1 Introducción

Muchos fenómenos no son de carácter determinístico, es decir, no conocemos de antemano el resultado del mismo, razón por la cual, es necesario cuantificar la posibilidad de ocurrencia de eventos bajo incertidumbre.

De otra parte, resulta fundamental el conocimiento de los conceptos básicos de probabilidad, pues los modelos de probabilidad son la base para hacer inferencias sobre poblaciones, por medio de intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.

2 Conteo

En algunos casos el cálculo de probabilidades implica contar el número de formas en las que se puede desenvolver una situación particular.

A continuación se presentan algunos principios fundamentales de conteo.

2.1 Principio multiplicativo del conteo

Sean \(E_1,\ldots,E_m\) una secuencia de subprocesos que conforman un proceso completo \(T\). Si \(E_j\) ocurre de \(n_j\) formas, para \(j=1,\ldots,m\), entonces, el número de formas total en que puede ocurrir el proceso completo \(T\) es \[ n = \prod_{j=1}^{m}n_j = n_1\times\ldots\times n_m\,. \]

2.2 Ejemplo

En una consulta un médico determina que su paciente debe tomar medicación para dos condiciones. Para la primera tiene 3 opciones de medicamentos y para la segunda 5, ¿cuántas posibles prescripciones diferentes puede hacer el médico?

Medicamento 1: \(n_1=3\)
Medicamento 2: \(n_2=5\)

El número de prescripciones total es \(n = n_1\times n_2=3\times 5=15\).

2.3 Ejercicio

¿De cuántas maneras se puede contestar un examen de Falso-Verdadero conformado por 5 preguntas?

2.4 Ejercicio

¿De cuántas maneras se puede clasificar una empresa de acuerdo con su ubicación (ciudad capital, ciudad intermedia, otra ciudad), su actividad económica (servicios, comercial, industrial, mixta), y su constitución (pública, privada)?

2.5 Ejercicio

Una compañía está comenzando un proyecto para aumentar su capacidad de producción. El proyecto se divide en dos grandes etapas: diseño y construcción. La administración no puede predecir de antemano el tiempo exacto requerido para completar cada etapa del proyecto. Proyectos similares indican tiempos de finalización de la etapa de diseño de 2, 3 o 4 meses, y tiempos de finalización de la etapa de construcción de 6, 7 u 8 meses. ¿Cuántos posibles rangos de tiempo se pueden considerar para llevar a cabo el proyecto?

2.6 ¿De cuántas formas se pueden seleccionar \(k\) elementos de \(n\), con \(k\leq n\), si el orden sí importa y no hay repeticiones?

La operación resultante se llama permutación sin repetición: \[ P^n_k=n\times (n-1)\times ...\times (n-(k-1))=\frac{n!}{(n-k)!} \] donde \(n! = 1\times 2\times ...\times n\), para \(n\geq 1\). Por definición \(0!=1\).

2.7 Ejemplo

La información en el ADN se almacena como un código compuesto por cuatro bases químicas, adenina (A), guanina (G), citosina (C) y timina (T). El ADN humano consta de unos 3 mil millones de bases, y más del 99 por ciento de esas bases son iguales en todas las personas.

¿De cuántas maneras se puede ordenar la secuencia AGCT sin repetir ninguna base? \[ P^4_4=\frac{4!}{0!} = 24 \]

# permutacion
factorial(4)/factorial(0)

## [1] 24

# lista de posibilidades
lista <- gtools::permutations(n = 4, r = 4, v = c("A", "G", "C", "T"))
head(lista)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "A"  "C"  "G"  "T" 
## [2,] "A"  "C"  "T"  "G" 
## [3,] "A"  "G"  "C"  "T" 
## [4,] "A"  "G"  "T"  "C" 
## [5,] "A"  "T"  "C"  "G" 
## [6,] "A"  "T"  "G"  "C"

dim(lista )

## [1] 24  4

2.8 ¿De cuántas formas se pueden seleccionar \(k\) elementos de \(n\), con \(k\leq n\), si el orden sí importa y sí hay repeticiones?

La operación resultante se llama permutación con repetición: \[ n^k=n\times n\times....\times n \]

2.9 Ejemplo

¿Cuántas posibles claves de 3 dígitos se pueden obtener con los números de 1 a 5? \[ 5^3 = 125 \]

# permutacion con repeticion
5^3

## [1] 125

# lista de posibilidades
lista <- gtools::permutations(n = 5, r = 3, v = 1:5, repeats.allowed = TRUE)
head(lista)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    1    1
## [2,]    1    1    2
## [3,]    1    1    3
## [4,]    1    1    4
## [5,]    1    1    5
## [6,]    1    2    1

dim(lista)

## [1] 125   3

2.10 ¿De cuántas formas se pueden seleccionar \(k\) elementos de \(n\), con \(k\leq n\), si el orden no importa y no hay repeticiones?

La operación resultante se llama combinación: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]

2.11 Ejemplo

¿De cuántas formas se pueden seleccionar 3 personas en un grupo de 20? \[\binom{20}{3}=\frac{20!}{3!\,17!}=1140\]

# combinacion
factorial(20)/(factorial(3)*factorial(17))

## [1] 1140

# otra manera
choose(n = 20, k = 3)

## [1] 1140

# lista de posibilidades
lista <- gtools::combinations(n = 20, r = 3, v = 1:20)
head(lista)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    2    3
## [2,]    1    2    4
## [3,]    1    2    5
## [4,]    1    2    6
## [5,]    1    2    7
## [6,]    1    2    8

dim(lista)

## [1] 1140    3

2.12 Ejercicio

Considere un procedimiento de control de calidad en el cual un inspector selecciona aleatoriamente dos de cinco partes para ser inspeccionadas. En un grupo de cinco partes, ¿cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse?

2.13 Ejercicio

En un grupo de 15 hombres y 18 mujeres, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar 5 hombres y 6 mujeres?

2.14 Ejercicio

En una repisa hay 5 libros diferentes de administración y 3 libros diferentes de finanzas. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse en un estante si se quiere que los libros de una misma disciplina estén juntos?

3 Teoría de conjuntos

A continuación una descripción de las operaciones entre conjuntos, dado que son fundamentales en el cálculo de probabilidades.

Sea \(\Omega\) el conjunto universal con \(A\subset\Omega\) y \(B\subset\Omega\).

Complemento: \(A^c=\left\lbrace x\in\Omega:x\notin A\right\rbrace\).
Unión: \(A\cup B=\left\lbrace x\in\Omega:x\in A\text{ o }x\in B\right\rbrace\).
Intersección: \(A\cap B=\left\lbrace x\in\Omega:x\in A\text{ y }x\in B\right\rbrace\).
Diferencia: \(A-B=\left\lbrace x\in\Omega:x\in A\text{ y }x\notin B\right\rbrace\).
Leyes de De Morgan: \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\) y \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\).

4 Probabilidad

Para definir qué es una medida de probabilidad es preciso definir algunos conceptos previamente.

4.1 Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es cualquier experimento que satisface las siguientes condiciones:

Todos los posibles resultados del experimento son conocidos antes de ejecutarlo.
El resultado de cualquier ejecución del experimento no se puede conocer de antemano.
El experimento se puede repetir bajo las mismas condiciones.

4.2 Espacio muestral

El espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

4.3 Ejercicio

Determinar y clasificar (finito, infinito no numerable, infinito no numerable) el espacio muestral asociados con los siguientes experimentos aleatorios.

Lanzar un dado corriente una vez.
Catalogar si fueron o no aprobadas cuatro leyes especificas en el Congreso.
Registrar el número de lanzamientos de una moneda corriente hasta obtener tres sellos.
Cuantificar el tiempo (en minutos) que un empleado tarda haciendo una tarea.

4.4 Evento

Cualquier subconjunto del espacio muestral se llama evento aleatorio.

Cuando un evento tiene un solo elemento se denomina evento elemental o evento simple.

El conjunto \(\Phi\) se llama evento imposible, que nunca sucede, y el conjunto \(\Omega\) se llama evento seguro, que siempre sucede.

Si \(A\) es un evento y el resultado observado del experimento aleatorio es un elemento de \(A\) significa que el evento \(A\) ha sucedido.

4.5 Ejercicio

Considere el lanzamiento de un dado corriente una vez. ¿Cuáles son todos los posibles eventos? ¿Cuántos son?

4.6 Medida de probabilidad

Una medida de probabilidad es una función que le asigna un número entre \(0\) y \(1\) a los eventos de un experimento aleatorio: \[ A\longrightarrow P(A) \] que satisface:

\(P(A)\geq0\).
\(P(\Omega)=1\).
Si \(A_1, A_2,\ldots\) son eventos mutuamente excluyentes incluidos en \(\Omega\), entonces \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\,. \] Observe que la probabilidad de un evento \(A\) es una medida de la incertidumbre relacionada con la posibilidad de la ocurrencia del evento \(A\).

4.7 Asignación Laplaceana de probabilidades

Se define la probabilidad del evento \(A\) como la razón entre el número de casos favorables al evento \(A\) y el número total de casos posibles.

Observaciones:

La validez de este cálculo depende de que los eventos simples sean equiprobables.

4.8 Asignación clásica (frecuentista) de probabilidades

Se define la probabilidad del evento \(A\) como la frecuencia relativa de la ocurrencia de \(A\) asociada con un “gran número” de repeticiones del experimento aleatorio: \[ P(A) = \lim_{n\to\infty} h_n(A) \]