1 Objetivo

Realizar operaciones de conjunto y con el resultado estimar e interpretar probabilidades.

2 Descripción

  • Se cargan las librerías necesarias para ejecutar funciones

  • Generar conjuntos de datos

  • Construir todo el espacio muestral llamado S.muestra

  • Realizar operaciones de conjuntos

  • Estimar probabilidades con los conjuntos.

  • Interpretar probabilidades

3 Marco teórico

3.1 Operación Union U.

El conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B, se llama la unión de A y B y se escribe A ∪ B.

En la unión si hay elementos repetidos sólo se deja uno de ellos.

3.2 Operación intersección ∩

El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B se llama la intersección de A y B y se escribe A ∩ B.

3.3 Operación diferencia -

El conjunto que consiste en todos los elementos de A que no pertenecen a B se llama la diferencia de A y B y se escribe A – B.

3.4 Operación complemento [C ó ´]

Son todos los conjuntos con los elementos que no están en A y se escribe A’ ó C A. Son todos los elementos que faltan y que no están en A para complementar todo el espacio muestral.

4 Desarrollo

Cargar librerías

# install.packages("dplyr")
library(dplyr)

Crear vectores en R con los conjuntos de datos de nombres de personas que participan en actividades deportivas y culturales.

Los vectores en R, representan los conjuntos, luego, se hacen operaciones sobre los mismos, finalmente se determina probabilidades que representan probabilidades de acuerdo a los resultados de las operaciones con los conjuntos.

  • B Basquetbol

  • F Futbol

  • K Karate

  • D Danza

  • R Rondalla

B <- c("Hugo", "Paty", "Paco", "Luis","Linda","Miguel","Paola","Noora","German")
F <- c("Guadalupe", "Luis", "Javier", "Marco", "Aurelio","Linda","Paola","Noora","Fernando")
K <- c("Marco", "Mary", "Lucy","Miguel","German")
D <- c("Lucy", "Mary","Paola","Fernando","Noora","German")
R <- c("Linda","Miguel","Paola","Noora","German","Fernando","Pedro")
# Ejemplo de nuevos conjuntos ....
# B <- c("Hugo", "Paty", "Paco", "Luis", "Javier", "Rubén", "Carlos", "Lola", "Lidia")
# F <- c("Guadalupe", "Luis", "Javier", "Marco", "Aurelio", "Carlos", "Lola", "Luisa", "Andrea", "Mayra")
# K <- c("Marco", "Mary", "Lucy", "Lola", "Rubén", "Aurelio")
# D <- c("Lucy", "Mary", "Carlos", "Marco", "Andrea", "Mayra")
# R <- c("Carlos", "Lola", "José", "Ernesto", "Andrea", "Sergio", "Lucy", "Luis")

Mostrar los vectores a manera de conjuntos

B
## [1] "Hugo"   "Paty"   "Paco"   "Luis"   "Linda"  "Miguel" "Paola"  "Noora" 
## [9] "German"
F
## [1] "Guadalupe" "Luis"      "Javier"    "Marco"     "Aurelio"   "Linda"    
## [7] "Paola"     "Noora"     "Fernando"
K
## [1] "Marco"  "Mary"   "Lucy"   "Miguel" "German"
D
## [1] "Lucy"     "Mary"     "Paola"    "Fernando" "Noora"    "German"
R 
## [1] "Linda"    "Miguel"   "Paola"    "Noora"    "German"   "Fernando" "Pedro"

4.1 Construir el espacio muestral

Con todos los elementos de todos los conjuntos determinar el espacio muestral. Con la función unique() se eliminan los repetidos y con la función c() de concatenar se integran todos los nombres a un solo conjunto de datos.

S.muestral <- unique(c(B, F, K, D))
S.muestral
##  [1] "Hugo"      "Paty"      "Paco"      "Luis"      "Linda"     "Miguel"   
##  [7] "Paola"     "Noora"     "German"    "Guadalupe" "Javier"    "Marco"    
## [13] "Aurelio"   "Fernando"  "Mary"      "Lucy"
N <- length(S.muestral)
N
## [1] 16

4.2 Unión entre conjuntos

La unión entre conjuntos se representa por la literal U.

4.2.1 Union Basquetbol y Karate

BUK <- union(B, K)
BUK
##  [1] "Hugo"   "Paty"   "Paco"   "Luis"   "Linda"  "Miguel" "Paola"  "Noora" 
##  [9] "German" "Marco"  "Mary"   "Lucy"

BUK es a unión de los conjuntos Basquetbol con Karate y n es la cantidad de eventos de ese conjunto resultante.

n <- length(BUK)
n
## [1] 12

Determinando la probabilidad de BUK.

P.BUK <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de BUK, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  12  elementos de BUK,   lo que representa la probabilidad de  75 %"

4.2.2 Karate union con Danza

KUD es la unión de Karate con Danza y n es la cantidad de eventos de ese conjunto

KUD <- union(K, D)
n <- length(KUD)
n
## [1] 8

Determinando la probabilidad

P.KUD <- n/N
paste("Existen ", n,  " elementos de KUD, ", " lo que representa la probabilidad de ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  8  elementos de KUD,   lo que representa la probabilidad de  50 %"

4.3 Intersección entre conjuntos

La intersección entre conjuntos representa por el símbolo matemático ∩ y con la letra I de instersección.

4.3.1 Intersección de Basquetbol con Futbol

¿Cuáles y cuántas personas juegan Basquetbol y Futbol y que probabilidad representan?

BIF <- intersect(B, F)
BIF
## [1] "Luis"  "Linda" "Paola" "Noora"
n <- length(BIF)
n
## [1] 4

Determinando la probabilidad del conjunto BIF

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  4  personas que juegan Basquetbl y Futbol, de un total de  16  lo que representa el  25 %"

4.3.2 Intersección de Karate con Danza

¿Cuáles y cuántas personas practican Krate y Danza y que probabilidad representan?

KID <- intersect(K, D)
KID
## [1] "Mary"   "Lucy"   "German"
n <- length(KID)
n
## [1] 3

Determinando la probabilidad del conjunto KID

paste ("Hay ", n, " personas que juegan Karate y Danza, de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  3  personas que juegan Karate y Danza, de un total de  16  lo que representa el  18.75 %"

4.4 Diferencia entre conjuntos

La operación de diferencia se representa matemáticamente con el símbolo de “-” y en código de R se usarán la frase símbolo “dif” como parte de la variable.

4.4.1 Basquetbol menos Futbol

BdifF <- setdiff(B, F)
BdifF
## [1] "Hugo"   "Paty"   "Paco"   "Miguel" "German"
n <- length(BdifF)
n
## [1] 5

Determinando la probabilidad del conjunto BdifF

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  5  personas están en Basquetbol y que no están en Futbol de un total de  16  lo que representa el  31.25 %"

4.4.2 Basquetbol menos Karate

BdifK <- setdiff(B, K)
BdifK
## [1] "Hugo"  "Paty"  "Paco"  "Luis"  "Linda" "Paola" "Noora"
n <- length(BdifK)
n
## [1] 7

Determinando la probabilidad del conjunto BdifK

paste ("Hay ", n, " personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de ", N, " lo que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "Hay  7  personas están en Basquetbol y que no están en Karate de un total de  16  lo que representa el  43.75 %"

4.5 Complemento entre conjuntos

Significa determinar los elementos que no están en un conjunto para complementar otro conjunto o de todo el espacio muestral.

En R se rerpesentará con la letra C

4.5.1 Completo de Basquetbol

Todos los que no están en Basquetbol CB. Para encontrar el complemento se reutiliza la función setdiff() que en realidad encuentra aquellos que no están en otro subconjunto.

CB <- setdiff(S.muestral, B)
CB
## [1] "Guadalupe" "Javier"    "Marco"     "Aurelio"   "Fernando"  "Mary"     
## [7] "Lucy"
n <- length(CB)
n
## [1] 7
paste ("El complemento de Basquetbol tiene", n , " elementos que representan ", round(n/N * 100, 2), "%")
## [1] "El complemento de Basquetbol tiene 7  elementos que representan  43.75 %"

La probabilidad de complemento de un conjunto es restar su probabilidad a 1:

\[ Complemento.Basquetbol = 1 - P(Basquetbol) \]

paste("Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol)", 1 - length(B) / N, " representando el ", (1 - length(B) / N) * 100, "%") 
## [1] "Matemáticamente de acuerdo a fórmula de complemento es lo mismo que 1-P(Basquetbol) 0.4375  representando el  43.75 %"

5 Interpretación

5.1 ¿Qué representa cada operación de las vistas en el caso?

La operación Union nos permite unir diferentes conjuntos para así formar uno el cual contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan.

La operación Intersección nos permite formar un conjunto pero solo con los elementos comunes involucrados en la operación.

La operación Diferencia hace crear un nuevo conjunto, este nuevo conjunto es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo.

La operación Complemento permite crear un conjunto con todos los elementos del conjunto universal, que no estan en el conjunto.

5.2 ¿Para qué usar operaciones de conjuntos en términos de probabilidad?

Para identificar con el resultado de las operaciones la cantidad de sucesos o eventos que existe y con ello poder determinar en razón de la cantidad total del espacio muestral su probabilidad, asi tomando decisiones a raiz de los resultados e información obtenidos. \(\frac{n}{N}\)

5.3 Qué es mas probable:

5.3.1 ¿Que exista una persona que participe en Karate o Fútbol (union) o que exista una persona de la diferencia entre Fútbol menos Danza?.

Se tiene que determinar ambas probabilidades y aquella que sea mayor es la respuesta

n <- length(union(K, F)) 
PKUF <- n/N
PKUF
## [1] 0.8125
n <- length(setdiff(F, D))
PFdifD<- n/N
PFdifD
## [1] 0.375
paste("Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza.") 
## [1] "Es mas probable que haya una persona que participe en Karate o Futbol que una persona que participe en Futbol y no esté en Danza."

5.3.2 ¿Que existe una persona en el complemento de Danza o que exista una persona en la unión de Danza y Karate?

Complemento de Danza.

n <- length(union(D, K))
DUK <- n/N
DUK
## [1] 0.5

Union de Danza y Karate.

CD <- setdiff(S.muestral, D)
n <- length(CD)
PCD <- n/N
PCD
## [1] 0.625
paste("Es mas probable que exista una persona en la union de Danza y Karate que una persona en el complemento de danza.")
## [1] "Es mas probable que exista una persona en la union de Danza y Karate que una persona en el complemento de danza."

5.3.3 ¿Existe probabilidad de que hay personas que practiquen Basquetbol y Karate?, de cuánto?

Probabilidad de que halla personas que practiquen Basquetbol.

n <- length(union(B, K))
BUK <- n/N
BUK
## [1] 0.75
paste("Existe una probabilidad del 75% de que practiquen Basquetbol y Karate.")
## [1] "Existe una probabilidad del 75% de que practiquen Basquetbol y Karate."

5.3.4 ¿Cuántos y cuál es la probabilidad de personas que practiquen Rondalla y Danza?

Probabilidad de personas que practiquen Rondalla y Danza.

n <- length(union(R, D))
RUD <- n/N
n
## [1] 9
RUD
## [1] 0.5625
paste("Son 9 personas las que practican Rondalla y Danza, asi dandonos un pocentaje del 56%")
## [1] "Son 9 personas las que practican Rondalla y Danza, asi dandonos un pocentaje del 56%"

5.3.5 ¿Qué es más probable: personas que practiquen Danza y Rondalla o Basquetbol y Karate y Danza?

Probabilidad de Danza y Rondalla.

n <- length(union(D, R))
DUR <- n/N
DUR
## [1] 0.5625

Probabilidad de Basquetbol y Karate y Danza.

n <- length(union(B, D))
x <- length(union(n,K))
BUKUD<- x/N
BUKUD
## [1] 0.375
paste("Hay mas probabilidad que haya personas que practiquen Danza y Rondalla que personas que practiquen Basquetbol, Karate y Danza.")
## [1] "Hay mas probabilidad que haya personas que practiquen Danza y Rondalla que personas que practiquen Basquetbol, Karate y Danza."