- La función general de producción de producción Cobb-Douglas para dos insumos está determinada por \[q = f(k,l) = Ak^\alpha l^\beta\] donde \(0<\alpha < 1\) y \(0 < \beta < 1\). En el caso de esta función de producción:
- Demuestre que \(f_{k}>0, f_{l} >0, f_{ll} < 0, f_{kl} = f_{lk} >0\)
- Demuestre que \(e_{q,k} = \alpha\) y \(e_{q,l} = \beta\).
- Demuestre que, para la función de producción con CES y rendimientos a escala constantes \[q = [k^\rho + l^\rho]^{1/\rho}\]
- \(PMg_{k} = \left(\begin{array}{c}\frac{q}{k}\end{array}\right)^{1-\rho}\) y \(PMg_{l} = \left(\begin{array}{c}\frac{q}{l}\end{array}\right)^{1-\rho}\).
- Dada \(TTS = \left(\begin{array}{c}\frac{l}{k}\end{array}\right)^{1-\rho}\). Utilice lo anterior para probar que \(\sigma = \frac{1}{1-\rho}\).
- Demuestre que \[\frac{q}{l} = \left(\begin{array}{c}\frac{\partial q}{\partial l}\end{array}\right)^{\sigma}\] Por tanto, demuestre que \[\ln\left(\begin{array}{c}\frac{q}{l}\end{array}\right) = \sigma \ln\left(\begin{array}{c}\frac{\partial q}{\partial l}\end{array}\right)\]
Nota la última igualdad resulta muy útil para los
trabajadores empíricos porque en algunos casos podemos aproximar \(\partial q/\partial l\) utilizando el
salario competitivo. Por tanto, podemos estimar \(\sigma\) a partir de una regresión de \(\ln(q/l)\) sobre \(\ln(w)\).
- Supongamos que la función de costo total de una empresa está determinada por \[CT = q(2 + v\sqrt{vw} + w)\]’
- Utilice el lema de Shephard para calcular la función de demanda con producción constante del factor, \(k\) y \(l\).
- Considere una empresa que enfrenta precio \(p\) del bien que produce, y precios de factores \(w_L = w_K = 100\), con el siguiente costo total: \[c(w_L, w_K, q) = q^2\frac{w_Lw_K}{w_L + w_K} + F\] donde \(F\geq 0\) es un costo fijo. La ecuación anterior para \(c(w_L, w_K, q)\) se obtiene a partir de la minimización de los costos para una tecnología descrita por \[F(L,K) = \sqrt{L} + \sqrt{K}\]
Usando \(c(w_L, w_K, q)\), obtenga la oferta de la empresa \((q)\) en función del precio \((p)\). Sugerencia: recuerde que la oferta de una empresa se obtiene cuando \(CMg = p\).
Usando \(c(w_L, w_K, q)\), obtenga la ganancia \((\pi)\) de la empresa en función del costo fijo \((F)\). Sug: recuerde que la ganancia se obtiene como \(\pi = pq - c(w_L, w_K, q)\). Donde \(p\) es el precio y \(q\) la oferta encontrada en el inciso anterior.
Usando \(c(w_L, w_K, q)\), suponga que \(F = 0\) y obtenga la demanda condicionada de los factores
Obtenga la demanda no condicionada de \(L\) y \(K\), respectivamente. recuerde que la demanda no condicionada se ontiene al resolver: \[\max_{K,L}[\pi(K,L) - w_L L - w_K K - F]\] donde \(\pi(K,L) = p\cdot f(L,K)\).
- Los catedraticos Smith y Jones van a escribir un libro nuevo de introducción a la economía. Como auténticos científicos, han determinado que la función de producción del libro es \[q = S^{1/2}J^{1/2}\] donde $q = $ número de páginas del libro terminado, \(S =\) el número de horas-hombre empleadas por Smith y \(J=\) el número de horas empleadas por Jones.
Smith considera que su trabajo vale $3 por hora. Ha invertido 900 horas en la preparación del primer borrador. Jones, cuyo trabajo se valora en $12 por hora, revisará el borrador de Smith para terminar el libro.
¿Cuanta horas tendra que emplear Jones para producir un libro terminado que tendrá 150 páginas? ¿Uno que tendrá 300? ¿Uno que tendrá 450?
¿Cuál es el costo marginal de la página número 150 del libro terminado? ¿De la número 300? ¿De la 450?.
- Suanny esta considerando la posibilidad de renovar los banquillos de la sala de su casa. La función de producción de los banquilos nuevos está determinada por \[q = 0.1K^{0.2}L^{0.8}\] donde \(q\) es la cantidad de banquillos producidos durante la semana de la renovación, \(K\) representa la cantidad de horas de tornos empleadas durante la semana para hacer los banquillos y \(L\)representa la cantidad de horas hombre empleadas durante el periodo. Suanny quería renovar 10 banquillos nuevos y ha asignado 1000 dolares al proyecto.
Suanny piensa que, dado que los tornos necesarios para fabricar los banquillos y los trabajadores calificados para hacer este trabajo cuesten lo mismo (50 dólares por hora), bien podría contratar estos dos factores en cantidades iguales. Si Suanny actúa de esta manera, que cantidad de cada factor contratara y cuanto le costara el proyecto de renovación.
Sofia (que sabe algo de banquillos) argumenta que Suanny ha vuelto a olvidar lo que sabe de microeconomia. Afirma que Suanny debería elegir cantidades de factores de modo que sus productividades marginales (no las medias) sean iguales. Si Suanny optara por este plan, que cantidad de cada factor contrataría y cuantocostaroía el proyecto de renovación.