Exercício 1

Sejam \(X_1,X_2,...,X_n\) uma amostra aleatória de \(X\), com função de desnsidade de probabilidade dada por: \[ f(x|\theta) = \theta e^{-\theta x} , x> 0 \] Considerando \(y = min(X_1,X_2,...,X_n)\) mostre que \(y \sim exp(n\theta)\)

Resolução

\[ F_x(x) = \int_0^x \theta e^{-\theta t }dt = -e^{-\theta t} |_0^x \] \[ = -e^{-\theta x}+ e^{-\theta 0} \] \[ = 1- e^{-\theta x} \] Portanto, temos: \[ 1-F_x(y) = 1-(1-e^{-\theta y}) = 1-1+e^{-\theta y} = e^{-\theta y} , y>0 \] Logo: \[ F_y(y) = 1-[e^{-\theta y}]^n = 1-e^{-n \theta y} \] \[ f_y(y) = \frac{dF_y(y)}{dy} = -(-n \theta)e^{n \theta y}= n\theta e^{-n \theta y} , y > 0 \] Então : \[ y \sim exp(n\theta) \]

Exercício 2

Teorema

Seja \(X_1,X_2,...,X_n\) uma amostra aleatória de \(x\) com f.d.p \(f(x|\theta)\). Então o valor esperado do r-ésimo momento amostral de \(x\) é igual o r-ésimo momento amostral populacional, isto é, \(E(m´r) = M´r\) e também a variância do r-ésimo momento amostral é dado por : \[ VAR(m´r) = \frac{E(x^{2r})-[E(x^k)]^2}{n} = \frac{m´2r-(m´r)^2}{n} \] DEMONSTRANDO O TEOREMA
O Valor esperado do r-ésimo momento amostral é dado por:
\[ E(m´r) = E(1/n)\sum X_i^r \] Sabemos que o r-ésimo momento populacional é dado por: \[ M´r = E(x^r) \]

Então temos : \[ E(m´r) = (1/n)\sum E(X_i^r) = (1/n)\sum M´r= M´r \]

Portanto, o valor esperado do r-ésimo momento amostral é igual ao r-ésimo momento populacional.

VARIÂNCIA :

A Variância do r-ésimo momento amostral é dada por: \[ VAR(m´r) = VAR(1/n)\sum X_i^r \] Pela propriedade de variâcia de uma soma de variáveis aleatórias independentes e com a mesma distribuição, temos: \[ VAR(m´r) = (1/n^2)\sum VAR(X_i^r) \] Sabemos que a variância de r-ésimo momento populacional é dada por : \[ VAR(X´r) = E(X^{2r}) - [E(X^r)]^2 \] Então temos: \[ E(X_i^{2r}) - [E(X_i^r)]^2 = m´2r - (m´r)^2 \] Substituindo na equação anterior, temos: \[ VAR(m´r) = (1/n^2)\sum(m´2r-(m´r)^2) \] Simplificando: \[ VAR(m´r) = (1/n^2)[n \cdot m´2r-n \cdot (m´r)^2] \] \[ VAR(m´r) = \frac{(m´2r - (m´r)^2)}{n} \] Portanto, a variância do r-ésimo momento amostral é dada por: \[ VAR(m´r) = \frac{m´2r-(m´r)^2}{n} \]