Trabajo 1
Daniel Requena Muñoz, Javier Martínez Nieva y Juan Luis López Martínez.
4 de marzo de 2023.
Probabilidad
En una urna hay tres bolas rojas y dos bolas verdes. Se extraen dos bolas al azar, sin reemplazo.
- ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas rojas?
La probabilidad de extraer dos bolas rojas es \(P(RR) = P(R) · P(R|\)no se reemplaza\()\) = \(\frac{3}{5} * \frac{2}{4} = \frac{3}{10} = 0.3\)
- Si la primera bola extraída es verde, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída también sea verde?
La probabilidad condicionada de que la segunda bola sea verde, dado que la primera bola extraída es verde, es \(P(V|V1) = \frac{P(VV)}{P(V1)} = \frac {(1/10)}{(2/5)} = 0.25\), donde V1 es el evento de que la primera bola extraída sea verde.
- ¿Cuál es la probabilidad de extraer al menos una bola verde?
Para calcular la probabilidad de extraer al menos una bola verde, podemos usar la regla de la probabilidad total. Es decir, \(P(V) = 1 - P(V^c) = 1 - P(RR) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} = 0.7\)
- ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea una roja y una verde?
Primero, calculamos la probabilidad de extraer una bola roja en el primer intento: \(P(R) = \frac{3}{5}\)
Ahora, calculamos la probabilidad de extraer una bola verde en el segundo intento, dado que ya hemos extraído una bola roja en el primer intento: \(P(V) = \frac{2}{4}\)
Por lo tanto, \(P(RV) = \frac{3}{5} * \frac{2}{4} = \frac{3}{10} = 0.3\)
Variable aleatoria
Se sabe que en un primer parcial de estadística, la variable aleatoria X representa el número de preguntas contestadas correctamente por un estudiante, con una distribución de probabilidad dada por:
| \(X\) | \(P(X=x)\) |
|---|---|
| 0 | 0.10 |
| 1 | 0.25 |
| 2 | 0.35 |
| 3 | 0.20 |
| 4 | 0.10 |
- ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente exactamente 2 preguntas?
La probabilidad de que el estudiante conteste correctamente exactamente 2 preguntas es \(P(X=2) = 0.35\)
- ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente al menos 3 preguntas?
La probabilidad de que el estudiante conteste correctamente al menos 3 preguntas es la suma de las probabilidades de que conteste correctamente 3 o 4 preguntas: \(P(X\ge3) = P(X=3) + P(X=4) = 0.20 + 0.10 = 0.30\)
- ¿Cuál es la función de distribución de la variable aleatoria X?
La función de distribución acumulada \(F(x)\) de la variable aleatoria X viene dada por \(F(x) = P(X \le x)\)
Para cada valor de x, se suman las probabilidades de los valores de X menores o iguales a x:
| \(X\) | \(P(X\le x)\) |
|---|---|
| 0 | 0.10 |
| 1 | 0.35 |
| 2 | 0.70 |
| 3 | 0.90 |
| 4 | 1.00 |
- ¿Cuál es la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria?
Para ello, tenemos que calcular previamente la media, usando la fórmula \(\sum_{i}^{} xi * P(X=xi)\) y, con r, se puede hacer directamente así:
x <- 0:4
p <- c(0.10, 0.25, 0.35, 0.20, 0.10)
mu <- sum(x * p)
mu## [1] 1.95La varianza:
var <- sum(p * (x - mu)^2)
var## [1] 1.2475Y la desviación típica:
dt <- sqrt(var)
dt## [1] 1.116915Distribuciones de probabilidad
Se sabe que en una tienda de martabak manis, el número promedio de clientes que llegan en un intervalo de 10 minutos es de parámetro 3. La variable aleatoria X representa el número de clientes que llegan en dicho intervalo, con una distribución de probabilidad Poisson.
1.- ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 2 clientes en un intervalo de 10 minutos?
2.- ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 4 clientes en un intervalo de 10 minutos?
3.- ¿Cuál es el número esperado de clientes que llegan en un intervalo de 30 minutos?
4.- ¿Cuál es la desviación estándar del número de clientes que llegan en un intervalo de 10 minutos?
Definimos lambda:
lambda <- 3- \(P(X = 2)\)
dpois(2, lambda)## [1] 0.2240418- \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - ppois(3, 3)\)
1 - ppois(3, 3)## [1] 0.3527681- Ya que el intervalo es de 30 minutos, es decir, 10 * 3, podemos simplemente hacer lambda * 3.
lambda * 3## [1] 94.La desviación típica es la raíz cuadrada de lambda.
sqrt(lambda)## [1] 1.732051
Martabak manis