
(ggPacf(subdata$T10Y2YM, main = "PAC de T10Y2YM", col="purple"))
+
rremove("x.text"), ncol = 2, nrow = 3)
Podemos observar los siguientes resultados:
La serie de la Tasa de Desempleo corresponde a un proceso autorregresivo de primer orden (AR(1))
La serie de la Tasa de Interés de los Bonos corresponde a un proceso de tercer orden (AR(3)) con picos significativos en los rezagos 9 y 16
La serie de la Tasa Efectiva de la Reserva corresponde a un proceso autorregresivo de tercer orden (AR(3))
Test de Dickey-Fuller
DF.FEDFUND <- ur.df(subdata$FEDFUND, type = "none", selectlags = "AIC")
summary(DF.FEDFUND)##
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression none
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.94269 -0.02684 0.00660 0.05548 0.52976
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -0.003916 0.002035 -1.924 0.0551 .
## z.diff.lag 0.629142 0.039031 16.119 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1442 on 393 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4066, Adjusted R-squared: 0.4036
## F-statistic: 134.6 on 2 and 393 DF, p-value: < 2.2e-16
##
##
## Value of test-statistic is: -1.9242
##
## Critical values for test statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62Como se logra observar el test estadístico es de -1.92 y los valores críticos toman valores de -1.62, -1.95 y -2.58 para cada uno de los niveles de significancia, esto demuestra que la serie es no estacionaria para el percentil 10 ni para el percentil 5 pero es estacionaria para el primer percentil.
#H0: Posee raíz unitaria -No estacionaria#
DF.UNRATE <- ur.df(subdata$UNRATE, type = "none", selectlags = "AIC")
summary(DF.UNRATE)##
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression none
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.0923 -0.0766 0.0239 0.1246 10.2980
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -0.005081 0.004734 -1.073 0.284
## z.diff.lag 0.027104 0.050396 0.538 0.591
##
## Residual standard error: 0.5718 on 393 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.003541, Adjusted R-squared: -0.00153
## F-statistic: 0.6983 on 2 and 393 DF, p-value: 0.4981
##
##
## Value of test-statistic is: -1.0733
##
## Critical values for test statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62Los resultados muestran que el valor del estadístico de prueba es -1.0733 y los valores críticos para los estadísticos de prueba son -2.58, -1.95 y -1.62 para los niveles de significancia del 1%, 5% y 10% respectivamente. Como el valor del estadístico de prueba es mayor que el valor crítico en cualquier nivel de significancia, no se puede rechazar la hipótesis nula de que hay una raíz unitaria presente en la serie temporal. Esto sugiere que la serie temporal no es estacionaria.
DF.T10Y2YM <- ur.df(subdata$T10Y2YM, type = "none", selectlags = "AIC")
summary(DF.T10Y2YM)##
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression none
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.74289 -0.06127 0.00344 0.06807 0.55619
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -0.006484 0.004825 -1.344 0.18
## z.diff.lag 0.316089 0.047871 6.603 1.31e-10 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1355 on 393 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1019, Adjusted R-squared: 0.09733
## F-statistic: 22.29 on 2 and 393 DF, p-value: 6.741e-10
##
##
## Value of test-statistic is: -1.3441
##
## Critical values for test statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62Es posible observar que el test estadístico es de -1.3441 y el los valores críticos toman valores de -2.58 -1.95 y -1.62 para cada uno de los niveles de significancia, esto demuestra que la hipótesis nula del modelo se rechaza debido a que el valor dado por el test es mayor que los presentados por los estadisticos de prueba, por lo que se presenta una serie no estacionaria.
Luego de evidenciar que todas las variables son no estacionarias se pretende diferenciarlas las veces que sean necesarias hasta que se llegue a una serie estacionaria en todos sus niveles de significancia.
#FEDFUND
subdata <- subdata %>%
mutate(dFEDFUND = c(NA,diff(subdata$FEDFUND)))
DF1 <- ur.df(subdata[!is.na(subdata$dFEDFUND),]$dFEDFUND, type="none", selectlags ="AIC")
summary(DF1)##
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression none
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.94584 -0.03660 0.00169 0.04034 0.47424
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -0.30275 0.04282 -7.070 7.14e-12 ***
## z.diff.lag -0.16937 0.04997 -3.389 0.000772 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1429 on 392 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2051, Adjusted R-squared: 0.2011
## F-statistic: 50.59 on 2 and 392 DF, p-value: < 2.2e-16
##
##
## Value of test-statistic is: -7.0702
##
## Critical values for test statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62Después de haber diferenciado la serie una vez, se procede a volver a realizar el test de Dickey Fuller para identificar si hay raíz unitaria. Para este caso, se observa que el test da un resultado de -7.0702 lo que es menor a los niveles de significancia de los diferentes percentiles -2.58, -1.95, -1.62. Demostrando así que ya es una serie estacionaria
#UNRATE
subdata <- subdata %>%
mutate(dUNRATE = c(NA,diff(subdata$UNRATE)))
DF2 <- ur.df(subdata[!is.na(subdata$dUNRATE),]$dUNRATE, type="none", selectlags ="AIC")
summary(DF2)##
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression none
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.0133 -0.1107 -0.0121 0.0893 10.2753
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -1.07947 0.07013 -15.39 <2e-16 ***
## z.diff.lag 0.10695 0.05022 2.13 0.0338 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.57 on 392 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4935, Adjusted R-squared: 0.4909
## F-statistic: 190.9 on 2 and 392 DF, p-value: < 2.2e-16
##
##
## Value of test-statistic is: -15.392
##
## Critical values for test statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62Se ha diferenciado la serie una vez por lo que se procede a volver a realizar el test de Dickey Fuller para identificar si hay raíz unitaria. Para este caso, se observa que el test da un resultado de -15.392 lo que es menor a los niveles de significancia de los diferentes percentiles -2.58, -1.95, -1.62. Demostrando así que ya es una serie estacionaria
#T10Y2YM
subdata <- subdata %>%
mutate(dT10Y2YM = c(NA,diff(subdata$T10Y2YM)))
DF3 <- ur.df(subdata[!is.na(subdata$dT10Y2YM),]$dT10Y2YM, type="none", selectlags ="AIC")
summary(DF3)##
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression none
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.70626 -0.07086 -0.00426 0.05688 0.54500
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## z.lag.1 -0.75139 0.05890 -12.758 <2e-16 ***
## z.diff.lag 0.09271 0.05024 1.845 0.0657 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1352 on 392 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.3501, Adjusted R-squared: 0.3468
## F-statistic: 105.6 on 2 and 392 DF, p-value: < 2.2e-16
##
##
## Value of test-statistic is: -12.758
##
## Critical values for test statistics:
## 1pct 5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62## Se diferencio una vez para volver la serie estacionaria Por último se ha diferenciado la serie una vez para así proceder a volver a realizar el test de Dickey Fuller con el cual se logrará identificar si hay raíz unitaria en el modelo. Para este caso, se observa que el test da un resultado de -12.758 lo que es menor a los niveles de significancia de los diferentes percentiles -2.58, -1.95, -1.62. Demostrando así que ya es una serie estacionaria.
En conclusión, hemos pasado cada una de las variables escogidas que presentaban series no estacionarias a series con estacionaridad.
Modelo de Rezago Distribuido
Un Modelo de Rezagos Distribuidos (ADL) son regresiones estándar de mínimos cuadrados que incluyen retrasos tanto de la variable dependiente como de las variables explicativas como regresores. Es un método para examinar las relaciones de cointegración entre variables.
Un modelo econométrico de este tipo es utilizado en series temporales en las que una o varias variables explicativas pueden tener efectos sobre la variable dependiente tras uno o más periodos.
Es por esto que se va iniciar haciendo el analisis del modelo con los rezagos de las variables escogidas. Para este modelo se tendrá como variable endogena la tasa de interés de los bonos y como variables explicativas serían la tasa efectiva de reserva y la tasa de desempleo.
rezagod <- dlm(formula = dFEDFUND ~ dT10Y2YM,
data = data.frame(subdata), q = 2)
summary(rezagod)##
## Call:
## lm(formula = as.formula(model.formula), data = design)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.80893 -0.06632 0.00458 0.08397 0.59548
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.011844 0.007905 -1.498 0.134882
## dT10Y2YM.t -0.508590 0.058592 -8.680 < 2e-16 ***
## dT10Y2YM.1 -0.211334 0.061603 -3.431 0.000667 ***
## dT10Y2YM.2 -0.312495 0.058532 -5.339 1.59e-07 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1569 on 390 degrees of freedom
## (1 observation deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.3004, Adjusted R-squared: 0.2951
## F-statistic: 55.83 on 3 and 390 DF, p-value: < 2.2e-16
##
## AIC and BIC values for the model:
## AIC BIC
## 1 -335.4749 -315.5931Los rezagos dados por el modelo demuestran que los valores p < 2e-16 para los coeficientes de dT10Y2YM.t, dT10Y2YM.1 y dT10Y2YM.2 indican que todas estas variables predictoras son altamente significativas y tienen un efecto negativo en la variable de respuesta. Es decir, un aumento cualquiera de la tasa efectiva de reserva se asocia con una disminución en la tasa de interés de los bonos.
# Modelo de rezago distribuido: método de Koyck
koyck <- koyckDlm(subdata$dT10Y2YM , subdata$dFEDFUND)
summary(koyck, diagnostic=T)##
## Call:
## "Y ~ (Intercept) + Y.1 + X.t"
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.818363 -0.064612 0.004479 0.062796 0.420666
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.005184 0.006809 -0.761 0.4469
## Y.1 0.543633 0.052221 10.410 <2e-16 ***
## X.t -0.491048 0.205231 -2.393 0.0172 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1342 on 392 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.4858, Adjusted R-squared: 0.4832
## Wald test: 155.2 on 2 and 392 DF, p-value: < 2.2e-16
##
## Diagnostic tests:
## df1 df2 statistic p-value
## Weak instruments 1 392 23.4357538 1.861385e-06
## Wu-Hausman 1 391 0.1898209 6.633062e-01
##
## alpha beta phi
## Geometric coefficients: -0.01136002 -0.4910481 0.5436332Los resultados dados por el modelo pronostican que Y.1 tiene una estimación de coeficiente de 0.543633, lo que sugiere que una unidad de cambio en Y.1 se asocia con un cambio de 0.543633 unidades de la tasa de interés de los bonos, por otra parte, X.t tiene una estimación de coeficiente de -0.491048, lo que sugiere que una unidad de cambio en X.t se asocia con un cambio de -0.491048 unidades de la tasa de interés de los bonos.
koyck2 <- lm( dFEDFUND~ lag(dFEDFUND) + dT10Y2YM,
data=subdata)
summary(koyck2)##
## Call:
## lm(formula = dFEDFUND ~ lag(dFEDFUND) + dT10Y2YM, data = subdata)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.84082 -0.06013 0.00451 0.05982 0.43717
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.004848 0.006737 -0.720 0.472
## lag(dFEDFUND) 0.559476 0.037223 15.030 < 2e-16 ***
## dT10Y2YM -0.404452 0.048548 -8.331 1.36e-15 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1336 on 392 degrees of freedom
## (2 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.4899, Adjusted R-squared: 0.4873
## F-statistic: 188.3 on 2 and 392 DF, p-value: < 2.2e-16El coeficiente de lag(dFEDFUND) es de 0.559476, lo que significa que un aumento de una unidad en el el logaritmo de la tasa de interes de bonos diferenciada se asocia con un aumento de 0.559476 unidades en la tasa de interes de los bonos diferenciada El coeficiente de la tasa efectiva de reserva es -0.404452, lo que indica que un aumento de esta variable se asocia con una disminución de 0.404452 unidades en la tasa de interes de bonos diferenciada. Además es importante resaltar que el R cuadarado ajustado afirma que por medio de este modelo se interpreta la variacion de la tasa de interes de los bonos en un 48.73%.
h <- durbinH(koyck2, "lag(dFEDFUND)")
abs(h)## [1] 3.9619562*pnorm(-abs(h)) # Calculando el pvalor## [1] 7.433819e-05Calculando el h de Durbin en un modelo autorregresivo, se puede afirmar que la hipótesis nula del modelo es H0: No autocorrelación, rechazo si |h|> 1.96 o si pvalor<5%. En este caso h es de 3.96 lo que quiere decir que la hipótesis nula se rechaza y el modelo puede estar presentando autocorrelacion.
medianar <- -(log(2)/log(0.5436332))
medianar## [1] 1.137275Inferimos con los resultados dados que el 50% del cambio total de la tasa de interés de los bonos se logra en más de un periodo.
mediar <- 0.5436332/(1-0.5436332)
mediar## [1] 1.19122Se requiere un promedio de mas de un periodo para que el efecto de los cambios de la tasa efectiva de la reserva afecte la tasa de interes de los bonos
Modelo ADL
Comparación modelos ADL
Para hacer el modelo ADL, se pondrá en comparación varias estimaciones para así lograr escoger el modelo ADL más optimo para realizar predicciones.
# ADL (1,1)
ADL11 <- ardlDlm(formula = dFEDFUND ~ dT10Y2YM,
data = data.frame(subdata), p = 1, q = 1)
summary(ADL11)##
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 3, End = 397
##
## Call:
## dynlm(formula = as.formula(model.text), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.84345 -0.05982 0.00348 0.05878 0.43712
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.004959 0.006749 -0.735 0.463
## dT10Y2YM.t -0.399274 0.050030 -7.981 1.63e-14 ***
## dT10Y2YM.1 -0.023616 0.054205 -0.436 0.663
## dFEDFUND.1 0.552393 0.040653 13.588 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1338 on 391 degrees of freedom
## (1 observation deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.4902, Adjusted R-squared: 0.4863
## F-statistic: 125.3 on 3 and 391 DF, p-value: < 2.2e-16#ADL (1,2)
ADL12 <- ardlDlm(formula = dFEDFUND ~ dT10Y2YM,
data = data.frame(subdata), p = 1, q = 2)
summary(ADL12)##
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 4, End = 397
##
## Call:
## dynlm(formula = as.formula(model.text), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.83860 -0.06036 0.00122 0.05663 0.46521
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.004094 0.006627 -0.618 0.537
## dT10Y2YM.t -0.409656 0.049162 -8.333 1.37e-15 ***
## dT10Y2YM.1 -0.033590 0.053192 -0.631 0.528
## dFEDFUND.1 0.425101 0.049951 8.510 3.81e-16 ***
## dFEDFUND.2 0.194416 0.046001 4.226 2.96e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1311 on 389 degrees of freedom
## (1 observation deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.5125, Adjusted R-squared: 0.5075
## F-statistic: 102.2 on 4 and 389 DF, p-value: < 2.2e-16#ADL (2,1)
ADL21 <- ardlDlm(formula = dFEDFUND ~ dT10Y2YM,
data = data.frame(subdata), p = 2, q = 1)
summary(ADL21)##
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 4, End = 397
##
## Call:
## dynlm(formula = as.formula(model.text), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.83682 -0.06058 0.00187 0.05987 0.43826
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.005463 0.006715 -0.814 0.41637
## dT10Y2YM.t -0.416939 0.050170 -8.311 1.61e-15 ***
## dT10Y2YM.1 0.007520 0.055064 0.137 0.89144
## dT10Y2YM.2 -0.138887 0.051503 -2.697 0.00731 **
## dFEDFUND.1 0.521715 0.041952 12.436 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1329 on 389 degrees of freedom
## (1 observation deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.4995, Adjusted R-squared: 0.4943
## F-statistic: 97.04 on 4 and 389 DF, p-value: < 2.2e-16#ADL (2,2)
ADL22 <- ardlDlm(formula = dFEDFUND ~ dT10Y2YM,
data = data.frame(subdata), p = 2, q = 2)
summary(ADL22)##
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 4, End = 397
##
## Call:
## dynlm(formula = as.formula(model.text), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.83539 -0.05749 0.00000 0.05754 0.46298
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.004501 0.006622 -0.680 0.497113
## dT10Y2YM.t -0.418386 0.049439 -8.463 5.41e-16 ***
## dT10Y2YM.1 -0.014700 0.054619 -0.269 0.787968
## dT10Y2YM.2 -0.079210 0.053458 -1.482 0.139225
## dFEDFUND.1 0.422358 0.049909 8.463 5.42e-16 ***
## dFEDFUND.2 0.171892 0.048380 3.553 0.000428 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1309 on 388 degrees of freedom
## (1 observation deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.5152, Adjusted R-squared: 0.509
## F-statistic: 82.47 on 5 and 388 DF, p-value: < 2.2e-16Luego de tener los diferentes modelos ADL se pretende entrar a hacer comparaciones con cada uno de los modelos y de alli escoger el mejor.
AIC(ADL11); AIC(ADL12); AIC(ADL21); AIC(ADL22)## [1] -462.2412## [1] -475.752## [1] -465.3606## [1] -475.9752BIC (ADL11); BIC(ADL12);BIC(ADL21); BIC(ADL22)## [1] -442.3468## [1] -451.8939## [1] -441.5025## [1] -448.1407De los cuatro modelos, ADL22 tiene el valor AIC más bajo (-475.9752) seguido por el modelo ADL12(-475.752). Los valores AIC de los otros modelos son todos más altos, lo que sugiere que están peor ajustados. Por otra parte para BIC, el modelo con BIC más bajo es el ADL(12), seguido por el modelo ADL22, por lo que en este caso se tomara el modelo ADL(12) para realizar la prediccion.
Modelo ADL(12)
ADL12 <- ardlDlm(formula = dFEDFUND ~ dT10Y2YM,
data = subdata, p = 1, q = 2)
summary(ADL12)##
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 4, End = 397
##
## Call:
## dynlm(formula = as.formula(model.text), data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.83860 -0.06036 0.00122 0.05663 0.46521
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.004094 0.006627 -0.618 0.537
## dT10Y2YM.t -0.409656 0.049162 -8.333 1.37e-15 ***
## dT10Y2YM.1 -0.033590 0.053192 -0.631 0.528
## dFEDFUND.1 0.425101 0.049951 8.510 3.81e-16 ***
## dFEDFUND.2 0.194416 0.046001 4.226 2.96e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1311 on 389 degrees of freedom
## (1 observation deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.5125, Adjusted R-squared: 0.5075
## F-statistic: 102.2 on 4 and 389 DF, p-value: < 2.2e-16Analizando los resultados de la regresión se puede notar que los valores de p para la mayoria de los coeficientes fueron menor que 0.05, lo que indica que son estadísticamente significativos. Además se tiene en cuenta que R-cuadrado ajustado da 0.5075, lo que indica que el modelo explica alrededor del 50% de la variabilidad en la variable de respuesta.
set.seed(21)
predict.AD12 <- dLagM::forecast(ADL12, x = c(-0.06, -0.21, -0.06, -0.01), h = 4, interval = T)
predict.AD12## $forecasts
## 95% LB Forecast 95% UB
## 1 -0.10324524 0.1808077 0.4561758
## 2 -0.05845526 0.2055266 0.5003367
## 3 -0.12113049 0.1500608 0.4454438
## 4 -0.20971033 0.1057667 0.4407563
##
## $call
## forecast.ardlDlm(model = ADL12, x = c(-0.06, -0.21, -0.06, -0.01),
## h = 4, interval = T)
##
## attr(,"class")
## [1] "forecast.ardlDlm" "dLagM"Para cada uno de los cuatro períodos futuros, se presentan tres valores: el límite inferior del intervalo de confianza del 95%, el pronóstico y el límite superior del intervalo de confianza del 95%. Por ejemplo, para el primer período futuro, el límite inferior del intervalo de confianza del 95% es -0.10324524, el pronóstico es 0.1808077 y el límite superior del intervalo de confianza del 95% es 0.4561758.
error.predict <- predict.AD12[["forecasts"]][["Forecast"]][1] - subdata$FEDFUND[394]
error.predict## [1] -2.899192Por otra parte, el error que se presenta en el modelo es de -2.899192 Esto significa que la predicción realizada subestimó el valor real de la variable en ese período en 2.899192 unidades.
Es con esto en mente que se procede a realizar las predicciones para los cuatro periodos determinados.
data_FF <- data.frame(obs1=subdata$FEDFUND[1:393])
NAs <- data.frame(obs1=rep(NA,4))
data_FF <- rbind(data_FF, NAs)
FF394 <- 0.1808077 + subdata$FEDFUND[393]
FF395 <- 0.2055266 + FF394
FF396 <- 0.1500608 + FF395
FF397 <- 0.1057667 + FF396
FF1 <- data.frame(pred1=c(subdata$FEDFUND[393], FF394, FF395, FF396, FF397))
Otras_celdas1 <- data.frame(pred1=rep(NA, 392))
FF1 <- rbind(Otras_celdas1, FF1)
data_FF <- data.frame(data_FF, FF1)
uFF394 <- 0.4561758+subdata$FEDFUND[393]
uFF395 <- 0.5003367+uFF394
uFF396 <- 0.4454438+uFF395
uFF397 <- 0.4407563+uFF396
uFF1 <- data.frame(u1=c(subdata$FEDFUND[393], uFF394, uFF395, uFF396, uFF397))
Otras_celdasu <- data.frame(u1=rep(NA, 392))
uFF1 <- rbind(Otras_celdasu, uFF1)
data_FF <- data.frame(data_FF, uFF1)
lFF394 <- -0.10324524 + subdata$FEDFUND[393]
lFF395 <- -0.05845526 + lFF394
lFF396 <- -0.12113049 + lFF395
lFF397 <- -0.20971033 + lFF396
lFF1 <- data.frame(l1=c(subdata$FEDFUND[393], lFF394, lFF395, lFF396, lFF397))
Otras_celdasl <- data.frame(l1=rep(NA, 392))
lFF1 <- rbind(Otras_celdasl, lFF1)
data_FF <- data.frame(data_FF, lFF1)
data_FF <- data.frame(Date=subdata$year,data_FF)Predicción
Para estimar si la tasa de interés interbancaria de la Reserva Federal de Estados Unidos tendrá una tendencia al alza o a la baja en los próximos 4 meses, se hace uso del mejor modelo de regresión de rezago distribuido entoncontrado (ADL12) que utiliza a su vez la tasa de interés de los bonos como variable exógena.
Los resultados de la proyección muestran tanto el comportamiento observado como el que se espera de la variable FEDFUND. Para este último se percibe que se espera una tendencia al alza para la tasa de interés interbancaria durante los próximos 4 meses, lo cual es explicado por la relación positiva y significativa encontrada entre las dos variables utilizadas en la regresión que indican que ante un aumento de la tasa de interés de los bonos, la tasa de interés interbancaria también tenderá a aumentar en los próximos meses. Lo anterior se debe principalmente a que un aumento de la tasa de interés de los bonos puede aumentar el costo de los préstamos, y por ende, disminuir la oferta de préstamos disponibles en el mercado interbancario.
No obstante, cabe mencionar que el modelo ADL es una herramienta estadística que no puede predecir con extrema certeza el futuro de la tasa de interés interbancaria dado que hay otros factores que pueden influir en ella tales como la inflación, la tasa de crecimiento, las condiciones del mercado laboral y la oferta de dinero en la economía.
ggplot(data_FF)+
geom_line(aes(x = Date, y = obs1, group =1, color = "Observada"), linewidth = 0.8)+
geom_line(aes(x= Date, y= pred1, group =1, color="Predicha"), linewidth = 0.8)+
geom_ribbon(aes(x =Date, y = pred1, group =1, ymin = l1, ymax = u1, fill="IC"), alpha = 0.1)+
theme(legend.text = element_text(size = 10), text = element_text(size=8), legend.spacing.y = unit(-0.3, "cm"), legend.background=element_blank())+guides(shape = guide_legend(order = 2),col = guide_legend(order = 1)) +
scale_color_manual(name = "", values = c("Observada" = "darkblue", "Predicha" = "red")) +
scale_fill_manual(values = c(IC = "steelblue"), labels = c(IC = "IC 95%")) +
labs(x = "Fecha", y ="", fill = "") + ggtitle("FEDFUND")
Modelo ARMAX
Después de haber tenido el modelo ADL, se pretende realizar el modelo ARMAX, esto con el fin de realizar un paralelo entrelas predicciones dadas por ambos modelos. Para esto, con los correlogramas mostrados previamente podemos hacer un imaginario de los valores tomados por el ARIMA, es por esto que tendremos que hacer varias estimaciones de modelos.
subdata <- subdata |>
mutate(lagdT10 = lag(dT10Y2YM))
subdata3 <- subdata |>
select(year, dFEDFUND, dT10Y2YM, lagdT10)
## ARMAX 2,1,1
ARMAX211 <- arima(subdata3$dFEDFUND, order = c(2,1,1), xreg = subdata3[,3:4])
summary(ARMAX211)##
## Call:
## arima(x = subdata3$dFEDFUND, order = c(2, 1, 1), xreg = subdata3[, 3:4])
##
## Coefficients:
## ar1 ar2 ma1 dT10Y2YM lagdT10
## 0.4794 0.1772 -0.9954 -0.3349 -0.1028
## s.e. 0.0505 0.0507 0.0121 0.0481 0.0487
##
## sigma^2 estimated as 0.01803: log likelihood = 230.51, aic = -449.02
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set 0.008045327 0.1341091 0.08905719 NaN Inf 0.9113365 -0.02133427coeftest(ARMAX211)##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.479355 0.050476 9.4966 < 2.2e-16 ***
## ar2 0.177241 0.050701 3.4958 0.0004726 ***
## ma1 -0.995397 0.012083 -82.3818 < 2.2e-16 ***
## dT10Y2YM -0.334926 0.048116 -6.9608 3.384e-12 ***
## lagdT10 -0.102764 0.048651 -2.1123 0.0346623 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# ARMAX 1,1,1
ARMAX111 <- arima(subdata3$dFEDFUND, order = c(1,1,1), xreg = subdata3[,3:4])
summary(ARMAX111)##
## Call:
## arima(x = subdata3$dFEDFUND, order = c(1, 1, 1), xreg = subdata3[, 3:4])
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 dT10Y2YM lagdT10
## 0.3141 -0.8090 -0.3151 -0.1020
## s.e. 0.0850 0.0587 0.0494 0.0493
##
## sigma^2 estimated as 0.01839: log likelihood = 227.82, aic = -445.64
##
## Training set error measures:
## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
## Training set 0.002884091 0.1354477 0.09228673 NaN Inf 0.9443849 -0.01530316coeftest(ARMAX111)##
## z test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## ar1 0.314105 0.085044 3.6934 0.0002213 ***
## ma1 -0.809013 0.058742 -13.7723 < 2.2e-16 ***
## dT10Y2YM -0.315121 0.049363 -6.3838 1.727e-10 ***
## lagdT10 -0.101955 0.049326 -2.0670 0.0387374 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Después de haber planteado los modelos ARMAX, tendremos que ponerlos a competir para verficar cual de los modelos planteados es el mejor para realizar la predicción.
# AIC Y BIC
AIC(ARMAX211); AIC(ARMAX111)## [1] -449.022## [1] -445.6432BIC(ARMAX211); BIC(ARMAX111)## [1] -425.1639## [1] -425.7614El modelo ARMAX211 tiene una AIC de -449.022, mientras que el modelo ARMAX111 tiene una AIC de -445.6432 El modelo con el AIC más bajo es generalmente considerado como el mejor modelo. En este caso, el modelo ARMAX211 tiene un AIC ligeramente más bajo, lo que indica que puede ser el mejor modelo. Además, en el caso del modelo ARMAX111 tiene un BIC más bajo (-425.7614) en comparación con ARMAX211 (-425.1639).
Procedemos a estimar las predicciones del modelo con el ARMAX211, que tiene el AIC más bajo y la diferencia con el BIC no es tan fuerte.
newxreg <- data.frame(dT10Y2YM = c(-0.6,-0.21,-0.6,-0.1),
dT10 = c(0.01,-0.06, -0.21, -0.06))
predict.ARMAX <- predict(ARMAX211, n.ahead = 4, newxreg = newxreg)
upper95 <- predict.ARMAX[["pred"]] + 1.96*predict.ARMAX[["se"]]
lower95 <- predict.ARMAX[["pred"]] - 1.96*predict.ARMAX[["se"]]
df <- data.frame(observado = subdata$FEDFUND[1:393])
NAs0 <- data.frame(observado=rep(NA, 4))
df <- rbind(df, NAs0)
pred <- data.frame(predicho=c(subdata$FEDFUND[393], predict.ARMAX$pred))
NAs1 <- data.frame(predicho=rep(NA, 392))
pred <- rbind(NAs1, pred)
df <- data.frame(df, pred)
upper <- data.frame(upper=c(subdata$FEDFUND[393], upper95))
NAs2 <- data.frame(upper=rep(NA,392))
upper <- rbind(NAs2, upper)
df <- data.frame(df, upper)
lower <- data.frame(lower=c(subdata$FEDFUND[393], lower95))
NAs3 <- data.frame(lower=rep(NA, 392))
lower <- rbind(NAs3, lower)
df <- data.frame(df, lower)
df <- data.frame(Date = subdata$year, df)Predicción
Para estimar el comportamiento a futuro de la tasa de interés interbancaria de la Reserva, se toman como variables explicativas el rezago de FEDFUND y la tasa de interés de los bonos. Por un lado la variable de la tasa de interés de los bonos puede ser tomada como un indicador de condiciones económicas tales como la inflación y el crecimiento económico que afecta de manera significativa a la tasa interbancaria. Por ejemplo, ante un aumento en la tasa de interés de los bonos, los bancos podrían encontrar más atractivo invertir en bonos en lugar de prestar dinero a otras instituciones financieras, lo que en consecuencia disminuiría la oferta de fondos en el mercado interbancario y afectaría así a la tasa efectiva o interbancaria de la reserva.
Por otro lado, el rezago de la tasa de interés interbancaria se utiliza en el modelo ARMAX(2,1,1) para incorporar el efecto de los cambios pasados en la predicción futura de la tasa interbancaria. Así pues, si el modelo indica una tendencia negativa en la variable endógena, se asume que el efecto de los cambios en el pasado de la tasa de interés interbancaria y las condiciones económicas actuales apuntan a una disminución en la tasa de interés interbancaria en el futuro cercano, lo cual se puede observar en la gráfica para la predicción de los próximos 4 meses.
Finalmente, son notables las diferencias de predicción entre los modelos ADL y ARMAX, dado que para el primero se advertía una tendencia creciente mientras que para el último se observa una caída estrepitosa casi inmediata que parece suavizarse un poco al final, y que a su vez parece ir a la par con el ciclo económico observado a lo largo del tiempo para la tasa de interés interbancaria de la Reserva Federal.
ggplot(df) +
geom_line(aes(x = Date, y = observado, group = 1,color = "Observada"), linewidth = 0.8) +
geom_line(aes(x = Date, y = predicho, group = 1, color = "Predicha"), linewidth = 0.8) +
geom_ribbon(aes(x = Date, y = predicho, group = 1, ymin = lower, ymax = upper, fill="IC"), alpha = 0.1)+
theme(legend.text = element_text(size = 10), text = element_text(size=8), legend.spacing.y = unit(-0.3, "cm"), legend.background=element_blank()) +
guides(shape = guide_legend(order = 2),col = guide_legend(order = 1)) +
scale_color_manual(name = "", values = c("Observada" = "darkblue", "Predicha" = "red")) +
scale_fill_manual(values = c(IC = "steelblue"), labels = c(IC = "IC 95%")) +
labs(x = "Fecha", y ="", fill = "") + ggtitle("Predicción del ARMAX(1,1,1)")