Medidas de Asociación

1 Introducción

Con el propósito de investigar el nexo entre dos variables, se quiere describir el comportamiento del conjunto correspondiente mediante gráficas que evidencien la interacción entre las características objeto de estudio, y a través de medidas estadísticas que den cuenta de la asociación entre las variables de interés.

2 Variables cualitativas

2.1 Tablas de doble entrada

En este escenario se dispone de un conjunto de \(n\) individuos, cada uno de ellos observado en dos atributos que en adelante se representan mediante \(X\) y \(Y\). Se supone que la variable \(X\) tiene \(k\) categorías, es decir, \(X\) asume los valores \(x_1, x_2,\ldots,x_k\), y que la variable \(Y\) tiene \(p\) categorías, es decir, \(Y\) asume los valores \(y_1, y_2,\ldots,y_p\)

Se elabora una tabla de frecuencias conformada por \(k \times p\) casillas o categorías, denotadas con \(C_{ij}\), para \(i=1,\ldots,k\) y \(j=1,\ldots,p\), organizadas de tal forma que se tengan \(k\) filas y \(p\) columnas con las categorías de las variables \(X\) y \(Y\), respectivamente. Tal estructura se denomina tabla de doble entrada o tabla de contingencia o tabla de clasificación.

La frecuencia absoluta conjunta de la clase \(C_{ij}\), denotada con \(n_{ij}\), es la cantidad de observaciones que hacen parte de la \(i\)-ésima fila y la \(j\)-ésima columna para \(i=1,\ldots,k\) y \(j=1,\ldots,p\).

\(X/Y\)	\(y_{1}\)	\(y_{2}\)	\(\cdots\)	\(y_{j}\)	\(\cdots\)	\(y_{p}\)	Total
\(x_{1}\)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(\cdots\)	\(n_{1j}\)	\(\cdots\)	\(n_{1p}\)	\(n_{1\cdot}\)
\(x_{2}\)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(\cdots\)	\(n_{2j}\)	\(\cdots\)	\(n_{2p}\)	\(n_{2\cdot}\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_{i}\)	\(n_{i1}\)	\(n_{i2}\)	\(\cdots\)	\(n_{ij}\)	\(\cdots\)	\(n_{ip}\)	\(n_{i\cdot}\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_{k}\)	\(n_{k1}\)	\(n_{k2}\)	\(\cdots\)	\(n_{kj}\)	\(\cdots\)	\(n_{kp}\)	\(n_{k\cdot}\)
Total	\(n_{\cdot 1}\)	\(n_{\cdot 2}\)	\(\cdots\)	\(n_{\cdot j}\)	\(\cdots\)	\(n_{\cdot p}\)	\(n\)

La frecuencia relativa conjunta de la clase \(C_{ij}\), denotada con \(h_{ij}\), es la proporción de la frecuencia absoluta conjunta de la \(ij\)-ésima categoría respecto a la cantidad total de observaciones, esto es, \[ h_{ij} = \frac{n_{ij}}{n} \] para \(i=1,\ldots,k\) y \(j=1,\ldots,p\).

\(X/Y\)	\(y_{1}\)	\(y_{2}\)	\(\cdots\)	\(y_{j}\)	\(\cdots\)	\(y_{p}\)	Total
\(x_{1}\)	\(h_{11}\)	\(h_{12}\)	\(\cdots\)	\(h_{1j}\)	\(\cdots\)	\(h_{1p}\)	\(h_{1\cdot}\)
\(x_{2}\)	\(h_{21}\)	\(h_{22}\)	\(\cdots\)	\(h_{2j}\)	\(\cdots\)	\(h_{2p}\)	\(h_{2\cdot}\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_{i}\)	\(h_{i1}\)	\(h_{i2}\)	\(\cdots\)	\(h_{ij}\)	\(\cdots\)	\(h_{ip}\)	\(h_{i\cdot}\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_{k}\)	\(h_{k1}\)	\(h_{k2}\)	\(\cdots\)	\(h_{kj}\)	\(\cdots\)	\(h_{kp}\)	\(h_{k\cdot}\)
Total	\(h_{\cdot 1}\)	\(h_{\cdot 2}\)	\(\cdots\)	\(h_{\cdot j}\)	\(\cdots\)	\(h_{\cdot p}\)	\(1\)

La frecuencia absoluta marginal de la fila \(i\), denotada con \(n_{i\bullet}\), es el total de observaciones de la \(i\)-ésima categoría de la variable de las filas para \(i=1,\ldots,k\).

Así mismo, la frecuencia absoluta marginal de la columna \(j\), denotada con \(n_{\bullet j}\), es el total de observaciones de la \(j\)-ésima categoría de la variable de las columnas para \(j=1,\ldots,p\).

A partir de la definición se tiene que \[ n_{i \bullet} = n_{i1} + n_{i2} + \ldots + n_{ip} = \sum_{j=1}^{p} n_{ij} \quad\text{para $i=1,\ldots,k$,} \] y además, \[ n_{\bullet j} = n_{1j} + n_{2j} + \ldots + n_{kj} = \sum_{i=1}^{k} n_{ij} \quad\text{para $j=1,\ldots,p$.} \]

Las frecuencias relativas marginales se definen análogamente.

2.1.1 Propiedades

\[ \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{p} n_{ij} = \sum_{i=1}^{k} n_{i\bullet} = \sum_{j=1}^{p} n_{\bullet j} = n. \]

\[ \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{p} h_{ij} = \sum_{i=1}^{k} h_{i\bullet} = \sum_{j=1}^{p} h_{\bullet j} = 1. \]

\[ h_{i \bullet} = \sum_{j=1}^{p} h_{ij} \quad\text{para $i=1,\ldots,k$.} \]

\[ h_{\bullet j} = \sum_{i=1}^{k} h_{ij} \quad\text{para $j=1,\ldots,p$.} \]

2.1.2 Ejemplo

La siguiente tabla corresponde a una tabla de contingencia en la que se estudia la variable sexo (\(X\)) y nivel educativo (\(Y\)) de una muestra de personas. Obtener las frecuencias relativas conjuntas y marginales correspondientes.

\(X / Y\)	Bachillerato	Pregrado	Posgrado	Total
Hombre	4	9	12	25
Mujer	12	7	2	21
Total	16	16	14	46

En este caso se tiene que \[ k = 2,\,\, p=3,\,\, n_{1 \bullet} = 25,\,\, n_{2 \bullet} = 21,\,\, n_{\bullet 1} = 16,\,\, n_{\bullet 2} = 16,\,\, n_{\bullet 3} = 14 \quad\text{y}\quad n = 46. \] En la siguiente tabla se presentan las frecuencias relativas correspondientes que han sido calculadas con respecto al tamaño de la muestra, es decir, con respecto a \(n=46\), usando las fórmulas \[ h_{ij} = \frac{n_{ij}}{n}, \,\, h_{i \bullet}=\frac{n_{i \bullet}}{n} \quad\text{y}\quad h_{\bullet j} = \frac{n_{\bullet j}}{n} \] donde \(n_{ij}\) es la frecuencia absoluta conjunta de la \(ij\)-ésima categoría para \(i=1,2\) y \(j=1,2,3\).

Por ejemplo, se observa que el porcentaje de empleados que son hombres es \(54.3\%\), el porcentaje de empleados que tienen estudios de posgrado es \(30.4\%\) y que el porcentaje de empleados que son hombres y tienen bachillerato es \(8.7\%\).

\(X / Y\)	Bachillerato	Pregrado	Posgrado	Total
Hombre	8.7%	19.6%	26.1%	54.3%
Mujer	26.1%	15.2%	4.3%	45.7%
Total	34.8%	34.8%	30.4%	100.0%

# datos
tabla <- rbind(c(4, 9, 12), c(12, 7, 2))
rownames(tabla) <- c("Hombre","Mujer")
colnames(tabla) <- c("Bachillerato","Pregrado","Posgrado")
print(tabla)

##        Bachillerato Pregrado Posgrado
## Hombre            4        9       12
## Mujer            12        7        2

# agregar totales
addmargins(A = tabla, margin = c(1,2))

##        Bachillerato Pregrado Posgrado Sum
## Hombre            4        9       12  25
## Mujer            12        7        2  21
## Sum              16       16       14  46

# frecuencias relativas
addmargins(A = 100*prop.table(x = tabla), margin = c(1,2))

##        Bachillerato Pregrado  Posgrado       Sum
## Hombre     8.695652 19.56522 26.086957  54.34783
## Mujer     26.086957 15.21739  4.347826  45.65217
## Sum       34.782609 34.78261 30.434783 100.00000

2.2 Perfiles o distribuciones condicionadas

Los perfiles fila están asociados con una tabla de doble entrada en la que se calculan las frecuencias relativas conjuntas respecto a los totales de las filas correspondientes.

Análogamente, se definen los perfiles columna.

A partir de la definición, se tiene que la frecuencia relativa de la \(ij\)-ésima categoría de una tabla de perfiles fila, denotada con \(h_{ij|i\bullet}\), está dada por: \[ h_{ij|i\bullet}=\frac{n_{ij}}{n_{i \bullet}}, \] mientras que la frecuencia relativa de la \(ij\)-ésima categoría de una tabla de perfiles columna, denotada con \(h_{ij|\bullet j}\), se está dada por: \[ h_{ij|\bullet j}=\frac{n_{ij}}{n_{\bullet j}} \] para \(i=1,\ldots,k\) y \(j=1,\ldots,p\).

2.2.1 Propiedades

\[ h_{ij|i\bullet}=\frac{h_{ij}}{h_{i \bullet}} \quad\text{para $i=1,\ldots,k$ y $j=1,\ldots,p$.} \]

\[ h_{ij|i\bullet}=\frac{h_{ij}}{h_{i \bullet}} \quad\text{para $i=1,\ldots,k$ y $j=1,\ldots,p$.} \]

\[ \sum_{j=1}^p h_{ij|i\bullet} = 1 \quad\text{para $i=1,\ldots,k$.} \]

\[ \sum_{i=1}^k h_{ij|\bullet j} = 1 \quad\text{para $j=1,\ldots,p$.} \]

2.2.2 Ejemplo

Elaborar los perfiles fila y los perfiles columna de la muestra para la tabla bidimensional del ejemplo anterior.

Los perfiles fila y los perfiles columna de la muestra se las siguientes tablas. Las frecuencias relativas de estas tablas se calcularon con las fórmulas \[ h_{ij|i\bullet } =\frac{n_{ij}}{n_{i \bullet}} \quad\text{y}\quad h_{ij|\bullet j} =\frac{n_{ij}}{n_{\bullet j}} \] para \(i=1,2\) y \(j=1,2,3\).

Por ejemplo, se observa que de los hombres, tiene posgrado el 48.0%, mientras que de los individuos con posgrado, es hombre el 85.7%. Al interpretar las frecuencias relativas de los perfiles es indispensable fijarse cuál es el grupo de individuos de referencia.

\(X / Y\)	Bachillerato	Pregrado	Posgrado	Total
Hombre	4	9	12	25
Mujer	12	7	2	21
Total	16	16	14	46

Perfiles fila:

\(X / Y\)	Bachillerato	Pregrado	Posgrado	Total
Hombre	16.0%	36.0%	48.0%	100.0%
Mujer	57.1%	33.3%	9.5%	100.0%
Total	34.8%	34.8%	30.4%	100.0%

Perfiles columna:

\(X / Y\)	Bachillerato	Pregrado	Posgrado	Total
Hombre	25.0%	56.3%	85.7%	54.3%
Mujer	75.0%	43.8%	14.3%	45.7%
Total	100.0%	100.0%	100.0%	100.0%

# datos
tabla <- rbind(c(4, 9, 12), c(12, 7, 2))
rownames(tabla) <- c("Hombre","Mujer")
colnames(tabla) <- c("Bachillerato","Pregrado","Posgrado")
# perfiles fila
addmargins(A = 100*prop.table(x = tabla, margin = 1), margin = 2)

##        Bachillerato Pregrado Posgrado Sum
## Hombre     16.00000 36.00000 48.00000 100
## Mujer      57.14286 33.33333  9.52381 100

# perfiles columna
addmargins(A = 100*prop.table(x = tabla, margin = 2), margin = 1)

##        Bachillerato Pregrado  Posgrado
## Hombre           25    56.25  85.71429
## Mujer            75    43.75  14.28571
## Sum             100   100.00 100.00000

# perfiles fila
pf <- 100*prop.table(x = tabla, margin = 1)
# perfiles columna
pc <-100*prop.table(x = tabla, margin = 2)
# diagrama de barras perfiles fila
barplot(height = t(pf), ylim = c(0,120), legend.text = TRUE, 
        args.legend = list(x = "top", bty = "n", ncol = 3), 
        main = "Perfil fila", xlab = "Sexo", ylab = "Porcentaje (%)")
# diagrama de barras perfiles columna
barplot(height = pc, beside = FALSE, las = 1, ylim = c(0, 120), 
        legend.text = TRUE, args.legend = list(x = "top", bty = "n", ncol = 2), 
        main = "Perfil columna", xlab = "Nivel educativo", ylab = "Porcentaje (%)")

3 Variables cuantitativas

3.1 Gráficos

Cuando se trabaja con dos variables cuantitativas, es costumbre denominar a la variable \(X\) representada en el eje \(x\) variable independiente y a la variable \(Y\) representada en el eje \(y\) variable dependiente.

Es costumbre mostrar las observaciones de una muestra correspondiente a un conjunto de datos bivariado como sigue.

\(X\)	\(Y\)
\(x_1\)	\(y_1\)
\(x_1\)	\(y_1\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_n\)	\(y_n\)

3.1.1 Ejemplo

Ena un muestra de \(n=25\) materiales se miden el peso (en kilogramos) y la temperatura (en grados centígrados), obteniéndose los resultados que se presentan a continuación. Elaborar un dispersograma o nube de puntos de la peso (\(Y\)) frente al temperatura (\(X\)).

Temperatura: 12.3, 13.2, 12.5, 13.1, 12.9, 13.1, 12.4, 12.9, 13.2, 12.3, 12.4, 13.0, 12.5, 12.6, 12.8, 12.9, 12.5, 13.1, 13.0, 12.7, 12.2, 13.3, 12.4, 12.3, 12.6

Peso: 39.5, 41.0, 39.7, 40.8, 40.7, 41.3, 39.2, 40.4, 41.2, 38.8, 39.4, 40.2, 39.7, 39.8, 40.0, 40.3, 39.6, 41.1, 41.3, 40.3, 39.4, 41.1, 39.9, 39.6, 40.2

En la siguiente figura se muestra el diagrama de dispersión del peso frente a la temperatura de los materiales. Se observa que la relación entre las variables es directa y aparentemente fuerte.

# datos
temp <- c(12.3, 13.2, 12.5, 13.1, 12.9, 13.1, 12.4, 12.9, 13.2, 12.3, 12.4, 13.0, 12.5, 
          12.6, 12.8, 12.9, 12.5, 13.1, 13.0, 12.7, 12.2, 13.3, 12.4, 12.3, 12.6)
peso <- c(39.5, 41.0, 39.7, 40.8, 40.7, 41.3, 39.2, 40.4, 41.2, 38.8, 39.4, 40.2, 39.7, 
          39.8, 40.0, 40.3, 39.6, 41.1, 41.3, 40.3, 39.4, 41.1, 39.9, 39.6, 40.2)
# dispersograma
plot(x = temp, y = peso, xlab = "Temperatura (C)", ylab = "Peso (Kg)", main = "Peso vs. Temperatura", col = "blue", pch = 18)

3.2 Covarianza

La covarianza muestral del conjunto de datos bivariado \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\), denotada con \(COV(x,y)\) o \(s_{xy}\), se calcula como: \[ COV(x,y)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \]

• Si \(COV(x,y) > 0\), entonces \(y\) tiende a aumentar cuando lo hace \(x\) (relación directa).
• Si \(COV(x,y) < 0\), entonces \(y\) tiende a disminuir cuando lo hace \(x\) (relación inversa).
• Si \(COV(x,y) \approx 0\), entonces los puntos se reparten “equitativamente” alrededor de \((\bar{x},\bar{y})\).

3.2.1 Ejemplo

Calcular e interpretar la covarianza entre el peso y la temperatura con el conjunto de datos bivariado del ejemplo anterior.

Para obtener la covarianza entre la temperatura y el peso, primero se deben calcular los promedios de estas variables. En este caso se tiene que \(\bar{x} = 12.728\) y \(\bar{y} = 40.180\). Luego de calcular los respectivos promedios, se procede a calcular las diferencias y los productos, de tal forma que la covarianza entre la temperatura y el peso es

\[\begin{align*} COV(x,y) &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \\ &= \frac{1}{25-1} \left((12.3-12.728)(39.5-40.180)+\ldots+(12.6-12.728)(40.2-40.180) \right) \\ &= 0.226. \end{align*}\]

Dado que la covarianza entre la temperatura y el peso es positiva, entonces la relación entre las dos variables es directa, como se aprecia en la Figura. Las unidades de la covarianza son unidades mixtas que en este caso corresponden a grados \(\times\) kilogramo.

# datos
temp <- c(12.3, 13.2, 12.5, 13.1, 12.9, 13.1, 12.4, 12.9, 13.2, 12.3, 12.4, 13.0, 12.5, 
          12.6, 12.8, 12.9, 12.5, 13.1, 13.0, 12.7, 12.2, 13.3, 12.4, 12.3, 12.6)
peso <- c(39.5, 41.0, 39.7, 40.8, 40.7, 41.3, 39.2, 40.4, 41.2, 38.8, 39.4, 40.2, 39.7, 
          39.8, 40.0, 40.3, 39.6, 41.1, 41.3, 40.3, 39.4, 41.1, 39.9, 39.6, 40.2)
# promedios
mean(temp)

## [1] 12.728

mean(peso)

## [1] 40.18

# covarianza
cov(temp, peso)

## [1] 0.2264167

# otra manera
n <- length(temp)
sum((temp - mean(temp))*(peso-mean(peso)))/(n-1)

## [1] 0.2264167

3.2.2 Propiedades

Si \((X,Y)\) es una variable bidimensional y \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) constantes, entonces se tiene que:

• \(COV(x,y) = COV(y,x)\).
• \(COV(x,x) = V(x)\).
• \(COV(a\,x + b , c\,y + d) = a\,c\,COV(x,y)\).
• Una fórmula alternativa para calcular la covarianza es \[ COV(x,y)= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) = \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\,y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y}\right). \]
• Si \(X\) y \(Y\) son variables conmensurables, entonces \[ V(x + y) = V(x) + V(y) + 2\,COV(x,y)\,. \]

3.2.3 Ejemplo

La covarianza entre los costos de producción (\(C\)) y las utilidades (\(U\)) de una compañía es 5.61. El presidente de la empresa está implementando una política de calidad para que los costos disminuyan 1% y las utilidades aumenten 5%. ¿Con esta política de calidad la covarianza entre los costos de producción y las utilidades aumenta o disminuye?

Si V y W denotan respectivamente la covarianza entre los costos de producción y las utilidades bajo la política de calidad, entonces \[ V=C-0.01C=0.99C\quad \text{y} \quad W= U + 0.05U=1.05U. \] En consecuencia, \[ COV(V,W)= (0.99)(1.05)\,COV(X,Y)=(1.0395)(5.61)=5.831 \] y por lo tanto con esta política la covarianza entre las variables aumenta.

3.2.4 Características

• Tiene propiedades aritméticas directas y sencillas de aplicar.
• Es sensible a datos atípicos.
• Está dada en unidades mixtas de medición (unidades de la variable independiente multiplicadas por las unidades de la variable dependiente).
• Si la covarianza es aproximadamente cero, esto no quiere decir que no pueda existir una relación entre las variables.

3.3 Coeficiente de correlación

Una covarianza “grande” indica que hay una relación de tipo lineal entre las dos variables. Pero, ¿qué significa que la covarianza sea “grande”?

La covarianza está dada en unidades mixtas de medición, lo que motiva definir una medida de la relación entre dos variables cuantitativas, que no se vea “afectada” por los cambios de unidad de medida, es decir, que sea adimensional.

El coeficiente de correlación de Pearson del conjunto de datos \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\), denotado con \(r\), se calcula como: \[ r = \frac{COV(x,y)}{s_x*\,s_y}\,. \] El coeficiente de correlación está ligado directamente con el grado de la asociación lineal de las variables. De hecho, el coeficiente de correlación únicamente caracteriza la fortaleza de la relación lineal entre dos variables cuantitativas.

La siguiente figura presenta varios coeficientes de correlación asociados con diferentes nubes de puntos.

El coeficiente de correlación siempre toma valores entre \(-1\) y 1:

• Es igual a 1.0, entonces la relación lineal entre las variables es perfecta.
• Está entre 0.9 y 1.0, entonces la relación lineal entre las variables es alta o fuerte.
• Está entre 0.7 y 0.9, entonces la relación lineal entre las variables es moderada.
• Está entre 0.5 y 0.7, entonces la relación lineal entre las variables es aceptable.
• Está entre 0.0 y 0.5, entonces la relación lineal entre las variables es reducida o mínima.
• Es igual a 0.0, entonces no existe una relación lineal entre las variables.

3.3.1 Ejemplo

Calcular el coeficiente de correlación con los datos del ejemplo de la temperatura y el peso.

Para calcular el coeficiente de correlación entre la temperatura y el peso se necesita obtener previamente las desviaciones estándar correspondientes. En este caso se tiene que \(s_x= 0.339\) y \(s_y= 0.724\). Así, el coeficiente de correlación es \[ r = \frac{COV(x,y)}{s_x * s_y} = \frac{(0.226)}{(0.339)(0.724)} = 0.920. \] Este coeficiente indica que la relación lineal entre la temperatura y el peso de los materiales es directa y además fuerte.

# datos
temp <- c(12.3, 13.2, 12.5, 13.1, 12.9, 13.1, 12.4, 12.9, 13.2, 12.3, 12.4, 13.0, 12.5, 
          12.6, 12.8, 12.9, 12.5, 13.1, 13.0, 12.7, 12.2, 13.3, 12.4, 12.3, 12.6)
peso <- c(39.5, 41.0, 39.7, 40.8, 40.7, 41.3, 39.2, 40.4, 41.2, 38.8, 39.4, 40.2, 39.7, 
          39.8, 40.0, 40.3, 39.6, 41.1, 41.3, 40.3, 39.4, 41.1, 39.9, 39.6, 40.2)
# desviaciones estandar
sd(temp)

## [1] 0.3397548

sd(peso)

## [1] 0.7239936

# coeficiente de correlacion
cor(temp, peso)

## [1] 0.9204667

# otra forma
cov(temp, peso)/(sd(temp)*sd(peso))

## [1] 0.9204667

3.3.2 Características

• Únicamente toma valores entre \(-1\) y \(1\).
• Es sensible a datos atípicos.
• Es una medida adimensional.
• Tiene el mismo signo de la covarianza.
• Tiene propiedades aritméticas directas y sencillas de aplicar.

4 Referencias