Controle Estatístico de Qualidade

.title[
# Controle Estatístico de Qualidade
]
.author[
### Adriano, Beatriz, Caio, Fernanda, Thales
]
.institute[
### Universidade Federal de Ouro Preto - 2023
]
.date[
### 2023-03-13
]

---

# Capítulo 6

### Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

---
class: inverse, center, middle

# Vamos lá!

---

# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

##6.1 INTRODUÇÃO

- Para um gráfico de controle convencional e necessário que as observações sejam independentes e normalmente distribuídas porem se a hipótese de normalidade for violada ainda sim os gráficos de controle funcionam bem pois como exemplo as estatísticas R e S seguem distribuição diferente da normal , já a violação da hipótese independência reduz a aplicabilidade dos gráficos convencionais;

- Quando esses valores possuem alguma interdependência ou autocorrelação a probabilidade da observação cair fora dos limites de controle aumenta e compromete a credibilidade dos dados.

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

##6.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO

- O coeficiente de correlação ρxy entre duas variáveis aleatórias X e Y e definido como:

- `\(𝜌_{AB} = \dfrac{𝐸[(𝑋−µ_𝑋 )(𝑌−µ_𝑌 )]}{(𝜎_𝑋 𝜎_𝑌)}\)`

- Que está sempre no intervalo [-1,1] em modulo quanto mais próximo de 1 maior o grau de dependência entre elas;

- O coeficiente de correlação entre X e Y pode ser estimado pelo coeficiente de correlação amostral 𝑟_𝑋𝑌 obtidos entre uma amostra de n pares (xi, yi);

--
- `\(r_{XY} = \dfrac{\sum_{i=1}^n(xi-\bar{X})(yi-\bar{Y})}{\sqrt{{\sum_{i=1}^n(xi-\bar{X})}}\sqrt{{\sum_{i=1}^n(yi-\bar{Y})}}}\)`

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

- Podemos observar isto por meio do gráfico de dispersão onde quanto mais “arredondada” menor o coeficiente de correlação e quanto mais “afilada”, ou seja, parecida com uma reta maior o coeficiente de correlação como exemplo temos um gráfico de dispersão com aparência afilada e  `\(𝑟_{𝑋𝑌}=0,9\)`

--
#![gráfico 6.2](https://i.ibb.co/SxzyyyJ/Gr-fico-6.png)

---

# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

- Como estamos interessadas na correlação entre observações sucessivas de uma mesma característica de qualidade X e como queremos a correlação entre Xi Xi-k com k indicando a defasagem entre as observações neste caso a expressão do coeficiente de autocorrelação amostral será

- `\(r_{k} = \dfrac{\sum_{i=k+1}^n(xi-\bar{X})(x_{i-k}-\bar{X})}{\sum_{i=1}^n(xi-\bar{X})²}\)`

- O conjunto calculado pela expressão e chamado de função de autocorrelação amostral da serie de dados Xi.

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

##6.3 EXEMPLO DE UM PROCESSO AUTOCORRELACIONADO

- Trás um exemplo pronto onde o coeficiente de correlação e alto e indica que viria a trazer problemas para os gráficos convencionais ele mostra o gráfico de medias que indica **12 dos 20 pontos** fora dos limite;

--
#![gráfico 6.2](https://i.ibb.co/Gt9DsZF/imagem-7.png)

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

##6.4 GRAFICO DE OBSERVAÇÕES INDIVIDUAIS E AMPLITUDE MOVEL

- Como vimos os limites de controle quando as observações não são independentes tendem a ter muitas observações fora dos limites . uma alternativa para o controle do processos auto correlacionados consiste em **espaçar as medias por um intervalo de tempo suficientemente longo**, os gráficos de média e amplitude são substituídos pelos *gráficos de observações individuais* e *amplitude móvel* , ou *“gráfico de X e MR”*;

- A amplitude móvel e dada por `\((MR_i)\)`

- `\(MR_i=máx(x_i,x_{i-1})-mín(x_i,x_{i-1})\)`

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

--
- A partir de um conjunto de m amostras, podemos estimar a média e desvio-padrão do processo:

- `\(\bar{µ}_0 =\dfrac{1}{m}\bar{𝑋}=\sum_{i=1}^mx_i\)`

- `\(\bar{𝜎}_0 =Sd=\dfrac{\bar{MR}}{d2}\)`

- `\(\bar{MR}=\dfrac{\sum_{i=2}^m MR_i}{m-1}\)`

- Limites de controle- Média:

#![LimM](https://i.ibb.co/F8DqZRB/Limites-controle-m.png)

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

- Limites de controle- Amplitude:

--
#![LimsM](https://i.ibb.co/0sKsdMD/imagem-8.png)

--
- Para determinar o intervalo de tempo entre as amostras para que não haja autocorrelação, basta calcular o **rk** para diversos espaçamentos de tempo e verificar o menor valor de k que satisfaça `\(𝑟𝑘<2/\sqrt{𝑁}\)`, onde **N** é o número de observações individuais usadas para o cálculo dos coeficientes de correlação amostrais rk.

- Recomenda-se usar no mínimo 80 observações (N ≥ 80).

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

##6.5 GRAFICOS DE CONTROLE COM LIMITES ALARGADOS

- Processos discretos, em especial os total ou parcialmente automatizados, também podem exibir **autocorrelação**. É possível monitorar esses processos com gráficos de X e MR, porém não é interessante por serem baseados em observações individuais espaçadas no tempo. Uma forma de monitorar a variabilidade de curto prazo é retirar as amostras com *n > 1*, o que nos leva a gráficos de 𝑋e R.

- Para evitar que ocorra muitos alarmes falsos, deve-se alargar adequadamente os limites de controle do gráfico de `\(\bar{X}\)`, com base na variabilidade total de `\(\bar{X}\)`.Sabendo disso, temos:

---
# Gráficos de Controle para Processos Autocorrelacionados

--
#![LimsaM](https://i.ibb.co/YpC5zWz/imagem-9.png)

--
- Com **m** sendo o número de amostras iniciais e **c4** sendo determinado pelo número m.

--
- Limites de controle - Média:

--
- `\(LSC= \bar{µ}_0+3\bar{𝜎}_\bar{X}\)`

- `\(LM= \bar{µ}_0\)`

- `\(LIC= \bar{µ}_0-3\bar{𝜎}_\bar{X}\)`

--
- Limites de controle - Amplitude: é mantido na forma usual pois “flutuações” da média do processo não afetam a dispersão intra-amostral.

---

#Exemplo 1

---

- Suponha que se realize uma medida da temperatura do banho químico a cada 60 minutos; a primeira medida realizada às 8h30. Os valores obtidos seriam as temperaturas `\(X_{11}\)`, `\(X_{31}\)` , `\(X_{51}\)`, `\(X_{71}\)`, e assim por diante, da Tabela 6.1 (que contém valores da temperatura do banho químico medidos a cada 3 minutos). Decorridas 20 horas, obter-se-iam as 20 medidas registradas na coluna X da Tabela 6.5.

--
- Essa tabela fornece ainda os valores de MR de cada amostra, e as médias X e MR.

--
<img src="https://i.ibb.co/r2gDqVY/imagem-11.png" width="40%" style="display: block; margin: auto;" />

---

- Aplicando as fórmulas: `\(LIC_{MR} = 0\)`;  `\(LM_{MR} = 7,102\)`;  `\(LSC_{MR} = 23,202\)`;

--
- `\(LIC_{X} = 206,128\)`;  `\(LM_X = 225,016\)`; e `\(LSC_X = 243,904\)`.

--
- Os gráficos estão na Figura 6.4. Todos os pontos estão dentro dos limites, não há, portanto, indicação de descontrole do processo. (Isso reforça a evidência de que os pontos fora dos limites do gráfico de X da seção anterior são alarmes falsos.)

--
<img src="https://i.ibb.co/xSpcNDm/imagem12.png" width="54%" style="display: block; margin: auto;" />

---

- Nesse exemplo, não apenas reduzimos o tamanho das amostras para n = 1, mas também adotamos um intervalo de tempo entre observações suficientemente longo para o efeito da **autocorrelação dissipar-se**.

- No nosso caso, *N = 150*; portanto `\(\dfrac{2}{√𝑁} = 0,163\)` .

- Como a série inicial contém observações espaçadas de 3 minutos,   k = 10 corresponde a 30 minutos, k = 20 a uma hora, k = 40 a duas horas, e assim por diante.

- A Tabela 6.3 mostra que r19= 0,155 é o primeiro valor de r, menor que 0,163; portanto, o espaçamento mínimo entre observações deve ser de 19 × 3 = 57 minutos.

- Espaçamentos maiores garantem a independência das observações com maior margem de segurança, como foi o caso do intervalo de uma hora (k = 20) empregado. **O próximo exemplo ilustra o caso em que o intervalo de tempo adotado não é suficientemente longo para dissipar o efeito da autocorrelação.**

---

#Exemplo 2

---

---

---

#Exemplo 3

---

- Vamos considerar a tabelo e o gráfico a seguir, relativos aos volumes de refrigerante em garrafas plásticas, cujo valor-alvo é 1000ml;

--
<img src="https://i.ibb.co/ctrhB55/imagem-15.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
---
<img src="https://i.ibb.co/x7HKyFh/imagem-16.png" width="70%" style="display: block; margin: auto;" />

--
- A tabela 6.7 apresenta os cálculos intermediários necessários para a obtenção do coeficiente de autocorrelação amostral para k=1; r=693,509/1061,164=0,654. Esse valor representa forte autocorrelação positiva. Os coeficientes de autocorrelação `\(r_1\)` a `\(r_4\)` encontram-se na tabela 6.8.

---

<img src="https://i.ibb.co/dDvggHB/imagem-17.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
    
---

---

---
<img src="https://i.ibb.co/7NbxML1/imagem-20.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />

- Note que, se o estimador para o desvio-padrão do processo usado no calculo dos limites para o gráfico de `\(\bar{X}\)` tivesse sido o estimador usual `\(\dfrac{\bar{X}}{d_2}\)`, o resultado seria `\(LIC_\bar{X} =995,769\)` e `\(LSC_\bar{X} =1003,600\)`; vários pontos do gráfico de `\(\bar{X}\)`, então, estariam fora dos limites (nas amostras 10,15,17,19). Esses pontos seriam alarmes falsos.
    
---
class: inverse, middle, center

#Vamos ver ná prática
#Resolução Exercício 6.1

---