source("http://stat.duke.edu/~kkl13/courses/sta102F13/labs/powerball.R")
With 1,460 drawing done so far there would have been a total of 7,300 times a ball would be drawn as there are five balls chosen every lottery. 7,300 divided by 59 gives an expected draw d=value of123.73 times. This suggests that every ball would have been drawn about 123 times.
source("http://stat.duke.edu/~kkl13/courses/sta102F13/labs/powerball.R")
barplot(freq_white_full)
abline(123, 0)
It is quite unexpected that all of the upper numbers do not even reach the expected frequency. All number 1-59 should be drawn equally. This shows the contrary.
par(mfrow = c(1, 2))
# White Ball Frequency plot
barplot(freq_white)
abline(25, 0)
# Red Ball Frequency plot
barplot(freq_red)
abline(7.56, 0)
Null hypothesis: The observed frequencies follow the expected frequencies. Alternative hypothesis: The observed frequencies do not follow the expected frequencies.
The p-value (0.001410285), is less than a value for alpha of .05. Therefore, I reject the null hypothesis, stating that the observed freqencies of draws match the expected frequencies of draws, in favor of the alternative hypothesis, which states that the observed and expected distribution of frequencies are different. No error has been made. The game is unfair.
Null hypothesis: The observed frequencies of white balls drawn follow the expected frequencies. Alternative hypothesis: The observed frequencies of drawn white numbered balls do not follow the expected frequencies. This is a large enough sample size for the tests made to be trusted.
# Calculate and display both chisq and p-value
set.seed(12345)
# generate die rolls
(wball = sample(1:59, 10000, replace = TRUE))
## [1] 43 52 45 53 27 10 20 31 43 59 3 9 44 1 24 28 23 24 11 57 27 20
## [23] 57 42 39 23 42 33 14 29 47 1 12 41 22 22 52 54 37 8 47 26 55 46
## [45] 16 19 4 3 4 37 57 49 19 13 44 30 44 5 26 14 47 16 59 45 58 13
## [67] 56 9 36 56 41 30 23 20 3 37 57 39 31 9 52 31 1 2 9 18 49 30
## [89] 48 4 55 48 5 36 43 31 43 45 6 24 18 37 58 37 31 54 38 51 15 13
## [111] 36 23 45 23 47 54 59 35 1 19 34 31 6 41 42 48 56 12 17 46 2 40
## [133] 48 40 56 52 42 11 6 48 31 41 13 38 9 57 59 30 55 22 49 33 47 21
## [155] 13 47 41 26 50 36 44 36 51 49 23 30 59 11 50 24 58 12 45 19 23 45
## [177] 42 55 47 49 10 25 12 16 58 48 21 56 10 10 45 53 19 19 59 1 17 48
## [199] 15 28 35 53 8 31 40 46 6 4 33 39 18 42 23 16 56 26 20 32 37 11
## [221] 7 7 6 32 53 42 54 26 28 36 19 34 29 42 44 31 59 55 28 23 56 56
## [243] 54 47 37 40 56 32 20 47 8 57 2 16 52 50 1 11 7 29 57 49 48 55
## [265] 42 5 7 47 59 41 9 19 10 59 45 24 33 2 20 51 8 47 6 2 17 25
## [287] 4 47 30 31 42 50 4 20 48 17 49 13 33 1 4 36 42 39 35 41 13 14
## [309] 27 21 24 26 57 14 22 53 32 35 16 52 19 40 37 24 24 57 19 1 10 14
## [331] 23 51 44 40 7 4 57 44 29 52 35 41 54 50 31 37 47 56 3 45 41 37
## [353] 59 38 39 43 35 34 3 47 11 10 29 15 21 43 52 15 47 34 32 47 55 37
## [375] 39 26 26 58 19 27 42 48 19 41 47 51 37 12 54 2 47 51 48 10 20 12
## [397] 20 23 30 8 5 28 16 14 36 10 51 15 48 5 32 43 3 2 44 46 32 23
## [419] 28 8 50 16 12 15 23 50 58 19 16 37 37 4 44 19 3 34 1 52 32 7
## [441] 48 48 1 41 26 54 24 1 57 58 45 24 25 49 30 42 56 16 32 6 32 55
## [463] 13 51 34 24 36 23 48 18 19 25 46 38 16 19 44 46 36 7 15 16 17 32
## [485] 24 39 9 52 28 54 47 49 59 35 28 20 42 45 46 52 13 46 50 56 40 51
## [507] 5 38 24 45 44 22 21 40 20 41 13 15 8 47 45 12 53 36 27 18 18 34
## [529] 55 48 26 22 31 39 41 49 8 55 15 24 16 19 15 32 43 32 2 37 36 46
## [551] 52 27 30 53 23 16 10 6 41 22 4 5 34 41 12 16 56 31 44 14 38 37
## [573] 32 15 15 28 50 14 46 31 20 46 15 20 26 42 39 43 10 3 34 7 1 46
## [595] 16 41 14 58 41 47 42 1 30 44 20 49 53 51 27 28 31 10 53 12 38 3
## [617] 22 36 57 13 11 52 28 14 54 58 57 33 59 21 23 25 17 4 5 26 59 7
## [639] 14 13 39 31 43 19 50 30 41 56 1 31 49 20 41 37 39 57 14 20 50 9
## [661] 55 6 41 58 38 25 48 16 39 35 38 2 4 58 56 12 41 20 40 5 58 8
## [683] 23 51 49 40 42 53 28 42 27 54 7 4 42 52 1 45 47 30 37 22 28 18
## [705] 5 43 9 47 51 21 22 56 38 20 31 26 41 54 11 16 21 2 3 6 37 2
## [727] 26 5 30 32 44 38 37 51 57 37 45 7 24 55 27 4 57 56 41 4 43 20
## [749] 45 56 13 44 52 27 2 16 46 43 59 2 19 15 28 32 38 55 18 48 41 12
## [771] 26 51 49 19 59 24 7 2 20 49 47 23 41 36 33 51 22 19 36 20 36 15
## [793] 44 1 37 51 29 29 5 24 44 56 30 3 37 7 10 10 16 17 47 27 28 35
## [815] 20 45 7 56 10 32 10 37 26 45 53 9 32 42 12 4 30 38 38 29 11 26
## [837] 8 41 51 33 42 17 37 31 17 30 35 10 53 30 20 57 54 19 14 18 53 37
## [859] 43 36 13 6 29 48 34 40 7 5 39 55 41 12 59 31 49 26 47 1 58 10
## [881] 39 21 44 25 32 44 50 22 53 2 41 10 11 6 1 11 40 19 9 16 45 8
## [903] 51 20 17 4 20 34 50 10 53 11 56 44 26 46 11 20 38 20 6 42 24 33
## [925] 34 17 12 6 27 50 12 39 10 52 11 36 2 21 27 35 54 37 29 49 1 54
## [947] 42 34 48 33 19 20 17 14 18 29 30 11 28 20 29 31 27 40 27 31 40 25
## [969] 5 46 35 55 46 55 33 39 34 24 35 54 8 27 48 56 24 21 2 44 25 2
## [991] 35 16 14 32 12 51 27 14 23 8 5 50 1 21 41 15 11 42 59 57 26 53
## [1013] 35 21 48 32 1 44 25 45 2 10 7 17 48 51 29 46 39 31 46 41 48 13
## [1035] 7 13 26 3 18 43 39 14 43 50 46 47 21 19 31 30 35 58 47 38 20 6
## [1057] 22 30 3 28 26 58 48 22 17 4 22 39 58 58 44 2 23 26 53 39 42 27
## [1079] 29 5 59 46 26 11 32 7 58 6 56 1 58 50 15 34 1 38 3 24 43 1
## [1101] 19 48 29 26 39 44 52 46 55 19 58 35 9 5 53 49 45 6 14 29 33 11
## [1123] 32 39 16 25 42 12 13 52 15 44 29 18 23 22 9 29 55 50 48 5 22 31
## [1145] 42 30 7 15 44 29 43 32 53 36 41 27 4 33 31 27 45 59 6 4 36 11
## [1167] 23 16 46 52 35 58 4 16 31 26 47 6 1 52 18 47 6 59 47 50 45 20
## [1189] 51 41 57 51 25 53 25 47 51 12 20 15 4 48 35 35 19 57 15 14 27 44
## [1211] 6 16 32 37 21 58 49 42 31 10 20 10 35 42 5 36 49 15 32 3 47 41
## [1233] 29 50 32 36 39 15 12 23 55 4 35 42 29 48 16 5 46 52 28 58 33 28
## [1255] 31 18 37 14 49 51 9 33 25 34 57 37 55 9 22 18 16 46 41 27 36 38
## [1277] 27 42 7 19 56 44 50 12 51 30 22 57 10 2 54 44 26 12 49 40 48 20
## [1299] 33 12 13 20 7 24 59 31 31 15 37 9 3 48 8 48 54 27 6 43 58 57
## [1321] 6 35 42 6 7 7 58 34 5 9 26 30 11 23 37 10 36 49 23 29 21 30
## [1343] 5 58 50 56 44 2 22 12 3 53 54 41 40 15 34 56 31 52 15 57 52 13
## [1365] 59 48 9 42 8 53 54 53 1 50 38 52 25 39 25 26 56 4 2 36 24 20
## [1387] 6 19 55 27 1 11 17 45 36 19 51 10 43 2 59 46 58 51 29 49 40 51
## [1409] 6 21 29 32 49 58 22 28 41 27 25 28 30 12 18 4 18 9 28 5 40 20
## [1431] 50 47 8 12 57 14 53 56 29 53 23 3 50 43 24 56 11 18 16 53 4 58
## [1453] 1 45 58 45 36 48 18 10 30 57 26 49 32 28 47 36 39 49 38 52 2 44
## [1475] 29 39 19 25 44 18 10 14 13 17 19 26 20 53 16 41 55 57 59 32 58 4
## [1497] 21 29 17 20 40 51 32 14 45 27 14 29 50 59 15 59 6 16 28 22 58 13
## [1519] 11 28 9 31 6 37 28 44 47 7 26 22 48 31 50 5 44 9 59 18 52 33
## [1541] 58 57 24 29 20 4 14 15 41 29 48 1 49 58 49 39 17 15 45 25 35 26
## [1563] 10 42 39 14 41 57 32 16 50 41 21 56 49 2 48 17 51 37 44 42 51 49
## [1585] 48 54 16 55 40 39 36 55 7 26 35 54 41 4 58 44 13 18 24 18 41 9
## [1607] 45 51 41 50 51 43 52 25 4 26 52 1 43 57 14 56 36 19 22 20 49 5
## [1629] 16 23 45 38 32 18 42 10 48 49 33 38 49 47 15 52 12 2 59 36 29 8
## [1651] 44 30 15 12 20 50 14 18 24 33 49 47 16 22 28 41 48 46 44 21 2 55
## [1673] 44 32 2 33 41 18 57 53 48 2 8 28 23 26 48 43 1 59 36 49 1 30
## [1695] 31 48 17 57 36 30 36 35 48 39 18 24 23 33 59 45 47 17 13 25 44 59
## [1717] 30 20 41 4 9 7 2 24 7 59 18 3 8 23 57 6 21 45 28 2 15 18
## [1739] 15 58 35 38 40 27 51 32 14 57 48 49 5 43 37 56 34 3 26 41 42 15
## [1761] 49 53 33 35 49 7 42 2 18 28 47 16 46 35 17 41 44 34 2 45 33 25
## [1783] 36 6 33 1 2 9 21 36 10 59 8 24 30 56 39 56 18 25 13 5 1 1
## [1805] 32 35 46 37 27 51 19 33 49 51 2 20 23 24 23 48 31 45 53 14 18 24
## [1827] 43 8 45 28 30 34 25 44 46 8 29 31 3 8 3 56 24 15 29 47 50 59
## [1849] 10 50 39 53 35 25 10 43 56 16 22 34 3 7 5 20 25 37 52 50 44 54
## [1871] 24 32 3 31 10 37 23 28 18 17 14 31 34 48 8 25 4 20 10 53 15 53
## [1893] 39 25 8 46 4 32 35 28 2 41 50 26 22 42 25 23 40 14 25 33 24 7
## [1915] 24 57 18 28 20 18 38 16 13 49 42 24 58 44 56 51 27 50 4 10 14 4
## [1937] 9 32 14 25 49 38 22 56 43 35 26 19 47 54 51 33 48 31 23 31 58 50
## [1959] 54 46 18 11 12 6 58 26 24 2 43 59 17 7 23 53 23 54 16 2 7 6
## [1981] 33 21 25 56 34 41 12 57 7 41 28 52 55 36 5 34 18 29 36 17 57 37
## [2003] 32 53 12 53 13 23 21 59 2 28 28 9 9 23 45 37 22 58 24 48 16 58
## [2025] 18 42 5 46 50 42 40 3 36 3 7 42 50 1 54 57 29 37 3 56 11 10
## [2047] 20 46 43 28 35 6 39 47 29 48 47 27 3 28 11 31 16 28 57 50 8 45
## [2069] 12 19 35 23 55 52 41 14 37 41 14 14 49 17 5 6 39 6 8 18 28 48
## [2091] 5 6 36 2 42 15 18 49 2 15 13 18 9 19 41 5 30 36 45 21 39 30
## [2113] 16 20 22 59 25 16 1 2 12 22 18 35 50 49 52 47 31 25 9 31 25 12
## [2135] 24 7 4 32 7 12 59 52 5 57 8 46 44 51 41 12 29 44 51 55 9 45
## [2157] 43 38 24 6 13 11 41 19 11 41 56 49 12 6 22 41 30 46 1 3 56 6
## [2179] 16 44 19 14 11 42 23 52 56 26 44 27 53 29 29 17 11 24 20 35 33 23
## [2201] 52 35 40 13 58 21 15 14 56 43 54 44 40 57 56 48 3 55 5 36 18 7
## [2223] 6 20 28 25 22 43 6 33 50 44 20 22 47 36 43 42 21 29 4 20 18 5
## [2245] 35 45 49 45 56 33 53 6 46 11 44 46 44 14 56 56 40 7 31 31 1 22
## [2267] 42 55 28 51 38 7 5 18 49 47 4 59 5 3 1 56 32 4 3 23 57 26
## [2289] 44 5 56 48 30 4 32 52 55 33 51 4 27 4 17 28 9 25 23 8 34 4
## [2311] 42 9 49 47 31 29 34 12 19 43 51 3 26 37 19 16 44 13 24 39 47 59
## [2333] 51 52 41 26 56 56 53 29 45 45 18 37 45 59 1 7 11 16 27 29 38 53
## [2355] 31 25 58 1 53 47 4 48 32 36 44 5 25 55 38 21 33 59 3 5 50 45
## [2377] 53 8 5 47 8 22 35 35 41 13 29 16 34 23 33 4 8 12 49 13 40 55
## [2399] 19 30 24 57 49 15 31 24 36 25 52 26 47 25 38 41 21 38 54 53 12 16
## [2421] 39 19 39 38 45 3 6 12 4 44 16 34 10 52 9 58 27 25 33 51 4 2
## [2443] 50 5 51 1 27 46 49 30 58 35 47 17 26 11 18 3 45 38 9 22 58 23
## [2465] 31 34 3 12 28 48 49 31 24 1 12 31 24 24 5 17 37 52 26 7 27 56
## [2487] 39 35 19 26 53 43 12 5 25 42 4 4 27 16 49 31 45 7 54 40 33 30
## [2509] 31 51 54 41 22 27 13 29 20 41 52 42 35 19 43 9 15 15 10 31 8 45
## [2531] 20 59 48 51 45 53 35 2 37 39 1 57 14 13 24 43 52 50 16 35 3 4
## [2553] 9 36 45 8 3 16 51 25 35 10 37 30 51 56 59 11 29 21 39 21 6 42
## [2575] 20 10 48 46 3 44 10 17 57 37 45 25 38 9 19 52 55 11 11 22 2 48
## [2597] 49 27 2 35 3 10 24 37 13 15 15 35 24 39 53 17 26 30 1 24 57 15
## [2619] 50 3 30 9 1 30 52 16 13 54 57 12 48 14 42 41 31 58 56 44 5 30
## [2641] 16 45 32 16 41 27 40 18 43 4 37 35 8 38 6 44 23 19 48 29 31 33
## [2663] 37 33 12 46 44 32 11 21 2 47 54 48 28 7 6 28 41 10 27 30 29 56
## [2685] 16 55 30 39 24 25 19 16 1 34 32 36 21 40 40 36 27 12 6 54 5 31
## [2707] 33 27 15 57 4 8 23 8 12 46 15 54 28 4 24 6 1 19 51 50 54 59
## [2729] 53 54 2 31 20 11 53 44 29 32 48 58 6 20 35 33 40 21 53 36 52 56
## [2751] 34 41 17 24 7 48 27 4 51 10 15 13 22 9 27 35 40 52 5 40 42 4
## [2773] 25 1 35 2 28 43 3 2 14 7 30 30 45 24 47 25 10 42 21 15 14 8
## [2795] 15 48 15 51 10 17 14 47 50 34 52 14 55 55 53 16 31 37 45 51 28 11
## [2817] 27 40 8 37 52 27 20 54 11 4 23 15 36 20 7 1 56 38 59 22 55 5
## [2839] 55 15 30 29 53 58 17 14 47 20 39 16 7 22 52 58 13 23 20 51 48 55
## [2861] 49 43 12 45 44 46 28 39 14 55 1 50 28 40 12 12 30 2 35 4 46 50
## [2883] 35 31 16 59 36 56 20 49 26 44 33 38 36 37 54 34 11 3 54 11 58 11
## [2905] 15 43 19 52 12 9 45 45 6 14 52 38 14 11 12 44 42 40 19 13 37 9
## [2927] 57 46 34 14 57 31 37 36 54 39 47 8 39 44 7 3 9 16 1 42 33 16
## [2949] 23 58 40 41 28 11 45 11 34 43 12 53 58 44 7 32 39 45 9 19 30 21
## [2971] 28 38 19 8 52 47 14 13 30 5 16 8 19 5 28 2 25 52 59 38 10 29
## [2993] 52 36 37 59 18 55 37 7 26 51 15 46 41 44 53 6 7 48 2 5 14 49
## [3015] 55 12 24 44 43 59 50 24 57 6 50 41 32 18 23 16 1 23 23 42 41 25
## [3037] 9 29 52 53 45 31 17 6 31 33 38 59 23 1 42 55 18 49 33 54 57 32
## [3059] 12 3 14 9 52 4 33 32 49 40 32 36 19 59 48 11 28 41 2 4 55 48
## [3081] 2 25 22 51 4 50 36 5 26 15 48 28 1 27 45 33 53 18 38 26 51 46
## [3103] 43 3 14 31 5 17 9 31 10 51 20 29 30 18 15 32 50 33 55 11 25 53
## [3125] 19 16 18 29 18 21 8 40 8 31 7 51 11 53 46 45 57 34 30 6 30 34
## [3147] 25 38 9 13 3 55 15 52 57 4 4 38 44 29 24 12 6 25 59 41 53 25
## [3169] 56 38 43 36 1 35 28 34 55 25 30 16 21 40 40 41 44 32 4 36 43 17
## [3191] 37 49 13 15 38 40 5 20 12 54 46 20 54 14 17 20 8 17 13 46 51 5
## [3213] 40 43 19 59 32 30 58 31 33 2 52 43 53 55 51 12 32 57 10 47 8 19
## [3235] 17 11 46 4 16 3 24 13 7 32 11 40 33 40 54 25 45 48 16 57 53 23
## [3257] 49 25 45 32 26 33 17 31 13 1 25 52 22 5 33 23 27 7 32 27 35 10
## [3279] 35 46 9 14 22 31 23 51 39 5 13 26 26 11 59 33 58 9 47 55 30 50
## [3301] 27 20 3 29 26 17 52 38 58 33 4 31 39 8 11 4 1 9 24 43 18 39
## [3323] 28 24 3 4 55 44 22 48 28 31 15 36 54 29 24 7 37 54 20 41 7 34
## [3345] 28 28 41 34 57 36 48 1 24 51 22 34 31 44 11 2 14 3 56 37 15 56
## [3367] 3 47 18 41 47 9 15 33 7 49 19 40 53 49 53 26 18 46 4 2 1 45
## [3389] 33 5 26 51 42 26 11 38 54 28 22 17 29 35 54 49 58 45 1 3 33 40
## [3411] 1 12 15 28 24 32 13 19 41 31 27 23 35 28 17 23 31 33 10 44 7 10
## [3433] 54 11 18 37 43 10 57 53 10 31 42 18 46 13 31 23 30 23 41 23 43 15
## [3455] 28 41 29 14 45 27 3 27 47 14 39 44 15 34 20 4 55 48 47 43 43 24
## [3477] 20 24 30 22 51 40 54 3 10 8 8 18 3 48 41 59 31 18 42 13 40 8
## [3499] 33 41 55 4 54 52 24 48 40 5 34 17 33 31 22 28 8 15 43 41 35 5
## [3521] 23 2 56 36 17 45 30 26 31 52 25 33 48 52 58 55 6 35 58 4 49 36
## [3543] 2 16 33 22 23 15 55 5 10 54 12 47 12 32 54 33 34 13 1 49 30 34
## [3565] 4 54 44 36 59 26 17 26 32 47 35 13 36 33 19 11 33 39 18 12 40 58
## [3587] 45 9 14 1 32 4 55 36 8 9 3 4 1 14 53 42 22 58 53 25 15 49
## [3609] 54 47 49 18 11 17 16 36 41 50 46 46 40 47 38 10 41 31 45 3 7 4
## [3631] 30 32 20 3 51 2 34 16 10 51 57 56 7 11 10 23 12 27 59 1 36 55
## [3653] 16 5 27 52 26 13 23 3 23 41 12 46 20 43 9 10 52 24 30 21 13 55
## [3675] 48 39 22 59 53 21 33 13 23 24 4 58 57 6 4 33 31 45 23 33 3 35
## [3697] 13 8 25 29 5 7 19 25 44 17 20 3 23 18 13 7 16 23 34 43 14 5
## [3719] 55 2 36 20 7 7 38 5 51 21 3 30 28 37 35 47 43 50 58 17 39 50
## [3741] 58 52 13 46 6 12 12 56 26 13 28 56 15 33 45 27 50 35 26 30 12 37
## [3763] 1 53 23 52 12 8 50 24 46 39 31 31 19 12 33 49 36 12 7 31 4 53
## [3785] 16 21 44 23 32 25 36 39 53 2 11 36 49 23 53 45 42 38 41 10 31 57
## [3807] 50 38 34 15 53 7 5 52 1 41 22 38 58 13 48 10 16 48 50 49 42 58
## [3829] 58 18 49 5 24 42 9 27 34 12 47 23 58 41 44 21 31 13 21 37 29 50
## [3851] 33 12 38 19 57 54 51 32 6 45 14 15 15 14 35 36 48 20 31 57 55 2
## [3873] 54 40 8 45 7 45 58 39 26 54 18 11 55 5 44 40 8 46 17 11 12 32
## [3895] 33 30 37 53 27 19 47 50 23 14 1 18 6 20 36 7 3 2 21 44 59 43
## [3917] 55 34 14 56 41 53 54 40 39 29 49 31 55 13 7 1 27 43 9 22 46 59
## [3939] 36 28 9 20 5 44 13 58 13 58 14 31 24 9 49 20 18 27 53 16 38 38
## [3961] 29 45 40 45 11 12 18 3 28 51 30 56 17 40 42 12 52 14 10 56 23 23
## [3983] 48 3 26 4 42 42 45 15 54 2 11 8 16 15 33 19 14 46 17 38 51 22
## [4005] 17 49 51 34 55 53 31 50 58 7 7 42 7 21 4 36 45 15 18 8 31 35
## [4027] 20 26 11 15 54 7 28 41 1 52 49 7 46 18 36 3 52 16 35 12 59 2
## [4049] 12 34 46 38 23 26 12 12 36 2 8 4 29 54 6 54 34 34 41 26 47 46
## [4071] 8 23 40 32 19 9 31 43 49 42 38 10 3 57 28 14 22 11 49 38 10 43
## [4093] 16 53 46 27 5 43 16 32 52 36 1 48 12 37 52 59 44 44 17 23 6 37
## [4115] 42 43 40 17 20 30 24 51 34 2 40 35 45 41 16 35 46 9 23 29 49 42
## [4137] 1 55 38 49 24 19 50 43 47 24 19 58 10 55 10 42 2 5 47 1 47 24
## [4159] 11 18 43 45 45 32 55 11 19 24 38 1 16 16 55 48 37 55 36 51 35 32
## [4181] 2 22 4 30 16 40 3 28 40 33 54 32 27 58 27 6 28 35 56 4 46 11
## [4203] 51 55 44 19 19 47 19 8 57 31 43 15 34 5 18 21 41 26 3 12 8 36
## [4225] 27 46 19 40 17 59 17 8 56 2 19 17 57 56 50 34 49 17 19 39 2 25
## [4247] 57 33 37 50 54 56 41 58 45 39 20 49 12 42 22 21 44 48 16 56 18 40
## [4269] 16 26 55 54 49 40 29 29 10 6 17 29 31 6 36 37 8 26 7 24 10 18
## [4291] 26 47 15 50 1 23 43 4 31 24 59 50 10 50 34 55 43 47 44 29 51 59
## [4313] 3 18 29 14 14 27 36 32 24 26 39 33 6 57 54 49 49 49 35 21 11 24
## [4335] 50 59 2 11 41 25 18 48 16 9 49 41 11 57 33 30 8 23 22 17 10 11
## [4357] 44 34 36 11 50 33 29 11 53 55 29 20 2 19 5 47 23 34 45 42 55 8
## [4379] 43 33 42 52 55 50 3 15 47 42 8 6 53 49 10 24 32 18 8 2 42 53
## [4401] 22 39 25 19 30 8 24 32 44 59 32 58 47 47 42 16 53 34 16 32 52 7
## [4423] 8 55 12 47 15 21 12 22 48 14 8 51 43 18 19 55 36 6 31 56 46 25
## [4445] 36 6 24 1 31 23 16 9 10 22 48 48 14 38 23 20 7 18 10 48 2 12
## [4467] 53 16 56 15 39 36 5 35 13 51 56 35 1 37 37 13 3 15 18 44 40 47
## [4489] 23 58 59 52 14 4 46 54 33 55 16 49 5 17 3 52 2 46 2 41 18 6
## [4511] 15 58 12 26 34 3 59 34 40 16 24 23 3 11 35 30 15 51 49 41 36 25
## [4533] 29 39 29 43 16 11 20 5 22 32 41 1 32 59 10 48 2 2 41 58 48 24
## [4555] 41 23 29 51 30 1 33 6 20 22 43 40 1 52 31 50 54 28 20 40 32 1
## [4577] 8 8 29 43 13 34 55 39 20 9 41 9 36 17 1 56 37 21 56 23 41 30
## [4599] 33 38 32 4 32 38 29 38 33 10 56 8 11 30 28 25 30 20 16 9 4 5
## [4621] 24 5 24 28 49 38 11 17 24 39 24 25 40 59 14 6 19 52 48 5 4 5
## [4643] 34 4 25 43 42 28 1 32 45 17 39 49 35 58 44 12 24 27 14 2 34 1
## [4665] 45 31 38 19 29 57 11 24 42 56 46 12 17 39 21 29 14 48 43 53 30 55
## [4687] 18 33 46 33 34 2 58 40 41 2 42 22 20 58 29 6 49 2 36 55 22 46
## [4709] 17 55 7 25 59 53 36 37 8 37 32 52 18 46 25 59 29 17 21 32 36 2
## [4731] 30 32 23 34 56 33 27 41 41 22 34 33 40 20 47 24 46 2 6 21 32 55
## [4753] 2 35 43 48 37 29 53 32 4 14 10 12 49 29 16 25 19 38 42 54 18 56
## [4775] 43 31 7 16 11 36 53 33 12 51 20 25 12 27 30 17 28 35 41 17 44 14
## [4797] 49 45 12 27 26 52 5 34 45 25 34 11 25 40 32 11 33 56 34 54 11 31
## [4819] 20 9 56 53 48 36 33 3 51 7 11 38 26 13 45 22 8 20 56 51 19 43
## [4841] 43 29 43 11 58 38 3 51 46 9 24 48 26 10 37 42 43 10 26 25 43 1
## [4863] 59 17 4 17 2 26 24 31 54 50 19 15 7 26 42 27 39 24 56 38 6 3
## [4885] 34 12 49 25 4 14 57 21 9 21 44 8 38 15 52 47 25 42 26 2 57 49
## [4907] 37 8 48 41 36 1 42 31 40 43 13 24 6 58 45 18 21 59 28 24 21 18
## [4929] 5 40 43 18 8 12 24 50 19 40 12 13 57 32 47 55 27 13 20 49 39 13
## [4951] 21 12 54 45 49 25 50 3 23 5 25 52 14 25 1 10 20 9 48 24 28 21
## [4973] 26 18 22 19 15 31 22 23 36 37 15 2 47 6 20 15 21 50 31 19 22 7
## [4995] 49 51 11 59 39 21 11 12 43 2 35 45 5 44 13 24 42 29 31 57 21 26
## [5017] 17 44 46 4 8 27 13 28 30 2 7 16 23 36 23 57 4 2 8 9 24 24
## [5039] 56 25 37 41 37 48 14 54 48 34 40 25 53 17 51 1 49 54 13 31 35 12
## [5061] 41 20 40 9 6 31 22 51 54 55 25 32 46 5 30 58 10 37 50 37 45 59
## [5083] 33 13 35 48 55 13 32 16 41 16 56 18 35 57 52 46 18 10 16 56 53 37
## [5105] 1 47 37 49 53 52 28 1 20 29 30 7 27 45 18 28 59 33 52 9 28 17
## [5127] 58 28 52 17 12 4 6 14 24 21 3 44 59 21 29 5 42 28 7 52 39 34
## [5149] 54 12 7 7 9 37 35 33 48 31 21 10 17 19 55 43 19 23 3 49 40 36
## [5171] 55 26 40 22 40 49 54 59 40 47 45 35 58 25 39 10 12 23 38 54 8 42
## [5193] 17 36 45 27 30 39 53 25 46 38 30 47 27 58 29 18 22 3 29 55 53 2
## [5215] 25 37 57 43 22 1 21 28 55 34 5 55 3 47 51 22 10 46 19 42 34 42
## [5237] 3 16 28 53 12 12 56 5 46 20 9 48 37 23 44 9 8 14 48 35 4 21
## [5259] 15 6 56 49 28 48 42 45 54 37 15 27 43 37 11 38 22 11 4 37 32 13
## [5281] 21 27 21 30 17 57 14 28 9 1 26 3 50 47 7 34 41 44 13 23 19 46
## [5303] 49 34 44 11 22 29 10 46 10 59 56 49 14 27 43 29 56 58 5 59 56 26
## [5325] 35 46 29 22 1 49 32 37 20 46 17 38 27 29 26 55 39 37 41 4 8 45
## [5347] 19 22 4 21 32 45 54 9 41 38 36 57 17 42 54 27 31 8 43 4 31 1
## [5369] 56 2 3 16 20 7 38 30 25 30 16 49 8 29 12 48 37 37 53 51 35 38
## [5391] 54 25 9 18 27 20 55 52 12 14 51 59 28 23 33 19 50 46 9 15 59 20
## [5413] 5 56 40 21 51 56 16 42 26 38 43 43 33 25 12 14 49 32 56 49 15 5
## [5435] 30 37 50 4 43 19 16 48 21 6 5 40 57 31 45 59 6 28 32 33 52 43
## [5457] 19 54 17 4 8 56 8 33 17 4 51 36 12 48 56 20 41 15 20 44 11 16
## [5479] 11 28 10 36 45 37 41 59 40 12 23 46 8 48 3 10 25 59 56 22 35 27
## [5501] 46 32 31 20 36 19 9 31 53 3 27 50 10 12 34 58 29 50 13 11 13 33
## [5523] 21 58 2 26 40 33 29 45 57 28 7 45 30 22 56 31 4 43 21 19 28 35
## [5545] 35 2 42 53 46 10 44 38 3 22 49 26 53 4 42 19 22 13 46 25 19 27
## [5567] 26 40 42 3 15 56 37 38 39 52 8 54 55 28 19 12 18 31 36 3 30 18
## [5589] 38 28 39 18 50 55 20 37 56 51 4 30 49 17 49 35 28 45 52 55 18 21
## [5611] 9 39 53 7 28 17 29 12 57 9 12 8 36 39 15 1 42 35 12 20 24 6
## [5633] 49 55 36 26 51 43 28 46 16 20 39 44 34 39 2 42 58 32 47 13 19 16
## [5655] 39 40 46 38 57 28 29 37 26 23 7 23 14 21 5 33 15 16 23 8 39 17
## [5677] 9 7 31 31 17 44 33 20 3 4 39 39 14 21 18 46 13 38 45 46 29 45
## [5699] 2 14 57 23 48 38 26 17 44 37 52 21 5 45 33 29 4 34 30 14 22 45
## [5721] 36 19 6 15 2 44 57 53 53 55 7 49 23 49 33 1 26 51 50 53 42 2
## [5743] 6 59 19 33 17 37 59 4 30 28 40 57 40 35 8 5 22 11 37 32 13 20
## [5765] 58 43 43 21 52 35 12 26 36 15 31 3 47 42 40 45 51 32 34 2 26 40
## [5787] 58 51 53 44 59 55 18 29 33 25 21 3 25 33 7 40 35 11 25 6 33 53
## [5809] 55 57 3 50 6 56 57 53 15 9 12 19 36 45 51 33 27 42 49 15 16 3
## [5831] 57 50 20 33 43 41 6 19 10 9 27 12 54 16 28 22 53 34 2 35 45 14
## [5853] 29 26 34 4 45 48 7 2 41 5 1 3 9 6 9 38 32 6 51 37 8 29
## [5875] 12 22 41 25 14 32 22 33 51 46 56 34 50 52 32 29 2 14 21 5 56 26
## [5897] 30 54 43 21 30 16 47 9 54 51 12 3 24 6 19 21 8 43 8 48 12 7
## [5919] 31 58 35 44 59 33 6 20 40 25 27 50 14 38 12 20 28 54 18 16 40 22
## [5941] 31 30 26 30 41 7 47 24 10 48 15 11 36 47 16 38 36 55 54 27 17 8
## [5963] 10 9 6 58 14 12 9 39 25 32 13 53 45 50 13 20 58 49 1 49 50 36
## [5985] 4 7 55 11 14 4 14 49 20 47 39 45 32 28 6 50 42 4 14 26 21 56
## [6007] 30 58 52 16 50 43 18 39 20 49 40 31 7 5 38 30 9 2 26 25 49 53
## [6029] 17 42 23 43 25 24 18 50 52 28 15 30 55 35 13 4 30 20 9 51 56 59
## [6051] 24 1 2 38 58 18 57 53 41 27 33 7 9 51 39 44 36 14 50 27 41 20
## [6073] 11 36 44 59 27 52 14 50 14 54 9 53 37 12 39 56 21 34 44 14 22 29
## [6095] 26 51 29 3 33 34 58 19 8 25 34 31 29 52 56 31 31 3 54 5 33 40
## [6117] 30 58 26 15 11 6 5 14 41 5 3 14 27 38 24 58 47 16 10 2 6 34
## [6139] 13 21 24 15 40 11 16 54 17 46 41 26 36 38 22 48 7 36 5 49 6 6
## [6161] 30 54 53 53 53 34 33 31 1 18 45 15 28 52 4 24 17 47 35 50 46 48
## [6183] 38 3 16 35 46 18 16 51 21 19 37 55 5 39 56 8 53 14 23 8 3 30
## [6205] 45 55 51 17 34 53 59 26 53 45 53 55 1 3 23 10 38 56 31 21 15 30
## [6227] 13 45 27 42 17 58 33 26 45 33 3 8 44 39 21 53 25 50 43 23 33 8
## [6249] 4 31 9 57 42 50 56 26 38 55 17 8 50 42 26 39 28 11 1 23 5 38
## [6271] 13 9 48 17 10 1 56 28 8 14 32 1 1 48 50 22 51 54 25 21 28 49
## [6293] 24 58 1 17 16 43 12 58 46 15 21 42 10 57 42 25 7 38 8 36 51 51
## [6315] 58 14 9 48 49 11 22 3 21 40 57 20 19 50 41 22 6 15 32 6 9 19
## [6337] 54 51 2 36 1 19 32 22 15 6 28 11 26 3 55 10 33 40 19 4 12 49
## [6359] 1 43 54 42 20 45 36 49 22 7 21 40 37 32 47 7 8 32 57 7 33 42
## [6381] 5 2 51 25 16 27 30 29 47 59 4 51 53 12 17 54 31 6 56 39 27 23
## [6403] 35 28 15 9 51 39 50 10 46 28 20 32 46 11 53 39 41 43 13 45 59 36
## [6425] 19 23 29 41 54 40 38 24 46 58 16 14 51 30 20 13 26 30 44 45 2 5
## [6447] 20 15 13 17 7 20 29 33 29 29 34 14 5 6 37 54 32 4 3 11 1 44
## [6469] 35 1 30 57 24 5 41 51 39 21 28 34 4 35 41 15 54 45 36 45 18 28
## [6491] 7 24 13 27 10 28 52 35 20 20 54 7 16 15 11 30 24 33 27 56 31 32
## [6513] 17 19 18 13 47 46 42 14 16 44 8 27 59 1 16 18 46 59 56 10 31 48
## [6535] 15 52 46 17 6 25 23 33 26 10 58 26 46 44 17 18 32 58 52 16 20 59
## [6557] 39 46 11 15 45 33 4 38 59 12 47 37 28 41 37 16 6 4 14 23 42 56
## [6579] 5 3 8 13 42 9 41 10 16 9 54 36 59 8 12 22 36 28 6 26 8 1
## [6601] 25 23 45 40 48 30 35 11 26 3 16 27 34 10 43 53 48 53 44 15 56 4
## [6623] 11 48 38 15 20 15 50 35 15 22 39 31 20 47 18 40 50 6 34 5 11 19
## [6645] 29 14 32 12 25 10 22 5 19 49 39 18 39 55 52 44 3 22 37 26 16 30
## [6667] 10 1 54 58 45 40 29 28 33 8 16 42 36 28 50 4 24 46 52 54 14 24
## [6689] 41 49 5 52 47 3 45 21 4 13 45 55 42 47 22 47 38 55 55 41 21 34
## [6711] 29 5 23 53 28 7 34 22 35 26 16 21 16 11 14 39 18 56 52 8 42 12
## [6733] 23 2 26 6 8 3 24 30 23 23 38 28 32 12 27 44 59 21 8 34 20 18
## [6755] 46 33 9 12 47 33 53 52 38 38 35 57 27 58 21 9 40 50 46 56 28 48
## [6777] 48 38 41 32 34 53 17 57 57 54 2 30 11 3 19 58 27 57 52 33 21 43
## [6799] 12 41 19 14 57 37 30 38 25 1 36 47 38 31 45 44 35 44 56 22 47 21
## [6821] 59 25 24 28 57 11 3 40 9 4 47 9 8 4 34 37 23 30 28 53 26 57
## [6843] 16 58 19 33 21 55 5 47 41 42 28 22 18 35 26 10 5 8 51 32 43 24
## [6865] 23 49 7 58 27 51 53 52 22 33 27 16 30 20 45 56 6 59 39 4 54 4
## [6887] 5 37 24 23 27 43 25 42 41 17 47 23 37 1 43 41 18 42 37 18 51 3
## [6909] 17 28 27 10 9 33 39 4 36 34 4 28 17 44 31 27 42 11 54 53 17 32
## [6931] 52 52 15 18 29 52 20 49 28 45 13 59 14 59 58 5 26 12 22 2 1 38
## [6953] 7 45 2 16 55 29 48 52 17 7 29 34 57 20 35 34 33 8 27 6 49 6
## [6975] 49 2 28 19 20 7 35 43 42 31 58 56 34 18 2 48 39 23 16 52 13 41
## [6997] 37 41 11 58 25 9 18 16 16 42 57 32 54 24 32 57 2 55 32 41 42 23
## [7019] 18 57 34 47 11 45 8 18 34 12 54 3 25 2 32 58 8 31 56 26 19 55
## [7041] 53 16 39 22 15 36 30 31 57 47 50 26 26 2 33 45 15 1 6 19 17 26
## [7063] 53 58 39 22 47 10 22 30 16 48 11 50 14 46 43 23 18 33 10 10 15 49
## [7085] 37 19 59 42 18 12 18 33 23 57 38 45 36 33 7 16 59 31 50 58 37 30
## [7107] 49 48 12 44 48 2 9 21 27 39 23 54 53 16 27 22 29 16 50 56 8 57
## [7129] 47 45 31 55 57 31 55 29 27 13 17 50 27 35 31 38 5 40 50 55 13 49
## [7151] 27 47 17 13 31 14 20 58 14 40 3 37 36 38 5 44 52 24 25 9 16 38
## [7173] 13 7 43 39 45 24 43 41 8 51 18 29 7 38 39 30 7 1 44 25 36 33
## [7195] 21 46 35 49 18 4 22 1 33 8 50 43 54 51 47 34 42 22 39 10 27 53
## [7217] 59 3 37 49 9 56 15 31 57 53 1 46 33 2 6 2 57 52 18 4 11 53
## [7239] 56 43 17 35 12 23 30 14 41 37 34 39 43 8 13 5 56 47 2 5 9 14
## [7261] 46 9 28 26 58 51 58 50 59 44 35 55 11 12 57 34 43 13 31 41 21 9
## [7283] 37 49 5 38 32 47 29 28 58 23 20 52 8 4 30 50 18 41 23 43 2 49
## [7305] 25 59 29 29 50 57 43 45 59 1 50 17 52 1 39 25 4 39 45 11 31 48
## [7327] 54 53 38 59 22 35 22 13 28 37 12 44 1 43 15 55 14 41 38 4 44 51
## [7349] 55 31 27 46 50 34 49 15 42 24 53 49 27 15 44 14 11 54 4 32 17 1
## [7371] 9 6 13 45 26 28 51 29 44 24 38 23 16 12 35 57 13 43 25 24 37 6
## [7393] 49 51 47 38 31 26 17 11 3 22 9 26 21 24 30 7 33 46 57 12 19 1
## [7415] 53 31 2 13 59 15 36 12 58 52 46 52 49 27 48 3 26 27 35 43 53 53
## [7437] 38 49 10 49 32 22 13 36 35 22 35 22 35 25 21 37 47 30 29 32 3 33
## [7459] 3 59 47 51 28 31 24 19 48 27 56 33 42 25 25 3 26 34 18 33 35 23
## [7481] 49 22 23 47 53 16 31 51 56 58 30 10 7 34 44 51 4 19 32 2 6 31
## [7503] 5 23 59 12 28 19 50 11 28 13 51 22 33 39 51 33 6 50 26 48 32 22
## [7525] 9 17 40 34 4 10 54 48 36 1 38 19 6 35 49 42 44 15 24 45 56 19
## [7547] 23 33 46 11 51 55 58 49 32 1 31 7 28 28 9 28 50 15 34 30 31 11
## [7569] 25 5 49 32 42 28 1 37 41 6 26 15 22 10 9 56 6 13 52 25 48 53
## [7591] 31 38 23 6 55 25 43 52 53 8 23 12 25 51 39 47 31 52 28 49 20 54
## [7613] 41 13 23 49 39 28 35 2 24 50 22 37 33 53 58 36 56 47 59 25 8 35
## [7635] 1 5 17 28 5 16 41 4 30 7 20 29 28 2 40 49 44 12 30 33 15 34
## [7657] 27 25 25 56 31 34 34 40 13 59 4 44 26 14 25 23 58 31 3 46 28 20
## [7679] 12 37 56 26 39 38 11 21 23 27 8 56 14 44 15 38 9 15 47 31 17 10
## [7701] 53 22 45 59 23 30 20 47 9 47 6 29 9 32 51 35 24 49 52 33 26 48
## [7723] 38 34 32 40 26 32 11 8 11 10 51 53 9 5 37 27 25 13 33 25 39 41
## [7745] 12 39 11 51 55 6 51 1 1 17 11 3 18 29 2 31 48 44 52 43 16 54
## [7767] 24 24 2 29 57 35 49 17 6 53 57 52 49 7 52 13 6 38 39 17 39 14
## [7789] 38 15 14 59 14 27 26 49 53 25 29 22 37 57 53 12 55 50 43 14 41 55
## [7811] 57 45 14 37 6 47 17 32 46 32 26 9 40 48 51 54 7 15 19 14 9 56
## [7833] 3 9 10 29 21 18 28 17 35 20 7 35 25 6 46 43 21 35 30 46 54 35
## [7855] 25 27 8 4 32 19 45 14 59 39 47 16 53 34 55 18 44 50 56 11 26 45
## [7877] 36 42 15 44 38 22 23 56 44 14 11 46 30 16 43 35 39 51 38 22 50 59
## [7899] 54 4 20 6 23 48 51 24 39 49 9 38 26 47 30 9 52 52 46 25 34 21
## [7921] 43 24 10 7 42 51 57 19 34 31 19 50 59 32 12 45 52 11 7 6 49 53
## [7943] 11 18 10 5 10 40 2 22 46 46 51 38 39 37 50 9 34 10 57 58 43 59
## [7965] 18 34 7 17 17 53 27 11 21 46 49 25 35 27 12 12 48 33 52 20 55 14
## [7987] 37 15 40 55 28 13 54 50 26 26 35 49 36 15 9 41 26 26 34 5 15 55
## [8009] 10 49 33 43 48 51 11 36 53 34 43 32 22 51 20 15 25 59 19 31 19 29
## [8031] 46 3 7 10 10 51 6 36 1 39 1 40 40 29 11 59 40 29 58 22 50 46
## [8053] 31 35 5 13 1 19 48 28 41 55 10 26 23 56 32 3 32 44 29 7 24 12
## [8075] 8 54 1 15 21 40 1 47 42 37 26 1 57 7 57 39 24 22 55 29 1 18
## [8097] 56 36 19 11 30 59 12 18 52 29 56 4 12 49 45 25 17 28 6 5 52 46
## [8119] 50 23 45 42 30 45 41 47 54 34 28 52 32 32 32 56 6 8 52 12 50 24
## [8141] 38 35 58 31 57 58 9 22 42 54 29 29 15 20 57 51 13 11 16 11 56 20
## [8163] 52 49 5 55 47 53 27 42 16 18 49 48 45 26 39 58 43 56 8 20 35 19
## [8185] 26 44 37 13 55 31 25 7 58 7 10 8 31 10 25 15 7 42 44 4 50 36
## [8207] 22 17 39 7 38 36 1 45 53 45 34 12 45 37 50 49 54 9 17 17 35 45
## [8229] 53 33 7 4 18 41 30 27 6 33 57 26 12 18 32 1 52 16 47 43 14 20
## [8251] 17 56 21 51 33 48 7 16 32 19 2 15 35 3 7 18 45 26 24 57 25 2
## [8273] 37 39 39 15 31 1 5 34 3 24 5 36 42 48 40 36 24 15 8 25 33 19
## [8295] 9 21 47 9 32 13 41 6 22 20 41 28 50 16 45 54 21 57 7 54 32 41
## [8317] 28 59 45 24 51 44 22 17 36 2 57 35 38 55 57 38 6 27 6 58 54 27
## [8339] 6 14 12 15 2 18 34 11 42 37 59 10 21 31 48 18 18 19 24 29 29 29
## [8361] 33 30 59 58 17 24 9 52 36 5 33 30 38 24 1 33 10 8 40 49 10 12
## [8383] 18 42 45 59 34 20 11 10 40 26 17 23 21 45 17 8 13 11 41 27 29 34
## [8405] 53 18 30 46 4 43 11 43 9 39 9 46 13 22 13 53 24 34 18 32 43 53
## [8427] 16 35 8 8 36 32 45 8 37 9 27 13 46 34 21 13 56 6 21 10 23 58
## [8449] 37 4 25 13 38 52 20 42 6 52 21 40 28 16 42 59 43 53 44 55 59 53
## [8471] 3 49 9 20 9 51 31 31 56 45 4 15 6 7 50 33 39 9 24 45 15 2
## [8493] 44 45 14 22 36 13 37 36 7 19 57 21 47 44 29 26 1 11 9 58 59 54
## [8515] 39 42 8 9 29 19 36 39 23 17 8 45 6 14 41 49 33 20 5 44 24 5
## [8537] 38 5 19 6 40 17 3 34 50 9 26 59 33 29 39 40 16 15 43 32 42 34
## [8559] 19 3 32 2 48 21 10 59 26 51 5 1 3 14 30 59 26 58 37 50 33 30
## [8581] 18 46 41 26 50 8 43 54 22 43 15 23 53 29 17 20 33 14 6 30 46 24
## [8603] 45 14 2 44 9 30 33 41 13 42 48 55 46 24 36 46 41 27 17 12 27 21
## [8625] 28 44 43 45 59 1 10 12 53 52 33 2 16 3 51 7 14 38 36 5 30 24
## [8647] 23 33 32 50 48 2 59 44 43 25 59 3 31 8 1 3 57 17 5 22 13 14
## [8669] 30 45 51 50 59 24 34 19 31 53 25 32 42 8 37 23 10 15 36 17 5 18
## [8691] 44 41 23 47 42 5 14 32 34 50 7 38 59 58 37 43 41 6 32 27 14 58
## [8713] 59 28 24 32 50 19 39 38 7 47 39 22 26 11 45 7 26 6 31 19 56 45
## [8735] 48 55 37 52 48 53 17 26 47 13 28 42 36 50 41 26 41 16 51 33 13 40
## [8757] 4 51 28 13 35 18 46 27 27 7 20 44 6 40 21 58 23 15 2 33 10 47
## [8779] 4 22 12 59 26 56 26 15 39 53 2 11 21 4 15 48 17 31 38 38 39 28
## [8801] 12 40 29 18 19 51 35 30 50 22 10 55 55 55 2 9 50 38 49 26 47 59
## [8823] 13 5 31 10 16 28 5 17 20 39 54 7 4 28 4 43 27 58 27 14 56 18
## [8845] 25 25 13 19 4 3 36 35 39 7 21 5 53 7 28 32 16 25 57 9 33 6
## [8867] 52 21 14 34 12 29 34 45 56 11 30 5 1 13 22 25 36 12 4 21 59 8
## [8889] 9 15 5 39 59 11 26 41 59 38 18 57 1 19 6 59 35 34 37 28 39 52
## [8911] 53 26 22 7 33 8 29 52 22 1 20 18 45 32 24 39 16 43 57 58 38 29
## [8933] 14 55 21 26 37 53 37 30 48 39 7 42 50 7 17 28 28 14 4 40 3 53
## [8955] 28 39 53 19 24 27 30 12 22 53 43 7 19 3 47 23 30 10 58 19 37 22
## [8977] 34 27 30 51 6 57 34 52 39 6 7 57 21 25 54 8 51 35 22 40 53 3
## [8999] 38 16 40 59 1 5 53 11 18 53 46 15 45 36 13 52 56 51 21 43 3 2
## [9021] 7 42 32 19 49 30 52 48 59 20 22 1 17 10 54 52 45 6 8 8 10 47
## [9043] 2 47 31 34 13 52 59 25 5 44 6 24 39 59 31 51 29 27 36 7 31 54
## [9065] 53 12 21 30 58 7 59 5 46 41 58 42 52 10 18 32 30 8 46 38 37 29
## [9087] 36 38 1 29 45 35 9 5 47 3 2 40 51 9 55 35 26 20 19 58 4 29
## [9109] 27 27 44 40 42 41 58 41 58 54 53 3 5 29 19 2 26 17 2 22 6 59
## [9131] 49 15 19 34 44 38 25 6 54 24 35 14 2 6 9 18 17 9 59 59 4 34
## [9153] 41 38 26 26 57 49 42 3 10 27 24 20 18 24 37 10 33 13 55 54 56 4
## [9175] 32 14 35 38 18 16 55 42 55 40 46 6 28 21 47 38 59 35 17 57 52 28
## [9197] 58 10 35 20 4 9 46 56 7 36 4 49 56 31 3 38 40 42 31 2 27 11
## [9219] 47 17 56 40 21 47 8 15 12 57 29 47 54 56 37 22 33 45 17 24 58 21
## [9241] 29 44 4 39 2 50 34 24 39 32 38 16 8 23 1 7 7 19 45 29 11 47
## [9263] 37 11 51 41 35 22 57 12 32 8 7 9 1 30 32 6 47 8 42 52 36 50
## [9285] 20 19 13 56 8 56 42 9 15 2 59 13 53 41 8 20 6 20 21 23 44 12
## [9307] 52 10 31 43 24 21 38 47 59 7 56 26 8 55 49 3 15 23 54 36 19 56
## [9329] 36 31 31 37 56 21 33 39 22 8 47 15 46 7 15 50 52 4 27 38 25 51
## [9351] 34 14 5 48 3 26 33 43 29 36 18 18 56 45 31 58 30 38 36 34 37 55
## [9373] 30 51 34 8 55 13 58 25 14 44 22 33 51 56 34 34 8 25 32 4 46 16
## [9395] 4 28 2 21 35 2 23 19 6 35 15 38 46 32 43 42 12 53 39 1 43 23
## [9417] 28 7 24 33 27 18 44 39 33 11 54 21 33 34 54 18 34 53 42 56 43 53
## [9439] 13 49 42 19 56 42 9 16 13 4 6 51 24 13 39 34 7 59 20 45 37 9
## [9461] 16 33 23 38 18 45 17 45 7 10 50 44 2 36 39 27 26 53 44 7 49 59
## [9483] 37 50 31 17 49 44 33 33 25 35 42 22 23 57 17 34 29 13 20 5 53 24
## [9505] 54 15 2 15 17 50 55 38 46 37 11 10 40 7 3 28 10 37 43 34 11 2
## [9527] 53 4 17 37 31 7 30 37 39 50 4 52 18 25 27 32 8 51 32 1 51 42
## [9549] 4 50 35 37 39 3 28 1 47 53 20 12 25 54 30 56 47 5 25 16 58 40
## [9571] 16 18 39 44 1 59 32 46 9 52 9 42 54 40 25 13 51 50 20 36 54 5
## [9593] 25 56 43 12 38 30 56 11 5 17 41 54 6 46 44 28 40 34 14 47 8 56
## [9615] 52 50 42 55 12 56 59 46 44 10 23 8 7 15 37 27 38 19 38 32 53 58
## [9637] 42 52 45 40 19 50 28 29 1 57 12 16 35 40 43 22 45 19 1 8 58 12
## [9659] 12 31 2 1 18 38 29 53 51 40 26 54 39 49 55 34 56 45 1 3 38 56
## [9681] 48 13 14 26 25 15 34 23 48 48 32 1 11 54 16 16 9 42 47 50 6 15
## [9703] 22 23 5 57 45 7 30 17 25 15 39 6 40 19 8 33 59 53 42 31 48 44
## [9725] 53 15 34 52 29 57 8 18 6 30 13 1 36 45 15 6 45 42 46 21 40 13
## [9747] 47 22 53 28 22 44 33 49 9 11 7 25 11 40 32 41 9 34 21 38 33 39
## [9769] 57 13 59 42 18 34 52 48 51 11 25 7 41 39 57 37 46 32 4 46 13 34
## [9791] 37 7 2 49 2 19 28 29 32 5 56 50 31 35 48 16 53 22 59 2 27 56
## [9813] 26 58 29 54 36 6 15 13 8 24 49 17 7 39 48 3 39 48 39 54 47 14
## [9835] 51 33 19 22 20 41 6 46 1 23 3 27 51 22 31 30 4 15 55 56 38 35
## [9857] 34 25 10 12 38 11 16 59 44 31 3 49 46 22 17 33 59 30 47 53 43 38
## [9879] 46 44 37 34 13 8 43 5 46 54 46 59 8 39 47 3 32 40 47 54 10 49
## [9901] 19 15 40 16 20 18 36 22 29 4 7 30 34 59 24 25 51 11 4 36 22 44
## [9923] 19 47 6 53 15 24 17 49 45 42 7 50 54 25 4 10 3 36 57 44 19 54
## [9945] 41 5 44 49 30 59 26 29 51 55 56 57 29 13 9 1 19 37 9 34 19 38
## [9967] 33 56 13 39 3 35 23 20 7 49 42 34 51 19 54 4 12 53 37 47 18 40
## [9989] 24 11 33 51 41 12 19 37 32 2 22 15
# generate frequency table of die rolls
(freq_wball = table(wball))
## wball
## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
## 168 165 160 176 163 168 178 169 163 158 165 181 156 160 179 179 163 172
## 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
## 177 173 144 168 170 173 171 181 155 178 170 167 191 179 188 170 164 170
## 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
## 171 172 171 151 181 173 161 170 190 160 170 163 189 162 175 163 191 156
## 55 56 57 58 59
## 155 182 150 159 173
# entries in the tables are counts, summing them gives the total die rolls
(n = sum(freq_wball))
## [1] 10000
# expected number of each roll
(E = n * 1/59)
## [1] 169.5
# observed number of each roll
(O = freq_wball)
## wball
## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
## 168 165 160 176 163 168 178 169 163 158 165 181 156 160 179 179 163 172
## 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
## 177 173 144 168 170 173 171 181 155 178 170 167 191 179 188 170 164 170
## 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
## 171 172 171 151 181 173 161 170 190 160 170 163 189 162 175 163 191 156
## 55 56 57 58 59
## 155 182 150 159 173
E - O
## wball
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 1.4915 4.4915 9.4915 -6.5085 6.4915 1.4915 -8.5085 0.4915
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 6.4915 11.4915 4.4915 -11.5085 13.4915 9.4915 -9.5085 -9.5085
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 6.4915 -2.5085 -7.5085 -3.5085 25.4915 1.4915 -0.5085 -3.5085
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## -1.5085 -11.5085 14.4915 -8.5085 -0.5085 2.4915 -21.5085 -9.5085
## 33 34 35 36 37 38 39 40
## -18.5085 -0.5085 5.4915 -0.5085 -1.5085 -2.5085 -1.5085 18.4915
## 41 42 43 44 45 46 47 48
## -11.5085 -3.5085 8.4915 -0.5085 -20.5085 9.4915 -0.5085 6.4915
## 49 50 51 52 53 54 55 56
## -19.5085 7.4915 -5.5085 6.4915 -21.5085 13.4915 14.4915 -12.5085
## 57 58 59
## 19.4915 10.4915 -3.5085
(E - O)^2
## wball
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 2.2246 20.1738 90.0891 42.3602 42.1399 2.2246 72.3941 0.2416
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 42.1399 132.0552 20.1738 132.4450 182.0213 90.0891 90.4111 90.4111
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 42.1399 6.2924 56.3772 12.3094 649.8179 2.2246 0.2585 12.3094
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## 2.2755 132.4450 210.0043 72.3941 0.2585 6.2077 462.6145 90.4111
## 33 34 35 36 37 38 39 40
## 342.5636 0.2585 30.1569 0.2585 2.2755 6.2924 2.2755 341.9365
## 41 42 43 44 45 46 47 48
## 132.4450 12.3094 72.1060 0.2585 420.5975 90.0891 0.2585 42.1399
## 49 50 51 52 53 54 55 56
## 380.5806 56.1230 30.3433 42.1399 462.6145 182.0213 210.0043 156.4619
## 57 58 59
## 379.9196 110.0721 12.3094
(E - O)^2/E
## wball
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 0.013125 0.119025 0.531525 0.249925 0.248625 0.013125 0.427125 0.001425
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 0.248625 0.779125 0.119025 0.781425 1.073925 0.531525 0.533425 0.533425
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 0.248625 0.037125 0.332625 0.072625 3.833925 0.013125 0.001525 0.072625
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## 0.013425 0.781425 1.239025 0.427125 0.001525 0.036625 2.729425 0.533425
## 33 34 35 36 37 38 39 40
## 2.021125 0.001525 0.177925 0.001525 0.013425 0.037125 0.013425 2.017425
## 41 42 43 44 45 46 47 48
## 0.781425 0.072625 0.425425 0.001525 2.481525 0.531525 0.001525 0.248625
## 49 50 51 52 53 54 55 56
## 2.245425 0.331125 0.179025 0.248625 2.729425 1.073925 1.239025 0.923125
## 57 58 59
## 2.241525 0.649425 0.072625
(chisq = sum((E - O)^2/E))
## [1] 37.34
# calculate df
df = 59 - 1
# calculate upper tail probability (p-value = P(>chisq))
pchisq(chisq, df = df, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.984
The pvalue (0.984045) calculated is much greater than .2 suggesting that we should fail to reject the null hypothesis stating that the draws are random.
Null hypothesis: The observed frequencies of red balls drawn follow the expected frequencies. Alternative hypothesis: The observed frequencies of drawn red numbered balls do not follow the expected frequencies. This is a large enough sample size for the tests made to be trusted.
# Calculate and display both chisq and p-value
set.seed(123456)
# generate die rolls
(rball = sample(1:39, 10000, replace = TRUE))
## [1] 32 30 16 14 15 8 21 4 39 7 32 24 36 35 39 35 35 8 14 31 7 4
## [23] 6 7 19 28 35 35 34 7 21 34 10 5 33 4 38 34 28 24 9 29 35 12
## [45] 21 17 23 29 27 15 14 30 20 34 30 38 33 33 11 7 8 1 21 8 6 24
## [67] 1 15 6 1 8 26 37 14 33 6 34 9 6 25 6 1 33 37 23 16 8 22
## [89] 22 7 13 15 7 8 18 2 34 30 5 16 2 26 13 8 25 21 37 3 37 25
## [111] 15 3 6 16 3 13 16 8 18 38 11 9 25 38 22 19 8 1 29 12 16 24
## [133] 17 24 20 17 13 35 9 3 36 26 28 32 2 19 27 30 3 21 33 25 10 30
## [155] 21 10 3 29 1 9 35 11 10 30 3 18 28 35 6 5 21 6 32 32 27 38
## [177] 28 3 16 12 13 24 35 27 28 30 15 13 30 14 32 23 26 25 37 35 21 38
## [199] 22 14 8 6 34 10 5 17 29 2 32 10 33 10 4 35 20 24 7 12 35 22
## [221] 8 37 24 20 19 35 13 23 16 1 14 23 7 30 33 12 14 18 17 21 35 11
## [243] 3 14 1 19 1 22 11 37 30 39 18 10 25 11 7 34 25 23 21 28 6 32
## [265] 31 35 27 21 3 7 32 14 17 21 38 34 23 16 9 27 38 37 22 13 15 12
## [287] 34 3 35 38 9 20 31 33 1 22 15 18 26 13 24 3 33 12 13 7 21 24
## [309] 17 36 36 4 10 33 37 26 32 6 31 22 15 31 22 35 22 37 1 21 15 23
## [331] 4 39 2 32 29 2 2 23 14 20 3 37 38 23 33 17 15 7 35 17 15 1
## [353] 23 16 14 12 39 11 28 27 11 15 19 3 34 9 24 31 27 18 35 31 4 11
## [375] 11 19 10 11 30 3 3 16 13 22 34 4 23 8 14 15 24 11 25 17 20 30
## [397] 16 7 14 1 6 39 19 20 30 13 31 10 39 3 32 6 5 30 28 19 24 21
## [419] 36 11 2 5 27 35 20 34 22 18 32 20 17 19 27 39 13 26 29 18 36 33
## [441] 37 18 18 26 2 13 20 26 21 25 20 22 11 30 6 19 11 22 34 39 36 11
## [463] 9 24 32 37 11 20 18 19 15 15 9 29 31 31 11 1 13 38 24 23 17 18
## [485] 25 8 11 26 20 16 30 10 8 15 14 2 18 11 21 18 24 6 12 27 22 1
## [507] 27 38 1 15 28 26 29 31 10 18 4 35 28 8 15 7 33 21 34 36 33 26
## [529] 2 36 39 3 14 19 18 19 9 15 26 10 20 4 24 2 5 22 24 35 28 33
## [551] 37 17 38 33 19 3 1 32 28 25 15 2 38 21 22 16 34 28 30 33 15 22
## [573] 25 30 32 25 36 16 15 29 12 18 8 28 34 15 28 14 9 34 1 16 25 26
## [595] 7 33 39 27 39 29 35 16 30 1 35 9 10 8 7 22 18 7 8 7 12 2
## [617] 33 32 14 17 1 13 12 5 36 1 30 1 4 27 25 38 30 34 37 21 1 37
## [639] 35 13 26 36 16 36 22 17 3 21 33 18 4 32 37 16 12 20 37 35 33 31
## [661] 5 1 29 20 2 5 32 37 19 36 7 16 25 17 23 35 33 30 22 20 27 25
## [683] 30 2 28 32 22 16 30 16 26 1 7 25 10 5 23 4 6 24 24 17 18 34
## [705] 15 1 12 14 1 8 29 16 36 23 36 9 3 22 22 23 3 1 34 23 4 6
## [727] 39 27 2 2 29 28 38 21 10 7 28 22 34 26 21 21 17 35 37 34 37 10
## [749] 39 13 29 28 35 36 36 23 6 25 1 28 28 20 35 19 10 36 36 8 27 18
## [771] 36 32 18 4 28 10 4 8 16 6 14 17 14 3 1 11 19 22 29 29 8 3
## [793] 12 16 32 4 19 1 25 31 24 33 26 6 31 4 20 35 14 5 3 34 25 10
## [815] 29 17 28 6 4 22 35 34 4 3 4 26 35 10 10 22 3 32 15 16 26 24
## [837] 29 22 21 34 11 35 9 9 22 35 28 20 36 23 27 29 22 25 28 35 27 13
## [859] 8 18 2 17 7 26 17 5 16 20 25 30 14 4 17 30 12 21 38 38 14 4
## [881] 7 3 31 37 4 30 12 3 5 6 26 1 36 31 19 16 12 1 6 18 36 24
## [903] 21 7 23 30 10 6 7 8 27 28 29 1 6 12 31 12 16 33 9 16 26 24
## [925] 6 38 7 28 37 20 32 1 14 13 4 11 3 36 30 2 22 36 3 27 24 25
## [947] 23 21 12 28 39 18 13 12 3 32 29 32 8 15 14 10 10 31 16 15 13 9
## [969] 11 24 5 15 33 7 22 25 15 21 39 5 24 29 9 39 37 8 30 32 33 32
## [991] 28 7 17 31 26 5 17 37 13 2 12 35 33 29 19 27 38 24 16 28 39 8
## [1013] 24 15 20 22 13 3 26 12 38 20 21 8 38 22 25 10 30 9 30 10 12 16
## [1035] 27 27 32 3 7 24 28 36 4 19 38 30 33 37 38 4 6 21 12 36 15 31
## [1057] 6 12 22 3 37 22 24 15 8 6 6 17 22 28 28 39 6 32 18 25 38 12
## [1079] 3 35 36 23 20 39 25 28 33 18 22 12 26 2 38 8 16 36 9 25 23 15
## [1101] 26 38 7 29 30 14 30 33 37 37 23 8 18 24 23 3 38 5 22 4 24 2
## [1123] 4 28 16 36 18 12 29 12 31 13 24 18 4 27 39 19 37 20 29 36 6 34
## [1145] 29 9 24 13 38 12 7 35 34 3 10 29 16 34 33 28 35 8 29 7 24 23
## [1167] 14 12 27 6 18 35 14 12 16 31 3 13 11 7 24 4 9 37 8 35 3 3
## [1189] 8 23 1 15 23 8 7 6 39 36 30 27 22 19 25 24 33 32 6 29 39 14
## [1211] 5 25 23 4 19 13 17 28 27 27 27 17 29 11 17 35 33 30 3 29 18 25
## [1233] 18 11 32 9 25 2 14 24 15 34 35 38 36 28 16 15 28 30 26 4 24 26
## [1255] 16 22 2 19 28 29 13 38 10 27 36 25 2 22 34 26 26 28 19 35 30 13
## [1277] 11 38 26 10 11 20 29 28 22 33 9 21 21 22 18 8 37 34 33 23 37 24
## [1299] 21 3 20 23 18 35 35 1 5 4 35 38 11 7 36 10 2 8 13 7 32 5
## [1321] 35 36 34 14 34 10 31 33 14 26 14 31 17 37 15 36 15 38 25 22 2 19
## [1343] 13 10 13 21 21 11 31 34 4 29 2 39 11 21 3 37 10 31 20 20 22 9
## [1365] 31 6 4 2 15 27 32 20 27 26 35 13 34 35 23 21 9 6 5 12 1 13
## [1387] 12 18 15 35 23 28 21 9 32 15 26 29 6 18 21 2 39 25 8 21 5 6
## [1409] 13 20 16 36 9 21 26 13 16 36 19 25 28 7 24 34 13 4 22 38 39 26
## [1431] 7 10 5 36 20 31 6 9 3 17 21 26 3 35 22 18 10 23 17 33 27 23
## [1453] 26 15 10 15 4 35 3 26 1 11 6 28 11 23 36 11 21 27 27 9 21 29
## [1475] 37 7 25 21 21 21 25 26 21 28 29 34 36 9 4 13 30 22 6 37 32 24
## [1497] 28 4 28 11 1 10 5 3 10 32 22 3 2 36 33 27 30 19 35 25 39 37
## [1519] 34 35 28 13 8 13 3 37 1 16 26 9 39 6 8 13 30 1 3 9 35 31
## [1541] 36 30 19 7 15 37 21 36 13 3 21 7 22 5 10 17 32 35 4 29 10 14
## [1563] 14 9 21 5 23 25 31 17 29 34 24 17 21 29 1 13 7 32 20 9 29 26
## [1585] 2 2 24 10 32 22 9 17 1 1 29 22 23 15 26 13 34 13 22 22 8 27
## [1607] 22 5 18 29 9 31 8 1 10 35 27 20 8 8 6 20 9 24 35 38 24 9
## [1629] 35 26 39 36 25 11 1 17 16 1 31 23 27 37 3 33 31 3 24 30 21 5
## [1651] 14 11 12 6 3 28 21 22 18 33 7 39 1 4 3 36 14 17 25 12 14 1
## [1673] 24 13 33 1 35 24 24 30 19 8 15 17 23 33 27 38 3 37 5 7 6 6
## [1695] 34 12 10 20 28 3 21 18 25 22 3 2 16 2 37 18 19 10 36 30 8 39
## [1717] 28 34 19 3 13 2 33 36 19 37 28 11 10 21 33 27 8 30 28 37 39 17
## [1739] 14 26 28 31 11 17 5 18 9 34 24 16 22 27 19 21 11 34 14 18 39 34
## [1761] 11 24 2 7 24 26 39 18 23 8 16 8 34 16 16 32 1 24 19 10 25 27
## [1783] 12 27 14 5 18 25 38 19 8 11 28 17 15 24 38 5 19 35 19 22 8 25
## [1805] 19 7 33 4 16 2 21 20 13 28 19 2 3 15 27 20 25 17 39 29 22 3
## [1827] 14 4 13 27 20 20 21 39 4 34 9 21 4 31 17 14 11 26 38 22 33 35
## [1849] 9 20 4 9 37 7 39 1 31 39 30 6 2 16 14 19 33 38 6 11 32 32
## [1871] 29 29 26 26 34 34 17 33 28 8 7 29 14 1 17 33 34 8 2 20 8 17
## [1893] 6 23 25 10 11 37 17 11 22 14 18 23 32 1 20 21 27 26 29 10 27 29
## [1915] 27 20 17 4 10 19 22 9 20 32 13 13 18 24 38 17 33 12 34 13 31 19
## [1937] 10 30 34 36 34 33 27 13 14 31 24 7 33 17 39 7 37 3 25 24 2 22
## [1959] 15 30 37 39 1 36 19 19 19 32 23 31 29 26 4 16 2 17 2 22 2 20
## [1981] 4 23 33 29 11 35 15 13 12 7 22 2 7 35 19 9 23 17 34 30 30 32
## [2003] 18 37 33 37 18 9 12 17 22 38 14 23 29 8 5 10 35 20 11 18 34 10
## [2025] 10 20 15 26 4 39 31 4 13 32 24 32 22 18 17 39 23 6 18 17 28 1
## [2047] 39 1 4 36 27 20 17 9 34 26 32 27 19 36 14 16 22 24 37 39 1 33
## [2069] 5 37 39 17 8 26 30 24 1 8 25 8 36 7 1 6 26 20 31 30 17 29
## [2091] 2 33 39 3 9 1 33 23 4 27 34 23 13 37 34 36 20 16 9 29 3 38
## [2113] 26 24 11 14 27 3 5 13 19 2 36 9 10 27 6 35 11 12 26 15 35 20
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## [2157] 31 11 3 9 30 4 16 22 27 35 18 22 22 24 31 10 34 25 11 7 8 8
## [2179] 27 1 19 21 23 12 19 12 1 15 22 21 25 1 10 19 17 9 35 20 35 36
## [2201] 19 33 8 3 23 29 36 12 27 7 37 5 15 37 2 23 12 3 13 10 32 17
## [2223] 30 11 37 38 14 35 5 36 39 39 38 16 18 8 39 38 33 25 36 16 16 4
## [2245] 9 38 11 17 3 14 34 27 1 28 22 6 3 23 3 24 23 14 30 35 19 14
## [2267] 9 1 21 22 27 9 15 11 29 16 8 20 2 13 37 31 34 13 4 2 33 34
## [2289] 28 1 29 27 32 21 11 5 31 9 34 17 11 11 34 37 10 14 36 9 22 11
## [2311] 39 24 26 28 30 16 28 7 3 27 16 4 38 16 31 12 24 2 27 24 24 26
## [2333] 20 21 16 11 30 30 17 25 14 30 27 28 32 27 29 12 7 22 34 20 23 8
## [2355] 21 5 21 1 10 20 9 12 28 20 18 31 32 30 26 22 7 23 31 34 33 15
## [2377] 37 24 30 2 39 35 3 12 33 28 33 24 10 36 9 23 11 39 7 37 25 37
## [2399] 13 20 3 19 27 23 17 34 38 20 3 13 8 10 8 17 9 23 34 20 7 29
## [2421] 9 23 21 22 32 29 32 1 1 14 35 8 18 26 31 25 11 18 25 20 1 36
## [2443] 26 20 34 25 37 3 26 4 30 6 9 36 6 8 25 2 37 31 21 20 4 33
## [2465] 5 30 7 4 8 38 20 20 6 18 9 31 15 1 30 1 5 7 31 6 5 12
## [2487] 25 11 28 21 7 19 9 33 14 3 19 5 9 26 11 6 35 33 22 16 31 6
## [2509] 2 32 18 18 8 13 16 6 27 28 26 15 38 32 24 6 27 32 3 27 34 30
## [2531] 31 32 29 7 31 2 22 34 35 24 15 8 16 26 10 16 7 3 36 39 13 35
## [2553] 10 3 11 34 14 39 4 6 4 27 16 18 23 14 13 10 36 1 30 5 9 14
## [2575] 4 28 23 1 4 26 9 8 14 36 25 37 31 38 3 27 3 27 10 4 12 3
## [2597] 12 10 34 4 26 20 7 15 19 38 19 4 9 35 24 7 39 39 27 22 4 7
## [2619] 9 28 3 22 39 34 2 5 3 34 31 37 39 4 3 36 4 5 31 14 9 7
## [2641] 22 7 30 32 6 39 18 16 39 39 24 12 35 37 35 1 14 20 39 23 26 29
## [2663] 20 37 7 17 15 34 8 5 9 3 16 23 7 19 37 31 36 32 19 22 13 23
## [2685] 27 31 23 31 38 2 3 26 35 3 1 6 33 5 37 13 13 27 12 15 5 16
## [2707] 24 35 34 19 28 36 26 6 37 38 33 14 31 16 13 13 22 19 25 21 30 1
## [2729] 9 29 34 6 30 15 27 6 1 5 34 37 1 3 32 2 30 38 15 21 14 31
## [2751] 7 20 27 4 25 4 21 18 24 31 36 8 7 33 20 36 15 1 19 39 12 9
## [2773] 12 7 10 23 27 23 30 11 33 5 4 26 36 27 19 1 32 1 11 15 11 16
## [2795] 22 21 39 22 27 5 16 26 7 34 12 25 30 6 6 8 39 38 28 25 22 19
## [2817] 27 17 25 27 22 12 29 38 5 16 7 18 17 16 14 10 15 16 36 17 24 22
## [2839] 10 11 39 25 34 16 7 26 36 21 19 38 4 38 14 27 1 28 13 2 16 9
## [2861] 17 9 18 34 14 10 26 38 32 16 6 12 8 25 6 11 1 28 39 35 24 39
## [2883] 20 3 9 39 7 4 12 18 37 37 9 28 5 24 34 18 1 15 4 7 32 17
## [2905] 28 19 18 2 16 17 27 22 4 14 16 34 36 27 22 33 7 30 10 14 16 10
## [2927] 25 6 19 34 39 20 14 34 18 30 21 25 7 7 16 7 13 12 8 17 7 17
## [2949] 32 39 28 33 8 14 16 8 20 21 24 35 34 29 35 26 34 8 29 2 12 7
## [2971] 35 8 16 7 22 29 5 16 14 24 13 35 1 14 20 15 33 11 11 28 25 32
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## [3059] 13 8 23 9 4 18 27 28 23 8 37 39 9 19 29 6 9 8 33 2 33 10
## [3081] 14 9 3 10 7 35 30 6 36 11 26 22 3 11 32 23 22 21 39 31 32 13
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## [3147] 37 26 5 38 11 32 6 26 26 22 3 19 33 1 33 34 31 39 5 12 7 21
## [3169] 20 8 34 12 32 37 20 16 22 2 7 12 38 37 20 11 30 33 17 26 3 10
## [3191] 25 26 26 27 19 37 2 32 20 36 17 33 36 8 39 24 7 18 27 24 24 7
## [3213] 21 6 23 10 22 24 33 29 31 13 15 18 9 18 19 29 20 10 11 18 20 8
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## [3301] 17 15 13 16 36 1 6 23 34 17 34 2 20 22 33 3 29 15 24 27 11 21
## [3323] 28 38 32 26 38 14 4 30 30 17 24 8 11 37 16 1 9 37 22 26 31 7
## [3345] 1 3 6 7 3 12 7 33 37 39 10 7 4 16 29 4 14 38 2 2 12 26
## [3367] 2 4 18 30 39 16 4 14 13 18 18 6 20 31 12 39 6 30 33 35 32 2
## [3389] 21 9 32 6 7 32 26 29 20 3 18 29 14 20 36 23 6 15 7 34 3 35
## [3411] 5 12 20 28 39 26 34 20 16 30 21 14 27 29 11 20 15 23 3 31 22 30
## [3433] 34 20 19 35 21 5 38 28 7 6 24 38 16 8 14 37 15 39 13 27 26 13
## [3455] 15 26 22 8 24 16 12 19 1 6 14 33 2 24 23 33 31 18 15 26 34 27
## [3477] 30 15 21 14 4 2 39 33 33 23 17 15 11 25 15 34 3 13 3 11 12 6
## [3499] 6 11 1 26 6 17 3 39 36 10 19 26 13 30 17 33 13 9 5 10 25 32
## [3521] 30 35 1 30 10 1 34 2 8 11 28 13 24 38 3 37 9 13 8 28 39 1
## [3543] 35 29 7 39 10 13 30 25 28 26 2 5 1 26 32 1 6 7 32 15 13 28
## [3565] 36 1 10 32 7 34 21 33 32 27 34 4 13 3 35 17 18 16 20 20 23 21
## [3587] 2 16 21 37 5 27 7 1 24 28 26 6 21 37 29 30 10 6 37 23 23 20
## [3609] 18 14 7 4 10 4 1 15 5 12 4 38 14 37 23 30 34 39 4 30 6 35
## [3631] 17 27 27 29 35 19 38 10 10 16 17 21 5 5 5 18 6 36 24 18 16 17
## [3653] 25 17 14 24 37 32 32 12 38 26 28 20 37 27 5 28 14 18 35 2 5 22
## [3675] 12 21 35 3 18 9 34 12 22 22 4 12 9 36 27 13 16 31 6 38 5 36
## [3697] 4 7 9 39 8 21 11 37 24 5 14 33 7 11 24 30 30 18 18 10 26 21
## [3719] 7 33 13 20 27 31 9 21 5 32 39 26 21 14 38 17 13 34 22 39 13 4
## [3741] 36 23 33 16 31 6 11 26 15 16 34 17 16 2 29 26 34 27 26 16 1 28
## [3763] 8 33 35 16 13 12 5 31 34 33 33 6 10 32 27 10 32 13 18 15 4 4
## [3785] 27 20 2 32 6 30 20 37 4 32 6 18 16 32 5 3 2 39 28 18 22 37
## [3807] 26 9 10 8 1 35 38 8 36 9 28 14 8 6 39 18 21 20 19 19 39 25
## [3829] 34 35 10 20 19 33 32 11 32 34 28 22 31 22 18 24 15 14 19 4 17 16
## [3851] 8 6 6 33 30 6 3 5 32 11 17 16 11 19 16 26 4 1 7 38 20 34
## [3873] 6 39 2 31 5 8 17 11 23 8 17 17 30 4 24 26 18 15 23 15 39 39
## [3895] 35 32 34 24 31 39 7 12 39 33 32 30 32 15 18 17 28 13 23 10 38 1
## [3917] 29 28 9 36 21 25 24 8 19 9 4 16 35 1 10 7 8 9 31 27 37 1
## [3939] 30 16 30 24 25 4 32 9 16 27 32 19 29 1 24 6 32 28 10 22 20 29
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## [3983] 3 1 2 18 37 18 24 7 14 29 35 27 38 4 22 34 32 8 31 15 38 18
## [4005] 36 23 12 5 6 15 23 13 37 7 39 4 21 30 6 18 30 4 33 14 30 14
## [4027] 27 31 38 26 7 7 28 15 9 24 8 15 23 39 1 39 15 11 38 2 37 38
## [4049] 28 23 17 6 20 20 8 28 26 24 36 6 3 28 28 12 5 35 2 26 2 34
## [4071] 28 33 29 28 24 8 7 11 34 16 23 25 27 7 35 30 7 33 37 20 31 26
## [4093] 13 10 39 11 32 19 6 34 14 18 33 37 5 23 36 3 39 24 19 38 12 21
## [4115] 23 2 38 21 1 36 31 2 17 30 16 37 11 17 17 16 14 5 18 26 32 12
## [4137] 8 36 8 2 7 32 3 5 26 37 13 36 24 5 15 9 26 37 34 27 13 37
## [4159] 17 27 35 7 35 39 31 28 10 36 25 17 22 21 11 11 21 20 24 18 3 18
## [4181] 23 32 33 24 22 27 5 34 25 26 31 31 16 22 30 30 6 26 9 7 13 16
## [4203] 36 21 35 6 18 39 23 31 19 5 21 28 20 38 9 14 19 34 39 26 4 28
## [4225] 23 2 2 26 1 7 29 17 29 31 27 16 13 4 33 9 4 37 5 34 19 35
## [4247] 6 11 34 11 18 32 5 33 15 20 10 35 26 24 10 32 6 32 21 10 27 7
## [4269] 36 30 13 31 32 3 2 25 39 1 12 12 31 4 33 39 5 16 30 20 24 21
## [4291] 4 17 5 32 19 3 27 12 6 1 17 28 13 13 2 20 14 2 10 21 2 16
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## [4335] 8 13 22 3 26 4 21 38 16 23 35 8 35 32 21 2 34 6 25 2 39 34
## [4357] 17 38 2 3 12 1 29 24 17 10 21 10 16 7 26 32 8 20 19 27 35 3
## [4379] 16 5 27 26 6 36 12 29 23 18 16 32 12 1 26 15 11 38 35 7 22 17
## [4401] 24 17 32 20 23 2 10 2 10 25 28 3 6 17 25 12 24 34 25 26 16 4
## [4423] 36 36 31 16 25 23 37 9 12 29 31 33 28 33 5 31 7 5 10 16 17 2
## [4445] 4 2 21 38 31 33 8 15 3 27 37 32 22 3 14 33 29 30 3 3 7 1
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## [4489] 27 18 25 31 17 6 29 21 18 26 34 24 26 8 14 18 13 15 21 1 6 24
## [4511] 4 27 11 14 2 19 31 24 24 29 24 9 17 39 5 16 11 17 9 1 11 6
## [4533] 17 24 28 16 30 11 33 16 5 2 12 23 17 36 14 15 39 39 20 20 30 16
## [4555] 37 34 6 4 27 28 23 35 22 29 12 34 14 39 8 20 39 15 7 18 12 19
## [4577] 24 20 9 32 18 20 31 16 23 19 29 15 31 10 11 7 5 16 2 27 2 11
## [4599] 16 13 10 17 38 36 26 10 9 10 35 36 19 8 1 12 9 29 29 5 13 7
## [4621] 15 3 29 35 25 15 12 31 16 2 12 15 28 32 32 26 20 16 10 9 10 35
## [4643] 5 1 35 17 7 17 13 33 32 20 38 3 5 8 34 24 37 19 22 2 33 20
## [4665] 38 35 29 37 5 30 8 24 23 29 36 8 33 2 11 27 22 8 25 3 6 34
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## [4775] 10 37 23 2 8 3 11 22 19 39 6 10 5 24 10 35 39 11 4 11 35 34
## [4797] 29 39 27 38 16 35 5 10 23 16 30 21 17 18 35 26 27 21 2 2 10 25
## [4819] 28 25 27 23 32 30 14 38 14 4 35 27 6 28 1 25 7 13 33 25 26 29
## [4841] 28 6 17 20 6 29 15 1 33 21 27 34 6 4 24 37 17 26 36 29 18 19
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## [4885] 38 27 37 11 37 31 17 4 38 30 35 13 28 34 2 14 18 27 32 10 37 16
## [4907] 25 9 16 13 33 37 4 4 24 20 8 28 28 28 38 11 33 12 26 28 39 19
## [4929] 1 9 38 21 18 4 15 8 35 33 5 29 21 21 17 34 27 24 6 25 37 12
## [4951] 26 17 11 22 7 2 9 38 23 2 19 34 17 8 23 28 20 8 13 33 21 14
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## [4995] 34 18 15 23 27 13 25 26 12 29 19 24 12 5 16 23 5 32 39 2 13 36
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## [5083] 8 6 39 24 2 13 18 38 36 31 18 18 8 36 27 4 10 36 13 34 6 31
## [5105] 10 19 24 22 19 36 14 4 26 1 8 29 38 30 2 14 24 37 7 39 4 1
## [5127] 33 37 31 17 21 38 26 1 26 19 2 31 6 36 12 25 29 16 28 3 19 19
## [5149] 35 37 16 6 37 24 21 27 22 31 33 38 1 34 39 12 38 32 7 5 8 3
## [5171] 17 10 18 39 1 12 26 2 22 23 11 28 20 7 10 31 18 7 16 25 23 13
## [5193] 19 27 7 9 9 37 15 12 5 20 18 17 20 8 27 25 24 20 15 36 3 31
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## [5237] 30 9 19 13 39 10 35 17 23 16 19 22 30 8 17 12 22 32 19 3 9 20
## [5259] 21 36 38 2 30 5 23 5 7 3 12 32 30 22 25 5 14 13 30 31 13 4
## [5281] 28 15 14 19 6 35 35 7 26 6 28 36 31 7 16 21 2 28 19 2 5 34
## [5303] 36 6 22 11 34 35 20 9 35 14 25 25 31 10 2 36 21 2 39 19 9 32
## [5325] 11 20 35 39 18 18 25 35 13 9 4 3 7 28 18 12 28 29 30 14 11 21
## [5347] 14 31 4 14 5 15 18 15 26 20 37 3 19 32 14 29 32 2 28 22 24 33
## [5369] 29 37 18 8 18 17 11 8 37 11 13 32 15 1 31 28 23 15 3 35 2 23
## [5391] 5 23 14 23 9 30 13 25 4 22 11 35 35 23 1 36 35 31 4 8 30 11
## [5413] 37 26 5 22 22 33 33 18 17 28 10 9 36 20 6 25 39 6 35 4 23 14
## [5435] 15 29 29 32 7 10 5 28 3 10 10 37 26 24 35 3 26 8 38 30 38 35
## [5457] 5 28 25 22 34 4 5 34 10 23 39 20 10 27 12 13 30 38 28 22 16 5
## [5479] 39 13 23 16 23 5 22 34 6 37 13 31 13 28 33 14 4 15 38 21 28 10
## [5501] 20 16 1 30 36 7 18 32 26 31 39 26 10 12 38 19 38 6 29 11 29 2
## [5523] 4 7 22 19 33 32 3 2 29 5 11 16 18 37 31 5 13 39 2 37 36 17
## [5545] 21 7 7 29 36 16 28 27 5 11 28 22 23 10 18 21 14 35 13 5 1 35
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## [5633] 10 8 9 21 1 33 2 38 35 26 2 15 11 17 28 10 39 18 21 8 34 5
## [5655] 13 24 37 24 31 17 31 27 15 16 20 37 8 8 1 20 29 14 27 28 30 27
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## [5787] 1 13 10 16 27 21 18 39 31 13 16 11 25 38 7 5 28 21 39 34 3 25
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## [5831] 12 24 38 14 7 13 24 9 27 33 19 17 4 18 22 28 14 15 6 25 25 25
## [5853] 20 19 24 34 30 22 13 30 6 5 18 31 29 26 37 16 13 8 12 17 7 18
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## [5985] 7 13 39 29 23 6 24 3 31 34 34 8 39 10 30 6 26 10 15 22 18 4
## [6007] 12 25 38 16 23 32 17 10 11 22 1 33 23 21 9 2 30 25 20 23 37 5
## [6029] 24 31 10 30 20 6 25 25 29 28 30 13 15 7 5 36 7 35 28 29 21 7
## [6051] 17 9 7 33 30 17 15 7 33 25 10 15 1 16 25 7 20 19 16 20 20 30
## [6073] 25 32 8 1 39 22 4 38 34 19 16 21 24 33 4 24 26 34 11 38 14 17
## [6095] 15 35 15 21 13 9 22 28 31 27 9 30 13 8 8 14 12 21 10 32 9 22
## [6117] 6 15 27 3 37 39 37 3 8 14 10 15 27 17 35 3 26 10 15 9 4 22
## [6139] 37 31 27 12 8 35 26 11 13 4 5 39 20 26 38 37 8 19 27 26 36 34
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## [6183] 21 2 23 23 2 8 4 27 39 3 5 23 8 16 20 9 33 32 16 26 35 14
## [6205] 4 22 26 36 10 38 28 14 11 1 22 37 25 35 16 15 27 38 29 26 19 29
## [6227] 34 21 8 10 6 4 33 32 18 38 13 6 38 24 4 17 21 33 16 36 1 11
## [6249] 14 15 25 16 31 34 6 15 31 19 29 13 13 31 26 3 10 12 11 3 33 32
## [6271] 16 15 36 8 33 21 30 35 3 27 24 24 2 31 8 26 9 25 7 12 7 18
## [6293] 33 36 23 23 34 3 26 37 4 15 20 32 37 39 18 12 22 24 25 13 3 38
## [6315] 32 12 8 33 31 15 4 2 16 5 4 24 33 1 17 31 26 13 29 14 27 31
## [6337] 14 30 5 17 19 24 19 23 27 33 2 23 23 30 7 25 4 9 10 12 22 7
## [6359] 18 7 4 14 13 21 22 26 8 25 19 22 18 37 36 5 17 11 23 5 8 33
## [6381] 23 14 26 25 31 38 6 5 9 9 14 33 38 7 5 8 37 8 30 35 33 1
## [6403] 25 10 14 32 8 32 16 38 38 35 9 18 20 12 35 15 21 4 9 26 17 26
## [6425] 21 15 22 36 2 15 17 30 31 13 28 5 28 2 25 14 17 32 13 19 21 11
## [6447] 32 35 19 33 4 10 35 27 20 32 8 35 18 27 17 28 11 35 13 34 15 33
## [6469] 28 14 25 1 23 33 10 4 15 22 14 27 6 27 33 27 3 5 1 26 29 11
## [6491] 15 39 29 23 27 35 39 37 3 9 20 21 17 9 27 23 18 23 4 37 21 18
## [6513] 14 39 12 7 11 39 22 25 26 29 33 27 31 13 37 33 9 21 21 7 17 28
## [6535] 10 39 36 36 31 29 16 9 27 7 8 39 21 19 27 10 34 33 27 30 29 29
## [6557] 37 1 14 4 33 29 25 23 37 1 17 8 13 8 13 4 26 1 19 31 17 11
## [6579] 3 22 14 38 29 35 24 2 29 19 9 33 19 3 8 28 30 22 13 18 28 30
## [6601] 38 30 25 12 5 7 29 1 16 35 24 23 31 16 11 13 25 30 16 14 30 19
## [6623] 16 1 38 12 21 20 17 31 14 1 20 26 7 38 1 8 32 26 31 19 26 31
## [6645] 19 17 3 13 26 2 25 17 22 28 18 31 7 12 38 7 38 7 27 10 38 10
## [6667] 31 13 25 3 7 8 22 6 25 3 15 16 3 16 30 15 29 19 10 36 29 13
## [6689] 26 24 13 36 36 4 9 6 1 1 20 15 33 25 8 6 4 14 31 18 6 4
## [6711] 10 7 24 28 21 20 29 13 7 39 4 35 26 31 10 14 14 35 22 22 8 18
## [6733] 15 21 2 15 22 4 16 37 37 33 1 16 4 18 35 9 32 38 26 4 36 29
## [6755] 16 8 36 21 32 31 15 30 27 28 33 34 12 19 12 36 31 20 31 33 7 34
## [6777] 3 28 3 36 34 31 22 34 3 32 12 26 27 32 8 28 1 27 35 23 16 34
## [6799] 4 18 27 36 14 13 8 39 7 20 2 16 36 33 6 27 1 11 12 22 30 20
## [6821] 16 4 8 38 31 7 12 13 10 16 2 22 19 19 7 39 37 33 11 27 38 24
## [6843] 22 31 21 18 35 27 9 14 15 31 17 28 39 7 23 3 38 4 18 11 21 32
## [6865] 5 1 30 6 15 5 17 28 30 9 28 34 6 18 29 21 33 9 37 33 29 9
## [6887] 15 25 30 31 6 29 20 12 31 33 18 34 25 17 26 4 7 8 18 33 21 3
## [6909] 3 30 33 7 36 18 18 35 27 24 11 16 37 19 14 9 26 34 39 25 31 31
## [6931] 39 1 19 17 14 27 37 12 34 27 17 14 4 12 26 2 38 18 3 8 18 21
## [6953] 31 16 28 16 6 17 9 10 16 12 9 28 36 20 10 23 15 28 3 8 4 32
## [6975] 35 10 25 13 36 5 8 27 1 25 30 19 36 23 11 36 16 35 39 9 39 22
## [6997] 14 25 28 2 30 15 8 22 16 7 11 34 32 13 39 12 13 17 6 10 12 39
## [7019] 18 19 21 34 34 25 17 33 16 31 3 26 19 2 6 14 6 23 38 16 36 31
## [7041] 6 7 22 36 35 11 16 15 12 32 27 5 22 26 38 15 30 25 19 34 8 11
## [7063] 24 28 32 4 34 38 5 2 16 5 31 16 21 31 37 27 24 6 11 39 3 11
## [7085] 3 4 16 30 3 34 9 13 13 37 24 19 26 35 20 13 6 19 39 39 25 7
## [7107] 24 39 3 29 35 28 17 31 20 12 9 8 1 27 5 12 32 4 11 8 39 13
## [7129] 15 8 15 17 11 28 18 13 27 33 24 37 39 7 27 28 15 33 31 2 24 38
## [7151] 34 13 25 16 28 1 16 8 7 3 39 27 23 16 17 11 29 27 14 12 8 29
## [7173] 35 32 29 33 35 23 1 29 13 6 36 15 24 3 15 27 19 16 36 8 31 37
## [7195] 8 17 17 6 24 19 24 37 26 7 34 32 18 9 35 17 17 7 8 11 1 12
## [7217] 15 25 38 36 28 12 5 29 15 35 2 21 18 32 10 22 7 26 30 20 7 24
## [7239] 25 12 16 17 23 29 32 7 23 9 16 23 37 7 35 15 11 5 31 5 35 27
## [7261] 31 8 32 11 15 18 20 5 28 11 15 14 1 38 35 3 39 8 35 26 38 3
## [7283] 9 4 36 36 35 30 5 22 13 17 26 21 11 24 5 6 22 30 33 8 31 38
## [7305] 30 22 34 34 21 17 28 33 2 25 7 27 27 27 1 1 27 10 33 39 36 30
## [7327] 17 26 23 6 14 36 11 26 31 31 11 32 38 10 21 4 2 38 2 29 22 22
## [7349] 25 21 29 38 20 27 19 1 9 9 30 17 1 14 33 22 9 2 1 6 8 6
## [7371] 15 15 13 22 37 1 5 19 9 26 14 3 13 29 31 22 26 16 13 12 35 26
## [7393] 21 15 12 34 35 26 29 32 7 7 26 2 23 26 39 13 27 11 9 22 33 25
## [7415] 8 36 3 18 2 19 2 33 12 30 5 35 33 38 6 11 27 19 17 5 30 28
## [7437] 10 2 6 17 28 30 24 32 22 5 9 18 15 27 24 9 3 36 25 10 27 37
## [7459] 11 2 20 9 28 23 21 32 13 36 24 39 39 2 6 31 16 14 28 36 2 27
## [7481] 38 26 3 29 16 1 35 21 8 39 36 17 1 9 27 4 13 22 36 32 24 13
## [7503] 9 21 30 14 18 1 19 6 10 38 34 21 36 33 37 20 2 30 18 23 18 23
## [7525] 36 29 17 19 17 31 6 16 34 25 31 4 7 17 33 27 31 26 9 16 12 28
## [7547] 10 2 6 38 8 20 22 11 28 9 26 39 13 33 23 8 11 34 16 24 10 27
## [7569] 35 22 17 1 35 19 23 21 15 2 33 6 24 5 8 13 4 24 14 18 25 10
## [7591] 20 2 22 8 36 23 9 5 25 18 36 22 23 5 30 32 21 35 4 35 24 31
## [7613] 2 5 28 14 38 13 39 26 39 23 6 10 28 14 5 12 19 27 18 35 22 36
## [7635] 11 19 31 17 33 18 37 22 11 10 24 19 1 28 35 34 27 16 8 2 1 37
## [7657] 10 36 34 34 19 5 31 19 36 20 18 14 37 38 13 19 23 37 16 11 18 11
## [7679] 27 38 19 5 6 27 24 30 32 10 31 14 5 33 25 3 28 25 23 19 14 5
## [7701] 32 39 31 39 11 30 31 25 20 29 28 34 23 26 11 5 33 39 26 17 38 30
## [7723] 21 15 6 15 2 12 38 31 29 34 38 18 24 25 18 36 2 35 11 3 2 8
## [7745] 31 21 7 36 13 27 17 3 31 13 39 7 2 19 31 10 27 21 15 22 13 15
## [7767] 6 4 16 32 7 1 24 20 3 38 28 1 35 4 39 1 13 21 36 12 16 14
## [7789] 29 3 22 33 14 10 17 29 28 2 25 38 32 8 6 25 21 34 18 24 19 6
## [7811] 10 33 36 5 30 32 29 6 9 24 27 7 9 6 18 17 18 9 25 30 39 25
## [7833] 5 15 23 27 4 22 30 30 8 7 30 10 1 1 17 9 30 35 25 26 1 22
## [7855] 33 10 14 29 26 14 7 16 18 30 17 17 3 15 15 1 36 38 29 4 38 27
## [7877] 27 13 20 21 22 2 2 7 26 18 10 28 7 18 18 3 14 12 22 37 30 5
## [7899] 33 17 29 9 18 1 19 27 27 6 34 3 31 2 26 13 10 18 8 6 3 6
## [7921] 24 20 37 32 18 14 12 22 34 17 28 23 35 5 26 29 13 28 35 7 11 16
## [7943] 14 3 19 19 2 1 25 20 39 28 21 34 26 2 14 7 22 5 8 5 23 11
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## [8009] 30 17 23 33 5 36 39 13 24 18 9 24 18 7 10 7 17 19 16 25 3 37
## [8031] 21 7 38 3 11 2 34 32 17 22 27 28 31 21 28 5 3 17 1 35 33 9
## [8053] 29 3 2 14 31 17 23 3 29 30 7 1 8 22 13 29 39 27 19 37 26 26
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## [8097] 31 35 6 32 36 16 3 39 26 31 35 35 34 8 29 9 22 10 26 11 30 8
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## [8163] 12 37 21 34 25 26 8 24 6 24 26 29 12 4 18 11 12 7 30 25 28 32
## [8185] 38 4 38 15 26 20 14 21 36 12 10 12 22 14 35 32 38 35 34 30 31 8
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## [8339] 37 27 25 15 23 34 35 37 5 33 31 13 27 6 11 34 3 2 23 31 10 6
## [8361] 20 29 1 11 4 22 9 8 27 39 10 33 31 33 15 23 4 14 36 14 14 21
## [8383] 4 27 7 34 33 8 6 9 39 4 34 16 7 34 22 3 9 25 8 27 23 3
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## [8427] 22 1 39 1 5 3 27 12 17 22 1 6 21 3 8 2 15 31 4 3 1 21
## [8449] 20 20 21 36 11 21 7 34 31 13 24 6 19 9 31 31 14 31 24 1 9 19
## [8471] 25 1 20 7 39 5 8 12 18 26 37 5 4 23 18 28 15 11 17 34 20 16
## [8493] 25 23 19 38 3 34 39 34 1 8 2 26 7 33 6 35 23 7 14 31 30 38
## [8515] 14 14 39 35 38 39 30 31 15 12 31 2 21 8 30 6 4 12 22 3 17 29
## [8537] 21 18 31 1 5 6 18 4 4 30 22 20 33 37 35 17 23 11 8 15 5 13
## [8559] 39 27 23 20 36 10 36 13 1 34 7 13 4 5 33 18 19 10 24 3 14 11
## [8581] 21 37 10 12 20 27 21 31 13 26 3 8 16 29 6 13 4 9 25 5 1 29
## [8603] 14 32 27 36 6 13 24 14 8 19 32 38 19 17 21 34 15 11 25 26 18 1
## [8625] 39 19 39 13 1 33 35 4 31 10 36 33 24 27 14 37 38 34 11 1 8 33
## [8647] 14 37 12 23 21 26 24 3 13 19 12 15 37 34 12 8 34 11 16 22 30 39
## [8669] 18 29 32 30 29 39 32 11 27 28 22 19 5 24 36 35 3 24 17 27 39 9
## [8691] 11 24 33 32 11 25 3 39 12 33 29 29 39 3 37 36 38 18 18 39 16 15
## [8713] 20 23 27 33 15 39 34 20 29 27 33 28 26 1 33 39 7 37 7 29 2 10
## [8735] 5 14 31 4 3 26 28 37 37 30 14 24 22 33 36 26 34 4 30 37 21 23
## [8757] 15 5 2 39 27 22 19 16 7 37 34 31 1 12 13 1 20 10 27 5 1 3
## [8779] 32 26 20 30 12 38 28 25 13 8 34 33 33 16 23 25 23 21 20 5 15 16
## [8801] 33 15 12 23 17 9 31 22 11 34 16 13 25 39 33 23 20 28 33 21 33 7
## [8823] 19 2 27 28 14 22 7 17 37 5 2 32 30 25 33 37 27 30 26 4 22 31
## [8845] 24 24 29 10 29 28 29 4 29 18 36 30 27 35 4 16 12 9 28 28 2 31
## [8867] 22 24 7 24 5 38 39 13 28 36 11 39 23 20 23 39 20 12 34 33 16 10
## [8889] 28 32 37 19 39 38 19 31 33 9 35 11 18 4 25 19 37 34 21 35 27 23
## [8911] 30 14 35 25 20 35 18 19 38 15 34 34 35 15 2 3 33 3 34 3 18 26
## [8933] 7 35 17 22 2 23 13 27 18 4 23 29 2 1 36 13 27 25 6 35 23 32
## [8955] 35 23 16 4 28 13 36 27 16 26 38 18 8 5 13 34 34 37 12 15 30 6
## [8977] 23 30 36 19 35 11 17 6 24 31 39 26 12 11 6 27 22 39 33 24 12 22
## [8999] 38 2 30 5 24 39 19 30 3 6 12 19 21 24 12 3 33 7 32 28 7 36
## [9021] 35 26 16 23 12 33 2 28 7 16 12 17 19 5 21 7 39 3 26 27 24 33
## [9043] 38 30 35 16 6 25 29 31 26 20 1 18 25 20 3 26 5 26 35 37 38 12
## [9065] 26 12 16 11 35 21 5 38 34 24 10 1 22 15 34 3 25 18 9 2 12 12
## [9087] 16 37 28 4 29 6 37 36 20 14 11 7 12 19 22 25 7 3 35 17 10 2
## [9109] 33 11 27 18 3 39 17 14 9 20 24 21 37 8 9 37 8 27 6 31 31 13
## [9131] 17 12 19 20 8 34 32 15 18 3 39 5 35 38 26 34 37 27 34 11 31 22
## [9153] 31 10 32 7 3 31 9 33 5 38 37 29 9 11 10 36 5 7 12 11 34 19
## [9175] 35 30 17 9 37 39 12 31 30 22 30 8 36 19 38 7 33 32 8 11 13 5
## [9197] 15 20 36 34 19 28 13 11 37 19 18 35 35 8 10 5 13 8 7 23 13 33
## [9219] 18 30 7 19 28 17 23 30 6 30 10 5 7 24 26 24 15 21 30 4 28 9
## [9241] 20 4 17 32 11 24 15 25 33 16 35 13 34 30 2 26 14 29 22 20 24 15
## [9263] 9 19 29 13 35 33 31 7 30 38 35 31 37 19 28 33 5 33 10 32 14 26
## [9285] 15 9 37 14 27 19 3 15 33 33 18 28 10 21 30 11 11 22 25 2 35 27
## [9307] 10 29 38 36 35 30 14 26 6 19 8 4 6 15 33 31 15 31 12 37 28 25
## [9329] 10 15 8 13 27 15 32 21 25 30 22 12 8 21 17 13 11 26 20 25 2 30
## [9351] 35 27 7 20 5 5 31 8 10 2 29 35 39 1 19 2 7 34 11 10 10 21
## [9373] 37 4 7 4 2 38 11 15 14 18 1 8 17 29 21 2 12 31 4 33 7 23
## [9395] 16 3 8 39 24 4 21 9 16 15 39 27 31 19 5 23 5 10 23 18 33 25
## [9417] 36 17 19 28 25 7 24 13 10 19 14 34 39 9 30 36 25 37 9 11 2 36
## [9439] 2 31 18 1 38 22 5 10 5 1 30 10 4 2 26 9 23 5 21 14 25 32
## [9461] 6 18 8 17 16 38 10 5 10 1 11 5 23 10 36 12 37 14 19 10 5 38
## [9483] 20 18 4 25 1 19 7 11 27 15 39 12 29 31 18 24 10 11 15 37 4 19
## [9505] 12 37 29 13 13 13 6 33 38 29 5 21 7 18 5 23 6 14 23 8 34 9
## [9527] 33 31 23 1 20 39 13 3 1 36 35 25 17 13 26 17 1 10 33 33 28 35
## [9549] 31 4 35 23 18 22 29 8 37 31 26 32 30 7 21 33 21 35 11 9 18 4
## [9571] 39 25 38 5 35 15 11 34 18 27 35 21 34 21 25 27 29 39 7 39 2 18
## [9593] 2 10 10 34 2 31 28 16 15 29 16 2 3 32 30 15 27 6 17 1 34 8
## [9615] 17 23 29 12 12 35 21 7 11 9 14 12 24 3 4 26 23 30 17 23 3 3
## [9637] 27 3 2 34 24 8 25 28 37 39 19 2 34 2 10 28 6 12 18 20 6 38
## [9659] 29 30 13 13 28 20 3 12 16 37 21 27 32 36 26 32 23 38 32 1 2 27
## [9681] 1 22 13 14 39 22 35 3 26 21 2 14 22 4 31 31 18 18 14 21 23 27
## [9703] 31 10 29 11 17 1 28 23 38 26 27 14 8 25 25 31 8 8 10 9 10 31
## [9725] 3 4 30 21 9 37 6 2 9 37 21 19 11 19 19 7 8 30 32 31 31 19
## [9747] 10 4 17 35 37 4 24 25 11 36 3 23 25 26 10 28 18 21 11 30 13 34
## [9769] 19 18 25 33 21 13 2 24 21 9 2 30 19 11 28 19 23 11 33 20 26 21
## [9791] 13 36 21 25 4 11 4 37 32 5 2 19 19 20 4 11 34 14 1 14 1 28
## [9813] 30 24 17 27 16 12 15 13 21 3 24 16 33 16 17 31 33 4 6 34 22 37
## [9835] 30 16 6 36 13 10 38 30 20 35 10 1 17 31 2 12 17 19 13 11 38 24
## [9857] 29 17 19 8 30 34 35 22 20 17 13 37 8 39 16 5 21 18 13 37 29 6
## [9879] 13 6 9 14 35 20 33 34 16 25 32 11 12 2 4 39 20 16 26 17 23 29
## [9901] 22 7 33 7 38 26 39 7 13 21 13 6 16 31 23 17 29 4 11 13 19 22
## [9923] 5 24 28 39 3 22 22 2 11 34 33 3 31 10 9 31 38 23 6 11 15 24
## [9945] 16 39 2 23 20 16 17 28 29 17 37 17 23 23 22 33 14 8 8 18 2 37
## [9967] 20 20 11 15 14 23 6 28 9 8 20 3 27 38 13 10 14 27 35 10 30 4
## [9989] 14 9 36 2 18 14 3 38 13 34 7 20
# generate frequency table of die rolls
(freq_rball = table(rball))
## rball
## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
## 261 251 269 248 242 253 285 278 236 260 254 229 272 243 238 284 267 255
## 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
## 246 243 259 261 251 254 238 278 278 262 231 272 268 226 270 261 289 236
## 37 38 39
## 250 241 261
# entries in the tables are counts, summing them gives the total die rolls
(n = sum(freq_rball))
## [1] 10000
# expected number of each roll
(E = n * 1/39)
## [1] 256.4
# observed number of each roll
(O = freq_rball)
## rball
## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
## 261 251 269 248 242 253 285 278 236 260 254 229 272 243 238 284 267 255
## 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
## 246 243 259 261 251 254 238 278 278 262 231 272 268 226 270 261 289 236
## 37 38 39
## 250 241 261
E - O
## rball
## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
## -4.59 5.41 -12.59 8.41 14.41 3.41 -28.59 -21.59 20.41 -3.59
## 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
## 2.41 27.41 -15.59 13.41 18.41 -27.59 -10.59 1.41 10.41 13.41
## 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
## -2.59 -4.59 5.41 2.41 18.41 -21.59 -21.59 -5.59 25.41 -15.59
## 31 32 33 34 35 36 37 38 39
## -11.59 30.41 -13.59 -4.59 -32.59 20.41 6.41 15.41 -4.59
(E - O)^2
## rball
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 21.066 29.271 158.502 70.732 207.655 11.630 817.373 466.117
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 416.579 12.886 5.809 751.322 243.040 179.835 338.938 761.194
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 112.143 1.989 108.373 179.835 6.707 21.066 29.271 5.809
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## 338.938 466.117 466.117 31.245 645.681 243.040 134.322 924.784
## 33 34 35 36 37 38 39
## 184.681 21.066 1062.091 416.579 41.091 237.476 21.066
(E - O)^2/E
## rball
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 0.082156 0.114156 0.618156 0.275856 0.809856 0.045356 3.187756 1.817856
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 1.624656 0.050256 0.022656 2.930156 0.947856 0.701356 1.321856 2.968656
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 0.437356 0.007756 0.422656 0.701356 0.026156 0.082156 0.114156 0.022656
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## 1.321856 1.817856 1.817856 0.121856 2.518156 0.947856 0.523856 3.606656
## 33 34 35 36 37 38 39
## 0.720256 0.082156 4.142156 1.624656 0.160256 0.926156 0.082156
(chisq = sum((E - O)^2/E))
## [1] 39.75
# calculate df
df = 39 - 1
# calculate upper tail probability (p-value = P(>chisq))
pchisq(chisq, df = df, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3922
The pvalue (0.3921813) calculated is greater than .2 suggesting that we should fail to reject the null hypothesis stating that the draws are random.
Although the test suggests that the draws are random, I would only pick from the lower numbers 1-30 and not risk the randomness.
The results from this method match the prevoiously received results.
chisq.test(freq_wball)
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: freq_wball
## X-squared = 37.34, df = 58, p-value = 0.984
chisq.test(freq_rball)
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: freq_rball
## X-squared = 39.75, df = 38, p-value = 0.3922