Objetivo

Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad,funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.

Descripción

Desarrollar ejercicios relacionados con variables discretas para identificar variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.

Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.

Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 13 encontrados en la literatura que se encuentran en el caso 14.

Marco de referencia

Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento [@anderson2008c].

Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.

El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma.[@anderson_estadistica_2008].

Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreta.

En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado [@lind_estadistica_2015].

En su libro [@walpole_probabilidad_2012] define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.

Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que $0$. \[f(x) \geq 0\]
La suma de las probabilidad de todas las variables $x$ debe ser igual a $1$ o la suma de los valores de cada función de probabilidad con respecto a $x$ debe ser $1$ \[\sum _xf(x) = 1\]
La probabilidad de cada variable $x$ es igual a la función de probabilidad con respeto a $x$ \[P(X=x) = f(x)\] [@walpole_probabilidad_2012].

Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta $X$ con distribución de probabilidad $f(x)$ está dada por la suma de sus probabilidades de $t$ siendo $t$ menor o igual a $x$. Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicial de $x$. El valor final con respecto a valor final de $x$ debe ser igual a 1. \[F(x)=P(X \le x) = \sum_{t \le x}f(t)\] [@walpole_probabilidad_2012].

La media de una distribución discreta es también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia [@lind_estadistica_2015]

La fórmula para el valor esperado es: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

La varianza de una distribución discreta constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta, describe el grado de dispersión (variación) en una distribución [@lind_estadistica_2015].

Su fórmula es: \[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]

La fórmula anterior significa:

La media se resta de cada valor de la variable aleatoria y la diferencia se eleva al cuadrado.

Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.

Se suman los productos resultantes para obtener la varianza.

La desviación estándar, $\alpha$, se determina al extraer la raíz cuadrada positiva de $\alpha^2$; es decir, $\alpha = \sqrt{\alpha^2}$ [@lind_estadistica_2015].

Desarrollo

Cargar librerías

Posiblemente se utilicen algunas de ellas

library(ggplot2)
library(stringr)  # String
library(stringi)  # String
library(gtools)
library(dplyr)
library(knitr)

library(kableExtra)
options(scipen = 999) # Notación normal

Ejercicios

Para cada ejercicio algunos vistos en el caso anterior y otros nuevos para este caso, se describe y define su contexto.
Se construye su tabla de probabilidad que contenga los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.
Con la tabla de probabilidades en algunos ejercicios se determinan y calculan probabilidades.
Se determina el valor esperado de cada ejercicio
Se determina la varianza y la desviación estándar de la distribución de las variables discretas.

Billetes para rifa

Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere cincuenta billetes. [@course_hero_variables_nodate].

Tabla de probabilidad

discretas <- c(0,1)   # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000 # sum(casos)
casos <- c(4950,50)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	4950	0.99	0.99	0.00
1	50	0.01	1.00	0.01

Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum xP(x)\]

VE es el valor esperado

# VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE <- sum(tabla$x.f.prob.x)
VE

## [1] 0.01

El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.

Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos 0.01

Varianza

Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
#tabla 
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	4950	0.99	0.99	0.00	0.01	0.000099
1	50	0.01	1.00	0.01	0.01	0.009801

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2P(x)\]

varianza = varianza de la distribución

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 0.0099

Desviación estándard de una distribución discreta

La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 0.09949874

La tabla con las sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	4950	0.99	0.99	0.00	0.01	0.000099
1	50	0.01	1	0.01	0.01	0.009801
****	5000	1.00	****	0.01	****	0.009900

Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity")

Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

Automóviles de Pelican Ford

Un vendedor llamado John Rasgdale vende la mayor cantidad de automóviles el sábado, así que desarrolló la siguiente distribución de probabilidades, en la cual se muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.

La variable discreta venta de automóviles: $0,1,2,3,4$ el sábado. Los valores de la probabilidad son : $0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1$, previamente definidos.
Ya se dan las probabilidades de tal forma que la cantidad de casos no se dispone en este ejercicio.
¿De qué tipo de distribución se trata?, variables discretas
¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?
¿Cuál es la varianza de la distribución? [@lind_estadistica_2015].

Tabla de probabilidad

discretas <- 0:4   
casos <- rep(0, 5)
probabilidades <- c(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1)
acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado (sin número de casos)")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado (sin número de casos)
x	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	0.1	0.1	0.0
1	0.2	0.3	0.2
2	0.3	0.6	0.6
3	0.3	0.9	0.9
4	0.1	1.0	0.4

Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que se vendan DOS automóviles, es decir $f(x=2)$ ó $P(x=2)$?, 30%

filter(tabla, x == 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 2      0.3

¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MENOS DE DOS automóviles, es decir $f(x< 2)$ ó $P(x<2)$ ? 30%

\[ \sum P(x=0) + P(x=1) \]

filter(tabla, x < 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 0      0.1      0.1
## 2 1      0.2      0.3

¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MAS DE DOS automóviles, es decir $f(x> 2)$ ó $P(x>2)$ ? 40%

\[ \sum P(x=3) + P(x=4) \text{ ó } \]

\[ 1 - \sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) \]

filter(tabla, x > 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 3      0.3      0.9
## 2 4      0.1      1.0

Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE

## [1] 2.1

El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.

Varianza

Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza  (sin número de casos)")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza (sin número de casos)
x	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	0.1	0.1	0.0	2.1	0.441
1	0.2	0.3	0.2	2.1	0.242
2	0.3	0.6	0.6	2.1	0.003
3	0.3	0.9	0.9	2.1	0.243
4	0.1	1.0	0.4	2.1	0.361

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]

varianza = varianza de la distribución

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 1.29

Desviación estándar de una distribución discreta

La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 1.135782

La tabla con las sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")

Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	0	0.1	0.1	0.0	2.1	0.441
1	0	0.2	0.3	0.2	2.1	0.242
2	0	0.3	0.6	0.6	2.1	0.003
3	0	0.3	0.9	0.9	2.1	0.243
4	0	0.1	1	0.4	2.1	0.361
****	****	1.0	****	2.1	****	1.290

Gráfica de barra

G = ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity") 
G

Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

Solicitudes de puestos de hombres y mujeres

Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes son igualmente calificados y que no hay preferencia para elegir su género al igual que no importa el orden de género de hombres y mujeres (combinaciones).

Sea $x$ la variable aleatoria discreta al número de mujeres elegidas para ocupar los dos puestos de trabajo. Encuentre las probabilidades para elegir 0 mujeres, 1 mujer o 2 mujeres. [@mendenhall_introduccion_2010].

Haciendo las combinaciones en donde $M = Mujer \text{ y }H = Hombre$

personas <- c("H1", "H2", "H3", "M1", "M2")
S.espacio.muestral <- combinations(n = 5, r = 2, v=personas)
S.espacio.muestral

##       [,1] [,2]
##  [1,] "H1" "H2"
##  [2,] "H1" "H3"
##  [3,] "H1" "M1"
##  [4,] "H1" "M2"
##  [5,] "H2" "H3"
##  [6,] "H2" "M1"
##  [7,] "H2" "M2"
##  [8,] "H3" "M1"
##  [9,] "H3" "M2"
## [10,] "M1" "M2"

De acuerdo al espacio muestral $n$ con diez elementos, ¿en cúantas ocasiones hay cero mujeres?, ¿en cuántas ocasiones hay una mujer? y en cuántas ocasiones hay dos mujeres?

discretas <- c(0, 1, 2)
casos <- c(3, 6, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / n

Tabla de probabilidades

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	3	0.3	0.3	0.0
1	6	0.6	0.9	0.6
2	1	0.1	1.0	0.2

Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que haya UNA MUJER?, es decir $P(X=1)$ ó $f(x=1)$ ? 60%

filter(tabla, x == 1 ) %>%
  select(x, f.prob.x)

##   x f.prob.x
## 1 1      0.6

¿Cuál es la probabilidad de que haya MENOS DE DOS MUJERES?, es decir $P(x=0) + P(x=1)$ ó $f(x<2)$ ? 90%

filter(tabla, x < 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 0      0.3      0.3
## 2 1      0.6      0.9

¿Cuál es la probabilidad de que haya MAS DE 1 MUJER O SEA DOS?, es decir $P(x=2)$ ó $f(x>1)$ ? 10%

filter(tabla, x > 1 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 2      0.1        1

Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE

## [1] 0.8

Varianza

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	3	0.3	0.3	0.0	0.8	0.192
1	6	0.6	0.9	0.6	0.8	0.024
2	1	0.1	1.0	0.2	0.8	0.144

Calculando la varianza

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 0.36

Desviación estándar

\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]

Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 0.6

Tabla con sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	3	0.3	0.3	0.0	0.8	0.192
1	6	0.6	0.9	0.6	0.8	0.024
2	1	0.1	1	0.2	0.8	0.144
****	10	1.0	****	0.8	****	0.360

Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity")

Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

Número de hijos de parejas

En la siguiente tabla se presenta la distribución del número de hijos de un grupo de 100 parejas (humanos): Ejercicio extraído de: [@web_descartes_estadistica_2018].

variable aleatoria x No hijos	cantidad de parejas
0	15
1	40
2	23
3	10
4	7
5	4
6	1
Total parejas encuestadas	100

discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
casos <- c(15, 40, 23, 10, 7, 4, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / n

Tabla de probabilidades

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	15	0.15	0.15	0.00
1	40	0.40	0.55	0.40
2	23	0.23	0.78	0.46
3	10	0.10	0.88	0.30
4	7	0.07	0.95	0.28
5	4	0.04	0.99	0.20
6	1	0.01	1.00	0.06

Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de encontrar aletoriamente parejas con TRES HIJOS, es decir, $f(x=3)$ ó $P(x=3)$ 10%

filter(tabla, x == 3 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 3      0.1     0.88

¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MENOS DE TRES HIJOS, es decir, $f(x<3)$ ó $\sum f(x={0,1,2})$ ó $\sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)$ ó $F \text{ acumulada }(x)$

78%

filter(tabla, x < 3 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 0     0.15     0.15
## 2 1     0.40     0.55
## 3 2     0.23     0.78

¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MAS DE TRES HIJOS, es decir, $f(x>3)$ ó $\sum f(x={4,5,6})$ ó $\sum P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)$ ó $1 - F(x = 3)$; 12%

filter(tabla, x > 3 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 4     0.07     0.95
## 2 5     0.04     0.99
## 3 6     0.01     1.00

Valor esperado

Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]

VE es el valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE

## [1] 1.7

Varianza

\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]

tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")

Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	15	0.15	0.15	0.00	1.7	0.4335
1	40	0.40	0.55	0.40	1.7	0.1960
2	23	0.23	0.78	0.46	1.7	0.0207
3	10	0.10	0.88	0.30	1.7	0.1690
4	7	0.07	0.95	0.28	1.7	0.3703
5	4	0.04	0.99	0.20	1.7	0.4356
6	1	0.01	1.00	0.06	1.7	0.1849

Calculando la varianza

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza

## [1] 1.81

Desviación estándar

\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]

Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.

desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std

## [1] 1.345362

Tabla con sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	VE	x-VE.cuad.f.prob.x
0	15	0.15	0.15	0.00	1.7	0.4335
1	40	0.40	0.55	0.40	1.7	0.1960
2	23	0.23	0.78	0.46	1.7	0.0207
3	10	0.10	0.88	0.30	1.7	0.1690
4	7	0.07	0.95	0.28	1.7	0.3703
5	4	0.04	0.99	0.20	1.7	0.4356
6	1	0.01	1	0.06	1.7	0.1849
****	100	1.00	****	1.70	****	1.8100

Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity")

Gráfica lineal acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

Lanzamiento de un dado

Se lanza un dado perfecto 240 veces, se anota el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:

Cara superior	1	2	3	4	5	6
Número de veces	40	39	42	38	42	39

Para este caso del lanzamiento de un dado al igual que del caso siguiente de la cantidad de vasos que toman los estudiantes del ITD, se utiliza una función f.discretas.ve.v.sd(casos = …) que fue previamente codificada y preparada para dar solución específica de estos casos en relación al tema de variables aleatorias discretas.

La función se encuentra en la dirección UR siguiente: https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/variables%20discretas.R

La función se carga usando la función source() que carga el programa que contiene la función.

Cargando la función

Al cargar el script, se puede disponer de la función y mandarla ejecutar con los argumentos y parámetros adecuados.

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/variables%20discretas.R", encoding = "UTF-8")

Inicializando variables

discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
casos <- c(40, 39,  42, 38, 42, 39 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / n

Al ejecutar la función se obtiene una estructura de datos tipo lista (list[[]]) de 6 elementos:

El primero elemento la es un data.frame que contiene la tabla de distribución.
El segundo elemento son los valores de la variable aleatoria discreta denominada x.
El tercer elemento es el valor del total de casos.
El cuarto elemento es el valor esperado o esperanza matemática.
El quinto elemento es la varianza.
El sexto elemento de la lista es el valor de la desviación estándar de la tabla de distribución de la variable discreta.

resultado <- f.discretas.ve.v.sd(casos = casos)

Tabla de probabilidad

#resultado[[1]] %>%
  #### Tabla de probabilidades

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.x = probabilidades,
              F.acum.x = acumulada,
              x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x
0	40	0.1666667	0.1666667	0.0000
1	39	0.1625000	0.3291667	0.1625
2	42	0.1750000	0.5041667	0.3500
3	38	0.1583333	0.6625000	0.4750
4	42	0.1750000	0.8375000	0.7000
5	39	0.1625000	1.0000000	0.8125

Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga un DOS, es decir $f(x=2)$? La probabilidad es de 0.1750

resultado[[1]] %>%
  kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
  kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
 column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
  row_spec(3, bold = T, color = "white", background = "blue")

Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado
$x$	$casos$	$f(x)$	$F(x)$	$x\cdot f(x)$	$VE$	$(VE-x)$	$(VE-x)^{2}$	$(VE-x)^{2} \cdot f(x)$
0	40	0.1666667	0.1666667	0.0000	2.5	-2.5	6.25	1.0416667
1	39	0.1625000	0.3291667	0.1625	2.5	-1.5	2.25	0.3656250
2	42	0.1750000	0.5041667	0.3500	2.5	-0.5	0.25	0.0437500
3	38	0.1583333	0.6625000	0.4750	2.5	0.5	0.25	0.0395833
4	42	0.1750000	0.8375000	0.7000	2.5	1.5	2.25	0.3937500
5	39	0.1625000	1.0000000	0.8125	2.5	2.5	6.25	1.0156250

filter(tabla, x == 2 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x  F.acum.x
## 1 2    0.175 0.5041667

¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga en CUATRO, es decir $f(x=4)$? La probabilidad es de 0.1750 igual que la anterior pues tienen el mismo numero de veces en que cayó esa cara.

resultado[[1]] %>%
  kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
 kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
 column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
  row_spec(5, bold = T, color = "white", background = "blue")

Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado
$x$	$casos$	$f(x)$	$F(x)$	$x\cdot f(x)$	$VE$	$(VE-x)$	$(VE-x)^{2}$	$(VE-x)^{2} \cdot f(x)$
0	40	0.1666667	0.1666667	0.0000	2.5	-2.5	6.25	1.0416667
1	39	0.1625000	0.3291667	0.1625	2.5	-1.5	2.25	0.3656250
2	42	0.1750000	0.5041667	0.3500	2.5	-0.5	0.25	0.0437500
3	38	0.1583333	0.6625000	0.4750	2.5	0.5	0.25	0.0395833
4	42	0.1750000	0.8375000	0.7000	2.5	1.5	2.25	0.3937500
5	39	0.1625000	1.0000000	0.8125	2.5	2.5	6.25	1.0156250

filter(tabla, x == 4 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 4    0.175   0.8375

¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MENOR QUE CUATRO, es decir $F(x < 4)$? La probabildad de que el dado caiga menor que cuatro es de 0.6625000

resultado[[1]] %>%
  kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
  kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
 column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
 row_spec(4, bold = T, color = "white", background = "blue")

Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado
$x$	$casos$	$f(x)$	$F(x)$	$x\cdot f(x)$	$VE$	$(VE-x)$	$(VE-x)^{2}$	$(VE-x)^{2} \cdot f(x)$
0	40	0.1666667	0.1666667	0.0000	2.5	-2.5	6.25	1.0416667
1	39	0.1625000	0.3291667	0.1625	2.5	-1.5	2.25	0.3656250
2	42	0.1750000	0.5041667	0.3500	2.5	-0.5	0.25	0.0437500
3	38	0.1583333	0.6625000	0.4750	2.5	0.5	0.25	0.0395833
4	42	0.1750000	0.8375000	0.7000	2.5	1.5	2.25	0.3937500
5	39	0.1625000	1.0000000	0.8125	2.5	2.5	6.25	1.0156250

filter(tabla, x < 4 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x  f.prob.x  F.acum.x
## 1 0 0.1666667 0.1666667
## 2 1 0.1625000 0.3291667
## 3 2 0.1750000 0.5041667
## 4 3 0.1583333 0.6625000

¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MAYOR QUE CUATRO, es decir $F(x > 4) = 1 - F(x>4) = 1 - F(x=5)$ ? La probabilidad de que caiga mayor que cuatro es de 0.1625000

resultado[[1]] %>%
 kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
  kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
 column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
  row_spec(6, bold = T, color = "white", background = "blue")

Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado
$x$	$casos$	$f(x)$	$F(x)$	$x\cdot f(x)$	$VE$	$(VE-x)$	$(VE-x)^{2}$	$(VE-x)^{2} \cdot f(x)$
0	40	0.1666667	0.1666667	0.0000	2.5	-2.5	6.25	1.0416667
1	39	0.1625000	0.3291667	0.1625	2.5	-1.5	2.25	0.3656250
2	42	0.1750000	0.5041667	0.3500	2.5	-0.5	0.25	0.0437500
3	38	0.1583333	0.6625000	0.4750	2.5	0.5	0.25	0.0395833
4	42	0.1750000	0.8375000	0.7000	2.5	1.5	2.25	0.3937500
5	39	0.1625000	1.0000000	0.8125	2.5	2.5	6.25	1.0156250

filter(tabla, x > 4 ) %>%
  select(x, f.prob.x, F.acum.x)

##   x f.prob.x F.acum.x
## 1 5   0.1625        1

Valor esperado

VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
paste("El valor esperado es: ", round(VE, 4))

## [1] "El valor esperado es:  2.5"

Varianza

varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
paste("La varianza es: ", round(varianza, 4))

## [1] "La varianza es:  2.9"

Desviación estándar

desv.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación estándar es: ", round(desv.std, 4))

## [1] "La desviación estándar es:  1.7029"

Tabla de sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias
x	casos	f.prob.x	F.acum.x	x.f.prob.x	V6
0	40	0.1666667	0.166666666666667	0.0000	NA
1	39	0.1625000	0.329166666666667	0.1625	NA
2	42	0.1750000	0.504166666666667	0.3500	NA
3	38	0.1583333	0.6625	0.4750	NA
4	42	0.1750000	0.8375	0.7000	NA
5	39	0.1625000	1	0.8125	NA
****	240	1.0000000	****	2.5000	****

Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
  geom_bar(stat="identity")

Gráfica acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

Tomar vasos de agua ITD

Se tiene un estudio de que en época de calor los estudiantes del Tecnológico consumen cierta cantidad de vasos de agua durante el dia.

Se estima que se toman al alrededor de 1 a 8 vasos diarios durante el día para aliviar la sed y hidratar el cuerpo.

La siguiente tabla establece la cantidad de vasos que toman los alumnos durante el día siendo x la variable aleatoria discreta los vasos que se toman.

De un estudio de 150 alumnos esas fueron las respuestas.

x = vasos de agua	casos
0	8
1	12
2	16
3	19
4	24
5	28
6	25
7	14
8	4

Inicializando variables

discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
casos <- c(8, 12, 16, 19, 24, 28, 25, 14, 4)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / n

Para determinar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de esta distribución de los casos de agua, se utiliza una función previamente creada y codificada para dicho propósito.

Ejecutar la función

Al ejecutar la función se obtiene una estructura de datos tipo lista (list[[]]) de 6 elementos:

El primero elemento la es un data.frame que contiene la tabla de distribución
El segundo elemento son los valores de la variable aleatoria discreta denominada x
El tercer elemento es el valor del total de casos
El cuarto elemento es el valor esperado o esperanza matemátic
El quinto elemento es la varianza y
El sexto elemento de la lista es el valor de la desviación estándar de la tabla de distribución de la variable discreta.

resultado <- f.discretas.ve.v.sd(casos = casos)

Tabla de probabilidad

#resultado[[1]] %>%
  #kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
  #kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>% 
 #kable_paper("hover")

acumulada <- cumsum(probabilidades)   # Acumulada
tabla <- data.frame(X=discretas, 
              casos = casos,
              f.prob.X = probabilidades,
              F.acum.X = acumulada,
              X.f.prob.X = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")

Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado
X	casos	f.prob.X	F.acum.X	X.f.prob.X
0	8	0.0533333	0.0533333	0.0000000
1	12	0.0800000	0.1333333	0.0800000
2	16	0.1066667	0.2400000	0.2133333
3	19	0.1266667	0.3666667	0.3800000
4	24	0.1600000	0.5266667	0.6400000
5	28	0.1866667	0.7133333	0.9333333
6	25	0.1666667	0.8800000	1.0000000
7	14	0.0933333	0.9733333	0.6533333
8	4	0.0266667	1.0000000	0.2133333

Cálculo de probabilidades

¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toman CUATRO VASOS DE AGUA? $f(x=4)$ ? La probabilidad es de 0.1600000

resultado[[1]] %>%
  kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
   kable_paper("hover") %>%
  kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
  column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
  row_spec(5, bold = T, color = "white", background = "blue")

Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos
$x$	$casos$	$f(x)$	$F(x)$	$x\cdot f(x)$	$VE$	$(VE-x)$	$(VE-x)^{2}$	$(VE-x)^{2} \cdot f(x)$
0	8	0.0533333	0.0533333	0.0000000	4.113333	-4.1133333	16.9195111	0.9023739
1	12	0.0800000	0.1333333	0.0800000	4.113333	-3.1133333	9.6928444	0.7754276
2	16	0.1066667	0.2400000	0.2133333	4.113333	-2.1133333	4.4661778	0.4763923
3	19	0.1266667	0.3666667	0.3800000	4.113333	-1.1133333	1.2395111	0.1570047
4	24	0.1600000	0.5266667	0.6400000	4.113333	-0.1133333	0.0128444	0.0020551
5	28	0.1866667	0.7133333	0.9333333	4.113333	0.8866667	0.7861778	0.1467532
6	25	0.1666667	0.8800000	1.0000000	4.113333	1.8866667	3.5595111	0.5932519
7	14	0.0933333	0.9733333	0.6533333	4.113333	2.8866667	8.3328444	0.7777321
8	4	0.0266667	1.0000000	0.2133333	4.113333	3.8866667	15.1061778	0.4028314

filter(tabla, X == 4 ) %>%
  select(X, f.prob.X, F.acum.X)

##   X f.prob.X  F.acum.X
## 1 4     0.16 0.5266667

¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toma MENOS DE CUATRO VASOS DE AGUA $F(x=3)$? La probabilidad es de 0.3666667

resultado[[1]] %>%
  kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
   kable_paper("hover") %>%
  kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
  column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
  row_spec(4, bold = T, color = "white", background = "blue")

Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos
$x$	$casos$	$f(x)$	$F(x)$	$x\cdot f(x)$	$VE$	$(VE-x)$	$(VE-x)^{2}$	$(VE-x)^{2} \cdot f(x)$
0	8	0.0533333	0.0533333	0.0000000	4.113333	-4.1133333	16.9195111	0.9023739
1	12	0.0800000	0.1333333	0.0800000	4.113333	-3.1133333	9.6928444	0.7754276
2	16	0.1066667	0.2400000	0.2133333	4.113333	-2.1133333	4.4661778	0.4763923
3	19	0.1266667	0.3666667	0.3800000	4.113333	-1.1133333	1.2395111	0.1570047
4	24	0.1600000	0.5266667	0.6400000	4.113333	-0.1133333	0.0128444	0.0020551
5	28	0.1866667	0.7133333	0.9333333	4.113333	0.8866667	0.7861778	0.1467532
6	25	0.1666667	0.8800000	1.0000000	4.113333	1.8866667	3.5595111	0.5932519
7	14	0.0933333	0.9733333	0.6533333	4.113333	2.8866667	8.3328444	0.7777321
8	4	0.0266667	1.0000000	0.2133333	4.113333	3.8866667	15.1061778	0.4028314

filter(tabla, X < 4 ) %>%
  select(X, f.prob.X, F.acum.X)

##   X   f.prob.X   F.acum.X
## 1 0 0.05333333 0.05333333
## 2 1 0.08000000 0.13333333
## 3 2 0.10666667 0.24000000
## 4 3 0.12666667 0.36666667

¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toma MAS DE CUATRO VASOS DE AGUA $F(x>4) = 1 - F(x>4) = 1 - F(x=5)$?

resultado[[1]] %>%
  kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
   kable_paper("hover") %>%
  kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
  column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
  row_spec(6, bold = T, color = "white", background = "blue")

Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos
$x$	$casos$	$f(x)$	$F(x)$	$x\cdot f(x)$	$VE$	$(VE-x)$	$(VE-x)^{2}$	$(VE-x)^{2} \cdot f(x)$
0	8	0.0533333	0.0533333	0.0000000	4.113333	-4.1133333	16.9195111	0.9023739
1	12	0.0800000	0.1333333	0.0800000	4.113333	-3.1133333	9.6928444	0.7754276
2	16	0.1066667	0.2400000	0.2133333	4.113333	-2.1133333	4.4661778	0.4763923
3	19	0.1266667	0.3666667	0.3800000	4.113333	-1.1133333	1.2395111	0.1570047
4	24	0.1600000	0.5266667	0.6400000	4.113333	-0.1133333	0.0128444	0.0020551
5	28	0.1866667	0.7133333	0.9333333	4.113333	0.8866667	0.7861778	0.1467532
6	25	0.1666667	0.8800000	1.0000000	4.113333	1.8866667	3.5595111	0.5932519
7	14	0.0933333	0.9733333	0.6533333	4.113333	2.8866667	8.3328444	0.7777321
8	4	0.0266667	1.0000000	0.2133333	4.113333	3.8866667	15.1061778	0.4028314

filter(tabla, X > 4 ) %>%
  select(X, f.prob.X, F.acum.X)

##   X   f.prob.X  F.acum.X
## 1 5 0.18666667 0.7133333
## 2 6 0.16666667 0.8800000
## 3 7 0.09333333 0.9733333
## 4 8 0.02666667 1.0000000

Valor esperado

VE <- sum(tabla$X * tabla$f.prob.X)
paste("El valor esperado es: ", round(VE, 4))

## [1] "El valor esperado es:  4.1133"

o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $VE:

paste("El valor esperado es: ", round(resultado$VE, 4))

## [1] "El valor esperado es:  4.1133"

Varianza

varianza <- sum((tabla$X - VE)^2 * tabla$f.prob.X)
paste("La varianza es: ", round(varianza, 4))

## [1] "La varianza es:  4.2338"

o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $varianza:

paste("La varianza es: ", round(resultado$varianza, 4))

## [1] "La varianza es:  4.2338"

Desviación estándar

desv.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación estándar es: ", round(desv.std, 4))

## [1] "La desviación estándar es:  2.0576"

o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $desv,std:

paste("La varianza es: ", round(resultado$desv.std, 4))

## [1] "La varianza es:  2.0576"

Tabla de sumatorias

tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")

Tabla de probabilidad con sumatorias
X	casos	f.prob.X	F.acum.X	X.f.prob.X	V6
0	8	0.0533333	0.0533333333333333	0.0000000	NA
1	12	0.0800000	0.133333333333333	0.0800000	NA
2	16	0.1066667	0.24	0.2133333	NA
3	19	0.1266667	0.366666666666667	0.3800000	NA
4	24	0.1600000	0.526666666666667	0.6400000	NA
5	28	0.1866667	0.713333333333333	0.9333333	NA
6	25	0.1666667	0.88	1.0000000	NA
7	14	0.0933333	0.973333333333333	0.6533333	NA
8	4	0.0266667	1	0.2133333	NA
****	150	1.0000000	****	4.1133333	****

Gráfica de barra

ggplot(data = tabla, aes(x = X, y=f.prob.X, fill=X)) +
  geom_bar(stat="identity")

Gráfica acumulada

ggplot(data = tabla, aes(x = X, y=F.acum.X)) +
  geom_point(colour="blue") + 
  geom_line(colour="red")

# Interpretación de los ejercicios del caso

Se presentaron varios ejercicios de variables aleatorias discretas en donde se determiniaron las funciones de probabilidad y la función acumulada, la media o valor esperado, la varianza y su desviación estándard.

Se generaron gráficas de barras de los valores de las variables y la gráfica lineal de las tendencias.

El valor esperado en el ejercicio 1 del sorteo con valor de 1%, significa que es es muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos.

En el ejercicio de venta de automóviles de John, se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria “número de automóviles vendidos”.

El valor esperado es del 2.1 que significa que puede vender 2 autos como esperanza.

El valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a largo plazo. Por ejemplo, si John trabaja $50$ sábados en un año, puede esperar vender $(50)(2.1)$ o $105$ automóviles solo durante los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado[@lind2015].

El valor de la varianza es de 1.29 que significa lo que puede variar con respecto al valor esperado. La desviación estándard es de $1.135782$.

¿Cómo se interpreta la variación?

Por ejemplo, Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados pero tien tal vez una desviacón de 1.9 en comparación del 1.135782 de John, entonces de puede decir que hay mayor variabilidad en la vendedora Rita dado que $(1.91 \geq 1.35)$ [@lind2015].

En el caso de las vacantes de puestos para hombres y mujeres el resultado del valor esperado es de $0.8$ que significa la probabilidad de contratar mujeres en promedio, su desviación estándar es de $0.6$ que significa nivel de dispersión (alejamiento) de la probabilidad de cada variable aleatoria con respecto al valor esperado.

Del ejercicio de parejas contestar las preguntas:

¿Cuál es la probabilidad de una pareja elegida al azar tenga menos de dos hijos? $P(x<2)$

La probabibilidad de encontrar a una pareja con menos de dos hijos es de: 0.55 %

¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos? $P(x>3)$

La probabilidad de que una pareja tenga más de tres hijos es de solo un 12 %

Si se elige un hijo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos? $P(x=0)$

La probabilidad de que no tenga hermanos es de un 40 %

Determina el número de hijos esperado al seleccionar una familia al azar. ¿Cuál es el valor esperado y qué significa?

El valor esperado de este caso es de: $1.7$ lo que significa que es un aproximado o la media de una respuesta sobre los hijos que pueden tener 100 parejas.

Calcula la varianza y la desviación de la distribución e interpretar su significado.

La varianza resultante es de $1.81$ y la desviación arrojó un resultado de: $1.345362$ estos significan la movibilidad (alejamiento) que tienen los datos con respecto a la media o tambien conocido como valor esperado.

Interpretar el ejercicio del dado

En el caso del ejercicio del dado teniamos que se lanzaba un dado 240 veces y en cada lanzamiento se anotaban los resultados consecuentes segun la cara superior del mismo, en este ejercicio obtuvimos el valor esperado, la varianza, desviacion asi como tambien sus funciones de probabilidad y de probabilidad acumulada.

Entonces en este caso tuvimos que el valor esperado al lanzar un dado es de $2.5$ por cada cara, segun los resultados de las operaciones, asi mismo tambien se obtuvieron los resultados de la varianza y de la desviacion de la distribucion o tambien conocida como la desviacion estandar: $2.9$ y $1.7029$ respectivamente.

Y finalmente a la hora de analizar las graficas podemos darnos cuenta de que los caso que más resultaron aunque sea por minima diferencia es el de 2 y 4 hablando de las caras de los dados, pues empataron en el numero de apariciones en los lanzamientos.

Interpretar el ejercicio de los vasos de agua

Finalmente en el caso de los vasos del agua de los alumnos del ITD pudimos calcular los mismos atributos que ya mencionamos en el caso anterior, es decir: Probabilidades, Varianza, Valor esperado y la desviacion estandar.

En este caso obtuvimos que el resultado del valor esperado o de la media de vasos consumidos por 150 alumnos del ITD es de: $4.1133$ lo que en un valor entero representaria un promedio aproximado de unos 4 vasos.

Si hablamos ahora de la varianza y desviacion estadar tenermos que los resultados segun las operaciones son: $4.2328$ y $2.0576$ lo que como ya mencioné anteriormente refleja la dispercion de los datos con respecto al VE (valor esperado o media).

En el analisis de las graficas podemos observar que el numero de vasos que menos se consumen por alumnos del ITD es de 8 pues la encuesta registró un cantidad pequeña comparada con los demas casos.

Referencias bibliográficas

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Descartes, Web. 2018. “Estadística. Distribuciones Aleatorias.” https://ieszaframagon.com/matematicas/estadistica/var_aleatoria/tema5_2.html. Hero, Course. n.d. “Variables Aleatorias - Variables Aleatorias Problemas…” https://www.coursehero.com/file/14618142/Variables-aleatorias/. Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015a. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. ———. 2015b. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.

Caso 13: Variables aleatorias discretas

Hector Hugo Gonzalez Hernandez

2023-03-14

Objetivo

Descripción

Marco de referencia

Desarrollo

Cargar librerías

Ejercicios

Billetes para rifa

Tabla de probabilidad

Valor esperado

Varianza

Desviación estándard de una distribución discreta

La tabla con las sumatorias

Gráfica de barra

Gráfica lineal acumulada

Automóviles de Pelican Ford

Tabla de probabilidad

Cálculo de probabilidades

Valor esperado

Varianza

Desviación estándar de una distribución discreta

La tabla con las sumatorias

Gráfica de barra

Gráfica lineal acumulada

Solicitudes de puestos de hombres y mujeres

Tabla de probabilidades

Cálculo de probabilidades

Valor esperado

Varianza

Desviación estándar

Tabla con sumatorias

Gráfica de barra

Gráfica lineal acumulada

Número de hijos de parejas

Tabla de probabilidades

Cálculo de probabilidades

Valor esperado

Varianza

Desviación estándar

Tabla con sumatorias

Gráfica de barra

Gráfica lineal acumulada

Lanzamiento de un dado

Cargando la función

Inicializando variables

Tabla de probabilidad

Cálculo de probabilidades

Valor esperado

Varianza

Desviación estándar

Tabla de sumatorias

Gráfica de barra

Gráfica acumulada

Tomar vasos de agua ITD

Inicializando variables

Ejecutar la función

Tabla de probabilidad

Cálculo de probabilidades

Valor esperado

Varianza

Desviación estándar

Tabla de sumatorias

Gráfica de barra

Gráfica acumulada

Referencias bibliográficas