Fundamentos de matemáticas

1 Teoría de conjuntos

1.1 Lógica matemática

Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

\({\forall}\): para todo

\({\exists}\): para algún

\({\exists!}\): para un único

\({\nexists}\): para ninguno

\({\neg}\): negación

\(\land\): y

\(\lor\): o

\(\implies\): implicación

\(iif\): doble implicación; “si y solo si”

1.2 Conjuntos

El estudio de la teoría de conjuntos tiene como objetivo brindar la oportunidad de aprender las relaciones básicas desarrolladas en las operaciones matemáticas y la resolución de problemas. Además, el estudio de la teoría de conjuntos aporta elementos que pueden servir como base para el aprendizaje de la programación y también de las bases de datos.

1.2.1 Definición

Es una colección de objetos llamados elementos, los conjuntos pueden ser finitos o infinitos y el orden en que se dan su elementos es irrelevante.

1.2.2 Ejemplos

Supongamos que estamos refiriendonos a únicamente los elementos que existen en la habitación de un estudiante. Definamos entonces algunos conjuntos.

1.2.2.1 Por comprensión

Consiste en dar una regla que permita establecer cuáles elementos pertenecen al conjunto

1.2.2.1.1 Ejemplos

\(A=\left\{x|x\text{ es ropa del estudiante para dormir}\right\}\)

\(B=\left\{x|x\text{ es ropa del estudiante para salir}\right\}\)

1.2.2.2 Por extensión

Consiste en dar explicitamente cuáles elementos pertenecen al conjunto

1.2.2.2.1 Ejemplos

\(C=\left\{\text{fundas, sabanas, sobresabanas, cobijas, cubrelechos}\right\}\)

\(D=\left\{\text{laptop, mouse, headphones, phone, path mouse}\right\}\)

1.2.2.3 Vacío

Se dice que un conjunto es vacío cuando no tiene ningún elemento

\(\emptyset=\left\{\right\}\)

1.2.2.4 Unitario

Un conjunto que tiene un solo elemento se llama conjunto unitario

1.2.2.5 Universal

El conjunto universal, referente o Universo, denotado por U, aquel conjunto al que pertenecen todos los elementos considerados en una situación dada o contexto específico.

\(\mathbb{U}=\left\{x|x\text{ es un elemento de la habitación del estudiante}\right\}\)

1.2.3 Premisas

Existen cuatro premisas sobre conjuntos o ideas principales a tener en cuenta:

1. Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo.

2. El conjunto vacío, por convención, es un subconjunto de cualquier conjunto.

3. Si un conjunto tiene \(n\) elementos, entonces habrá \(2^n\) subconjuntos de dicho conjunto.

4. \(\emptyset{\subseteq}A,B,C,D,\ldots{\subseteq}\mathbb{U}\)

1.2.4 Operaciones

1.2.4.1 Intersección

\(A{\cap}B=\left\{x|x{\in}A{\land}x{\in}B\right\}\)

1.2.4.1.1 Ejemplos

\[ \begin{align} A{\cap}B&=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir}\text{ y }x\text{ es ropa para salir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir y para salir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa interior}\right\} \end{align} \]

1.2.4.2 Unión

\(A{\cup}B=\left\{x|x{\in}A{\lor}x{\in}B\right\}\)

1.2.4.2.1 Ejemplos

\[ \begin{align} A{\cup}B&=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir}\text{ o }x\text{ es ropa para salir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir o para salir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa}\right\} \end{align} \]

1.2.4.3 Diferencia

\(A{-}B=\left\{x|x{\in}A{\land}x{\not\in}B\right\}\)

1.2.4.3.1 Ejemplos

\[ \begin{align} A{\cup}B&=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir}\text{ y }x\text{ no es ropa para salir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir y no es para salir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir pero no ropa interior}\right\} \end{align} \]

1.2.4.4 Diferencia simétrica

\(A{\Delta}B=\left\{x|(x{\in}A{\land}x{\not\in}B){\lor}(x{\not\in}A{\land}x{\in}B){\lor}\right\}\)

1.2.4.4.1 Ejemplos

\[ \begin{align} A{\cup}B&=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir y no es ropa para salir}\text{ o }x\text{ no es ropa para dormir y es ropa para salir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa para dormir y no es para salir, o, no es ropa para salir y es ropa para dormir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa pero no es ropa interior}\right\} \end{align} \]

1.2.4.5 Complemento

\(A^{c}=\left\{x|x{\not\in}A\right\}\): complemento

1.2.4.5.1 Ejemplos

\[ \begin{align} A^{c}&=\left\{x|x\text{ es no ropa para dormir}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa para para salir y no es ropa interior}\right\}\\ &=\left\{x|x\text{ es ropa para salir pero no ropa interior}\right\} \end{align} \]

1.2.5 Numeros

\(\emptyset\) o \(\varnothing\): conjunto vacío

\(\\N\): conjunto de los numeros naturales

\(\\Z\): conjunto de los numeros enteros

\(\\Q\): conjunto de los numeros racionales

1.2.6 Diagramas de Venn

library(VennDiagram)

## Loading required package: grid

## Loading required package: futile.logger

A <- letters[1:10]
B <- letters[8:24]
AyB <- calculate.overlap(x = list("A" = A,"B" = B))

\[A = \left\{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\right\}\]

\[B = \left\{h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x\right\}\]

\[A{\cap}B = \left\{h, i, j\right\}\]

venn.plot <- draw.pairwise.venn(length(AyB$a1), length(AyB$a2), length(AyB$a3), c("A", "B"))
grid.draw(venn.plot)

grid.newpage()

venn.plot <- draw.pairwise.venn(area1 = 100,area2 = 70,cross.area = 68,category = c("Y", "Z"),fill = c("blue", "red"),lty = "blank",cex = 2,cat.cex = 2,cat.pos = c(285, 105),cat.dist = 0.09,cat.just = list(c(-1, -1), c(1, 1)),ext.pos = 30,ext.dist = -0.05,ext.length = 0.85,ext.line.lwd = 2,ext.line.lty = "dashed");grid.draw(venn.plot);grid.newpage();

venn.plot <- draw.pairwise.venn(area1 = 100,area2 = 70,cross.area = 0,category = c("First", "Second"),cat.pos = c(0, 180),euler.d = TRUE,sep.dist = 0.03,rotation.degree = 45);grid.draw(venn.plot);grid.newpage();

venn.plot <- draw.pairwise.venn(area1 = 100,area2 = 70,cross.area = 68,category = c("First", "Second"),fill = c("blue", "red"),lty = "blank",cex = 2,cat.cex = 2,cat.pos = c(285, 105),cat.dist = 0.09,cat.just = list(c(-1, -1), c(1, 1)),ext.pos = 30,ext.dist = -0.05,ext.length = 0.85,ext.line.lwd = 2,ext.line.lty = "dashed");grid.draw(venn.plot);grid.newpage();

venn.plot <- draw.pairwise.venn(area1 = 100,area2 = 70,cross.area = 0,category = c("First", "Second"),cat.pos = c(0, 180),euler.d = TRUE,sep.dist = 0.03,rotation.degree = 45);grid.draw(venn.plot);grid.newpage();

venn.plot <- draw.quad.venn(area1 = 72,area2 = 86,area3 = 50,area4 = 52,n12 = 44,n13 = 27,n14 = 32,n23 = 38,n24 = 32,n34 = 20,n123 = 18,n124 = 17,n134 = 11,n234 = 13,n1234 = 6,category = c("First", "Second", "Third", "Fourth"),fill = c("orange", "red", "green", "blue"),lty = "dashed",cex = 2,cat.cex = 2,cat.col = c("orange", "red", "green", "blue"));grid.draw(venn.plot);grid.newpage();

venn.plot <- draw.single.venn(100, "First");grid.draw(venn.plot);grid.newpage()

venn.plot <- draw.pairwise.venn(area1      = 100,
                                area2      = 70,
                                cross.area = 30,
                                category   = c("First", "Second"))
grid.draw(venn.plot)

grid.newpage()

library(venn)
venn(2, ilab=TRUE, zcolor = "style")

library(venn)
venn(3, ilab=TRUE, zcolor = "style")

library(venn)
venn(5, ilab=TRUE, zcolor = "style")

library(venn)
venn(7, ilab=TRUE, zcolor = "style")

2 Expresiones matemáticas básicas

expr1 = expression(c^2 == a[1]^2 + b[1]^2)
expr2 = expression(paste(pi^{
    x[i]
}, (1 - pi)^(n - x[i])))
expr3 = expression(paste("Media muestral:    ", italic(n)^{
    -1
}, sum(italic(x)[italic(i)], italic(i) == 1, italic(n)) == frac(italic(x)[1] + ... + 
    italic(x)[italic(n)], italic(n))))
expr4 = expression(paste("f(x", "|", alpha, ",", beta, ")" == frac(x^{
    alpha - 1
} ~ (1 - x)^{
    beta - 1
}, B(alpha, beta))))

plot(1, 1, type = "n", xlim = c(-1, 1), ylim = c(0.5, 4.5), xaxt = "n", yaxt = "n", 
    ann = FALSE)
text(0, 4:1, labels = c(expr1, expr2, expr3, expr4), cex = 1.35)
title(main = "Matemáticas y estadística", cex.main = 2)

3 Recta con pendiente igual a 1 e intercepto igual a 0

\[y=x\]

curve(x+0, from = -10, to = 10, main = "x")

4 Valor absoluto

\[y=\left|x\right|\]

curve(abs(x), from = -10, to = 10, main = "|x|")

5 Parábola

\[y=x^2\]

curve(x^2, from = -10, to = 10, main = "x^2")

6 Función cúbica básica

\[y=x^3\]

curve(x^3, from = -10, to = 10, main = "x^3")

7 Funciones de mayor orden

\[y=x^4\]

curve(x^4, from = -10, to = 10, main = "x^4")

\[y=x^4\]

curve(x^5, from = -10, to = 10, main = "x^5")

8 Raíz cuadrada

\[y=\sqrt{x}\]

curve(x^(1/2), from = -10, to = 10, main = "x^(1/2)")

9 Raíz cubica

\[y=\sqrt[3]{x}\]

curve(x^(1/3), from = -10, to = 10, main = "x^(1/3)")

10 Funciones con exponente negativo

\[y=\frac{1}{x}\]

curve(1/x, from = -10, to = 10, main = "1/x")

\[y=\frac{1}{x^2}\]

curve(1/(x^2), from = -10, to = 10, main = "1/(x^2)")

11 Factorial

\[x!=x{\cdot}(x-1){\cdot}(x-2){\cdots}3{\cdot}2{\cdot}1\]

curve(factorial(x), from = -10, to = 10, main = "x!")

## Warning in gamma(x + 1): NaNs produced

12 Funciones exponenciales

\[y=2^x\]

curve(2^x, from = -10, to = 10, main = "2^x")

\[y=\frac{1}{\sqrt{x}}\]

curve(1/sqrt(x), from = -10, to = 10, main = "1/x^(1/2)")

## Warning in sqrt(x): NaNs produced

\[y=\frac{1}{e^x}\]

curve(exp(-x), from = -10, to = 10, main = "e^(-x)")

curve(log(x), from = -10, to = 10, main = “ln(x)”) curve(exp(x), from = -10, to = 10, main = “e^x”) curve(log2(x), from = -10, to = 10, main = “log2(x)”) curve(log10(x), from = -10, to = 10, main = “log10(x)”) curve(xlog(x), from = -10, to = 10, main = “xln(x)“) curve(log(x)^2, from = -10, to = 10, main =”ln(x)^2”)

13 Construcción de funciones

library(mosaic)

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

\[g(x)=2x^2-5x+2-x\]

g=makeFun(2*x^2-5*x+2~x)

13.1 Evaluación

g(2)

## [1] 0

13.2 Graficación

plotFun(g(x)~x, x.lim=range(-2,2))

14 Distribución normal

plotFun(g(x)~x, x.lim=range(-2,2))

14.1 Función de densidad

curve(dnorm, from = -3, to = 3, n = 1000, main = "Función de densidad Gaussiana")
text(-2, 0.3, expression(f(x) == paste(frac(1, sqrt(2 * pi * sigma^2)), " ", e^{
    frac(-(x - mu)^2, 2 * sigma^2)
})), cex = 1.2)

14.2 Función de distribución

curve(pnorm, from = -3, to = 3, n = 1000, main = "Función de distribución Gaussiana")
text(-2, 0.3, expression(F(x) == integral(paste(frac(1, sqrt(2 * pi * sigma^2)), " ", e^{
    frac(-(x - mu)^2, 2 * sigma^2)
}),-infinity,+infinity)), cex = 1.2)

14.3 Simulación de datos

h <- rnorm(mean = 5, sd = 1, n = 1000)
hist(h, main = expression(paste("Sampled values, ", mu, "=5, ", sigma, "=1")), col = "grey")

library(latex2exp)

\[f(x)={\alpha}x^{\alpha}\]

x <- seq(0, 4, length.out = 100)
alpha <- 1:5

plot(x, xlim = c(0, 4), ylim = c(0, 10), xlab = "x", ylab = TeX("$\\alpha  x^\\alpha$, donde $\\alpha \\in 1\\ldots 5$"), 
    type = "n", main = TeX("Usando $\\LaTeX$ para graficar una función exponencial!"))

invisible(sapply(alpha, function(a) lines(x, a * x^a, col = a)))

legend("topleft", legend = TeX(sprintf("$\\alpha = %d$", alpha)), lwd = 1, col = alpha)

15 Funciones en una, dos y tres dimensiones

\[3x+5\]

h<- function(x){
  3*x+5
}
h(2)

## [1] 11

g<-function(x,m,b){
  m*x+b
}

g(2,3,5)

## [1] 11

g(x=3,b=2,m=-1)

## [1] -1

15.1 Grafico

\[f(x,t)=\sin(x)e^{-t}\]

plotFun(sin(2*pi*t/10)*exp(-0.2*x)~t&x, t.lim=range(0,20), x.lim=range(0,10), filled = F)

plotFun(sin(2*pi*t/10)*exp(-0.2*x)~t&x, t.lim=range(0,20), x.lim=range(0,10), filled = F, surface = T)

pareja.dos <- c(9800000,10200000)
mean(pareja.dos)

## [1] 1e+07

venn.plot <- draw.pairwise.venn(70, 100, 70, c("A", "B"))
grid.draw(venn.plot)

grid.newpage()

venn.plot <- draw.pairwise.venn(area1 = 100,area2 = 70,cross.area = 68,category = c("Y", "Z"),fill = c("pink", "green"),lty = "blank",cex = 2,cat.cex = 2,cat.pos = c(285, 105),cat.dist = 0.09,cat.just = list(c(-1, -1), c(1, 1)),ext.pos = 30,ext.dist = -0.05,ext.length = 0.85,ext.line.lwd = 2,ext.line.lty = "dashed");grid.draw(venn.plot);grid.newpage();

venn.plot <- draw.quad.venn(area1 = 72,area2 = 86,area3 = 50,area4 = 52,n12 = 44,n13 = 27,n14 = 32,n23 = 38,n24 = 32,n34 = 20,n123 = 18,n124 = 17,n134 = 11,n234 = 13,n1234 = 6,category = c("A", "B", "C", "D"),fill = c("orange", "red", "green", "blue"),lty = "dashed",cex = 2,cat.cex = 2,cat.col = c("gold", "red", "green", "blue"));grid.draw(venn.plot);grid.newpage();

library(venn)
venn(2, ilab=TRUE, zcolor = "style")

venn(3, counts = 1:8)