Considere dois conjuntos de dados:

\(A = \{10,20,30\} \hspace{4.8cm} \rightarrow \hspace{1cm} \overline{x}_A = 20, s_A= 10\)

\(B = \{10000,10010,10020\} \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} \overline{x}_B = 10010, s_B= 10\)

Ambos têm o mesmo desvio padrão.

Se compararmos as escalas de cada conjunto de dados, poderíamos dizer que o segundo conjunto tem menor dispersão.

Por exemplo, a maior observação do conjunto \(B\), 10020, é 0,2% maior do que a menor observação, 10000.

A maior observação do conjunto \(A\), 30, é 3 vezes maior do que a menor observação, 10.

Considere notas de 2 provas:

• Prova 1: 0 a 100. Média da turma: 70. Desvio padrão 1.
• Prova 2: 0 a 10. Média da turma: 7. Desvio padrão 1.

Neste caso, como as escalas são diferentes, não podemos tirar conclusões usando apenas o desvio padrão.

O Coeficiente de Variação (CV) é uma medida de dispersão relativa que representa o desvio-padrão como porcentagem da média, ou seja:

\[CV= \frac{s}{\bar{x}}\]

Exemplo:

\(A = \{10,20,30\}\), \(\overline{x}_A = 20\), \(s_A= 10\).

\(B = \{10000,10010,10020\}\), \(\overline{x}_B = 10010\), \(s_B= 10\).

\(CV_A = \frac{s_A}{\overline{x}_A} = 0,5 \hspace{1cm} \mbox{e} \hspace{1cm} CV_B = \frac{s_B}{\overline{x}_B} \approx 0,0009\)

Exemplo: No exemplo das provas

\(CV_1 = \frac{s_1}{\overline{x}_1} = \frac{1}{70} = 0,014 \hspace{1cm} \mbox{e} \hspace{1cm} CV_2 = \frac{s_2}{\overline{x}_2} = \frac{1}{7} \approx 0,14\)

Média e mediana: medidas de posição central.

Amplitude e desvio padrão: medidas de dispersão.

Há outros tipos de medida de posição para descrever a distribuição dos dados: quartis e percentis.

Quartis dividem os dados em 4 partes iguais: primeiro quartil (\(Q_1\)), segundo quartil (\(Q_2\)) e o terceiro quartil (\(Q_3\)).

O p-ésimo percentil é o valor tal que uma porcentagem p dos dados ficam abaixo dele.

Para obter os quartis:

• Ordene os dados em ordem crescente.
• Encontre a mediana: \(Q_2\)=mediana.
• Considere o subconjunto de dados abaixo da mediana. \(Q_1\) é a mediana deste subconjunto de dados.

• Considere o subconjunto de dados acima da mediana. \(Q_3\) é a mediana deste subconjunto de dados.

Temos abaixo a quantidade de sódio (mg) em 20 cereais matinais:

0, 70, 125, 125, 140, 150, 170, 170, 180, 200

200, 210, 210, 220, 220, 230, 250, 260, 290, 290

Para calcular \(Q1\): calcula-se a mediana considerando apenas as 10 primeiras observações ordenadas: 0, 70, 125, 125, \(\underbrace{140, 150}_{Q_1=145}\), 170, 170, 180, 200

Para calcular \(Q3\): calcula-se a mediana considerando apenas as 10 últimas observações ordenadas: 200, 210, 210, 220, \(\underbrace{220, 230}_{Q_3=225}\), 250, 260, 290, 290

A vantagem do uso de quartis sobre o desvio padrão ou a amplitude, é que os quartis são mais resistentes a dados extremos.

Intervalo interquartílico (IQ) = \(Q_3-Q_1\).

Representa 50% dos dados localizados na parte central da distribuição.

Notação: \(x_{(1)}\) = mínimo, \(x_{(n)}\) = máximo, onde \(x_{(k)}\) é a \(k\)-ésima observação depois de ordenar os dados.

A mediana (\(Q_2\)) pode ser escrita como:

\[ Q_2= \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \,,& \mbox{se $n$ é ímpar} \\ \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \,, & \mbox{se $n$ é par} \end{cases} \]

Para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica:

• \(Q_2-x_{(1)}\approx x_{(n)}-Q_2\)

• \(Q_2-Q_1\approx Q_3-Q_2\)

• \(Q_1-x_{(1)} \approx x_{(n)}-Q_3\)

• distâncias entre a mediana e \(Q_1\), \(Q_3\) menores do que as distâncias entre os extremos e \(Q_1\), \(Q_3\).

Importante: examinar os dados para verificar se há observações discrepantes.

• Média e desvio padrão são muito afetados por observações discrepantes.

• Após detectar a observação discrepante, verificar se não é um erro de digitação ou um caso especial da sua amostra.

• Com poucos dados, podemos detectar um dados discrepante facilmente, apenas observando a sequência ordenada.

• Podemos usar o IQ como um critério mais geral de detecção de dados discrepantes.

Uma observação é um potencial outlier se está abaixo de \(Q_1-1,5\times IQ\) ou se está acima de \(Q_3+1,5 \times IQ\).

Dizemos potencial outlier, pois se a distribuição tem cauda longa (à direita ou à esquerda), algumas observações irão cair no critério, apesar de não serem outliers.

O esquema dos 5 números forma a base do grafico denominado boxplot.

Primeiro passo: construir uma caixa que vai do primeiro ao terceiro quartil.

Segundo passo: construir uma linha no meio da caixa, na altura da mediana (\(Q_2\)).

Terceiro passo: definir os limites para que uma observação seja considerada outlier.

Quarto passo: desenhar uma linha que saia da parte inferior da caixa e desça até o menor valor dos dados, mas que não ultrapasse os limites do critério de outliers. Desenhar uma linha que saia da parte superior da caixa e suba até o maior valor dos dados, mas que não ultrapasse os limites do critério de outliers. Outliers, quando existem, aparecem indicados separadamente no gráfico.

População em 1000 habitantes

27 estados, \(n\) é ímpar, mediana é \(x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}= x_{\left(\frac{27+1}{2}\right)}=x_{14}=3098\) (ES).

A metade inferior dos dados: 13 observações. A mediana deste subconjunto é \(Q_1=x_7= 2052\) (DF).

A metade superior dos dados: 13 observações. A mediana deste subconjunto é \(Q_3=x_{21}=7919\) (PE).

\(IQ=Q_3-Q_1=7919-2052=5867\)

\(Q_1-1,5\times IQ=-6748,5 \hspace{2cm} \mbox{e} \hspace{2cm} Q_3+1,5\times IQ=16720\)

Temos outliers?

0, 70, 125, 125, \(\underbrace{140, 150}_{Q_1=145}\), 170, 170, 180, 200

200, 210, 210, 220, \(\underbrace{220, 230}_{Q_3=225}\), 250, 260, 290, 290

\[IQ=Q_3-Q_1=225-145=80\]

\[Q_1-1,5\times IQ=145-1,5\times 80=25\]

\[Q_3+1,5\times IQ=145+1,5\times 80=345\]

Boxplot não substitui o histograma e vice-versa.

Por exemplo, se a distribuição é bimodal, não observamos isso pelo boxplot.