Séries Temporais

Considere um processo AR(1):

\[ y_t = C + \phi y_{t-1} + e_t \quad , \ e_t \sim RB(0,\sigma^2) \quad , \ t = 1,2,...T \]

Esperança

É dada por:

\[ E[y_t] = E[C] + E[\phi y_{t-1}] + E[e_t]\\ E[y_t] = C + E[\phi y_{t-1}] + 0\\ \]

Sabemos que: \(E[y_{t-1}] = E[y_t]\)
Então fazendo uma simples manipulação temos que:

\[ E[y_t] - \phi E[y_t] = C \\ E[y_t][1 - \phi] = C \\ E[y_t] = \frac{C}{1 - \phi} = M \\ \]

Variância

É dada por:

\[ Var(y_t) = Var(c) + Var(\phi y_{t-1}) + Var(e_t) + 2cov(y_{t-1}, e_t) \\ Var(y_t) = 0 + \phi ^2 var(y_{t-1}) + \sigma ^2 + 2cov(y_{t-1}, e_t) \\ \] Sabemos que: \(Var(y_{t-1}) = Var(y_t)\)
E que: \(cov(y_{t-1}, e_t) = 0\)
Assim, realizando a mesma manobra algébrica anteriormente seguimos com:

\[ Var(y_t) = \phi ^2 var(y_t) + \sigma ^2 \\ Var(y_t)(1 - \phi ^2 ) = \sigma ^2 \\ Var(y_t) = \frac{\sigma ^2}{1 - \phi ^2 } , \quad |\phi| < 1 \]

Covariância

Primeiro encontraremos \(\gamma_1 = cov(y_t , y_{t-1})\)

\[ \gamma_1 = cov(y_t, y_{t-1}) = E[(\phi y_{t-1} + e_t) *(y_{t-1})] \\ \gamma_1 = E[\phi (y_{t-1})(y_{t-1})] + E[e_t (y_{t-1})] \\ \gamma_1 = \phi E[(y_{t-1})(y_{t-1})] + 0 \\ \gamma_1 = \phi Var(y_{t-1}) = \phi (\frac{\sigma ^2}{1 - \phi ^2 }) \\ \]

Para \(\gamma_2\):

\[ \gamma_2 = cov(y_t, y_{t-2}) = E[(\phi y_{t-2} + e_{t-1}) *(y_{t-2})] \\ \gamma_2 = E[\phi (y_{t-2})(y_{t-2})] + E[e_{t-1} (y_{t-2})] \\ \gamma_2 = \phi^2 E[(y_{t-2})(y_{t-2})] + 0 \\ \gamma_2 = \phi^2 Var(y_{t-2}) = \phi^2 (\frac{\sigma ^2}{1 - \phi ^2 }) \\ \]

Se continuarmos o processo n vezes teremos que: \[ \gamma_n = \phi ^n (\frac{\sigma ^2}{1 - \phi ^2}) \]

Correlação

A correlação, \(\rho\), é dada pela divisão da covariância pela variância. Assim temos que:
\[ \rho_n = \phi^n\]

Com isso agora podemos comparar as correlações obtidas de maneira teórica com as correlações estimadas de forma computacional. Para isto, geramos uma série temporal de forma pseudo aleatória considerando o modelo AR com 1 parâmetro:

set.seed(2023)

y_ar1= arima.sim(n = 100, list(ar = c(-0.6)))
ajuste.y_ar1 = arima(y_ar1,  order = c(1, 0, 0))
ajuste.y_ar1$coef

        ar1   intercept 
-0.53893041  0.08134307 

plot(y_ar1, ylab="Série temporal", xlab="Tempo")

acfar1 <- acf(y_ar1, lag.max=7, plot=FALSE)
acfar1 <- round(acfar1[["acf"]],3)
teoric <- round((ajuste.y_ar1$coef[1])^(0:7),3)

Tabela 1 - Valores Teóricos e Estimados Computacionalmente para o modelo AR(1), \(\widehat{\phi}\) = -0.539.

n	1	2	3	4	5	6	7
\(\rho_n\)	-0.539	0.29	-0.157	0.084	-0.045	0.025	-0.013
r\(_n\)	-0.544	0.38	-0.291	-0.02	0.084	-0.134	0.191
\(|\rho_n - r_n|\)	0.005	0.09	0.134	0.104	0.129	0.159	0.204

Onde \(\rho_{j}\) são os valores reais das auto correlações da série e \(r_{j}\) são os valores estimados.

acf(y_ar1)$ac

pacf(y_ar1)$acf

Considere um processo MA(1):

\[y_t = C + e_t + \theta e_{t-1} \quad , \ t = 1,2,...T \quad , \ e_t \sim RB(0,\sigma^2)\]

Esperança

É dada por:

\[ E[y_t] = E[C] + E[e_t] + E[\theta e_{t-1}]\\ E[y_t] = C + 0 + 0\\ E[y_t] = C \]

Variância

É dada por:

\[ Var(y_t) = E[(y_t - c)^2] = E[(e_t + \theta e_{t-1})^2] \\ Var(y_t) = E[e_t ^2] + 2\theta E[e_t e_{t-1}] + \theta^2 E[e_{t-1} ^2] \\ Var(y_t) = \sigma^2 + 0 + \sigma^2 \theta^2 \\ Var(y_t) = \sigma^2(1+\theta^2) \]

Covariância

Primeiro encontraremos \(\gamma_1 = cov(y_t , y_{t-1})\)

\[ \gamma_1 = cov(y_t, y_{t-1}) = E[(e_t + \theta e_{t-1}) *(e_{t-1} + \theta e_{t-2})] \\ \gamma_1 = E[e_t e_{t-1}] + \theta E[e_t e_{t-2}] + \theta E[e_{t-1} ^2] + \theta^2 E[e_{t-1} e_{t-2}] \\ \gamma_1 = 0 + 0 + \theta \sigma^2 + 0 \\ \gamma_1 = \theta \sigma^2 \\ \]

Para \(\gamma_2\):

\[ \gamma_2 = cov(y_t, y_{t-1}) = E[(e_t + \theta e_{t-1}) *(e_{t-2} + \theta e_{t-3})] \\ \gamma_2 = E[e_t e_{t-2}] + \theta E[e_t e_{t-3}] + \theta E[e_{t-1} e_{t-2}] + \theta^2 E[e_{t-1} e_{t-3}] \\ \gamma_2 = 0 + 0 + 0 + 0 \\ \gamma_2 = 0 \\ \]

Para \(\gamma_3\):

\[ \gamma_3 = cov(y_t, y_{t-1}) = E[(e_t + \theta e_{t-1}) *(e_{t-3} + \theta e_{t-4})] \\ \gamma_3 = E[e_t e_{t-3}] + \theta E[e_t e_{t-4}] + \theta E[e_{t-1} e_{t-4}] + \theta^2 E[e_{t-1} e_{t-4}] \\ \gamma_3 = 0 + 0 + 0 + 0 \\ \gamma_3 = 0 \\ \]

Se continuarmos o processo n vezes teremos que:

\[ \gamma_n =\begin{cases} & \theta \sigma^2 \ , \forall \ n = 1\\ & 0 \ , \ \forall \ n > 1 \end{cases} \]

Correlação

A correlação, \(\rho\), é dada pela divisão da covariância pela variância. Assim temos que:
\[ \gamma_n =\begin{cases} & \frac{\theta}{1+\theta ^2} \ , \forall \ n = 1\\ & 0 \ , \ \forall \ n > 1 \end{cases} \]

Com isso agora podemos comparar as correlações obtidas de maneira teórica com as correlações estimadas de forma computacional. Para isto, geramos uma série temporal de forma pseudo aleatória considerando o modelo MA com 1 parâmetro:

set.seed(2023)

y_ma1= arima.sim(n = 100, list(ar = c(0.5)))
ajuste.y_ma1 = arima(y_ma1,  order = c(0, 0, 1))
ajuste.y_ma1$coef

      ma1 intercept 
0.4654431 0.2522353 

plot(y_ma1, ylab="Série temporal", xlab="Tempo")

acfma1 <- acf(y_ma1, lag.max=7, plot=FALSE)
acfma1 <- round(acfma1[["acf"]],3)
teoric1 <- c(round(ajuste.y_ma1$coef[1] / 1 + ajuste.y_ma1$coef[1]^2, 3), rep(0,6))

Tabela 2 - Valores Teóricos e Estimados Computacionalmente para o modelo MA(1), \(\theta\) = 0.465.

n	1	2	3	4	5	6	7
\(\rho_n\)	0.682	0	0	0	0	0	0
r\(_n\)	0.529	0.165	-0.158	-0.203	-0.061	0.004	0.11
\(|\rho_n - r_n|\)	0.153	0.165	0.158	0.203	0.061	0.004	0.11

Onde \(\rho_{j}\) são os valores reais das auto correlações da série e \(r_{j}\) são os valores estimados.

acf(y_ma1)$ac

pacf(y_ma1)$acf

Agora para tornarmos nosso \(\theta\) negativo fazemos:

set.seed(2023)

y_ma2 = arima.sim(n = 100, list(ar = c(-0.5)))
ajuste.y_ma2 = arima(y_ma2,  order = c(0, 0, 1))
ajuste.y_ma2$coef

        ma1   intercept 
-0.39459175  0.08722491 

plot(y_ma2, ylab="Série temporal", xlab="Tempo")

acfma2 <- acf(y_ma2, lag.max=7, plot=FALSE)
acfma2 <- round(acfma2[["acf"]],3)
teoric2 <- c(round(ajuste.y_ma2$coef[1] / 1 + ajuste.y_ma2$coef[1]^2, 3), rep(0,6))

Tabela 3 - Valores Teóricos e Estimados Computacionalmente para o modelo MA(1), \(\theta\) = -0.395.

n	1	2	3	4	5	6	7
\(\rho_n\)	-0.239	0	0	0	0	0	0
r\(_n\)	-0.428	0.275	-0.234	-0.089	0.106	-0.123	0.178
\(|\rho_n - r_n|\)	0.189	0.275	0.234	0.089	0.106	0.123	0.178

Onde \(\rho_{j}\) são os valores reais das auto correlações da série e \(r_{j}\) são os valores estimados.

acf(y_ma1)$ac

pacf(y_ma1)$acf

Desenvolvido por: Eraldo Rocha