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CURSO DE ESTADÍSTICA I

Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL: juliohurtado210307@gmail.com

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SEMANA 9. Probabilidad: Breve historia - Espacio Muestral y Eventos

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Clase N° 33. Probabilidad - Breve historia de la probabilidad

2.1 Clase N° 33. Probabilidad - Video Breve historia de la probabilidad

https://www.youtube.com/watch?v=eUVWxvEK7TM&t=42s

2.2 Clase N° 33. Probabilidad - Tipos de Experimentos - Espacio Muestral

$\blacksquare$ Experimento. Cualquier proceso o ensayo que genere resultados, datos u observaciones se llama experimento y pueden ser aleatorios o deterministas

$\blacksquare$ Experimento determinista.

Es aquel que produce el mismo resultado cuando se le repite bajo las mismas condiciones.

$\blacksquare$ Ejemplo.

Medir el volumen de un gas cuando la presión y la temperatura son constantes produce, teóricamente, siempre el mismo resultado

Determinista

2.3 Clase N° 33. Probabilidad - Video de Tipos de Experimentos y Espacio Muestral

embed_youtube("huSkDf3UOCc")

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Clase N° 34. Probabilidad - Espacio Muestral

2.4 Clase N° 34. Probabilidad - Espacio Muestral

$\blacksquare$ Experimento aleatorio.

Es aquel que, cuando se le repite bajo las mismas condiciones, el resultado que se observa no siempre es el mismo y tampoco es predecible

$\blacksquare$ Espacio Muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota con las letras $S$ o $\Omega$

$\blacksquare$ Ejemplo: Ejemplo: El lanzar una moneda al aire y observar la cara de la moneda que mira hacia arriba al caer.

$\blacksquare$ Ejemplo: Registrar el numero ganador en un juego de lotería, son ejemplos cotidianos de experimentos aleatorios.

$\blacksquare$ Ejemplo: Lanzamiento de dos dados distinguibles

$\blacksquare$ Ejemplo: Lanzamiento de dos monedas distinguibles

$\blacksquare$ Ejemplo: Lanzamiento de un dado perfecto. Cualquier subconjunto del Espacio Muestral se denomina evento o suceso y se representan por letras mayúsculas A, B, C …,etc

$\blacksquare$ Ejemplo: Lanzamiento de tres monedas. Espacio Muestral

$\blacksquare$ Ejemplo: Lanzamiento de un dado y una moneda. Espacio Muestral

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2.5 Clase N° 34. Probabilidad - Espacio Muestral

$\blacksquare$ Ejemplo: Matilde preguntó entre sus estudiantes las preferencias por los idiomas. La información la representó en el siguiente diagrama

Evento E:= {Los estudiantes prefieren Español}

Evento C:= {Los estudiantes prefieren Chino}

Evento I: {Los estudiantes prefieren Inglés}

(a) ¿A cuántos estudiantes le preguntó Matilde?

\[n(\Omega) = \]

(b) ¿A cuántos estudiantes les gusta Español y Chino?

\[n(E\cap C) = \]

(c) ¿A cuántos estudiantes les gusta Ingles y Chino?

\[n(I\cap C) = \]

(d) ¿A cuántos estudiantes les gusta Español e Ingles?

\[n(I\cap E) = \]

(e) ¿A cuántos estudiantes les gusta los tres idiomas?

\[n(I\cap C\cap E) = \]

(f) ¿A cuántos estudiantes les gusta sólo Español ?

\[n(\overline{I} \cap \overline{C}\cap E) = \]

(g) ¿A cuántos estudiantes les gusta sólo Ingles

\[n({I} \cap \overline{C}\cap \overline{E}) = \]

(g) ¿A cuántos estudiantes les gusta sólo un idioma?

\[n({I} \cap \overline{C}\cap \overline{E}) + n(\overline{I} \cap {C}\cap \overline{E})+ n(\overline{I} \cap \overline{C}\cap {E}) = \]

(h) ¿A cuántos estudiantes les gusta almenos un idioma?

\[n({I} \cup {C}\cup {E}) = \]

(i) ¿A cuántos estudiantes no les gusta esos idioma?

\[n(\overline{{I} \cup {C}\cup {E}}) = n(\overline{I} \cap \overline{C}\cap \overline{E}) = \]

(j) ¿A cuántos estudiantes les gusta máximo un idioma?

\[(g)+(i)\]

(k) ¿A cuántos estudiantes les gusta Inglés pero no chino?

\[n({I} \cap \overline{C})\]

(l) ¿A cuántos estudiantes les gusta Español pero no chino?

\[n({E} \cap \overline{C})\]

(m) ¿A cuántos estudiantes les gusta dos idiomas exactamente?

\[n({I} \cap {C}\cap \overline{E}) + n(\overline{I} \cap {C}\cap {E})+ n({I} \cap \overline{C}\cap {E}) = \]

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Clase N° 35. Probabilidad - Eventos y sucesos

2.6 Clase N° 35. Probabilidad - Video Operaciones con Eventos

embed_youtube("fd5kmNUwVK4")

2.7 Probabilidad

$\blacksquare$ Continuando con el estudio de un experimento aleatorio y una vez que se han definido los sucesos, se aprecia la necesidad de definir alguna medida que cuantifique la incertidumbre de que un determinado suceso se obtenga al realizar un experimento aleatorio, a tal medida se le denomina Probabilidad

$\blacksquare$ La dificultad de dar una definición del concepto de probabilidad sin objeciones o limitaciones, queda reflejada por los diferentes intentos realizados a lo largo de la historia para encontrar una definición de dicho concepto.

$\blacksquare$ De la introducción histórica que se ha elaborado se desprende la existencia de tres definiciones del concepto de probabilidad que a continuación se discuten

2.8 Definición clásica (Laplace).

$\blacksquare$ - La probabilidad de un suceso $A$ es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles.

\[ P(A)=\frac{\sharp (A)}{\sharp (\Omega)} \]

$\blacksquare$ **Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son:No es válida cuando los sucesos elementales no son equiprobables, A veces no es posible contar.**

2.9 Definición frecuentista (Bernoulli).

$\blacksquare$ La probabilidad de un suceso es el valorlímite de su frecuencia relativa al repetir indefinidamente la experimentación.

$\blacksquare$ Sea $\Omega$ un espacio muestral y $\mathcal{F}$ una $\sigma$-álgebra de subconjuntos de $\Omega$.

$\blacksquare$ La probabilidad de un evento $A \in \mathcal{F}$, está dada por el límite

\[ \mathbb{P}(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n_A}{n} \]

$\blacksquare$ en donde $n$ es el número total de ensayos y $n_A$ es el número de veces que ocurre el evento $A$.

$\blacksquare$ En la práctica, la definición de probabilidad frecuentista se encuentra limitada debido al hecho de que en la realidad $n$ y $n_A$ son números finitos y por lo tanto, lo que realmente se tiene es la aproximación

\[ \mathbb{P}(A) \approx \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n_A}{n} \]

2.10 Definición Axiomática (Kolmogórov).

$\blacksquare$ Todo lo anterior llevó a Andréi Kolmogórov a introducir axiomáticamente el concepto de Probabilidad.

Una medida de probabilidad $\mathbb{P}$, definida sobre elementos de una $\sigma$-álgebra $\mathcal{F}$ de subconjuntos de un conjunto $\Omega$, es una función $\mathbb{P}:\mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ que cumple lo siguiente:

$\blacksquare$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.

$\blacksquare$ $\mathbb{P}(A) \geq 0$ para todo $A \in \mathcal{F}$.

$\blacksquare$ Si $A_n$, $n=1,2,\ldots$ son eventos mutuamente excluyentes es decir, se tiene que $A_i \cap A_j = \emptyset$ para $i \neq j$, entonces

\[ \mathbb{P}\left(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_n) \]

2.11 Teorema: Propiedades de las medidas de probabilidad.

$\blacksquare$ Sea $\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)$ un espacio de probabilidad. La medida $\mathbb{P}$ tiene las siguientes propiedades:

$\blacksquare$ Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ eventos, entonces, \[\mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbb{P}(A_i \cap A_j) + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} \mathbb{P}(A_i \cap A_j \cap A_k) - \ldots + (-1)^{n + 1}\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n)\]

$\blacksquare$ Para cualesquiera eventos $A,B$, $\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A^c \cap B)$

$\blacksquare$ $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)$, en particular $\mathbb{P}(\emptyset) = 1 - \mathbb{P}(\Omega)$.

$\blacksquare$ Si $A \subset B$, entonces $\mathbb{P}(B) \geq \mathbb{P}(A)$

$\blacksquare$ Como consecuencia \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\]

$\blacksquare$ La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos, \[\forall \{A_i\}_{i\in \mathbb{N}} \mid A_i\cap A_j = \emptyset, \forall i \neq j, \qquad \mathbb{P}( \bigcup_{i\in N} A_i) = \sum_{i\in N} \mathbb{P}(A_i)\]

$\blacksquare$ El gran inconveniente de estas definiciones es que no dan un método para el cálculo de probabilidades, por lo que en la práctica hay que basarse en las definiciones clásica y frecuentista.

$\blacksquare$ **La probabilidad de ocurrencia del evento no ocurre $A$“* denotado por $\bar{A}$ es \[\mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\]**

$\blacksquare$ La probabilidad del suceso imposible es cero, \[\mathbb{P}(\emptyset) = 0\]

$\blacksquare$ Si $A$ y $B$ son dos sucesos cualesquiera se verifica que: \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\]

$\blacksquare$ \[\mathbb{P}(A \cup B \cup C ) =\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) -\mathbb{P}(B \cap C) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C)\]

$\blacksquare$ Si $A \subseteq B$ entonces $\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)$

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Clase N° 36. Laboratorio 9 - Datos BIvariados - Regresion Lineal Simple - Correlación

2.12 Laboratorio 9 - Datos BIvariados - Regresion Lineal Simple - Correlación

embed_youtube("Eu02WA6uKkU")

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SEMANA 10. Probabilidad Condicional y Segundo Examen Parcial

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Clase N° 37. Segundo Examen Parcial - Primera Hora

Clase N° 38. Segundo Examen Parcial - Segunda Hora

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Clase N° 39. Probabilidad - Definición de Probabilidad y axiomas

2.13 Clase N° 39. Probabilidad - Video Eventos y Operaciones con Eventos

embed_youtube("u8695ip7Tww")

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Clase N° 40. Laboratorio 10 - Complementos del Segundo Parcial - 100 puntos

Recuerden que se debe hacer recorrido por toda la base de datos del Laboratorio 9, desde la SEMANA 2 : clase 5 hasta la SEMANA 8 clase 32

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SEMANA 11. Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes

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Clase N° 41. Revisión de Segundo parcial

2.13 Clase N° 41. Revisión de Segundo parcial

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Clase N° 42. Probabilidad - Definición de Probabilidad y axiomas

2.14 Clase N° 42. Continuación clase 39

embed_youtube("u8695ip7Tww")

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Clase N° 43. Probabilidad - Ejercicios de probabilidad

2.15 Clase N° 43. www.lasmatesfaciles.com: Introducción a la Probabilidad

embed_youtube("TFLqPRYhNok")

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Clase N° 44. Laboratorio 11 - Probabilidad - 95 puntos

2.16 Clase N° 40. Experimentos Aleatorios y deterministas - 15 puntos - https://forms.gle/WmF3xoGbp1BEefPJ9

2.17 Clase N° 40. D12: Eventos en términos de conjuntos - 80 puntos - https://forms.gle/PjVfUMu9iRGP6TyS9

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SEMANA 12. Probabilidad - Probabilidad Condicional - Teorema de Bayes

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Clase N° 45. Probabilidad - Probabilidad Condicional

2.18 Clase N° 45. Probabilidad - Video Probabilidad Condicional

embed_youtube("ikDb-OVMQ0g")

2.19 Clase N° 45. Probabilidad condicional

$\blacksquare$ Probabilidad de que ocurra $A$ si $B$ ya ocurrió, $\mathbb{P}(A\mid B)$, viene definida por el cociente: \[\mathbb{P}(A\mid B) = \frac {\mathbb{P}(A \cap B)} {\mathbb{P}(B)}\]

$\blacksquare$ Análogamente, se define la probabilidad condicionada de $B$ respecto a $A$. \[\mathbb{P}(B\mid A) = \frac {\mathbb{P}(A \cap B)} {\mathbb{P}(A)}\]

$\blacksquare$ Utilizando conjuntamente ambos resultados se obtiene que: \[\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A\mid B)\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B\mid A)\mathbb{P}(A)\]

2.20 Ejemplo: El 60% de los alumnos de una clase de Estadística son chicas y se sabe que el 30% de las chicas son rubias. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un alumno de la clase que sea chica y rubia?

$\blacksquare$ Para resolver este ejemplo se consideran los siguientes sucesos:

$\blacksquare$ $F$={ser de sexo femenino}}

$\blacksquare$ $M$ ={ser de sexo masculino}

$\blacksquare$ $R$ ={tener pelo rubio}.

$\blacksquare$ \[\mathbb{P}(R \cap F)=\mathbb{P}(R\mid F) \mathbb{P}(F)=0.3\cdot 0.6=0.18\]

$\blacksquare$ Función probabilidad condicional

$\blacksquare$ Si $\mathbb{P}(B)>0$, entonces $\mathbb{P}(\cdot \mid B)$ es una probabilidad:

$\blacksquare$ $\mathbb{P}(A\mid B) \geq 0 \quad \forall A$

$\blacksquare$ $\mathbb{P}( \Omega \mid B ) = 1$

$\blacksquare$ Para cualquier sucesión de sucesos disjuntos $\{A_i\}_{i=1}^{n/\infty}$, se verifica: \[\mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^{n/\infty} A _i \mid B) = \sum_{i=1}^{n/\infty} \mathbb{P}(A _i\mid B)\]

$\blacksquare$ Dados $n$ sucesos, $A_1, A_2,\ldots,A_n$, se tiene:

$\blacksquare$ \[ \mathbb{P}(A _1 \cap A _2 \cap...\cap A _n)=\mathbb{P}(A _1)\cdot \mathbb{P}(A _2\mid A _1)\cdot \mathbb{P}(A _3\mid A _1 \cap A _2)\cdot\ldots\ldots\cdot \mathbb{P}(A _n\mid A _1 \cap A _2 \cap...\cap A _{n-1})\]

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Clase N° 46. Probabilidad Total y Teorema de Bayes

2.21 Clase N° 46. Probabilidad Total y Teorema de Bayes

embed_youtube("NqFN5ZiTgpo")

2.22 Clase N° 46. Regla de la Probabilidad Total

$\blacksquare$ Se considera un experimento que se realiza en dos etapas, en la primera se supone que los posibles sucesos, $A_1, A_2,\ldots,A_n$, constituyen un sistema completo, de tal forma que son conocidas las probabilidades a priori, $\mathbb{P}(A_1), \mathbb{P}(A_2),\ldots,\mathbb{P}(A_n)$.

$\blacksquare$ Si se conocen las probabilidades condicionadas $\mathbb{P}(B\mid A_i)$ para un cierto suceso $B$ y cada $A_i$ se verifica que: \[\mathbb{P}(B)= \sum _{i=1} ^n \mathbb{P}(B\mid A _i)\mathbb{P}(A _i)\]

$\blacksquare$ Si conocemos que un suceso esperado $B$ ha ocurrido, nos podríamos preguntar por la probabilidad de ocurrencia de aquellos eventos que positivamente hubiesen originado la ocurrencia de $B$. Tal cálculo es posible usando una expresión que se conoce como la fórmula de Bayes

$\blacksquare$ \[\mathbb{P}(A_i|B) = \dfrac{\mathbb{P}(A_i) \mathbb{P}(B|A_i) }{\sum_{j=1}^{k} \mathbb{P}(A_j) \mathbb{P}(B|A_j)}\]

$\blacksquare$ El teorema de Bayes resuelve esta cuestión, llevando el cálculo de las probabilidades a un terreno más natural, expresando las probabilidades a posteriori, $\mathbb{P}(A_i|B)$, en función de las verosimilitudes, $\mathbb{P}(B|A_i)$.

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Clase N° 47. Probabilidad Total y Teorema de Bayes

2.23 Clase N° 47. Probabilidad Total y Teorema de Bayes

$\blacksquare$EjemploEn una determinada ciudad se ha cometido un asesinato. De la investigación se encarga un detective, que tiene 5 sospechosos entre los que se encuentra el asesino. Se sabe que el detective trabaja con un pequeño margen de error, de forma que la probabilidad de creer inocente al verdadero asesino es de 0.05 y la probabilidad de creer culpable a una persona inocente es de 0.08. Si el detective cree que una persona es culpable, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea el asesino?

$\blacksquare$ Para la resolución del problema se definen los siguientes sucesos:

$\blacksquare$ $A=$ {ser asesino}

$\blacksquare$ $I=$ {ser enjuiciado inocente}

$\blacksquare$ $C=$ {ser enjuiciado culpable}

$\blacksquare$ De esta forma se tiene que:

$\blacksquare$ Hay un asesino de 5 sospechosos, por tanto, la probabilidad de que una persona elegida al azar sea el asesino es: \[\mathbb{P}(A)=\dfrac{1}{5} \quad \quad \mathbb{P}(\bar{A})=\dfrac{4}{5}\]

$\blacksquare$ La probabilidad de creer inocente al verdadero asesino, es la probabilidad de ser enjuiciado inocente condicionada a que es el asesino, es decir, $\mathbb{P}(I|A)=0.05$. Además, se sabe que $\mathbb{P}(C|A)=1-P(I|A)=0.95$.

$\blacksquare$ La probabilidad de creer culpable a una persona inocente, es la probabilidad de ser enjuiciado culpable condicionada a que no es el asesino, es decir, $\mathbb{P}(C| \bar{A})=0.08$.

$\blacksquare$ En el problema se pide la probabilidad de que una persona asesina haya sido enjuiciada culpable, es decir, la probabilidad de que una persona sea asesina condicionada a que ha sido enjuicida culpable. Por tanto, la probabilidad requerida es $\mathbb{P}(A|C)$, para calcular dicha probabilidad se recurre al teorema de Bayes \[\mathbb{P}(A|C)=\dfrac{\mathbb{P}(C|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(C|A)\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(C|\bar{A})\mathbb{P}(\bar{A})}=\dfrac{0.95\cdot 0.2}{0.95\cdot 0.2 +0.08 \cdot 0.8}=\dfrac{0.19}{0.254}=0.748\]

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Clase N° 48. Laboratorio 12 - Probabilidad - 100 puntos

2.24 Clase N° 48. Probabilidad - 40 puntos - https://forms.gle/LD5D71VpTTRzz8pi6

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SEMANA 13. Eventos Independientes y Técnicas de Conteo

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Clase N° 49. Eventos Independientes y Técnicas de Conteo

2.25 Clase N° 49. Video Eventos Independientes y Técnicas de Conteo

embed_youtube("PNQ0-KemMqk")

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2.26 Clase N° 49. Independencia de eventos

$\blacksquare$ Una colección de eventos $A_1, \ldots, A_n$ se dice que es mutuamente independiente si para cada $k,\ 1 \leq k \leq n$, y cualesquiera $k$ eventos, $A_{i_1}, \ldots A_{i_k}$, se tiene que \[\mathbb{P}(A_{i_1} \cap \ldots A_{i_k}) = \mathbb{P}(A_{i_1}) \times \ldots \times \mathbb{P}(A_{i_k})\].

$\blacksquare$ En particular, dos eventos son independientes si \[\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\]

$\blacksquare$ Utilizando la probabilidad condicional, para dos eventos independientes tenemos que \[\mathbb{P}(B|A) = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} = \mathbb{P}(B)\]

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2.27 Clase N° 49. Video Técnicas de Conteo

embed_youtube("-qoj80YMeAw")

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Clase N° 50. Eventos Independientes y Técnicas de Conteo

2.28 Clase N° 50. Video Técnicas de Conteo 2

embed_youtube("ylQyzYjcmXM")

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Clase N° 51. Variables aleatorias discretas y Distribución de probabilidad

3.1 Clase N° 47. Video Variables aleatorias discretas y Distribución de probabilidad

embed_youtube("AOyJwcR4Khg")

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Clase N° 52. Laboratorio 13 - Probabilidad - 100 puntos

3.2 Clase N° 48. Tema Probabilidad - Parte 2. - 100 puntos - https://forms.gle/QRtfe862rE9JpRc77

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SEMANA 14. Variables aleatorias discretas y Distribución de probabilidad

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Clase N° 53. Variables aleatorias discretas y Distribución de probabilidad

3.3 Definición de Variables aleatorias

$\blacksquare$ Recordemos que el espacio muestral $\Omega$, contiene todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, esto es $\Omega=$ {$\omega$|$\omega$ es un resultado del E. A}.

$\blacksquare$ Si a cada $\omega$ le asignamos un número real $x$, la función que resulta se llama una variable aleatoria y la denotamos por $X$, así: $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ donde $X(\omega)=x$

3.4 Video: Variables aleatorias Discretas

embed_youtube("AOyJwcR4Khg")

3.5 Acerca de las Variables aleatorias Discretas

$\blacksquare$ Una variable aleatoria $X$ que toma sus valores en un conjunto finito o enumerable se llama discreta

$\blacksquare$ **Cada variable aleatoria discreta, $X$, tiene asociada una función, $f$, llamada la *función de masa de probabilidad y la denotamos por $f_X(x)=P\{X=x\}$, la cual debe cumplir las siguientes propiedades:**

$\blacksquare$ $f(x) = \mathbb{P}(X = x) \geq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

$\blacksquare$ El conjunto $A = \{x: f(x) \neq 0 \}$ es un subconjunto finito o numerable infinito de $\mathbb{R}$. $\sum_{x \in A} f(x) = 1$.

$\blacksquare$ Ejemplo de una variable aleatoria discreta

Sea $X$ la variable aleatoria con distribución

$x$	1	2	3
$f(x)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

Tambien se puede escribir

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{1}{4} & si & x=1, \\ \\ \dfrac{1}{2} & si & x=2, \\ \\ \dfrac{1}{4} & si & x=3, \\ \\ 0 & en & otro & caso \end{array} \right.\]

3.6 Media y varianza de una Variables aleatorias Discretas

$\blacksquare$ **Media o valor Esperado de una v.a.d

\[\mu =\mathbb{E}(X)=\sum_{x\in\Omega}xf(x)\]

$\blacksquare$ **Varianza de una v.a.d

\[ \mathbb{V}(X)=\sum_{x\in\Omega}(x-\mu)^2f(x)=\mathbb{E}(X^2)-\mu^2 \]

$\blacksquare$ Ejemplo. Lancemos dos monedas y sea $X=:$ el número de caras. Entonces,

$\mathbb{P}(X = 0) =\mathbb{P}(\{SS\}) = 1/4$, $\mathbb{P}(X = 1) = \mathbb{P}(\{ CS, SC\}) = 1/2$ y $\mathbb{P}(X = 2) = \mathbb{P}(\{CC \} ) = 1/4$.

$\blacksquare$ Las variables aleatorias y su distribución puede ser resumida como sigue:

$\{X=x\}$	0	1	2
$\mathbb{P}\{X=x\}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{4}$

$\blacksquare$ Ejemplo calcule el $\mathbb{E}(X)$ y $\mathbb{V}(X)$

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3.7 Un ejemplo interesante y es opcional

$\blacksquare$ Suponga que la variable aleatoria $X$ tiene la siguiente distribución de probabilidad

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} (\dfrac{1}{2})^x & si & x=1,2,\cdots, \\ \\ 0 & en& otro&caso \end{array} \right.\]

$\blacksquare$ Hallar el $\mathbb{E}(X)$

\[\mu =\mathbb{E}(X)=\sum_{x\in\Omega}xf(x)=\sum_{x=1}^{\infty}x (\dfrac{1}{2})^x=1*(\dfrac{1}{2})^1+2*(\dfrac{1}{2})^2+3*(\dfrac{1}{2})^3+\cdots+\\=\sum_{x=1}^{\infty}[\sum_{y=1}^{x}1] (\dfrac{1}{2})^x=\sum_{y=1}^{\infty}[\sum_{x=y}^{\infty}(\dfrac{1}{2})^x] \\ =\sum_{y=1}^{\infty}\dfrac{(\dfrac{1}{2})^y-(\dfrac{1}{2})^{\infty}}{1-\dfrac{1}{2}} \\ =2\sum_{y=1}^{\infty}(\dfrac{1}{2})^y \\ =2\dfrac{(\dfrac{1}{2})^1-(\dfrac{1}{2})^{\infty}}{1-\dfrac{1}{2}} = 2 \]

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$\blacksquare$ Hallar $\mathbb{V}(X)$

\[\mathbb{E}(X^2)=\sum_{x\in\Omega}x^2f(x)=\sum_{x=1}^{\infty}x^2(\dfrac{1}{2})^x \\ =1^2*(\dfrac{1}{2})^1+2^2*(\dfrac{1}{2})^2+3^2*(\dfrac{1}{2})^3+\cdots+\\ =\sum_{x=1}^{\infty}[(x(x-1)+x)] (\dfrac{1}{2})^x \\ =\sum_{x=1}^{\infty}[x(x-1) (\dfrac{1}{2})^x]+\sum_{x=1}^{\infty}x (\dfrac{1}{2})^x \\ =2\sum_{x=1}^{\infty}[\sum_{y=1}^{x-1}y (\dfrac{1}{2})^x]+2 \\ =2*\dfrac{1}{2}\sum_{x=1}^{\infty}[\sum_{y=1}^{x-1}y (\dfrac{1}{2})^{x-1}]+2 \\ =\sum_{y=1}^{\infty}[\sum_{x=y}^{\infty}y (\dfrac{1}{2})^{x}]+2 \\ =\sum_{y=1}^{\infty}y\dfrac{(\dfrac{1}{2})^y-(\dfrac{1}{2})^{\infty}}{1-\dfrac{1}{2}}+2 \\ =2\sum_{y=1}^{\infty}y(\dfrac{1}{2})^y +2\\ =2\mathbb{E}({X}) +2 = 2*2+2=6 \]

$\blacksquare$ Conclusión: Por tanto

\[\sigma^2=\mathbb{E}(X^2)-\mu^2= 6-4 =2\]

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Clase N° 54. Distribuciones de Probabilidad Discretas más comunes

3.8 Las Distribuciones discretas de Probabilidad mas comunes son

$\blacksquare$ Uniforme Discreta: $X\sim U(\{y_{1},y_{2}\dots,y_{n}\})$

$\blacksquare$ Binomial: $X\sim B(n,p)$

$\blacksquare$ Geométrica: $X\sim G(p)$

$\blacksquare$ Hipergeométrica: $X\sim H(N,M,n)$

$\blacksquare$ Binomial Negativa: : $X\sim Bneg(r,p)$

$\blacksquare$ Poisson: $X\sim U(\lambda)$

3.9 Tablas Distribuciones discretas de Probabilidad y sus parámetros en RStudio

Distribucion	Nombre	Parametro
Binomio	binom	n= numero de ensayos; p= probabilidad de exito de un ensayo
Geometrico	geom	p= probabilidad de exito de un ensayo
Hipergeometrico	hyper	m= numero de bolas blancas en la urna; n= numero de bolas negras en la urna; k= numero de bolas extraidas de la urna
Binomial negativo (NegBinomial)	nbinom	size= numero de ensayos exitosos
Poisson	pois	lambda= media

3.10 La distribución uniforme discreta

$\blacksquare$ Definición de la distribución uniforme discreta. Supongamos que $Y$ es una variable aleatoria discreta que toma valores en el conjunto $\{y_{1},y_{2}\dots,y_{n}\}$. Decimos que $Y\sim U(\{y_{1},y_{2}\dots,y_{n}\})$, esto es, $Y$ tiene distribución uniforme discreta, si tiene función de probabilidad \[P\{Y=y\}=1/n\] paa $y = y_{1},y_{2}\dots,y_{n}$

$\blacksquare$ Valor Esperado

\[E(Y) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_j =\bar{y}=\frac{n+1}{2} \].

$\blacksquare$ Varianza

\[ V(Y) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n (y_j - E(Y))^2 =\frac{n^2-1}{12}\].

3.11 Ejemplo de una distribución uniforme discreta

$\blacksquare$ En el Juego de la Lotería se tienen cuatro dispositivos donde en cada uno de ellos aparecen las balotas marcadas desde $0, 1, 2, ....,9$. Se debe garantizar que cada balota tenga la misma probabilidad de salir seleccionada. En otras palabras, Si $X$ es la variable aleatoria que indica el numero seleccionado, entonces $X$ tiene distribución uniforme. Sea $X\sim U(\{0,1\dots,9\})$. Construyamos la tabla que muestre a esta distribución, su grafica y además calculemos la probabilidad de que $P(\{X=2\})$. En forma de Tabla:

$\blacksquare$ En forma de Tabla, representamos la ddistribución del juego de las balotas:

$\{X =x\}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$f(x)=P\{X=x\}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$

$\blacksquare$ En forma Analítica

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{1}{10} & si & x=0, 1,2,\cdots, 9\\ \\ 0 & en& otro&caso \end{array} \right.\]

$\blacksquare$ Construyamos un gráfico usando function en Rstudio. Definimos la función

dunifdisc<-function(x, min=0, max=9) ifelse(x>=min & x<=max & round(x)==x, 1/(max-min+1), 0)

for (x in 0:9)
     print(x)

## [1] 0
## [1] 1
## [1] 2
## [1] 3
## [1] 4
## [1] 5
## [1] 6
## [1] 7
## [1] 8
## [1] 9

for (x in 0:9)
     print(dunifdisc(x))

## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1
## [1] 0.1

$\blacksquare$ Construyamos un gráfico usando function en Rstudio. Ahora graficamos la función

(https://r-charts.com/es/r-base/simbolos-pch/)

x<-0:9
plot(x,dunifdisc(x),type="h", lty  = 1, lwd  = 5, pch = 12, xlab="valores de {X=x}",ylab="P{X=x}", 
     main="Distribución Uniforme: X~ U({0,1,...,9})", col="#0000FF", ylim = c(0,0.15))

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Clase N° 55. Distribuciones de Probabilidad Discretas más comunes: Distribución Binomial

3.12 Video: Distribución Binomial

embed_youtube("S_bPftkha2I")

3.13 La Distribución de Bernoulli

$\blacksquare$ Definición Si $X$ es una variable aleatoria discreta que mide el “número de éxitos” y se realiza un único experimento con dos posibles resultados denominados éxito y fracaso, se dice que la variable aleatoria $X$ se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p$ con {<p<1} y escribimos$ X (p)$.

$\blacksquare$ Función de Probabilidad. Su función de probabilidad es

\[{\displaystyle \operatorname {P} [X=x]=p^{x}(1-p)^{1-x}\qquad x=0,1}\]

$\blacksquare$ lo anterior es equivalente a escribir

{ [X=x]={ \[\begin{cases}1-p&{\mbox{si }}x=0\\p&{\mbox{si }}x=1\end{cases}\] }}{ [X=x]={ \[\begin{cases}1-p&{\mbox{si }}x=0\\p&{\mbox{si }}x=1\end{cases}\]

}}

3.14 La Distribución de Bernoulli: Ejemplo.

$\blacksquare$ Sea $X$ = # de caras en el lanzamiento de una moneda - En forma de Tabla:

$\{X =x\}$	0	1
$f(x)=P\{X=x\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

3.15 Distribucion Binomial

$\blacksquare$ Diremos que una variablea aleatoria $X$ tiene distribucion binomial lo cual escribimos como X ~ B(n,p), $X$ cuenta el número de éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito constante $p$. - La Probabilidad de $\{X=k\}$ viene dada por la expresión:

\[f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {n\choose k} p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n\]

$\blacksquare$ Notaciones en R para la distribución Binomial

Para calcular probabilidades usamos la expresión: $P(X = k) = dbinom(k, n, p)$
Para calcular probabilidades acumuladas: $P(X \leqq k) = pbinom(k, n, p)$
Para calcular probabilidades cola superior: $P(X > k) = dbinom(k, n, p, lower.tail = FALSE)$
Para calcular cuantiles: $q_a = min\{x:P(X\leqq x)\} = qbinom(a, n, p)$

3.16 Distribucion Binomial. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

$\blacksquare$ La distribución de probabilidad de X = # de caras en 10 lanzamientos, viene dado por:

\[f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {10\choose k} 0.5^k\, (1-0.5)^{10-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, 10\]

$\blacksquare$ Grafico de funcion de probabilidad binomial a simple vista

plot(dbinom(0:10,10,0.5),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="X ~ B(10,0.5)")

$\blacksquare$ Nos piden calcular P(X=6)

\[f(6) \;=\; P(X=6) \;=\; {10\choose 6} 0.5^6\, (1-0.5)^{10-6}\;=\;0.20508\]

dbinom(6,10,0.5)

## [1] 0.2050781

$\blacksquare$ Un gráfico mas elaborado

# Rejilla de valores del eje X
x <- 0:10

# n = 10, p = 0.5
plot(dbinom(x, size = 10, prob = 0.5), type = "h", lwd = 10,
     main = "Función de probabilidad binomial",
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de éxitos", col = 1:10)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Clase N° 56. Laboratorio 14 - Repasar el tema de las combinaciones como antesala a la Distribución Binomial - 100 puntos

3.17 Temática: Coeficiente binomial

embed_youtube("MkZSiGu49Vo")

$\blacksquare$ Temática: Coeficiente binomial. Lo usamos para calcular el numero de combinaciones de n objetos distintos tomando k de ellos al mismo tiempo. Usaremos la función choose(n, k)

\[{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

$\blacksquare$ Ejemplo 1. De cuantas maneras se pueden escoger 2 obreros de 5 para realizar un trabajo

choose(5,2)

## [1] 10

$\blacksquare$ Ejemplo 2. ¿De cuantas maneras se puede organizar un equipo de baloncesto si todos pueden cumplir la misma función cuando se tienen 8 jugadores?

choose(8,5)

## [1] 56

$\blacksquare$ Ejercicio 1 (10 PUNTOS). ¿De cuantas maneras se puede organizar un equipo de futbol si todos pueden cumplir la misma función cuando se tienen 20 jugadores?

3.14 Temática: Combbinaciones

$\blacksquare$ Ejemplo 3. Si tenemos enumerados los jugadores, muestranos ¿cual puede ser la alineación en un partido de baloncesto?

combn(8, 5)

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]
## [1,]    1    1    1    1    1    1    1    1    1     1     1     1     1     1
## [2,]    2    2    2    2    2    2    2    2    2     2     2     2     2     2
## [3,]    3    3    3    3    3    3    3    3    3     3     4     4     4     4
## [4,]    4    4    4    4    5    5    5    6    6     7     5     5     5     6
## [5,]    5    6    7    8    6    7    8    7    8     8     6     7     8     7
##      [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26]
## [1,]     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1
## [2,]     2     2     2     2     2     2     3     3     3     3     3     3
## [3,]     4     4     5     5     5     6     4     4     4     4     4     4
## [4,]     6     7     6     6     7     7     5     5     5     6     6     7
## [5,]     8     8     7     8     8     8     6     7     8     7     8     8
##      [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37] [,38]
## [1,]     1     1     1     1     1     1     1     1     1     2     2     2
## [2,]     3     3     3     3     4     4     4     4     5     3     3     3
## [3,]     5     5     5     6     5     5     5     6     6     4     4     4
## [4,]     6     6     7     7     6     6     7     7     7     5     5     5
## [5,]     7     8     8     8     7     8     8     8     8     6     7     8
##      [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44] [,45] [,46] [,47] [,48] [,49] [,50]
## [1,]     2     2     2     2     2     2     2     2     2     2     2     2
## [2,]     3     3     3     3     3     3     3     4     4     4     4     5
## [3,]     4     4     4     5     5     5     6     5     5     5     6     6
## [4,]     6     6     7     6     6     7     7     6     6     7     7     7
## [5,]     7     8     8     7     8     8     8     7     8     8     8     8
##      [,51] [,52] [,53] [,54] [,55] [,56]
## [1,]     3     3     3     3     3     4
## [2,]     4     4     4     4     5     5
## [3,]     5     5     5     6     6     6
## [4,]     6     6     7     7     7     7
## [5,]     7     8     8     8     8     8

$\blacksquare$ Ejercicio 2 (10 PUNTOS). Si tenemos enumerados los jugadores, muestranos ¿cual puede ser la alineación en un partido de futbol?

3.18 Generacion de combinaciones

$\blacksquare$ Problema. Desea generar todas las combinaciones de n elementos tomados k a la vez.

# Seguimos con el equipo de Baloncesto
jugadores <- 1:8
k <- 5
combn(jugadores, k)

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14]
## [1,]    1    1    1    1    1    1    1    1    1     1     1     1     1     1
## [2,]    2    2    2    2    2    2    2    2    2     2     2     2     2     2
## [3,]    3    3    3    3    3    3    3    3    3     3     4     4     4     4
## [4,]    4    4    4    4    5    5    5    6    6     7     5     5     5     6
## [5,]    5    6    7    8    6    7    8    7    8     8     6     7     8     7
##      [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23] [,24] [,25] [,26]
## [1,]     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1
## [2,]     2     2     2     2     2     2     3     3     3     3     3     3
## [3,]     4     4     5     5     5     6     4     4     4     4     4     4
## [4,]     6     7     6     6     7     7     5     5     5     6     6     7
## [5,]     8     8     7     8     8     8     6     7     8     7     8     8
##      [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37] [,38]
## [1,]     1     1     1     1     1     1     1     1     1     2     2     2
## [2,]     3     3     3     3     4     4     4     4     5     3     3     3
## [3,]     5     5     5     6     5     5     5     6     6     4     4     4
## [4,]     6     6     7     7     6     6     7     7     7     5     5     5
## [5,]     7     8     8     8     7     8     8     8     8     6     7     8
##      [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44] [,45] [,46] [,47] [,48] [,49] [,50]
## [1,]     2     2     2     2     2     2     2     2     2     2     2     2
## [2,]     3     3     3     3     3     3     3     4     4     4     4     5
## [3,]     4     4     4     5     5     5     6     5     5     5     6     6
## [4,]     6     6     7     6     6     7     7     6     6     7     7     7
## [5,]     7     8     8     7     8     8     8     7     8     8     8     8
##      [,51] [,52] [,53] [,54] [,55] [,56]
## [1,]     3     3     3     3     3     4
## [2,]     4     4     4     4     5     5
## [3,]     5     5     5     6     6     6
## [4,]     6     6     7     7     7     7
## [5,]     7     8     8     8     8     8

$\blacksquare$ Ejemplo 4. Combinaciones de tres en tres

# Bolillo Gómez tiene cinco defensores para jugar con Millos y quiere escoger tres
choose(5, 3) # De cúantas formas lo puede hacer

## [1] 10

combn(5, 3) # Cual puede ser la alineacion

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,]    1    1    1    1    1    1    2    2    2     3
## [2,]    2    2    2    3    3    4    3    3    4     4
## [3,]    3    4    5    4    5    5    4    5    5     5

$\blacksquare$ Ejercicio 3 (10 PUNTOS). Bolillo Gómez tiene siete delanteros para jugar con Nacional y quiere escoger tres. ¿De cúantas formas lo puede hacer? ¿Cual puede ser la alineacion?

3.19 Combinaciones con cadenas

$\blacksquare$ El Tecnico de la selección colombia quiere jugar con tres delanteros

# El Tecnico de la selección colombia quiere jugar con tres delanteros
combn(c("Diaz", "Borja", "Sinisterra", "Borre", "Falcao"), 3) #Cual puede ser la alineación

##      [,1]         [,2]    [,3]     [,4]         [,5]         [,6]    
## [1,] "Diaz"       "Diaz"  "Diaz"   "Diaz"       "Diaz"       "Diaz"  
## [2,] "Borja"      "Borja" "Borja"  "Sinisterra" "Sinisterra" "Borre" 
## [3,] "Sinisterra" "Borre" "Falcao" "Borre"      "Falcao"     "Falcao"
##      [,7]         [,8]         [,9]     [,10]       
## [1,] "Borja"      "Borja"      "Borja"  "Sinisterra"
## [2,] "Sinisterra" "Sinisterra" "Borre"  "Borre"     
## [3,] "Borre"      "Falcao"     "Falcao" "Falcao"

$\blacksquare$ Ejercicio 4 (10 PUNTOS). Tengo 7 estudiantes, Rafaela, Maria, Juana, Camila, Tania, Yomarlys, Rosa. ¿Necesitamos escoger tres para un defile, quienes pueden ser?

3.20 Distribucion Binomial

$\blacksquare$ Diremos que una variablea aleatoria $X$ tiene distribucion binomial lo cual escribimos como X ~ B(n,p), $X$ cuenta el número de éxitos en $n$ ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito constante $p$. - La Probabilidad de $\{X=k\}$ viene dada por la expresión:

\[f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {n\choose k} p^k\, (1-p)^{n-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n\]

$\blacksquare$ Notaciones en R para la distribución Binomial

Para calcular probabilidades usamos la expresión: $P(X = k) = dbinom(k, n, p)$
Para calcular probabilidades acumuladas: $P(X \leqq k) = pbinom(k, n, p)$
Para calcular probabilidades cola superior: $P(X > k) = dbinom(k, n, p, lower.tail = FALSE)$
Para calcular cuantiles: $q_a = min\{x:P(X\leqq x)\} = qbinom(a, n, p)$

3.21 Distribucion Binomial. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

$\blacksquare$ La distribución de probabilidad de X = # de caras en 10 lanzamientos, viene dado por:

\[f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {10\choose k} 0.5^k\, (1-0.5)^{10-k}, \qquad k=0,1,2, \ldots, 10\]

$\blacksquare$ Nos piden calcular P(X=6)

\[f(6) \;=\; P(X=6) \;=\; {10\choose 6} 0.5^6\, (1-0.5)^{10-6}\;=\;0.20508\] #### $\blacksquare$ Usando RStudio

dbinom(6,10,0.5)

## [1] 0.2050781

$\blacksquare$ Ejercicio 5 (10 PUNTOS). Nos piden calcular $P(X>6)$, $P(X\leq 4)$

$\blacksquare$ Un gráfico mas elaborado

# Rejilla de valores del eje X
x <- 0:10

# n = 10, p = 0.5
plot(dbinom(x, size = 10, prob = 0.5), type = "h", lwd = 10,
     main = "Función de probabilidad binomial",
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de éxitos", col = 1:10)

$\blacksquare$ Ejercicio 6 (10 PUNTOS). Realice el gráfico anterior si $n=25$ y $p=0.6$

$\blacksquare$ Grafico de funcion de probabilidad binomial acumulada

# Rejilla de valores del eje X
x <- 0:10

# n = 10, p = 0.5
plot(pbinom(x, size = 10, prob = 0.5), type = "h", lwd = 10,
     main = "Función de probabilidad binomial X ~ B(10,0.5)",
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de éxitos", col = 1:10)

$\blacksquare$ Ejercicio 7 (10 PUNTOS). Realice el gráfico anterior si $n=25$ y $p=0.6$

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SEMANA 15. Variables aleatorias discretas y Distribución de probabilidad

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Clase N° 57. Distribución de Poisson

3.22 Definición Distribución de Poisson:

$\blacksquare$ Un proceso de Poisson es un experimento aleatorio que consiste en observar la ocurrencia de eventos específicos sobre un soporte continuo (generalmente el espacio o el tiempo), tal que el proceso es estable (el número promedio de ocurrencias, $\lambda$ es constante a largo plazo) y los eventos ocurren de forma aleatoria e independiente. Esta distribución aparece en algunos procesos que tienen una dimensión temporal o espacial. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc,:

$\blacksquare$ nº de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

$\blacksquare$ nº de bacterias por cm^2 de cultivo.

$\blacksquare$ nº de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.

$\blacksquare$ nº de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.

$\blacksquare$ La distribución de Poisson se usa para modelar el número de eventos que ocurren en un proceso de Poisson. Sea $X$ una variable aleatoria con distribución de Poisson donde $\lambda$ es el número medio de eventos que ocurren en un determinado intervalo:

\[X\sim P\{\lambda\}\] \[ f(k,\lambda) = exp(-\lambda)*\lambda^k/k!, \qquad k=0,1,2, \ldots, \infty\]

\[ E(X)=\lambda, \qquad Var(X)=\lambda\]

3.23 Usando RStudio -Gráfico de la distribución de Poisson para $\lambda = 10$

plot(dpois(0:20,10),xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Distribución de Poisson - X ~ P(10)", type = "h", lwd = 5, col = 1:10)

3.24 Definiendo la función - Gráfico de la distribución de Poisson para $\lambda = 5$

x<-0:20 # rango de la variable
l<-5 # valor de lambda
fx<-exp(-l)*l^x/factorial (x)
plot(x,fx, main="Función Poisson X ~ P(5)", sub="Fuente: elaboración propia", 
     xlab="Eje x", ylab="Eje y",  type="h", lwd = 5, col = 1:10)

3.25 Video: Distribución de Poisson

embed_youtube("olOo8R2k12s")

3.26 Ejemplo: Sea $X$ el número de infracciones de tránsito por día en un lugar emblemático en cada una de las ciudades: Cartagena (en promedio 5 semanales), Santa Marta (en promedio 10) y Barranquilla (en Promedio 20). Dibuje en un solo plano las distribuciones de probabilidad y en una sola tabla sus valores.

$\blacksquare$ Ejemplo - Gráfico

# Rejilla de valores del eje X
x <- 0:50

#-----------
# lambda: 5
#-----------
lambda <- 5
plot(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2,
     main = "Distribución de Poisson",
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de eventos")

#-----------
# lambda: 10
#-----------
lambda <- 10
lines(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2, col = rgb(1,0,0, 0.7))

#-----------
# lambda: 20
#-----------
lambda <- 20
lines(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2, col = rgb(0, 1, 0, 0.7))

# Leyenda
legend("topright", legend = c("Cartagena, 5", " Santa Marta, 10", "Barranquilla, 20"),
       title = expression(lambda), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = 1:3, lwd = 2, box.lty = 0)

## 3.27 Ejemplo: Sea $X$ el número de infracciones de tránsito por día en un lugar emblemático en cada una de las ciudades: Cartagena (en promedio 5 semanales), Santa Marta (en promedio 10) y Barranquilla (en Promedio 20).

$\blacksquare$ Hallar la probabilidad que en un dia cualquiera se reciban entre 10 y 15 infracciones en un día en la ciudad de Santa Marta

dpois(10:15, 10)

## [1] 0.12511004 0.11373640 0.09478033 0.07290795 0.05207710 0.03471807

sum(dpois(10:15, 10))

## [1] 0.4933299

$\blacksquare$ Hallar la probabilidad que en un dia cualquiera se reciban entre 10 y 15 infracciones en un día en la ciudad de Barranquilla

dpois(10:15, 20)

## [1] 0.005816307 0.010575103 0.017625171 0.027115648 0.038736640 0.051648854

sum(dpois(10:15, 20))

## [1] 0.1515177

$\blacksquare$ Hallar la probabilidad que en un dia cualquiera se reciban entre 10 y 15 infracciones en un día en la ciudad de Cartagena

dpois(10:15, 5)

## [1] 0.0181327887 0.0082421767 0.0034342403 0.0013208616 0.0004717363
## [6] 0.0001572454

sum(dpois(10:15, 5))

## [1] 0.03175905

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Clase N° 58. Distribución Binomial Negativa BN(r,p)

3.28 Definición Una variable aleatoria $X$ tiene Distribución Binomial Negativa de parámetro $r$, si cuenta los fracasos o ensayos antes del $r$ –ésimo éxito y se denota por $X ≈ BN(r,p)$

$\blacksquare$ **La distribución de probabilidad de $X$ = “Número de ensayos antes del r-ésimo éxito”, viene dado por:**

\[Formula \ 1: f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {k+r-1\choose r-1} p^r\, (1-p)^{k}\;, \qquad k\geq0, r=1,2, \ldots \]

$\blacksquare$ **La distribución de probabilidad de $X$ = “El ensayo en el cual se obtiene r-ésimo éxito”, viene dado por:**

\[Formula \ 2: f(x) \;=\; P(X=x) \;=\; {x-1\choose x-r} p^r\, (1-p)^{x-r}\;=\; {x-1\choose r-1} p^r\, (1-p)^{x-r} \qquad x\geq r, r=1,2, \ldots \]

3.29 Ejemplo La probabilidad de que cierto examen médico dé lugar a una reacción “positiva” es igual a 0.8, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 5 reacciones “negativas” antes de la tercera positiva?

$\blacksquare$ Si definimos $X$ como el número de fracasos hasta obtener el $r$ éxito, usaremos la fórmula 1. Sabemos que $r=3$ y $p=0.8$, si usamos la fórmula 1, se tiene:

\[Formula \ 1: f(x) \;=\; P(X=x) \;=\; {x+2\choose 2} 0.8^2\, (1-0.8)^{x}\;, \qquad x\geq0, \]

$\blacksquare$ Para tener una idea del resultado solicitado hagamos el gráfico - Usando RStudio

x<-0:10
fx<-choose(x+2,2)*0.8^2*0.2^x
plot(x,fx, main="Función Binomia negativa", sub="Fuente: elaboración propia", 
     xlab="Eje x", ylab="Eje y", col="blue", type="o")

$\blacksquare$ Usando la función incorporada en R

plot(dnbinom(0:10,3,0.8),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="X ~ Bneg(3,0.8)")

$\blacksquare$ ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 5 reacciones “negativas” antes de la tercera positiva?

\[Formula \ 1: f(5) \;=\; P(X=5) \;=\; {5+3-1\choose 3-1} 0.8^3\, (1-0.8)^{5}\;=0.00344 \]

$\blacksquare$ Usando R

dnbinom(5,3,0.8)

## [1] 0.00344064

3.30 Ejemplo (Formula Alternativa) La probabilidad de que cierto examen médico dé lugar a una reacción “positiva” es igual a 0.8, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 5 reacciones “negativas” antes de la tercera positiva?

$\blacksquare$ Si definimos $X$ como el ensayo donde se obtuvo el último éxito, usaremos la fórmula 2. Sabemos que $r=3$ y $p=0.8$, si usamos la fórmula 2, se tiene:

\[Formula \ 2: f(x) \;=\; P(X=x) \;=\; {x-1\choose 3-1} 0.8^3\, (1-0.8)^{x-3} \qquad x\geq r, r=1,2, \ldots \] #### $\blacksquare$ ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 5 reacciones “negativas” antes de la tercera positiva?

\[Formula \ 2: f(8) \;=\; P(X=8) \;=\; {8-1\choose 3-1} 0.8^3\, (1-0.8)^{8-3}\;=0.00344 \]

$\blacksquare$ Ejercicio 1. ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 3 reacciones “negativas” antes de la segunda positiva?

$\blacksquare$ Ejercicio 2. ¿cuál es la probabilidad de que ocurran almenos de 2 reacciones “negativas” antes de la quinta positiva?

3.31 **Valor Esperado, Varianza y desviación estadard de una variable de Binomial negativa

$𝝁=E{X} = r(1-p)/p$
$𝝈^𝟐=V{X } = r(1-p)/p^2$
$𝝈=√(n(1−p)/p^2 )$

$\blacksquare$ Ejercicio 3. En el ejercicio anterior halle los valores esperados y varianza

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Clase N° 59. Distribución Hipergeométrica H(N,M,n) - https://rpubs.com/AndresCruz/634182

3.32 Definición. Una variable aleatoria $X$ tiene distribución Hipergeométrica, si cuenta éxitos en una muestra de tamaño n tomada de una población de tamaño N, donde M de ellos son éxitos y se denota por $X ≈ H(N,M,n)$. La distribución de probabilidad de X = # de éxitos en una muestra de tamaño n, viene dado por:

\[ f(x) \;=\; P(X=x) \;=\; \frac{{M\choose x}{N-M\choose n-x}}{{N\choose n}}\;, \qquad x =1,2, \dots, min\{n, M\}. \]

$\blacksquare$ Valor esperado y Varianza

Con \[E(X)= n\frac{M}{N}\; y \; V(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1} \]

3.33 Distribucion Hipergeometrica en R

$\blacksquare$ dhyper(x, n, N-n, M, log = F): Devuelve resultados de la función de probabilidad, f(x)=P(X=x).

$\blacksquare$ phyper(q, n, N-n, M, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de la función de distribución acumulada hasta q, $F(q)=P(X≤q)$.

$\blacksquare$ qhyper(p, n, N-n, M, lower.tail = T, log.p = F): Devuelve resultados de los cuantiles de la distribución, $P(X≤q)=p$.

$\blacksquare$ rhyper(#Ran, n, N-n, M): Devuelve un vector de valores de la Hipergeométrica aleatorios.

$\blacksquare$ ****

3.34 Ejemplo. Un cargamento de 20 grabadoras magnetofónicas, contiene 5 defectuosas. Si 10 de ellas son aleatoriamente escogidas para una revisión, ¿cuál es la probabilidad de que 2 estén defectuosas? Se supone que cada grabadora seleccionada no puede ser cambiada por otra

\[ f(x) \;=\; P(X=x) \;=\; \frac{{5\choose x}{20-5\choose 10-x}}{{20\choose 10}}\;, \qquad x =1,2, \dots, 5. \]

$\blacksquare$ Graficando la función - Construida manualmente

x<-0:5
fx<-choose(5,x)*choose(15,10-x)/choose(20,10)
plot(x,fx)

$\blacksquare$ Graficando la función - Construida Usando R

x<-0:5
plot(dhyper(x,10,10,5))

$\blacksquare$ Resolviendo la pregunta

dhyper(2,10,10,5)

## [1] 0.3482972

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Clase N° 60. Laboratorio 15 - Distribuciones de Probabilidad Discreta - 100 puntos (40% Tercer Parcial)

INICIO LABORATORIO 15

3.25 Video: Laboratorio 15 - Distribución de Probabilidad

embed_youtube("cl-k7-mYXxk")

3.35 Definición Distribución de Poisson - Concepto:

$\blacksquare$ La distribución de Poisson se usa para modelar el número de eventos que ocurren en un proceso de Poisson, es decir, donde se involucran intervalos de tiempo, regiones, áreas, volumenes, etc. Siempre se conoce el valor de $\lambda$ igual al número promedio de eventos que ocurren. Sea $X$ una variable aleatoria con distribución de Poisson, entonces:

\[X\sim P\{\lambda\}\] \[ f(k,\lambda) = exp(-\lambda)*\lambda^k/k!, \qquad k=0,1,2, \ldots, \infty\]

\[ E(X)=\lambda, \qquad Var(X)=\lambda\]

3.36 Ejemplo 1 -Gráfico de la distribución de Poisson para $\lambda = 10$

# Ejemplo 1. Gráfico de una variable de Poisson de parametro lamda = 10
plot(dpois(0:20,10),xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Distribución de Poisson - X ~ P(10)", type = "h", lwd = 5, col = 1:10)

# Ejemplo 1. Gráfico de una variable de Poisson de parametro lamda = 5
plot(dpois(0:15,5),xlab="k",ylab="P(X=k)",main="Distribución de Poisson - X ~ P(5)", type = "h", lwd = 5, col = 1:10)

3.37 Ejemplo 2: Sea $X$ el número de infracciones de tránsito por día en un lugar emblemático en cada una de las ciudades: Cartagena (en promedio 5 semanales), Santa Marta (en promedio 10) y Barranquilla (en Promedio 20). Dibuje en un solo plano las distribuciones de probabilidad y en una sola tabla sus valores.

$\blacksquare$ Ejemplo - Gráfico

# Rejilla de valores del eje X
x <- 0:50

#-----------
# lambda: 5
#-----------
lambda <- 5
plot(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2,
     main = "Distribución de Poisson",
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de eventos")

#-----------
# lambda: 10
#-----------
lambda <- 10
lines(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2, col = rgb(1,0,0, 0.7))

#-----------
# lambda: 20
#-----------
lambda <- 20
lines(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2, col = rgb(0, 1, 0, 0.7))

# Leyenda
legend("topright", legend = c("Cartagena, 5", " Santa Marta, 10", "Barranquilla, 20"),
       title = expression(lambda), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = 1:3, lwd = 2, box.lty = 0)

3.38 Ejercicio 1: Sea $X$ el número de infracciones de tránsito por día en un lugar emblemático en cada una de las ciudades: Cartagena (en promedio 25 semanales), Santa Marta (en promedio 20) y Barranquilla (en Promedio 30).

# Rejilla de valores del eje X
x <- 0:50

#-----------
# lambda: 5
#-----------
lambda <- 25
plot(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2,
     main = "Distribución de Poisson",
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de eventos")

#-----------
# lambda: 10
#-----------
lambda <- 20
lines(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2, col = rgb(1,0,0, 0.7))

#-----------
# lambda: 20
#-----------
lambda <- 30
lines(dpois(x, lambda), type = "h", lwd = 2, col = rgb(0, 1, 0, 0.7))

# Leyenda
legend("topright", legend = c("Cartagena, 25", " Santa Marta, 20", "Barranquilla, 30"),
       title = expression(lambda), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = 1:3, lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ Ejemplo 3: Hallar la probabilidad que en un dia cualquiera se reciban entre 10 y 15 infracciones en un día en la ciudad de Santa Marta

dpois(10:15, 10)

## [1] 0.12511004 0.11373640 0.09478033 0.07290795 0.05207710 0.03471807

sum(dpois(10:15, 10))

## [1] 0.4933299

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

3.39. Distribución Binomial Negativa BN(r,p) - Conceptos

Definición Una variable aleatoria $X$ tiene Distribución Binomial Negativa de parámetro $r$, si cuenta los fracasos o ensayos antes del $r$ –ésimo éxito y se denota por $X ≈ BN(r,p)$

$\blacksquare$ **La distribución de probabilidad de $X$ = “Número de ensayos antes del r-ésimo éxito”, viene dado por:**

\[Formula \ 1: f(k) \;=\; P(X=k) \;=\; {k+r-1\choose r-1} p^r\, (1-p)^{k}\;, \qquad k\geq0, r=1,2, \ldots \]

3.40 Ejemplo 4. La probabilidad de que cierto examen médico dé lugar a una reacción “positiva” es igual a 0.8, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 5 reacciones “negativas” antes de la tercera positiva?

$\blacksquare$ Usando la función incorporada en R

plot(dnbinom(0:10,3,0.8),type="h",xlab="k",ylab="P(X=k)",main="X ~ Bneg(3,0.8)")

$\blacksquare$ Ejemplo 5. ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 5 reacciones “negativas” antes de la tercera positiva?

dnbinom(5,3,0.8)

## [1] 0.00344064

$\blacksquare$ Ejercicio 2. ¿cuál es la probabilidad de que ocurran 3 reacciones “negativas” antes de la segunda positiva?

$\blacksquare$ Ejercicio 3. ¿cuál es la probabilidad de que ocurran almenos de 2 reacciones “negativas” antes de la quinta positiva?

3.41 Distribución Hipergeométrica H(N,M,n) - Conceptos

Definición. Una variable aleatoria $X$ tiene distribución Hipergeométrica, si cuenta éxitos en una muestra de tamaño n tomada de una población de tamaño N, donde M de ellos son éxitos y se denota por $X ≈ H(N,M,n)$. La distribución de probabilidad de X = # de éxitos en una muestra de tamaño n, viene dado por:

\[ f(x) \;=\; P(X=x) \;=\; \frac{{M\choose x}{N-M\choose n-x}}{{N\choose n}}\;, \qquad x =1,2, \dots, min\{n, M\}. \]

3.42 Ejemplo 6.. Un cargamento de 20 grabadoras magnetofónicas, contiene 5 defectuosas. Si 10 de ellas son aleatoriamente escogidas para una revisión, ¿cuál es la probabilidad de que 2 estén defectuosas? Se supone que cada grabadora seleccionada no puede ser cambiada por otra

$\blacksquare$ Graficando la función - Construida Usando R

x<-0:5
plot(dhyper(x,10,10,5))

$\blacksquare$ Resolviendo la pregunta

#Resolviendo la pregunta
dhyper(2,10,10,5)

## [1] 0.3482972

3.43 Distribucion Binomial - Ejemplo

$\blacksquare$ ****Ejemplo 7.. En la convocatoria de la selección Colombia el técnico llama a los tres goleadores del momento en el futbol internacional Julio Huetado que en 50 partidos ha marcado 10 goles, Alberto Patiño que en 50 partidos ha marcado 15 goles y Jorge Villalba que en 50 partidos ha marcado 20 goles. Queremos saber cual será su comportamiento en la cancha de juegos conociendo su palmarés de Goles en los próxumos 50 encuentros de las Eliminatorias y amistosos para el 2026

# Rejilla de valores del eje X
x <- 1:50

# n = 50, p = 0.2
plot(dbinom(x, size = 50, prob = 0.2), type = "h", lwd = 2,
     main = "Función de probabilidad binomial",
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de goles de Julio, Alberto y Jorge")

# n = 50, p = 0.3
lines(dbinom(x, size = 50, prob = 0.3), type = "h",
      lwd = 2, col = rgb(1,0,0, 0.7))

# n = 50, p = 0.4
lines(dbinom(x, size = 50, prob = 0.4), type = "h",
      lwd = 2, col = rgb(0, 1, 0, 0.7))

# Añadimos una leyenda
legend("topright", legend = c("50  0.2 Julio", "50  0.3 Alberto", "50  0.4 Jorge"),
       title = "n     p", title.adj = 0.85,
       lty = 1, col = 1:3, lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ Ejercicio 4. En una nueva convocatoria de la selección Colombia el técnico llama a los tres goleadores del momento en el futbol internacional Seferino Marciano que en 30 partidos ha marcado 10 goles, Lucrecio Jupiteriano que en 25 partidos ha marcado 15 goles y Moringo Mercurio que en 30 partidos ha marcado 20 goles. Queremos saber cual será su comportamiento en la cancha de juegos conociendo su palmarés de Goles en los próxumos 50 encuentros de las Eliminatorias y amistosos para el 2030**

3.44 Distribución Normal.

Ejemplo 8. Eligiendo una muestra aleatoria de Tamaño 30 de una poblacion normal.Calcular 30 posibles puntajes de un grupo de Estadistica I en el primer corte, si éstos se distribuyen como una variable normal cuya media se distribuye aleatoriamente y con hiperparametros de mean = 70 y sd = 5

medias<-rnorm(30, mean = 70, sd = 5)
medias

##  [1] 73.98100 72.49664 73.60896 66.67108 65.83046 77.56491 69.54543 72.31324
##  [9] 62.34330 69.20030 67.65189 76.72643 65.79134 64.52354 69.82482 68.22607
## [17] 69.28268 65.93789 76.29203 78.53867 57.36126 62.68711 66.54712 67.02681
## [25] 71.02607 80.56221 71.32871 71.01471 79.38627 71.79978

Redondeado los valores encontrados

round(medias)

##  [1] 74 72 74 67 66 78 70 72 62 69 68 77 66 65 70 68 69 66 76 79 57 63 67 67 71
## [26] 81 71 71 79 72

Hagamos el histograma de estos datos que siguen una distribución normal

# Rejilla de valores del eje X
x <- round(medias)
hist(x,  lwd = 2,
     main = "Función densidad de probabilidad", ylim=c(0,20),
     ylab = "Numero de Estudiantes", xlab = "Puntaje obtenido", col = 1:10)

3.45 Ejemplo 9

$\blacksquare$ (a) *Calcular la probabilidad de que un hombre mida menos de 66 pulgadas, suponiendo que las alturas de los hombres se distribuyen normalmente con una media de 70 pulgadas y una desviacion estandar de 3 pulgadas:$P(X\leq66)=pnorm(66,\mu,\sigma)$ .

# P(X<=66) dado que X ~ N (70, 3): Usando RStudio
pnorm(66, mean = 70, sd = 3)

## [1] 0.09121122

# Usando Rstudio para graficar la región
regionX=seq(60,66,0.01)            # Intervalo a sombrear
xP <- c(50,regionX,66)             # Base de los poligonos que crean el efecto "sombra"
yP <- c(0,dnorm(regionX,70,3),0)   # Altura de los poligonos sombreados
curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad N(70,3)') 
polygon(xP,yP,col="orange1")
box()

legend("topright", legend = round(pnorm(66, 70, 3),5),
       title = expression("P(X<=66)"), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = "orange1", lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ (b). Calcular la probabilidad de que un hombre mida mas de 66 pulgadas, suponiendo que las alturas de los hombres se distribuyen normalmente con una media de 70 pulgadas y una desviacion estandar de 3 pulgadas. P(X≥66) dado que X ~ N (70, 3)

# P(X≥66) dado que X ~ N (70, 3):
pnorm(66, mean = 70, sd = 3, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.9087888

Graficando la región

regionX=seq(66,90,0.01)            # Intervalo a sombrear
xP <- c(66,regionX,90)             # Base de los poligonos que crean el efecto "sombra"
yP <- c(0,dnorm(regionX,70,3),0)   # Altura de los poligonos sombreados
curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad N(70,3)') 
polygon(xP,yP,col="orange1")
box()
legend("topright", legend = round(pnorm(66, 70, 3, lower.tail = F),3),
       title = expression("P(X≥66)"), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = "orange1", lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ (c). P(64 < X < 76)

#  P(64 < X < 76)
pnorm(76,70,3)-pnorm(64,70,3)

## [1] 0.9544997

sum(pnorm(64:76,70,3))

## [1] 6.5

# Usando RStudio
regionX=seq(64,76,0.01)            # Intervalo a sombrear
xP <- c(64,regionX,76)             # Base de los poligonos que crean el efecto "sombra"
yP <- c(0,dnorm(regionX,70,3),0)   # Altura de los poligonos sombreados
curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad N(70,3)') 
polygon(xP,yP,col="orange1")
box()
legend("topright", legend = round(pnorm(76, 70, 3, lower.tail = T)- pnorm(64, 70, 3, lower.tail = T),3),
       title = expression("P(64 < X < 76)"), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = "orange1", lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ Ejercicio 5. Repite el ejemplo anterios para calcular P(72 < X < 78)

$\blacksquare$ Ejercicio 6. Repite el ejemplo anterios para calcular. P(65 < X < 68)

FIN LABORATORIO 15

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SEMANA 16. Distribución Normal y Tercer Examen Parcial

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3.43 Video Modelos Probabilisticos Discretos

embed_youtube("8XrP_TjXTbY")

Clase N° 61. Tercer Examen Parcial - Primera Hora

Clase N° 62. Tercer Examen Parcial - Segunda Hora

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Clase N° 63. Distribución Normal

3.44 Clase N° 39. Distribución Normal: Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, puesto que, multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Por ejemplos las variables aleatorias continuas:

$\blacksquare$ X = Peso en kg de una persona

$\blacksquare$ X = La estatura en cms de una persona

$\blacksquare$ X = El coeficientes de inteligencia de una persona

$\blacksquare$ X = Los diámetros de una tapa de gaseosa

$\blacksquare$ X = Contenido de una bolsa de arroz

$\blacksquare$ X = Número de casos de violencia intrafamiliar

$\blacksquare$ X = Número de delitos en una ciudad

$\blacksquare$ X = número de casos atendido por la justicia colombiana, - Etc

3.45 Tienen distribución norma con media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$

\[ f(x;\mu, \sigma) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}), \qquad 0<x<\infty\] \[ E(X)=\mu, \qquad Var(X)=\sigma^2\]

3.46 Gráfico de la distribución de Normal

plot(dnorm(20:40,30, 2),xlab="k",ylab="P(X=k)",main="X ~ N(10,2)", type = "b", lwd = 10, col = 1:10)

3.47 Gráfico de la distribución de Normal Otra forma

x<-2:20 # rango de la variable
m<-10 # valor de lambda
sd<-2
pi<-3.1416
fx<-exp(-(x-m)^2/(2*sd^2))/sqrt(2*pi*sd^2)
plot(x,fx, main="Distribución normal", sub="Fuente: elaboración propia", 
     xlab="Eje x", ylab="Eje y",  type="b", lwd = 10, col = 1:10)

3.48 Gráfico de la distribución Normal variando la desviacion estandard

\[X\sim N(\mu, \sigma)\]

# Rejilla de valores del eje X
x <- 20:100
m <- 60
sd<-5
plot(dnorm(x, m,sd), type = "l", lwd = 2,
     main = "Función densidad de probabilidad", ylim=c(0,0.08),
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de eventos")

m <- 60
sd<-10
lines(dnorm(x, m,sd), type = "l", lwd = 2, col = rgb(1,0,0, 0.7))

m <- 60
sd<-15
lines(dnorm(x, m,sd), type = "l", lwd = 2, col = rgb(0, 1, 0, 0.7))

# Leyenda
legend("topright", legend = c("Psicologia", " C. Social", "Derecho"),
       title = expression(Programa), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = 1:3, lwd = 2, box.lty = 0)

3.49 Gráfico de la distribución Normal variando la desviacion estandard2

# Rejilla de valores del eje X
x <- 20:100
m <- 50
sd<-10
plot(dnorm(x, m,sd), type = "l", lwd = 2,
     main = "Función densidad de probabilidad", ylim=c(0,0.05),
     ylab = "P(X = x)", xlab = "Número de eventos")

m <- 55
sd<-10
lines(dnorm(x, m,sd), type = "l", lwd = 2, col = rgb(1,0,0, 0.7))

m <- 60
sd<-10
lines(dnorm(x, m,sd), type = "l", lwd = 2, col = rgb(0, 1, 0, 0.7))

# Leyenda
legend("topright", legend = c("Psicologia", " C. Social", "Derecho"),
       title = expression(Programa), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = 1:3, lwd = 2, box.lty = 0)

3.50 Gráfico de la distribución de Normal y la acumulada

par(mfrow=c(1,2), pty="s")
plot(20:100, dnorm(20:100,60, 12), type="o", xlab="x", ylab="f(x)", xlim=c(20,100),main ="Distribución Normal", col = 1:10)
plot(20:100, pnorm(20:100,60, 12), type="o", xlab="x", ylab="F(x)", xlim=c(20,100),ylim=c(0,1), main="Distribución acumulada", col = 1:10)

3.50 Generacion de vectores aleatorios

$\blacksquare$ Generacion de 5 numeros aleatorios con la Distribucion Normal Estandard

rnorm(5)

## [1]  0.5220305 -0.9333197  0.2835993 -1.8499191 -2.0233147

$\blacksquare$ Generacion de 3 numeros aleatorios con la Distribucion Normal con media = 5 y desviacion estandard = 2

rnorm(30, mean = 5, sd = 4)

##  [1]  3.69548904  2.84048179  4.26745674  2.10186414 -0.08439067  6.20614270
##  [7] 11.60404142  4.35509469 10.47220401  0.03903620  2.62317251  0.90032532
## [13]  3.33836560  7.25463497  4.88890640  2.02738451 -0.37436490  2.85289380
## [19]  4.75775640  8.96966257 -1.23195908  5.25530366  0.89789322  4.38685415
## [25]  4.86658749  5.76781532 12.21420348 14.28871946 -0.26446217  5.06681921

$\blacksquare$ Generacion de vectores aleatorios con la Distribucion Normal

rnorm(10, mean = c(-10, 5, +10), sd = 3)

##  [1]  -8.397032   7.027134  12.413972  -7.548252   9.177346  12.459094
##  [7] -13.791530   7.664125   8.686422 -11.680335

$\blacksquare$ Generacion de vectores aleatorios con la Distribucion Normal

rnorm(4, mean = c(2, 4, 6), sd = 1)

## [1] 0.1095863 4.5536441 4.5713378 2.1010004

$\blacksquare$ Generacion de un vector aleatorio con la Distribucion Normal con diferentes valores de la media y desviacion estandard variable

rnorm(3, mean = c(2, 4, -6), sd = c(0.2, 1))

## [1]  2.008275  4.682740 -6.034396

$\blacksquare$ Generacion de un vector aleatorio con la Distribucion Normal con diferentes valores de la media y desviacion estandard variable

rnorm(3, mean = c(2, 4, -6), sd = c(0.2, 1, -1))

## Warning in rnorm(3, mean = c(2, 4, -6), sd = c(0.2, 1, -1)): NAs produced

## [1] 2.157563 2.923842      NaN

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Clase N° 64. Laboratorio 16 - Distribucion Normal - 100 puntos (20% Tercer Parcial)

3.51 Eligiendo una muestra aleatoria de Tamaño 30 de una poblacion normal.Calcular 30 posibles puntajes de un grupo de Estadistica I en el primer corte, si éstos se distribuyen como una variable normal cuya media se distribuye aleatoriamente y con hiperparametros de mean = 70 y sd = 5

medias<-rnorm(30, mean = 70, sd = 5)
round(medias)

##  [1] 75 59 64 71 64 69 70 78 68 64 62 68 64 75 68 69 73 72 70 74 83 71 75 68 78
## [26] 71 77 66 63 65

# Rejilla de valores del eje X
x <- round(medias)
hist(x,  lwd = 2,
     main = "Función densidad de probabilidad", ylim=c(0,20),
     ylab = "Numero de Estudiantes", xlab = "Puntaje obtenido", col = 1:10)

3.52 Ahora eligimos la muestra aleatoria donde las medias son como se obtuvieron arriba

rnorm(30, mean = round(medias), sd =1)

##  [1] 76.01679 58.54976 64.97271 70.22644 64.01843 68.11569 70.05604 78.13422
##  [9] 68.62752 64.84237 60.95914 66.96258 63.87348 73.92459 65.72506 67.78016
## [17] 72.27262 72.68067 70.21693 75.72681 83.08343 72.25565 74.04362 68.40541
## [25] 77.99463 71.08923 76.76610 66.86450 63.29384 64.21499

# Rejilla de valores del eje X
x <- rnorm(30, mean = round(medias), sd =1)
hist(x,  lwd = 2,
     main = "Función densidad de probabilidad", ylim=c(0,20),
     ylab = "Numero de Estudiantes", xlab = "Puntaje obtenido", col = 1:10)

3.53 Generacion de numeros aleatorios reproducibles

$\blacksquare$ En R, la set.seed funcion establece el generador de numeros aleatorios en un estado conocido. La funcion toma un argumento, un numero entero. Cualquier entero positivo funcionara, pero debe usar el mismo para obtener el mismo estado inicial.

$\blacksquare$ ****

$\blacksquare$ **La funcion set.seed() se usa para establecer una semilla aleatoria que los generadores de numeros pseudoaleatorios usan cuando generan numeros “aleatorios”.**

$\blacksquare$ La cuestion es que los valores generados por los generadores de numeros pseudoaleatorios no son realmente aleatorios, sino que estan determinados por un valor inicial llamado semilla.

$\blacksquare$ Ejemplo1. Cada vez que se ejecute el programa se generan los mismos numeros aleatorios

set.seed(42) # Or use any other positive integer...
# Rejilla de valores del eje X
x <- rnorm(30, mean = round(medias), sd =1)
hist(x,  lwd = 2,
     main = "Función densidad de probabilidad", ylim=c(0,20),
     ylab = "Numero de Estudiantes", xlab = "Puntaje obtenido", col = 1:10)

$\blacksquare$ Ejemplo1. Cada vez que se ejecute el programa se generan los mismos numeros aleatorios2

set.seed(28) # Or use any other positive integer...
# Rejilla de valores del eje X
x <- rnorm(30, mean = round(medias), sd =1)
hist(x,  lwd = 2,
     main = "Función densidad de probabilidad", ylim=c(0,20),
     ylab = "Numero de Estudiantes", xlab = "Puntaje obtenido", col = 1:10)

$\blacksquare$ Ejemplo1. Cada vez que se ejecute el programa se generan los mismos numeros aleatorios3

set.seed(28)
rnorm(5)

## [1] -1.90215722 -0.06429479 -1.33116707 -1.81999167  0.16266969

set.seed(28)
rnorm(5)

## [1] -1.90215722 -0.06429479 -1.33116707 -1.81999167  0.16266969

3.54 Generalidades de la Distribucion Normal

$\blacksquare$ $X\sim ~ N(\mu, \sigma)$

$\blacksquare$ Densidad de Probabilidad. $f(x) = dnorm(x, \mu, \sigma)$

$\blacksquare$ Distribucion de Probabilidad Acumulada. $P(X \leq k) = pnorm(x, \mu, \sigma)$

$\blacksquare$ $P(X > k) = pnorm(x, \mu, \sigma, lower.tail = FALSE)$

$\blacksquare$ Distribucion de Probabilidad para cuantiles. $q_\alpha = min\{x:P(X\leq x)\} = qnorm(\alpha, \mu, \sigma)$

$\blacksquare$ $rnorm(n,\mu,\sigma)$ genera $n$ valores aleatorios $X \sim N(\mu, \sigma)$

3.55 Ejemplo

$\blacksquare$ (a) *Calcular la probabilidad de que un hombre mida menos de 66 pulgadas, suponiendo que las alturas de los hombres se distribuyen normalmente con una media de 70 pulgadas y una desviacion estandar de 3 pulgadas:$P(X\leq66)=pnorm(66,\mu,\sigma)$ .

# P(X<=66) dado que X ~ N (70, 3):
pnorm(66, mean = 70, sd = 3)

## [1] 0.09121122

regionX=seq(60,66,0.01)            # Intervalo a sombrear
xP <- c(50,regionX,66)             # Base de los poligonos que crean el efecto "sombra"
yP <- c(0,dnorm(regionX,70,3),0)   # Altura de los poligonos sombreados
curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad N(70,3)') 
polygon(xP,yP,col="orange1")
box()

$\blacksquare$ (b) Grafico de la distribucion normal

curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),col="blue",lwd=2,
      xlab="x",ylab="f(x)",main="Funcion de Densidad N(70,3)")

$\blacksquare$ (c) Tambien podemos representar la funcion de distribucion acumulada:

curve(pnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),col="red",lwd=2,
      xlab="x",ylab="f(x)",main="Funcion de Densidad N(70,3)")

$\blacksquare$ (d). Calcular la probabilidad de que un hombre mida mas de 66 pulgadas, suponiendo que las alturas de los hombres se distribuyen normalmente con una media de 70 pulgadas y una desviacion estandar de 3 pulgadas. P(X≥66) dado que X ~ N (70, 3)

# P(X≥66) dado que X ~ N (70, 3):
pnorm(66, mean = 70, sd = 3, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.9087888

regionX=seq(66,90,0.01)            # Intervalo a sombrear
xP <- c(66,regionX,90)             # Base de los poligonos que crean el efecto "sombra"
yP <- c(0,dnorm(regionX,70,3),0)   # Altura de los poligonos sombreados
curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad N(70,3)') 
polygon(xP,yP,col="orange1")
box()
legend("topright", legend = round(pnorm(66, 70, 3, lower.tail = F),3),
       title = expression("P(X≥66)"), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = "orange1", lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ (e). P(64 < X < 76)

pnorm(76,70,3)-pnorm(64,70,3)

## [1] 0.9544997

sum(pnorm(64:76,70,3))

## [1] 6.5

regionX=seq(64,76,0.01)            # Intervalo a sombrear
xP <- c(64,regionX,76)             # Base de los poligonos que crean el efecto "sombra"
yP <- c(0,dnorm(regionX,70,3),0)   # Altura de los poligonos sombreados
curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad N(70,3)') 
polygon(xP,yP,col="orange1")
box()
legend("topright", legend = round(pnorm(76, 70, 3, lower.tail = T)- pnorm(64, 70, 3, lower.tail = T),3),
       title = expression("P(64 < X < 76)"), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = "orange1", lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ (f). O tambien

"P(64 < X < 76)" =function(x)
dnorm(x,70,3)
integrate("P(64 < X < 76)",64,76)

## 0.9544997 with absolute error < 1.8e-11

$\blacksquare$ (g). P(65 < X < 68)

"P(65 < X < 68)" =function(x)
dnorm(x,70,3)
integrate("P(65 < X < 68)",65,68)

## 0.2047022 with absolute error < 2.3e-15

$\blacksquare$ (h). P(65 < X < 68) graficamente

regionX=seq(65,68,0.01)            # Intervalo a sombrear
xP <- c(65,regionX,68)             # Base de los poligonos que crean el efecto "sombra"
yP <- c(0,dnorm(regionX,70,3),0)   # Altura de los poligonos sombreados
curve(dnorm(x,70,3),xlim=c(60,80),yaxs="i",ylim=c(0,0.15),ylab="f(x)",
      main='Densidad N(70,3)') 
polygon(xP,yP,col="orange1")
box()
legend("topright", legend = round(pnorm(68, 70, 3, lower.tail = T)- pnorm(65, 70, 3, lower.tail = T),3),
       title = expression("P(65 < X < 68)"), title.adj = 0.75,
       lty = 1, col = "orange1", lwd = 2, box.lty = 0)

$\blacksquare$ (i). $X_{0.95}=min\{x:P(X\leq x)=0.95\}$

#z~0.95~=#
qnorm(0.95,70,3)

## [1] 74.93456

qnorm(0.975,70,3)

## [1] 75.87989

qnorm(0.025,70,3)

## [1] 64.12011

$\blacksquare$ (j). La siguiente instruccion nos proporciona los cuantiles 0.025 y 0.975 de la N(70,3):

qnorm(c(0.025,0.975), 70,3)

## [1] 64.12011 75.87989

$\blacksquare$ (k). Si no se especifican media y varianza, R entiende que trabajamos con la distribucion normal estandar. La siguiente instruccion nos proporciona los cuantiles 0.025 y 0.975 de la N(0,1):

qnorm(c(0.025,0.975))

## [1] -1.959964  1.959964

$\blacksquare$ (l). Simulamos una muestra grande de la distribucion normal :Simulamos una muestra grande de la distribucion normal y comprobamos que el histograma es muy parecido a la funcion de densidad:

#set.seed(28)
X=rnorm(10000, 50, 2)
hist(X,freq=FALSE,main="Histograma",sub="Datos simulados de una N(70,3)", col=1:10)
curve(dnorm(x,50,2),xlim=c(40,60), ylim=c(0,1),col="blue",lwd=2,add=TRUE)

$\blacksquare$ (m). Simulamos una muestra grande de la distribucion normal :La distribucion acumulativa empirica de esta simulacion es muy similar a la funcion de distribucion teorica de la normal:

plot(ecdf(X))
curve(pnorm(x,50,2),xlim=c(40,60),col="red",lwd=2,lty=2,add=TRUE)
legend("topleft",lty=c(1,2),lwd=c(1,2),col=c("blue2","red"),legend=c("Distribucion empirica","Distribucion teorica"))

3.53 Muestras aleatorias Vamos elegir una muestra de un conjunto de datos al azar. La sample funcion seleccionara aleatoriamente n elementos de un conjunto: sample(set, n)

$\blacksquare$ Importando una base de datos

library(readxl)
datos <- read_excel("BASE2021ACT3.xlsx")
borrar <- c("ESTUDIANTE", "EMAIL", "CODIGO", "Celular")
datos<- datos[ , !(names(datos) %in% borrar)]
datos

$\blacksquare$ Ejemplos de muestras aleatorias

datos$PESO

##  [1] 76 62 60 64 80 57 80 45 57 45 50 72 56 48 48 42 54 68 73 60 63 82 64 45 50
## [26] 49 50 88 48 57 50 44 56 60 51 56 44 55 50 53 48 84 56 65 60 85 60 86 47 51
## [51] 58 64 53 50 57 60 66

sample(datos$PESO, 30)

##  [1] 68 51 84 60 64 44 55 60 56 63 80 50 54 60 56 85 60 60 47 48 82 57 48 64 76
## [26] 51 62 48 50 50

$\blacksquare$ Selecciona 30 ESTATURA al azar

sample(datos$ESTATURA, 50)

##  [1] 165 170 164 186 162 158 169 158 167 163 160 171 165 156 176 161 162 158 172
## [20] 158 165 160 155 161 179 177 171 159 181 167 158 174 166 165 156 164 158 168
## [39] 161 170 170 170 158 161 156 160 150 180 177 150

mean(sample(datos$ESTATURA, 30))

## [1] 165.1

sd(sample(datos$ESTATURA, 30))

## [1] 9.037661

X=sample(datos$ESTATURA, 50)
hist(X,freq=FALSE,col="lightsalmon",main="Histograma",sub="Datos simulados de una N(170,8)")
curve(dnorm(x,165,8.4),xlim=c(150,190), ylim=c(0,1),col="blue",lwd=2,add=TRUE)

$\blacksquare$ Selecciona muestra aleatoria de una distribución normal

X=sample(datos$ESTATURA, 50)
hist(X,freq=FALSE,col="lightsalmon",main="Histograma Estatura",sub="Datos simulados de una N(165,8)")
curve(dnorm(x,166,7.7),xlim=c(150,200), ylim=c(0,10),col="blue",lwd=2,add=TRUE)

set.seed(21)
X=sample(datos$ESTATURA, 50)
hist(X,freq=FALSE,col="lightsalmon",main="Histograma Estatura",sub="Datos simulados de una N(165,8)")
curve(dnorm(x,165,8.0),xlim=c(150,200), ylim=c(0,10),col="blue",lwd=2,add=TRUE)

$\blacksquare$ Selecciona muestra aleatoria de una distribución normal

X=sample(datos$PESO, 50)
mean(X)

## [1] 59.6

sd(X)

## [1] 12.43103

X=sample(datos$PESO, 50)
hist(X,freq=FALSE,col="lightsalmon",main="Histograma Peso ",sub="Datos simulados de una N(58,12)")
curve(dnorm(x,58,12),xlim=c(30,100), ylim=c(0,10),col="blue",lwd=2,add=TRUE)

Curso de Estadistica I y Probabilidad: Parte_II

Julio Hurtado Marquez

Año 2024

CURSO DE ESTADÍSTICA I

Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL: juliohurtado210307@gmail.com

SEMANA 9. Probabilidad: Breve historia - Espacio Muestral y Eventos

Clase N° 33. Probabilidad - Breve historia de la probabilidad

2.1 Clase N° 33. Probabilidad - Video Breve historia de la probabilidad

https://www.youtube.com/watch?v=eUVWxvEK7TM&t=42s

2.2 Clase N° 33. Probabilidad - Tipos de Experimentos - Espacio Muestral

\(\blacksquare\) Experimento. Cualquier proceso o ensayo que genere resultados, datos u observaciones se llama experimento y pueden ser aleatorios o deterministas

\(\blacksquare\) Experimento determinista.

Es aquel que produce el mismo resultado cuando se le repite bajo las mismas condiciones.

\(\blacksquare\) Ejemplo.

Medir el volumen de un gas cuando la presión y la temperatura son constantes produce, teóricamente, siempre el mismo resultado

2.3 Clase N° 33. Probabilidad - Video de Tipos de Experimentos y Espacio Muestral

Clase N° 34. Probabilidad - Espacio Muestral

2.4 Clase N° 34. Probabilidad - Espacio Muestral

\(\blacksquare\) Experimento aleatorio.

Es aquel que, cuando se le repite bajo las mismas condiciones, el resultado que se observa no siempre es el mismo y tampoco es predecible

\(\blacksquare\) Espacio Muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota con las letras \(S\) o \(\Omega\)

\(\blacksquare\) Ejemplo: Ejemplo: El lanzar una moneda al aire y observar la cara de la moneda que mira hacia arriba al caer.

\(\blacksquare\) Ejemplo: Registrar el numero ganador en un juego de lotería, son ejemplos cotidianos de experimentos aleatorios.

\(\blacksquare\) Ejemplo: Lanzamiento de dos dados distinguibles

\(\blacksquare\) Ejemplo: Lanzamiento de dos monedas distinguibles

\(\blacksquare\) Ejemplo: Lanzamiento de un dado perfecto. Cualquier subconjunto del Espacio Muestral se denomina evento o suceso y se representan por letras mayúsculas A, B, C …,etc

\(\blacksquare\) Ejemplo: Lanzamiento de tres monedas. Espacio Muestral

\(\blacksquare\) Ejemplo: Lanzamiento de un dado y una moneda. Espacio Muestral

2.5 Clase N° 34. Probabilidad - Espacio Muestral

\(\blacksquare\) Ejemplo: Matilde preguntó entre sus estudiantes las preferencias por los idiomas. La información la representó en el siguiente diagrama

Evento E:= {Los estudiantes prefieren Español}

Evento C:= {Los estudiantes prefieren Chino}

Evento I: {Los estudiantes prefieren Inglés}

(a) ¿A cuántos estudiantes le preguntó Matilde?

(b) ¿A cuántos estudiantes les gusta Español y Chino?

(c) ¿A cuántos estudiantes les gusta Ingles y Chino?

(d) ¿A cuántos estudiantes les gusta Español e Ingles?

(e) ¿A cuántos estudiantes les gusta los tres idiomas?

(f) ¿A cuántos estudiantes les gusta sólo Español ?

(g) ¿A cuántos estudiantes les gusta sólo Ingles

(g) ¿A cuántos estudiantes les gusta sólo un idioma?

(h) ¿A cuántos estudiantes les gusta almenos un idioma?

(i) ¿A cuántos estudiantes no les gusta esos idioma?

(j) ¿A cuántos estudiantes les gusta máximo un idioma?

(k) ¿A cuántos estudiantes les gusta Inglés pero no chino?

(l) ¿A cuántos estudiantes les gusta Español pero no chino?

(m) ¿A cuántos estudiantes les gusta dos idiomas exactamente?

Clase N° 35. Probabilidad - Eventos y sucesos

2.6 Clase N° 35. Probabilidad - Video Operaciones con Eventos

2.7 Probabilidad

\(\blacksquare\) La dificultad de dar una definición del concepto de probabilidad sin objeciones o limitaciones, queda reflejada por los diferentes intentos realizados a lo largo de la historia para encontrar una definición de dicho concepto.

\(\blacksquare\) De la introducción histórica que se ha elaborado se desprende la existencia de tres definiciones del concepto de probabilidad que a continuación se discuten

2.8 Definición clásica (Laplace).

\(\blacksquare\) - La probabilidad de un suceso \(A\) es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles.

\(\blacksquare\) Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son:No es válida cuando los sucesos elementales no son equiprobables, A veces no es posible contar.

2.9 Definición frecuentista (Bernoulli).

\(\blacksquare\) La probabilidad de un suceso es el valorlímite de su frecuencia relativa al repetir indefinidamente la experimentación.

\(\blacksquare\) Sea \(\Omega\) un espacio muestral y \(\mathcal{F}\) una \(\sigma\)-álgebra de subconjuntos de \(\Omega\).

\(\blacksquare\) La probabilidad de un evento \(A \in \mathcal{F}\), está dada por el límite

\(\blacksquare\) en donde \(n\) es el número total de ensayos y \(n_A\) es el número de veces que ocurre el evento \(A\).

\(\blacksquare\) En la práctica, la definición de probabilidad frecuentista se encuentra limitada debido al hecho de que en la realidad \(n\) y \(n_A\) son números finitos y por lo tanto, lo que realmente se tiene es la aproximación

2.10 Definición Axiomática (Kolmogórov).

\(\blacksquare\) Todo lo anterior llevó a Andréi Kolmogórov a introducir axiomáticamente el concepto de Probabilidad.

Una medida de probabilidad \(\mathbb{P}\), definida sobre elementos de una \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{F}\) de subconjuntos de un conjunto \(\Omega\), es una función \(\mathbb{P}:\mathcal{F} \rightarrow [0,1]\) que cumple lo siguiente:

\(\blacksquare\) \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\).

\(\blacksquare\) \(\mathbb{P}(A) \geq 0\) para todo \(A \in \mathcal{F}\).

\(\blacksquare\) Si \(A_n\), \(n=1,2,\ldots\) son eventos mutuamente excluyentes es decir, se tiene que \(A_i \cap A_j = \emptyset\) para \(i \neq j\), entonces

2.11 Teorema: Propiedades de las medidas de probabilidad.

\(\blacksquare\) Sea \(\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)\) un espacio de probabilidad. La medida \(\mathbb{P}\) tiene las siguientes propiedades:

\(\blacksquare\) Para cualesquiera eventos \(A,B\), \(\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A^c \cap B)\)

\(\blacksquare\) \(\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)\), en particular \(\mathbb{P}(\emptyset) = 1 - \mathbb{P}(\Omega)\).

\(\blacksquare\) Si \(A \subset B\), entonces \(\mathbb{P}(B) \geq \mathbb{P}(A)\)

\(\blacksquare\) Como consecuencia \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\]

\(\blacksquare\) La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos, \[\forall \{A_i\}_{i\in \mathbb{N}} \mid A_i\cap A_j = \emptyset, \forall i \neq j, \qquad \mathbb{P}( \bigcup_{i\in N} A_i) = \sum_{i\in N} \mathbb{P}(A_i)\]

\(\blacksquare\) El gran inconveniente de estas definiciones es que no dan un método para el cálculo de probabilidades, por lo que en la práctica hay que basarse en las definiciones clásica y frecuentista.

\(\blacksquare\) La probabilidad de ocurrencia del evento no ocurre \(A\)“* denotado por \(\bar{A}\) es \[\mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\]

\(\blacksquare\) La probabilidad del suceso imposible es cero, \[\mathbb{P}(\emptyset) = 0\]

\(\blacksquare\) Si \(A\) y \(B\) son dos sucesos cualesquiera se verifica que: \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\]

\(\blacksquare\) ** \[\mathbb{P}(A \cup B \cup C ) =\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) -\mathbb{P}(B \cap C) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C)\]**

\(\blacksquare\) Si \(A \subseteq B\) entonces \(\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)\)

\(\blacksquare\) **Los inconvenientes de definir la probabilidad de esta forma son:No es válida cuando los sucesos elementales no son equiprobables, A veces no es posible contar.**

\(\blacksquare\) **La probabilidad de ocurrencia del evento no ocurre \(A\)“* denotado por \(\bar{A}\) es \[\mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\]**

\(\blacksquare\) \[\mathbb{P}(A \cup B \cup C ) =\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) -\mathbb{P}(B \cap C) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C)\]

\(\blacksquare\) Para la resolución del problema se definen los siguientes sucesos: