Teoria del Productor

Miscelaneos

Crecimientos en Intervalos

Dada una función \(y = f(x)\) y un intervalo \(I\) incluido en su dominio - Se dice que \(f\) es estrictamente en \(I\) cuando para cualquier par de de números \(x_1,x_2 \in I\) con \(x_1 < x_2\) se verifica que \(f(x_1) < f(x_2)\). - Se dice que \(f\) es estrictamente decreciente en en \(I\) cuando para cualquier par de números \(x_1,x_2 \in I\) con \(x_1 < x_2\) se verifica que \(f(x_1) > f(x_2)\)

En la gráfica anterior puede observar que:

• \(f(x)\) es estrictamente creciente en el intervalo \([2,3]\)
• \(f(x)\) es estrictamente decreciente en el intervalo \((-4,2]\)
• en cambio, en el intervalo \([-1,1]\) la función no se mantiene siempre creciente ni siempre decreciente.

Teoría del Productor

La producción es el proceso de transformar insumos en producto. La realidad fundamental con la que las empresas deben lidiar en este proceso es la factibilidad técnológica. El estado de la tecnología determina y restringe lo que es posible al combinar insumos para producir productos, y hay varias maneras en que podemos representar esta restricción. La forma más general es pensar en la empresa como si tuviera un conjunto de posibilidades de producción, \(Y \subset \mathbb{R}^m\), donde cada vector \(\textbf{y} = (y_1,. . . , y_m) \in Y\) es un plan de producción cuyos componentes indican las cantidades de las distintas entradas y salidas.

Una convención común es escribir elementos de \(\textbf{y} \in Y\) de modo que \(y_i < 0\) si el recurso \(i\) se agota en el plan de producción, y \(y_i > 0\) si se produce el recurso \(i\) en el plan de producción.

El conjunto de posibilidades de producción es, con mucho, la forma más general de caracterizar la actividad de la empresa, porque permite múltiples entradas y múltiples salidad. A menudo, sin embargo, nosotros queremos considerar empresas que producen un solo producto a partir de muchos insumos.

Por eso, es más conveniente describir la tecnología de la empresa en términos de una función de producción.

Cuando hay un solo producto producido por muchos insumos, denotaremos la cantidad de salida por \(y\), y la cantidad de entrada \(i\) por \(x_i\), de modo que con \(n\) entradas, todo el vector de \(\textbf{x} = (x_1, . . . , x_n)\). Por supuesto, el vector de entrada, así como la cantidad de la salida debe ser no negativa, por lo que requerimos \(\textbf{x}\geq 0\) y \(\textbf{y} \geq 0\).

Una función de producción simplemente describe para cada vector de entradas la cantidad de salida que se puede producir. La función de producción, \(f\), es por lo tanto un mapeo de \(\mathbb{R}_+^n\) en \(\mathbb{R}_+\). Cuando escribimos \(y = f(x)\), queremos decir que \(y\) unidades de producción (y no más) pueden ser producido utilizando el vector de entrada \(\textbf{x}\).

Propiedades de la función de producción

La función de producción, \(f: \mathbb{R}_+^n \longrightarrow \mathbb{R}_+\), es continua, estrictamente creciente, y estrictamente cuasiconcava en \(\mathbb{R}_+^n\), y \(f(\textbf{0}) = 0\).

• La continuidad de \(f\) asegura que pequeños cambios en el vector de entradas conducen a pequeños cambios en el cantidad de producto producido.

• Requerimos que \(f\) sea estrictamente creciente para asegurar que emplear estrictamente más de cada insumo da como resultado estrictamente más producción.

• La cuasiconcavidad estricta de \(f\) se supone en gran parte por razones de simplicidad.

Cuando la función de \(f\) es diferenciable, su derivada parcial \[\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_i}\] es llamado el producto marginal del insumo \(i\) y da la tasa a la cual el producto cambia por unidad adicional de insumo que empleé.

Si \(f\) es estrictamente creciente y en todas partes continuamente diferenciable, entonces \(\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_i} > 0\) para casi todos los vectores de entrada.

Para cualquier nivel fijo de producción, \(y\), el conjunto de vectores de entrada que produce \(y\) unidades de producción se llama isocuanta de nivel \(y\). Entonces, una isocuanta es solo un conjunto de niveles de \(f\). Denotaremos esto establecido por \(Q(y)\). Eso es \[Q(y) = \{\textbf{x}\geq 0 | f(\textbf{x}) = y \}\]

Para un vector de entradas \(\textbf{x}\), la isocuanta a travès de \(\textbf{x}\) es el conjunto de vectores de entrada que producen el mismo resultado que \(x\), \(Q(f(\textbf{x}))\).

Figura 1: Tasa Marginal de sustitución técnica

Un análogo a la tasa marginal de sustitución en la teoría del consumidor es la relación marginal tasa de sustitución técnica (TMST) en la teoría del productor. Esto mide la tasa en que un insumo puede sustituirse por otro sin cambiar la cantidad de producto producido.

Formalmente, la tasa marginal de sustitución técnica del insumo \(j\) por el insumo \(i\) cuando el vector de entrada actual es \(\textbf{x}\), denotado \(TMST_{ij}(\textbf{x})\), se define como la relación de productos marginales.

\[TMST_{ij}(\textbf{x}) = \frac{\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_i}}{\frac{\partial f(\textbf{x})}{\partial x_j}}\]

En el caso de dos entradas, como se nuestra en la Figura 1, \(TMST_{12}(\textbf{x}^1)\) es el valor absoluto de la pendiente de la isocuanta a través de \(\textbf{x}^1\) en el punto \(\textbf{x}^1\).

En general, la TMST entre dos entradas cualesquiera depende de las cantidades de todas las entradas empleadas.

Función de Producción Separable

Sea \(N = {1, . . . , n}\) el conjunto de todas las entradas y suponga que estas entradas se pueden dividir en \(S>1\) subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, \(N_1, . . . , N_s\). La función de producción se llama débilmente separable si la TMST entre dos entradas dentro del mismo grupo es independiente de las entradas utilizadas en otros grupos: \[\frac{\partial (f_i(\textbf{x})/f_j(\textbf{x}))}{\partial x_k} = 0,\hspace{1cm}\forall\hspace{0.1cm}i,j\in N_s\hspace{0.1cm}y\hspace{0.1cm} k\notin N_s\]

donde \(f_i\) y \(f_j\) son los productos marginales de los insumos \(i\) y \(j\). Cuando \(S>2\), la función de producción se llama fuertemente separable si la TMST entre dos entradas de dos grupos cualesquiera, incluso del mismo grupo, es independiente de todas las entradas fuera de esos dos grupos.

\[\frac{\partial (f_i(\textbf{x})/f_j(\textbf{x})}{\partial x_k} = 0,\hspace{1cm}\forall i\in N_s, j \in N_t,\hspace{0.2cm}y\hspace{0.2cm} k \notin N_s \cup N_t\]

La TMST es una medida local de la sustituibilidad entre insumos en la producción de un nivel dado de salida. Los economistas, sin embargo, tienen una predilección por medir tales cosas con elasticidades sin unidades. Aunque existen varias medidas de este tipo, lo más común con diferencia es la elasticidad de sustitución, \(\sigma\).

Elasticidad de sustitución

Para una función de producción \(f(\textbf{x})\), la elasticidad de sustitución del insumo \(j\) por e insumo \(i\) en el punto \(\textbf{x}^0 \in \mathbb{R}_++^n\) es definido como

\[\sigma_{ij}(\textbf{x}^0) = \left(\begin{array}{c}\frac{d \ln(TMST_{ij}(\textbf{x}(r)))}{d \ln r}\left.\begin{array}{c}\end{array}\right|_{r = x_{j}^0/x_i^0}\end{array}\right)^{-1}\] donde \(\textbf{x}(r)\) es el único vector de entradas \(\textbf{x} = (x_1, . . . , x_n)\) tal que:

• \(\frac{x_j}{x_i} = r\)
• \(x_k = x_k^0\), para \(k \neq i,j\)
• \(f(\textbf{x}) = f(\textbf{x}^0)\)

La elasticidad de sustitución \(\sigma_{ij}(\textbf{x}^0)\) es una medida de la curvatura de la isocuanta \(i-j\) a través de \(\textbf{x}^0\) en \(\textbf{x}^0\). cuando la función de producción es cuasiconcava, la elasticidad sustitución nunca puede ser negativa, por lo que \(\sigma_{ij}\geq 0\). En general, cuanto más se acerca a cero, más dificil es sustitución entre las entradas; cuanto más grande es, más fácil es la sustitución entre ellos. Cuando solo hay dos entradas, escribimos escribiremos \(\sigma\) en lugar de \(\sigma_{12}\). Consideremos algunos ejemplos de dos entradas. En la Figura 2 (a), la isocuanta es lineal y existe una perfecta sustituibilidad entre las entradas. Por tanto, \(\sigma\) es infinito. En (c) los dos insumos son productivos solo en proporciones fijas entre sí la sustitución entre ellos es efectivamente imposible, y \(\sigma\) es cero. En (b) hemos ilustrado un caso intermedio donde \(\sigma\) no es ni cero ni infinito, y las isocuantas no son rectas ni ángulos rectos.

En general, cuanto más cerca está \(\sigma\) de cero, más en forma de L tienen las isocuantas y más difícil la sustitución entre entradas; cuanto mayor es \(\sigma\), más planas son las isocuantas y la sustitución más facil.

Figura 2: (a) σ es infinito y hay perfecta sustituibilidad entre las entradas. (b) σ es finito pero mayor que cero, lo que indica una sustitución menos perfecta. (c) σ es cero y no hay posibilidad de sustitución entre insumos

Ejercicio

Estamos familiarizados con la función de utilidad CES de la teoría del consumidor. Tal vez sea hora de que veamos de donde viene este nombre al considerar la función del productor CES, \[y = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho},\hspace{1cm} 0<\rho <1\] Determinaremos:

• \(TMST_{x_1x_2}\)
• La elasticidad de sustitución \(\sigma\)

Rendimientos a Escala y Proporciones Variables

Con frecuencia queremos saber cómo responde la producción a medida que se incrementan las cantidades de diferentes insumos.

• Corto Plazo: En el corto plazo, el período de tiempo en que almenos una entrada es fija, la salida solo puede variar cambiando las cantidades de algunas entradas pero no las de otras.

• Largo Plazo: a largo plazo la empresa es libre de variar todos los insumos y clasificar las funciones de producción por sus rendimientos a escala en una forma de describir como varia la producción.

Específicamente, los rendimientos a escala se refieren a cómo responde la producción cuando todos los insumos se varian en la misma proporción, es decir, cuando toda la escala de operaciones aumenta o disminuye proporcionalmente.

Definición: (Global) Rendimientos a escala

Una función de producción \(f(\textbf{x})\) tiene las siguientes propiedades:

1. Rendimientos a escala constantes si \(f(t\textbf{x}) = tf(\textbf{x})\), para todo \(t>0\) y todo \(\textbf{x}\).
2. Rendimientos a escala crecientes si \(f(t\textbf{x}) > tf(\textbf{x})\), para todo \(t>1\) y todo \(\textbf{x}\).
3. Rendimientos a escala decrecientes si \(f(t\textbf{x}) < tf(\textbf{x})\), para todo \(t>0\) y todo \(\textbf{x}\)

Observe que a partir de estas definiciones globales de rendimientos a escala que una función tiene rendimientos a escala constantes si es una función homogénea lineal (positiva).

(Local) Rendimientos a Escala

La elasticidad de escala en el punto \(\textbf{x}\) se define como \[\mu(\textbf{x}) = \lim_{t\longrightarrow 1} \frac{d \ln[f(t\textbf{x})]}{d\ln(t)} = \frac{\sum_{i=1}^n f_{i}(\textbf{x})x_i}{f(\textbf{x})}\]

Los rendimientos a escala son localmente constantes, crecientes o decrecientes a medida que \(\mu(\textbf{x})\) es igual a, mayor que, o menor de uno. La elasticidad de escala y las elasticidades de salida de los insumos son relacionados de la siguiente manera:

\[\mu(\textbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} \mu_i(\textbf{x})\] Ejemplo

Examinemos una función de producción con rendimientos variables a escala: \[y = k(1 + x_1^{-\alpha}x_2^{-\beta})^{-1}\] donde \(\alpha >0, \beta >0\), y \(k\) es un límite superior en el nivel de producción por lo que \(0\leq y < k\). Determine las elasticidades de salida para cada entrada.