En una caja tenemos un 30% de canicas de cristal y un 70% de canicas de plástico. El 15% de las de cristal y el 40% de las de plástico son defectuosas. Las probabilidades de que se rompan al jugar con ellas son las siguientes:
-De las canicas de cristal, un 35% de romperse si no estan defectuosas y un 45% si lo están.
-De las canicas de plástico, un 15% de romperse si no son están defectuosas y un 35% si lo están.
DATOS:
\(P(C)=0.3\)
\(P(P)=0.7\)
\(P(D/C)=0.15\)
\(P(D/P)=0.4\)
\(P(R/C\cap D)=0.45\)
\(P(R/P\cap D)=0.35\)
\(P(R/C\cap ND)=0.35\)
\(P(R/P\cap ND)=0.15\)
Si cogemos una canica al azar, calcula:
\[P(R \cap D)= P(C \cap R \cap D)+P(P \cap R \cap D)=0.3*0.15*0.45+0.7*0.4*0.35=0.11825\]
\(P(R)=P(C \cap
D \cap R) + P(C \cap ND \cap R) + P(P \cap D \cap R) + P(P \cap ND \cap
R)=\)
\(=0.3*0.15*0.45+0.3*0.85*0.35+0.7*0.4*0.35 +
0.7*0.6*0.15=0.2705\)
\[P(P \cap D/R)= \frac{P(P \cap D \cap
R)}{P(R)}= \frac{0.7*0.4*0.35}{0.2705}=0.36229\]
\[P(C/R)= \frac{P(C \cap R)}{P(R)}= \frac{0.3*0.15*0.45+0.3*0.85*0.35}{0.2705}=0.4081\]
\[P(R/D)= \frac{P(R \cap D)}{P(D)}= \frac{0.3*0.15*0.45+0.7*0.4*0.35}{0.325}=0.36385\]
El tiempo que tarda el profesor de Estadística en llegar a la universidad viene dado por la siguiente función de densidad de probabilidad: \[f(x)=c \text{ si } 15 \le x \le 25\]
\[\int_{15}^{25} c ~dx=25c-15c=10c=1;
c=0.1\]
Para que sea una función de densidad, el valor de c tiene que ser 0.1
Para calcular la probabilidad de que tarde entre 17 y 22 minutos, calculamos la integral definida de \(f(x)\) entre 17 y 22. \[\int_{17}^{22} 0.1~dx=\frac{22}{10}-\frac{17}{10}=\frac{5}{10}=0.5\]
Para calcular el percentil 10, calculamos
la ecuación de la integral definida entre 15 (extremo inferior) y ‘a’
(extremo superior) sabiendo que esa integral es igual a 0.1
\[\int_{15}^{a} 0.1~dx=0.1\]
\[\frac{a}{10}-\frac{15}{10}=0.1;a-15=1;
a=16\]
Los tiempos que estan por debajo de 16 segundos están en el percentil 10
La función de distribución para un x entre
15 y 25, viene dada por: \[F(x)=\int_{15}^{x}0.1~dt=\frac{x}{10}-\frac{15}{10}=\frac{x-15}{10}\]
Por lo que
\[
F(x)=\left\{\begin{array}{c}
0, \text{ si } x<15\\ \frac{x-15}{10}, \text{ si } 15\le x\le 25 \\
1, \text{ si } x>25
\end{array}\right.
\] La media viene dada por \(\int_{15}^{25}f(x)*x~dx\): \[\mu=\int_{15}^{25}f(x)*x~dx=
\int_{15}^{25}0.1x~dx=
\frac{25^2}{20}-\frac{15^2}{20}=\frac{400}{20}=20; \mu=20 \]
***
El profesor de estadística tiene que corregir los exámenes. Si está de buen humor, hay un 70% de posibilidades que lo apruebe, y si está de mal humor, baja hasta un 20%. Si tiene que corregir 30 exámenes, calcula:
\[P(x=19) = \left(\begin{array}{r}30\\19\end{array}\right)*0.7^{19}*0.3^{11}=\frac{30!}{11!*19!}*0.7^{19}*0.3^{11}=0.1103 \] O también
dbinom(19,30,0.7)## [1] 0.1103078\[P(x=30)=0.2^{30}=1.07*10^{-21}\] O también
dbinom(30,30,0.2)## [1] 1.073742e-21\[P(x \ge6/x <10)= \frac{P(6\le x \le 9)}{P(x\le9)}= \frac{P(x\le9)-P(x\le5)}{P(x\le9)}=0.5446\] O también
(pbinom(9,30,0.2)-pbinom(5,30,0.2))/pbinom(9,30,0.2)## [1] 0.54467294.El profesor decide poner en práctica lo explicado y ahora va a poner la nota a los alumnos siguiendo una distribución normal de media 6,8 y desviación estándar de 0.4 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de sacar menos de un 5?
\(X\text{~}N(6.8,0.4)\) \[P(X<5)=P(X\le5)=3.398*10^{-6}\] O también
pnorm(5,6.8,0.4)## [1] 3.397673e-06