Probabilidad

En una tienda de juguetes cuando se estrenó “Star Wars: Episodio III - La venganza de los Sith” se vendían tres tipos de figuras de Star Wars de Anakin Skywalker, de Obi-Wan y de Darth Sidious. Se sabe que el 50% de las figuras que se vendían eran de Anakin, el 35% de Obi-Wan y solo el 15% del malvado Darth Sidious. Además, se sabe que el 3% de las figuras de Anakin eran defectuosas, el 5% de Obi-Wan también y el 4% de las de Darth Sidious también lo eran. Para abreviar, llamaremos a las figuras de la siguiente manera: A = La figura de Anakin.
O = La figura de Obi-Wan.
S = La figura de Darth Sidious.
D = La figura defectuosa. Si seleccionamos una figura al azar: 1. ¿Cuál es la posibilidad de que la figura sea defectuosa? P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | O)P(O) + P(D | S)P(S)

 0.03 * 0.50 + 0.05 * 0.35 + 0.04 * 0.15
## [1] 0.0385
  1. Si la figura que ha tocado es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la figura sea de Darth Sidious?

P(S | D) = P(D | S)P(S) / P(D)

 0.04 * 0.15 /  0.0385
## [1] 0.1558442
  1. Si la figura es de Darth Sidious, ¿ cuál es la probabilidad de que no sea defectuosa?

P(¬F | D) = 1 - P(D | S)

1 - 0.04
## [1] 0.96
  1. Si la figura es de cualquiera de los dos Jedi (Anakin u Obi-Wan), ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? P(D | A o O) = [P(D | A) * P(A) + P(D | O) * P(O)] / [P(A) + P(O)]
 (0.03 * 0.50 + 0.05 * 0.35) / (0.50 + 0.35)
## [1] 0.03823529

Es decir, de un 3.8%

Variable aleatoria

Los mandos de la switch sufren de forma exponencial drift, que es un problema de fábrica por el cual dejan de ser utilizables. Este problema lo suelen empezar a manifestar a lo largo de 8 meses. 1. Mi amigo Edu se quiere comprar una switch nueva y quiere que le duren los mandos 6 meses por lo menos. ¿Cuál es la probabilidad? Como la media es µ = 8, el parámetro de distribución exponencial es λ = 1/8 = 0.125. Entonces, la probabilidad es P (X > 6) = e^(-0.125*6) = e^(-0.75) = 0.472367

1 - pexp (6 , 0.125)
## [1] 0.4723666
  1. Edu aún duda entre comprarla o no, por lo que quiere saber si le durarán los mandos 12 meses. ¿Cuál es esa probabilidad? ¿Cuál es la mediana de que los mandos tengan drift? P (X > 12) = e^(-0.125*12) = e^(-1.5) = 0.22313
1 - pexp (12 , 0.125)
## [1] 0.2231302

P (X < m) = 0.5 = P(X > m) = e^(-0.125m) => ln(0.5) = -0.125m => m = ln(0.5)/-0.125 = 5.54518

qexp (0.5 , 0.125)
## [1] 5.545177
  1. Milagrosamente, Edu ha desafiado al destino, y le han durado los mandos 16 meses. ¿Cuál es la probabilidad de que le fallen antes de 8 meses más, qué es cuando le caduca la garantía? P (X < 24 / X > 16) = P (16 < X < 24) / P (X > 16) = P (X < 24) – P (X < 16) / P (X > 16) = (1 - e^(-0.12524)) – (1 - e^(-0.12516))/ e^(-0.125*16) = 0.632121
(pexp(24,0.125)-pexp(16,0.125))/(1-pexp(16,0.125))
## [1] 0.6321206

4 Nuestro amigo Edu no es muy afortunado y le ha aparecido drift en los mandos después de que se le acabase la garantía. Se va a comprar unos nuevos, pero ahora la media de drift ha subido a los 12 meses. ¿Cuál es la probabilidad de que le duren 24 meses? ¿Y la mediana? Como la media es µ = 12, el parámetro de distribución exponencial es λ = 1/12 Entonces la probabilidad de P (X > 24) = 1-(e^(-(1/12)*24)) = 0.1353353

1-pexp(24,1/12)
## [1] 0.1353353

La mediana es cuando P (X < m) = 0.5 = P(X > m) = e^(-(1/12)m) => ln(0.5) = -(1/12)m => m = ln(0.5)/-(1/12) = 8.317766

qexp (0.5,1/12)
## [1] 8.317766

Distribucion de probabilidad

El peso medio de los estudiantes de la UCLM sigue una distribución normal con media de 90kg y desviación típica de 7

  1. Calcula la probabilidad de que un estudiante pese más de 100kg
1 - pnorm(100, 90, 7)
## [1] 0.07656373
  1. Calcular la probabilidad de que el peso de un estudiante esté entre 85 y 95 kilos P(85<x<95)=P(X<95)-P(X>85)
pnorm(95,90,7)-pnorm(85,90,7)
## [1] 0.5249495

3.Calcular un intervalo simétrico al rededor de la media que incluya al 90% de estudiantes

(90-t,90+t) P(90-t <= x <=90+t)=0.90 P(x<=90+t)-P(x<=90-t)=0.90 P(x<=90-t)=1-P(x<=90+t) 2P(P(x<=90+t)-1=0.90 P(x<=90+t)=1,9/2=0.95 90+t=qnorm(0.95,90,7)

t=qnorm(0.95,90,7)-90
90-t;90+t
## [1] 78.48602
## [1] 101.514
  1. Calcular el cuantil 42 P(x<=t)=0.42
qnorm(0.42,90,7)
## [1] 88.58675