Introducción a la modelación en biomatemáticas

Juan Pablo Acuña González

¿Qué es la modelación?

La modelación es un intento por describir, de manera precisa, el entendimiento de los elementos de algún sistema de interés, sus posibles estados, y sus interaccciones con otros elementos.

¿Por qué modelar en biología?

En el contexto la biología molecular de la célula un modelo puede describir algunos de los mecanismos involucrados en la transcripción, la traducción y los procesos de la regulación génica. A niveles más altos, un sistema puede describir el funcionamiento de algún tejido, órgano u organismos completos. En estudios de poblaciones, un sistema puede estar representando la evolución temporal y el comportamiento de la población o de organismos particulares.

¿Cómo se realiza la modelación?

  • Término algebraico: Expresión utilizada para generalizar una cantidad.

  • En aplicaciones en biología se utilizan términos algebraicos para representar especies de interés.

Tabla 1. Representación algebraica de especies biológicas
Especie término
Gen g
Ácido ribonucleico (ARN) r
Proteina P

Reacciones bioquímicas

  • La forma en que interactúan las especies de interés en cierto fenómeno están reguladas por una serie de reacciones bioquímicas

  • Estas reacciones bioquímicas tienen una representación algebraica o analítica.

Reacciones bioquímicas: ejemplo

  • Transcripción: \(g→g+r\)

  • Traducción: \(r→r+P\) 

Matrices

  • Matriz: Es un arrreglo de la forma
\[\begin{aligned} A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\cdots &\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots a_{mn} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

Representación matricial

  • Los números \(a_{11},a_{12},a_{13},…a_{ij}\) reciben el nombre de elementos de la matriz.

  • Notación, \(A=a_{ij}\). El primer subíndice indica el renglón, el segundo la columna.

  • Vector: Renglones y columnas de una matriz.

  • Matriz transpuesta: Cuando se intercambian los renglones por las columnas en una matriz. Notación, \(A^T\).

Matrices en biología

  • Usar matrices para asociar las reacciones bioquímicas de un proceso con las filas de la matriz y asociar las especies involucradas en las reacciones con las columnas de la matriz.

Matrices en biología: ejemplo

  • Se considera que hay un evento de trasncripción y uno de traducción.

  • El número de especies presentes en la reacción se pueden analizar a través de dos matrices, una previa al evento (Pre) y otra posterior al evento (Post).

Tabla 2. Representación matricial previa al evento (Pre)
Especies
Reacción g r P
Tanscripción 1 0 0
Traducción 0 1 0

Tabla3. Representación matricial posterior al evento (Post)
Especies
Reacción g r P
Tanscripción 1 1 0
Traducción 0 1 1

Algoritmos

  • Algoritmo: Una serie de instrucciones sencillas que se llevan a cabo para solventar un problema.

  • Algoritmo 1 (de actualización): Permite actualizar un sistema en biología con respecto al tiempo

Algoritmo de actualización

  1. Se toma un vector,\(M_0\), que registra las cantidades iniciales de cada especie biológica al tiempo \(t=0\).

  2. Se calcula la matriz de efecto neto del sistema \(A=Post-Pre\)

  3. Se contruye la matriz de estequiometrías, \(S=A^T\), como la transpuesta de \(A\)

  4. Se toma el vector \(r\) que indica las reacciones que ocurren a tiempo \(t=i\), (\(i=1,2,…\))

  5. Se calcula el valor del nuevo estado del sistema como \(\tilde{M}=M+Sr\)