Caso 4 Medidas de dispersion
Ian Medina
2023-03-03
Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
Desarrollo
Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficosDatos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(22041173)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )edades1
Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 58 46 34 45 57 46 47 18 48 38 41 34 28 53 54 43 21 51 59 33 52 41 32 26 46
## [26] 59 42 34 23 26 51 54 53 58 28 24 26 52 55 30 43 54 55 45 30 50 25 42 29 37
## [51] 42 24 39 52 54 47 19 36 54 56 59 46 46 28 35 38 40 57 29 34 60 18 52 18 43
## [76] 51 24 40 58 38 18 34 53 22 32 18 29 60 49 35 18 32 54 18 38 27 52 32 52 58
## [101] 30 57 21 33 51 46 46 28 52 55 46 21 28 59 32 32 28 43 26 41 56 36 36 30 23
## [126] 48 39 38 18 33 45 31 31 27 29 30 30 56 32 47 21 37 27 29 35 24 41 24 56 19
## [151] 57 60 54 22 24 41 50 48 52 39 30 44 39 33 41 33 37 36 56 47 57 20 45 52 19
## [176] 33 36 34 48 46 41 31 53 31 24 24 40 31 22 51 53 20 48 56 41 48 45 43 36 31Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log2(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 2, log2()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 20 0.10 10.0 20 10.0
## [22.57,27.33) 18 0.09 9.0 38 19.0
## [27.33,32.08) 31 0.16 15.5 69 34.5
## [32.08,36.83) 21 0.10 10.5 90 45.0
## [36.83,41.59) 23 0.12 11.5 113 56.5
## [41.59,46.34) 23 0.12 11.5 136 68.0
## [46.34,51.09) 18 0.09 9.0 154 77.0
## [51.09,55.85) 24 0.12 12.0 178 89.0
## [55.85,60.6) 22 0.11 11.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
edades2
Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 17 17 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 22 22 22 23 23 23 24 24 24 24 24
## [26] 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26
## [51] 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [126] 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
## [176] 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 38 39 39 40 43 43Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.245## [1] 29.6Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 58 39.245 18.755 351.750025
## 2 46 39.245 6.755 45.630025
## 3 34 39.245 -5.245 27.510025
## 4 45 39.245 5.755 33.120025
## 5 57 39.245 17.755 315.240025
## 6 46 39.245 6.755 45.630025
## 7 47 39.245 7.755 60.140025
## 8 18 39.245 -21.245 451.350025
## 9 48 39.245 8.755 76.650025
## 10 38 39.245 -1.245 1.550025
## 11 41 39.245 1.755 3.080025
## 12 34 39.245 -5.245 27.510025
## 13 28 39.245 -11.245 126.450025
## 14 53 39.245 13.755 189.200025
## 15 54 39.245 14.755 217.710025
## 16 43 39.245 3.755 14.100025
## 17 21 39.245 -18.245 332.880025
## 18 51 39.245 11.755 138.180025
## 19 59 39.245 19.755 390.260025
## 20 33 39.245 -6.245 39.000025
## 21 52 39.245 12.755 162.690025
## 22 41 39.245 1.755 3.080025
## 23 32 39.245 -7.245 52.490025
## 24 26 39.245 -13.245 175.430025
## 25 46 39.245 6.755 45.630025
## 26 59 39.245 19.755 390.260025
## 27 42 39.245 2.755 7.590025
## 28 34 39.245 -5.245 27.510025
## 29 23 39.245 -16.245 263.900025
## 30 26 39.245 -13.245 175.430025
## 31 51 39.245 11.755 138.180025
## 32 54 39.245 14.755 217.710025
## 33 53 39.245 13.755 189.200025
## 34 58 39.245 18.755 351.750025
## 35 28 39.245 -11.245 126.450025
## 36 24 39.245 -15.245 232.410025
## 37 26 39.245 -13.245 175.430025
## 38 52 39.245 12.755 162.690025
## 39 55 39.245 15.755 248.220025
## 40 30 39.245 -9.245 85.470025
## 41 43 39.245 3.755 14.100025
## 42 54 39.245 14.755 217.710025
## 43 55 39.245 15.755 248.220025
## 44 45 39.245 5.755 33.120025
## 45 30 39.245 -9.245 85.470025
## 46 50 39.245 10.755 115.670025
## 47 25 39.245 -14.245 202.920025
## 48 42 39.245 2.755 7.590025
## 49 29 39.245 -10.245 104.960025
## 50 37 39.245 -2.245 5.040025
## 51 42 39.245 2.755 7.590025
## 52 24 39.245 -15.245 232.410025
## 53 39 39.245 -0.245 0.060025
## 54 52 39.245 12.755 162.690025
## 55 54 39.245 14.755 217.710025
## 56 47 39.245 7.755 60.140025
## 57 19 39.245 -20.245 409.860025
## 58 36 39.245 -3.245 10.530025
## 59 54 39.245 14.755 217.710025
## 60 56 39.245 16.755 280.730025
## 61 59 39.245 19.755 390.260025
## 62 46 39.245 6.755 45.630025
## 63 46 39.245 6.755 45.630025
## 64 28 39.245 -11.245 126.450025
## 65 35 39.245 -4.245 18.020025
## 66 38 39.245 -1.245 1.550025
## 67 40 39.245 0.755 0.570025
## 68 57 39.245 17.755 315.240025
## 69 29 39.245 -10.245 104.960025
## 70 34 39.245 -5.245 27.510025
## 71 60 39.245 20.755 430.770025
## 72 18 39.245 -21.245 451.350025
## 73 52 39.245 12.755 162.690025
## 74 18 39.245 -21.245 451.350025
## 75 43 39.245 3.755 14.100025
## 76 51 39.245 11.755 138.180025
## 77 24 39.245 -15.245 232.410025
## 78 40 39.245 0.755 0.570025
## 79 58 39.245 18.755 351.750025
## 80 38 39.245 -1.245 1.550025
## 81 18 39.245 -21.245 451.350025
## 82 34 39.245 -5.245 27.510025
## 83 53 39.245 13.755 189.200025
## 84 22 39.245 -17.245 297.390025
## 85 32 39.245 -7.245 52.490025
## 86 18 39.245 -21.245 451.350025
## 87 29 39.245 -10.245 104.960025
## 88 60 39.245 20.755 430.770025
## 89 49 39.245 9.755 95.160025
## 90 35 39.245 -4.245 18.020025
## 91 18 39.245 -21.245 451.350025
## 92 32 39.245 -7.245 52.490025
## 93 54 39.245 14.755 217.710025
## 94 18 39.245 -21.245 451.350025
## 95 38 39.245 -1.245 1.550025
## 96 27 39.245 -12.245 149.940025
## 97 52 39.245 12.755 162.690025
## 98 32 39.245 -7.245 52.490025
## 99 52 39.245 12.755 162.690025
## 100 58 39.245 18.755 351.750025
## 101 30 39.245 -9.245 85.470025
## 102 57 39.245 17.755 315.240025
## 103 21 39.245 -18.245 332.880025
## 104 33 39.245 -6.245 39.000025
## 105 51 39.245 11.755 138.180025
## 106 46 39.245 6.755 45.630025
## 107 46 39.245 6.755 45.630025
## 108 28 39.245 -11.245 126.450025
## 109 52 39.245 12.755 162.690025
## 110 55 39.245 15.755 248.220025
## 111 46 39.245 6.755 45.630025
## 112 21 39.245 -18.245 332.880025
## 113 28 39.245 -11.245 126.450025
## 114 59 39.245 19.755 390.260025
## 115 32 39.245 -7.245 52.490025
## 116 32 39.245 -7.245 52.490025
## 117 28 39.245 -11.245 126.450025
## 118 43 39.245 3.755 14.100025
## 119 26 39.245 -13.245 175.430025
## 120 41 39.245 1.755 3.080025
## 121 56 39.245 16.755 280.730025
## 122 36 39.245 -3.245 10.530025
## 123 36 39.245 -3.245 10.530025
## 124 30 39.245 -9.245 85.470025
## 125 23 39.245 -16.245 263.900025
## 126 48 39.245 8.755 76.650025
## 127 39 39.245 -0.245 0.060025
## 128 38 39.245 -1.245 1.550025
## 129 18 39.245 -21.245 451.350025
## 130 33 39.245 -6.245 39.000025
## 131 45 39.245 5.755 33.120025
## 132 31 39.245 -8.245 67.980025
## 133 31 39.245 -8.245 67.980025
## 134 27 39.245 -12.245 149.940025
## 135 29 39.245 -10.245 104.960025
## 136 30 39.245 -9.245 85.470025
## 137 30 39.245 -9.245 85.470025
## 138 56 39.245 16.755 280.730025
## 139 32 39.245 -7.245 52.490025
## 140 47 39.245 7.755 60.140025
## 141 21 39.245 -18.245 332.880025
## 142 37 39.245 -2.245 5.040025
## 143 27 39.245 -12.245 149.940025
## 144 29 39.245 -10.245 104.960025
## 145 35 39.245 -4.245 18.020025
## 146 24 39.245 -15.245 232.410025
## 147 41 39.245 1.755 3.080025
## 148 24 39.245 -15.245 232.410025
## 149 56 39.245 16.755 280.730025
## 150 19 39.245 -20.245 409.860025
## 151 57 39.245 17.755 315.240025
## 152 60 39.245 20.755 430.770025
## 153 54 39.245 14.755 217.710025
## 154 22 39.245 -17.245 297.390025
## 155 24 39.245 -15.245 232.410025
## 156 41 39.245 1.755 3.080025
## 157 50 39.245 10.755 115.670025
## 158 48 39.245 8.755 76.650025
## 159 52 39.245 12.755 162.690025
## 160 39 39.245 -0.245 0.060025
## 161 30 39.245 -9.245 85.470025
## 162 44 39.245 4.755 22.610025
## 163 39 39.245 -0.245 0.060025
## 164 33 39.245 -6.245 39.000025
## 165 41 39.245 1.755 3.080025
## 166 33 39.245 -6.245 39.000025
## 167 37 39.245 -2.245 5.040025
## 168 36 39.245 -3.245 10.530025
## 169 56 39.245 16.755 280.730025
## 170 47 39.245 7.755 60.140025
## 171 57 39.245 17.755 315.240025
## 172 20 39.245 -19.245 370.370025
## 173 45 39.245 5.755 33.120025
## 174 52 39.245 12.755 162.690025
## 175 19 39.245 -20.245 409.860025
## 176 33 39.245 -6.245 39.000025
## 177 36 39.245 -3.245 10.530025
## 178 34 39.245 -5.245 27.510025
## 179 48 39.245 8.755 76.650025
## 180 46 39.245 6.755 45.630025
## 181 41 39.245 1.755 3.080025
## 182 31 39.245 -8.245 67.980025
## 183 53 39.245 13.755 189.200025
## 184 31 39.245 -8.245 67.980025
## 185 24 39.245 -15.245 232.410025
## 186 24 39.245 -15.245 232.410025
## 187 40 39.245 0.755 0.570025
## 188 31 39.245 -8.245 67.980025
## 189 22 39.245 -17.245 297.390025
## 190 51 39.245 11.755 138.180025
## 191 53 39.245 13.755 189.200025
## 192 20 39.245 -19.245 370.370025
## 193 48 39.245 8.755 76.650025
## 194 56 39.245 16.755 280.730025
## 195 41 39.245 1.755 3.080025
## 196 48 39.245 8.755 76.650025
## 197 45 39.245 5.755 33.120025
## 198 43 39.245 3.755 14.100025
## 199 36 39.245 -3.245 10.530025
## 200 31 39.245 -8.245 67.980025Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 29378.99varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 147.6331Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 147.6331## [1] 25.41709desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.15044## [1] 5.041536Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3096047CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1703222Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 15.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 39.245, la desviación es de: 12.1504379.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.6, la desviación es de: 5.041536.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3096047y el CV de edades2 es de: 0.1703222
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.