Caso 09 Teoría de Probabilidad
Aldo Javier Mayorquin Galindo
2023-02-27
Objetivo
Desarrollar ejercicios para encontrar la probabilidad de eventos de un espacio muestral.
Descripción
Construir ejercicios de probabilidad conforme a partir de datos conforme la teoría de probabilidad.
A partir de un conjunto de datos generados estimar y determinar las probabilidades.
Marco teórico
Para cuando los espacios muestrales tienen un espacio finito o un número de elementos finito, la probabilidad de ocurrencia de un evento que resulta de tal experimento estadístico se evalúa utilizando un conjunto de números reales denominados pesos o probabilidades, que van de 0 a 1.[@walpole2012].
Para todo punto en el espacio muestral se asigna una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es 1. [@walpole2012].
Si se tiene certeza para creer que al llevar a cabo el experimento es bastante probable que ocurra cierto punto muestral, le tendríamos que asignar a éste una probabilidad cercana a uno. Por el contrario, si se cree que no hay probabilidades de que ocurra cierto punto muestral, se tendría que asignar a éste una probabilidad cercana a cero.
En un espacio muestral en donde todos los puntos muestrales tienen la misma oportunidad de ocurrencia, por lo tanto, se les asignan probabilidades iguales.
A los puntos fuera del espacio muestral, es decir, a los eventos simples que no tienen posibilidades de ocurrir, se les asigna una probabilidad de cero.
Entonces: La probabilidad de un evento A debe estar entre cero y uno
\[ 0 \le P(A) \le 1 \]
La probabilidad de todo el espacio muestral S debe ser uno \[ P(S) = 1 \]
La probabilidad de que no ocurra un evento es cero
\[ p(\phi) = 0 \]
Ejemplo: lanzar un dado. La probabilidad de que caiga un 1, un 2, un 3 un 4 un 5 un 6 es la misma para cada elemento. Siendo S el espacio muestral, cual es la probabilidad de que al lanzar un dado a una mesa, el valor del mismo cara arriba sea un 5?, y ¿cuál es la probabilidad de que sea un 7?
¿Cuántas veces está el 5 en el espacio muestral S?. Una sola vez.
¿Cuántas veces está el 7 en el espacio muestral S?. Ninguna
Entonces dividir el número de ocurrencias del 5 entre el número total de elementos N.
\[ prob = \frac{n}{N} \]
En términos porcentuales sería:
\[ prob = \frac{n}{N} \times 100 \]
dado <- c(1,2,3,4,5,6)
N <- length(dado)
# N
filtro <- subset(dado, dado == 5)
filtro## [1] 5n <- length(filtro)
# n
paste("La probabilidad de que al lanzar el dado sea cinco es : ", n , " de entre", N , " elementos que existen en el espacio muestral. Representa: ", round(n/N * 100,2), "%")## [1] "La probabilidad de que al lanzar el dado sea cinco es : 1 de entre 6 elementos que existen en el espacio muestral. Representa: 16.67 %"Desarrollo
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library(gtools) # Comnaciones ypermutaciones
library(dplyr) # Procesar datos mutate, select ...
library(fdth) # Tablas de frecuenciasEjercicios
Lanzar dos dados:
¿Que probabilidad existe de que al lanzar los dos dados de que salga 10 la suma de los valores de los dos dados?.
Crear el espacio muestral de los dados
A partir de un vector dado del 1 al 6 que son los valores del dado generar permutaciones en donde se puedan repetir los valores del dado.
Poner nombre con la función names() nombres de columnas al conjunto de datos lanzar_dados.
Con la función cbind() se agrega una columna al conjunto de datos.
Con apply() se hace la suma de cada renglón del conjunto de datos lanzar_dados.
dado <- c(1,2,3,4,5,6)
lanzar_dados <- data.frame(permutations(n=6, r = 2, v = dado, repeats.allowed = TRUE))
names(lanzar_dados) <- c("dado1", "dado2")
lanzar_dados <- cbind(lanzar_dados, suma = apply(X = lanzar_dados, MARGIN = 1, FUN = sum))
lanzar_dados## dado1 dado2 suma
## 1 1 1 2
## 2 1 2 3
## 3 1 3 4
## 4 1 4 5
## 5 1 5 6
## 6 1 6 7
## 7 2 1 3
## 8 2 2 4
## 9 2 3 5
## 10 2 4 6
## 11 2 5 7
## 12 2 6 8
## 13 3 1 4
## 14 3 2 5
## 15 3 3 6
## 16 3 4 7
## 17 3 5 8
## 18 3 6 9
## 19 4 1 5
## 20 4 2 6
## 21 4 3 7
## 22 4 4 8
## 23 4 5 9
## 24 4 6 10
## 25 5 1 6
## 26 5 2 7
## 27 5 3 8
## 28 5 4 9
## 29 5 5 10
## 30 5 6 11
## 31 6 1 7
## 32 6 2 8
## 33 6 3 9
## 34 6 4 10
## 35 6 5 11
## 36 6 6 12Probabilidad de dos dados
Encontrar en cuantas ocasiones la suma de los dos dados es diez, se hace con la función subset()
sumados <- 10 # Puede ser cualquier valor
N <- nrow(lanzar_dados) # Cantidad de obervaciones
filtro <- subset(lanzar_dados, suma == sumados)
filtro## dado1 dado2 suma
## 24 4 6 10
## 29 5 5 10
## 34 6 4 10n <- nrow(filtro) # Cantidad de eventos que cumplen una condición
n## [1] 3paste("Existen ", n, " alternativas de que la suma de lanzamiento de dos dados sea ", sumados, " de un total de ",N, " lo que representa ", round(n/N * 100,2), "%", "probable ")## [1] "Existen 3 alternativas de que la suma de lanzamiento de dos dados sea 10 de un total de 36 lo que representa 8.33 % probable "Juego de Black Jack
Se reparten dos barajas de tipo inglesa y el jugador debe sumar los valores numéricos de las dos barajas.
La pregunta es: ¿qué probabilidad existe de que al recibir dos cartas de una baraja de 52 cartas modalidad inglesa la suma de las dos cartas sea 20?
El As vale 1 punto
Los valores numérico valen lo que indica la carta
Los monos (J, Q y K ) valen 10 puntos
Simular las cartas …
Reutilizar código que existe en “https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/main/funciones/misfunciones.R”
# source("funciones/mis.funciones.r")
source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/misfunciones.R")Espacio muestral sin sumas
El espacio muestral de todas las cartas almacenada en una variable llamada S.casos.
S.casos <- data.frame(permutations(13,2,baraja, repeats.allowed = TRUE))
names(S.casos) <- c("C1", "C2")
S.casos## C1 C2
## 1 10 10
## 2 10 2
## 3 10 3
## 4 10 4
## 5 10 5
## 6 10 6
## 7 10 7
## 8 10 8
## 9 10 9
## 10 10 A
## 11 10 J
## 12 10 K
## 13 10 Q
## 14 2 10
## 15 2 2
## 16 2 3
## 17 2 4
## 18 2 5
## 19 2 6
## 20 2 7
## 21 2 8
## 22 2 9
## 23 2 A
## 24 2 J
## 25 2 K
## 26 2 Q
## 27 3 10
## 28 3 2
## 29 3 3
## 30 3 4
## 31 3 5
## 32 3 6
## 33 3 7
## 34 3 8
## 35 3 9
## 36 3 A
## 37 3 J
## 38 3 K
## 39 3 Q
## 40 4 10
## 41 4 2
## 42 4 3
## 43 4 4
## 44 4 5
## 45 4 6
## 46 4 7
## 47 4 8
## 48 4 9
## 49 4 A
## 50 4 J
## 51 4 K
## 52 4 Q
## 53 5 10
## 54 5 2
## 55 5 3
## 56 5 4
## 57 5 5
## 58 5 6
## 59 5 7
## 60 5 8
## 61 5 9
## 62 5 A
## 63 5 J
## 64 5 K
## 65 5 Q
## 66 6 10
## 67 6 2
## 68 6 3
## 69 6 4
## 70 6 5
## 71 6 6
## 72 6 7
## 73 6 8
## 74 6 9
## 75 6 A
## 76 6 J
## 77 6 K
## 78 6 Q
## 79 7 10
## 80 7 2
## 81 7 3
## 82 7 4
## 83 7 5
## 84 7 6
## 85 7 7
## 86 7 8
## 87 7 9
## 88 7 A
## 89 7 J
## 90 7 K
## 91 7 Q
## 92 8 10
## 93 8 2
## 94 8 3
## 95 8 4
## 96 8 5
## 97 8 6
## 98 8 7
## 99 8 8
## 100 8 9
## 101 8 A
## 102 8 J
## 103 8 K
## 104 8 Q
## 105 9 10
## 106 9 2
## 107 9 3
## 108 9 4
## 109 9 5
## 110 9 6
## 111 9 7
## 112 9 8
## 113 9 9
## 114 9 A
## 115 9 J
## 116 9 K
## 117 9 Q
## 118 A 10
## 119 A 2
## 120 A 3
## 121 A 4
## 122 A 5
## 123 A 6
## 124 A 7
## 125 A 8
## 126 A 9
## 127 A A
## 128 A J
## 129 A K
## 130 A Q
## 131 J 10
## 132 J 2
## 133 J 3
## 134 J 4
## 135 J 5
## 136 J 6
## 137 J 7
## 138 J 8
## 139 J 9
## 140 J A
## 141 J J
## 142 J K
## 143 J Q
## 144 K 10
## 145 K 2
## 146 K 3
## 147 K 4
## 148 K 5
## 149 K 6
## 150 K 7
## 151 K 8
## 152 K 9
## 153 K A
## 154 K J
## 155 K K
## 156 K Q
## 157 Q 10
## 158 Q 2
## 159 Q 3
## 160 Q 4
## 161 Q 5
## 162 Q 6
## 163 Q 7
## 164 Q 8
## 165 Q 9
## 166 Q A
## 167 Q J
## 168 Q K
## 169 Q QTotal de casos del espacio muestral:
N <- nrow(S.casos) # El número de opciones
N ## [1] 169Espacio muestral con sumas
Determinar columna para suma de las dos cartas
S.casos <- f.sumar.cartas(S.casos)
S.casos## C1 C2 valor1 valor2 suma
## 1 10 10 10 10 20
## 2 10 2 10 2 12
## 3 10 3 10 3 13
## 4 10 4 10 4 14
## 5 10 5 10 5 15
## 6 10 6 10 6 16
## 7 10 7 10 7 17
## 8 10 8 10 8 18
## 9 10 9 10 9 19
## 10 10 A 10 1 11
## 11 10 J 10 10 20
## 12 10 K 10 10 20
## 13 10 Q 10 10 20
## 14 2 10 2 10 12
## 15 2 2 2 2 4
## 16 2 3 2 3 5
## 17 2 4 2 4 6
## 18 2 5 2 5 7
## 19 2 6 2 6 8
## 20 2 7 2 7 9
## 21 2 8 2 8 10
## 22 2 9 2 9 11
## 23 2 A 2 1 3
## 24 2 J 2 10 12
## 25 2 K 2 10 12
## 26 2 Q 2 10 12
## 27 3 10 3 10 13
## 28 3 2 3 2 5
## 29 3 3 3 3 6
## 30 3 4 3 4 7
## 31 3 5 3 5 8
## 32 3 6 3 6 9
## 33 3 7 3 7 10
## 34 3 8 3 8 11
## 35 3 9 3 9 12
## 36 3 A 3 1 4
## 37 3 J 3 10 13
## 38 3 K 3 10 13
## 39 3 Q 3 10 13
## 40 4 10 4 10 14
## 41 4 2 4 2 6
## 42 4 3 4 3 7
## 43 4 4 4 4 8
## 44 4 5 4 5 9
## 45 4 6 4 6 10
## 46 4 7 4 7 11
## 47 4 8 4 8 12
## 48 4 9 4 9 13
## 49 4 A 4 1 5
## 50 4 J 4 10 14
## 51 4 K 4 10 14
## 52 4 Q 4 10 14
## 53 5 10 5 10 15
## 54 5 2 5 2 7
## 55 5 3 5 3 8
## 56 5 4 5 4 9
## 57 5 5 5 5 10
## 58 5 6 5 6 11
## 59 5 7 5 7 12
## 60 5 8 5 8 13
## 61 5 9 5 9 14
## 62 5 A 5 1 6
## 63 5 J 5 10 15
## 64 5 K 5 10 15
## 65 5 Q 5 10 15
## 66 6 10 6 10 16
## 67 6 2 6 2 8
## 68 6 3 6 3 9
## 69 6 4 6 4 10
## 70 6 5 6 5 11
## 71 6 6 6 6 12
## 72 6 7 6 7 13
## 73 6 8 6 8 14
## 74 6 9 6 9 15
## 75 6 A 6 1 7
## 76 6 J 6 10 16
## 77 6 K 6 10 16
## 78 6 Q 6 10 16
## 79 7 10 7 10 17
## 80 7 2 7 2 9
## 81 7 3 7 3 10
## 82 7 4 7 4 11
## 83 7 5 7 5 12
## 84 7 6 7 6 13
## 85 7 7 7 7 14
## 86 7 8 7 8 15
## 87 7 9 7 9 16
## 88 7 A 7 1 8
## 89 7 J 7 10 17
## 90 7 K 7 10 17
## 91 7 Q 7 10 17
## 92 8 10 8 10 18
## 93 8 2 8 2 10
## 94 8 3 8 3 11
## 95 8 4 8 4 12
## 96 8 5 8 5 13
## 97 8 6 8 6 14
## 98 8 7 8 7 15
## 99 8 8 8 8 16
## 100 8 9 8 9 17
## 101 8 A 8 1 9
## 102 8 J 8 10 18
## 103 8 K 8 10 18
## 104 8 Q 8 10 18
## 105 9 10 9 10 19
## 106 9 2 9 2 11
## 107 9 3 9 3 12
## 108 9 4 9 4 13
## 109 9 5 9 5 14
## 110 9 6 9 6 15
## 111 9 7 9 7 16
## 112 9 8 9 8 17
## 113 9 9 9 9 18
## 114 9 A 9 1 10
## 115 9 J 9 10 19
## 116 9 K 9 10 19
## 117 9 Q 9 10 19
## 118 A 10 1 10 11
## 119 A 2 1 2 3
## 120 A 3 1 3 4
## 121 A 4 1 4 5
## 122 A 5 1 5 6
## 123 A 6 1 6 7
## 124 A 7 1 7 8
## 125 A 8 1 8 9
## 126 A 9 1 9 10
## 127 A A 1 1 2
## 128 A J 1 10 11
## 129 A K 1 10 11
## 130 A Q 1 10 11
## 131 J 10 10 10 20
## 132 J 2 10 2 12
## 133 J 3 10 3 13
## 134 J 4 10 4 14
## 135 J 5 10 5 15
## 136 J 6 10 6 16
## 137 J 7 10 7 17
## 138 J 8 10 8 18
## 139 J 9 10 9 19
## 140 J A 10 1 11
## 141 J J 10 10 20
## 142 J K 10 10 20
## 143 J Q 10 10 20
## 144 K 10 10 10 20
## 145 K 2 10 2 12
## 146 K 3 10 3 13
## 147 K 4 10 4 14
## 148 K 5 10 5 15
## 149 K 6 10 6 16
## 150 K 7 10 7 17
## 151 K 8 10 8 18
## 152 K 9 10 9 19
## 153 K A 10 1 11
## 154 K J 10 10 20
## 155 K K 10 10 20
## 156 K Q 10 10 20
## 157 Q 10 10 10 20
## 158 Q 2 10 2 12
## 159 Q 3 10 3 13
## 160 Q 4 10 4 14
## 161 Q 5 10 5 15
## 162 Q 6 10 6 16
## 163 Q 7 10 7 17
## 164 Q 8 10 8 18
## 165 Q 9 10 9 19
## 166 Q A 10 1 11
## 167 Q J 10 10 20
## 168 Q K 10 10 20
## 169 Q Q 10 10 20Nuevamente la pregunta es: ¿qué probabilidad existe de que al recibir dos cartas de una baraja de 52 cartas modalidad inglesa la suma de las dos cartas sea 20?
sumados <- 20
filtro <- subset(S.casos, suma == sumados)
n <- nrow(filtro)
filtro## C1 C2 valor1 valor2 suma
## 1 10 10 10 10 20
## 11 10 J 10 10 20
## 12 10 K 10 10 20
## 13 10 Q 10 10 20
## 131 J 10 10 10 20
## 141 J J 10 10 20
## 142 J K 10 10 20
## 143 J Q 10 10 20
## 144 K 10 10 10 20
## 154 K J 10 10 20
## 155 K K 10 10 20
## 156 K Q 10 10 20
## 157 Q 10 10 10 20
## 167 Q J 10 10 20
## 168 Q K 10 10 20
## 169 Q Q 10 10 20paste("De las ", N, "alternativas, ", " existe ", n, " posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea", sumados, " ,que representa el ", round(n/N * 100, 2), "%")## [1] "De las 169 alternativas, existe 16 posibilidades de que la suma de las dos cartas repartidas sea 20 ,que representa el 9.47 %"Ruleta
La ruleta tiene 39 números en colores negro y rojo ¿que probabilidad existe de que al dar vuelta se detenga en un valor en específico?
numeros <- 1:36
colores <- c("Negro", "Rojo")
S.ruleta <- c(paste(as.character(1:36), "Rojo"),
paste(as.character(1:36), "Negro"))
S.ruleta## [1] "1 Rojo" "2 Rojo" "3 Rojo" "4 Rojo" "5 Rojo" "6 Rojo"
## [7] "7 Rojo" "8 Rojo" "9 Rojo" "10 Rojo" "11 Rojo" "12 Rojo"
## [13] "13 Rojo" "14 Rojo" "15 Rojo" "16 Rojo" "17 Rojo" "18 Rojo"
## [19] "19 Rojo" "20 Rojo" "21 Rojo" "22 Rojo" "23 Rojo" "24 Rojo"
## [25] "25 Rojo" "26 Rojo" "27 Rojo" "28 Rojo" "29 Rojo" "30 Rojo"
## [31] "31 Rojo" "32 Rojo" "33 Rojo" "34 Rojo" "35 Rojo" "36 Rojo"
## [37] "1 Negro" "2 Negro" "3 Negro" "4 Negro" "5 Negro" "6 Negro"
## [43] "7 Negro" "8 Negro" "9 Negro" "10 Negro" "11 Negro" "12 Negro"
## [49] "13 Negro" "14 Negro" "15 Negro" "16 Negro" "17 Negro" "18 Negro"
## [55] "19 Negro" "20 Negro" "21 Negro" "22 Negro" "23 Negro" "24 Negro"
## [61] "25 Negro" "26 Negro" "27 Negro" "28 Negro" "29 Negro" "30 Negro"
## [67] "31 Negro" "32 Negro" "33 Negro" "34 Negro" "35 Negro" "36 Negro"¿Cuál es la la probabilidad de que al darle vuelta la ruleta se detenga en un valor específico es por ejemplo en la casilla “20 Negro”.
N <- length(S.ruleta)
n <- 1
paste ("La probabilidad de que caiga un valor en la ruleta de ", N , " alternativas es: ", round(n/N * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que caiga un valor en la ruleta de 72 alternativas es: 1.39 %"Dominó
El juego de dominó consiste en que de una cantidad de 28 fichas se reparten siete de ellas a cada jugador.
Uno de los variantes del dominó es contar los puntos de cada ficha, siendo los puntos la cantidad de puntos negros que tiene cada ficha.
Para este ejercicio se pide:
¿Cual es la probabilidad de que la suma de puntos de las siete fichas repartidas sea manor a 15 puntos?
¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las siete fichas sea mayor a 60 puntos?
¿Cual es la probabilidad de que al repartir siete fichas de dominó la suma total esté 30 y 40 puntos?. Siendo los puntos los puntos negros de cada ficha?.
¿Cual será el rango o intervalo de clase conforme a la suma de puntos existe mayor probabilidad de obtener esos puntos?
Espacio muestral del dominó
Primero se construye el espacio muestral a partir de funciones ya preparadas que se encuentran en la dirección https://github.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/blob/main/funciones/funciones.domino.r
#source("funciones/funciones.domino.r")
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/funciones.domino.r")Se muestra sólo las primeras 20 observaciones y las últimas 20 de todas las posibles combinaciones de siete fichas en siete fichas.
El campo suma es la cantidad de puntos de las siete fichas.
head(fichas, 20)## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1 00 01 02 03 04 05 06 21
## 2 00 01 02 03 04 05 11 17
## 3 00 01 02 03 04 05 12 18
## 4 00 01 02 03 04 05 13 19
## 5 00 01 02 03 04 05 14 20
## 6 00 01 02 03 04 05 15 21
## 7 00 01 02 03 04 05 16 22
## 8 00 01 02 03 04 05 22 19
## 9 00 01 02 03 04 05 23 20
## 10 00 01 02 03 04 05 24 21
## 11 00 01 02 03 04 05 25 22
## 12 00 01 02 03 04 05 26 23
## 13 00 01 02 03 04 05 33 21
## 14 00 01 02 03 04 05 34 22
## 15 00 01 02 03 04 05 35 23
## 16 00 01 02 03 04 05 36 24
## 17 00 01 02 03 04 05 44 23
## 18 00 01 02 03 04 05 45 24
## 19 00 01 02 03 04 05 46 25
## 20 00 01 02 03 04 05 55 25tail(fichas, 20)## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1184021 34 35 44 45 46 55 66 64
## 1184022 34 35 44 45 46 56 66 65
## 1184023 34 35 44 45 55 56 66 65
## 1184024 34 35 44 46 55 56 66 66
## 1184025 34 35 45 46 55 56 66 67
## 1184026 34 36 44 45 46 55 56 64
## 1184027 34 36 44 45 46 55 66 65
## 1184028 34 36 44 45 46 56 66 66
## 1184029 34 36 44 45 55 56 66 66
## 1184030 34 36 44 46 55 56 66 67
## 1184031 34 36 45 46 55 56 66 68
## 1184032 34 44 45 46 55 56 66 67
## 1184033 35 36 44 45 46 55 56 65
## 1184034 35 36 44 45 46 55 66 66
## 1184035 35 36 44 45 46 56 66 67
## 1184036 35 36 44 45 55 56 66 67
## 1184037 35 36 44 46 55 56 66 68
## 1184038 35 36 45 46 55 56 66 69
## 1184039 35 44 45 46 55 56 66 68
## 1184040 36 44 45 46 55 56 66 69Se determina la cantidad de combinaciones posibles en grupos de siete fichas de dominó
Cantidad de combinaciones
N <- nrow(fichas)
N## [1] 1184040# Se puede usar fórmua de combinaciones
f.n.combinaciones(28,7)## [1] 1184040Repartir fichas
Se pueden repartir siete fichas a partir de una simulación.
mis.fichas <- f.repartir.fichas.domino(fichas)
mis.fichas## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 88596 00 02 05 12 33 36 44 33Para describir 1184040 de registros lo mejor es representarlo con un histograma utilizado la variable de interés suma de las fichas.
Histograma de suma de puntos
hist(fichas$suma, main="Puntos en fichas de dominó", xlab = "Suma")
Tabla de frecuencias
Y se puede construir clases por medio de la función fdt() para determinar tablas de frecuencia
tabla <- fdt(x = fichas$suma, start = 15, end =75, h = 5)
tabla## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [15,20) 255 0.00 0.02 255 0.02
## [20,25) 5459 0.00 0.46 5714 0.48
## [25,30) 37727 0.03 3.19 43441 3.67
## [30,35) 129100 0.11 10.90 172541 14.57
## [35,40) 258058 0.22 21.79 430599 36.37
## [40,45) 322842 0.27 27.27 753441 63.63
## [45,50) 258058 0.22 21.79 1011499 85.43
## [50,55) 129100 0.11 10.90 1140599 96.33
## [55,60) 37727 0.03 3.19 1178326 99.52
## [60,65) 5459 0.00 0.46 1183785 99.98
## [65,70) 255 0.00 0.02 1184040 100.00
## [70,75) 0 0.00 0.00 1184040 100.00Probabilidades de puntos en el dominó
¿Cual es la probabilidad de que la suma de puntos de las siete fichas repartidas sea menor o igual a 15 puntos?
filtro <- filter(fichas, suma <=15)
filtro## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1 00 01 02 03 04 11 12 15
## 2 00 01 02 03 11 12 13 15
## 3 00 01 02 03 11 12 22 15n<-nrow(filtro)
paste("Existe ", n, "eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es menor o igual a 15, de un total de ", N , " alternativas. Lo que representa una probabilidad del ", round(n/N*100,4),"%")## [1] "Existe 3 eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es menor o igual a 15, de un total de 1184040 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 3e-04 %"¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de las siete fichas sea mayor a 60 puntos?
filtro <- filter(fichas, suma > 60)
head(filtro)## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1 00 36 45 46 55 56 66 61
## 2 01 26 36 46 55 56 66 61
## 3 01 26 45 46 55 56 66 61
## 4 01 35 36 46 55 56 66 61
## 5 01 35 45 46 55 56 66 61
## 6 01 36 44 46 55 56 66 61n<-nrow(filtro)
paste("Existe ", n, "eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es mayor a 60, de un total de ", N , " alternativas. Lo que representa una probabilidad del ", round(n/N*100,4),"%")## [1] "Existe 3427 eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó es mayor a 60, de un total de 1184040 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 0.2894 %"¿Cual es la probabilidad de que al repartir siete fichas de dominó la suma total esté 30 y 40 puntos?. Siendo los puntos los puntos negros de cada ficha?.
filtro <- filter(fichas, suma >= 30 & suma <= 40)
head(filtro)## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1 00 01 02 03 04 26 66 30
## 2 00 01 02 03 04 35 66 30
## 3 00 01 02 03 04 36 56 30
## 4 00 01 02 03 04 36 66 31
## 5 00 01 02 03 04 44 66 30
## 6 00 01 02 03 04 45 56 30n<-nrow(filtro)
paste("Existe ", n, "eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 30 y menor o igual a 40, de un total de ", N , " alternativas. Lo que representa una probabilidad del ", round(n/N*100,4),"%")## [1] "Existe 450520 eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 30 y menor o igual a 40, de un total de 1184040 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 38.0494 %"Interpretación
Conteste las preguntas elaborando el desarrollo para justificar la respeusta:
¿Cual será el rango o intervalo de clase conforme a la suma de puntos de las siete fichas repartidas de dominó en donde existe mayor probabilidad de obtener esos puntos?
tbla = fdt(x = fichas$suma, start = 15, end =75, H = 5)
tbla## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [15,23) 1957 0.00 0.17 1957 0.17
## [23,30) 57859 0.05 4.89 59816 5.05
## [30,38) 310235 0.26 26.20 370051 31.25
## [38,46) 443938 0.37 37.49 813989 68.75
## [46,54) 310235 0.26 26.20 1124224 94.95
## [54,61) 57859 0.05 4.89 1182083 99.83
## [61,69) 1957 0.00 0.17 1184040 100.00paste("En la tabla La Mayor frecuencias son la clase de 40 a 45 es la que más probabilidades tiene de aparecer")## [1] "En la tabla La Mayor frecuencias son la clase de 40 a 45 es la que más probabilidades tiene de aparecer"¿Cómo se determina probabilidad de eventos de un espacio muestral, y que valores puede tener una probabilidad?
probabilidad de un evento es igual al número de resultados que satisfacen el evento, dividido por el número total de resultados posibles.
¿Para que sirve estimar probabilidades? La estimación de probabilidades es esencial en diversos campos, se utilizan para modelar y predecir eventos futuros, analizar datos, identificar patrones y tomar decisiones informadas en situaciones de incertidumbre
¿Podrá haber probabilidades negativas?, justifique SI o NO ? No puede haber probabilidades negativas. Las probabilidades siempre deben estar en el rango de 0 a 1, inclusive. Si una probabilidad fuera negativa, significaría que hay una probabilidad de que algo no ocurre.
Describa y justifique su respuesta sobre que es más probable de estas tres cuestiones:
- ¿Que salga águila al lanzar una moneda
# Evento moneda
moneda = c("Águila", "Sello")
lanza_moneda = data.frame(permutations(n=2, r=1, v=moneda, repeats.allowed = FALSE))
names(lanza_moneda) <- c("moneda")
lanza_moneda## moneda
## 1 Águila
## 2 Sellofiltro <- filter(lanza_moneda, moneda == "Águila")
n<-nrow(filtro)
casos_moneda = 2
paste("Existe ", n, "eventos en donde la moneda quedará en águila, de un total de ", casos_moneda , " alternativas. Lo que representa una probabilidad del ", round(n/casos_moneda*100,4),"%")## [1] "Existe 1 eventos en donde la moneda quedará en águila, de un total de 2 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 50 %"- ¿Que la suma de los puntos de dos cartas repartidas de baraja esté entre 8 y 12.
# Evento cartas
fil<- subset(S.casos, suma >=8 & suma <= 12)
n <- nrow(filtro)
fil## C1 C2 valor1 valor2 suma
## 2 10 2 10 2 12
## 10 10 A 10 1 11
## 14 2 10 2 10 12
## 19 2 6 2 6 8
## 20 2 7 2 7 9
## 21 2 8 2 8 10
## 22 2 9 2 9 11
## 24 2 J 2 10 12
## 25 2 K 2 10 12
## 26 2 Q 2 10 12
## 31 3 5 3 5 8
## 32 3 6 3 6 9
## 33 3 7 3 7 10
## 34 3 8 3 8 11
## 35 3 9 3 9 12
## 43 4 4 4 4 8
## 44 4 5 4 5 9
## 45 4 6 4 6 10
## 46 4 7 4 7 11
## 47 4 8 4 8 12
## 55 5 3 5 3 8
## 56 5 4 5 4 9
## 57 5 5 5 5 10
## 58 5 6 5 6 11
## 59 5 7 5 7 12
## 67 6 2 6 2 8
## 68 6 3 6 3 9
## 69 6 4 6 4 10
## 70 6 5 6 5 11
## 71 6 6 6 6 12
## 80 7 2 7 2 9
## 81 7 3 7 3 10
## 82 7 4 7 4 11
## 83 7 5 7 5 12
## 88 7 A 7 1 8
## 93 8 2 8 2 10
## 94 8 3 8 3 11
## 95 8 4 8 4 12
## 101 8 A 8 1 9
## 106 9 2 9 2 11
## 107 9 3 9 3 12
## 114 9 A 9 1 10
## 118 A 10 1 10 11
## 124 A 7 1 7 8
## 125 A 8 1 8 9
## 126 A 9 1 9 10
## 128 A J 1 10 11
## 129 A K 1 10 11
## 130 A Q 1 10 11
## 132 J 2 10 2 12
## 140 J A 10 1 11
## 145 K 2 10 2 12
## 153 K A 10 1 11
## 158 Q 2 10 2 12
## 166 Q A 10 1 11paste("Existe ", n, "eventos en donde los puntos sumados de de las cartas esté entre 8 y 12 puntos, de un total de 169 alternativas. Lo que representa una probabilidad del ", round(n/169*100,4),"%")## [1] "Existe 1 eventos en donde los puntos sumados de de las cartas esté entre 8 y 12 puntos, de un total de 169 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 0.5917 %"- ¿Que la suma de los puntos de las siete fichas de dominó repartidas esté entre 30 y 50 puntos?
# Evento dominó
filtro <- filter(fichas, suma >= 30 & suma <= 50)
head(filtro)## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1 00 01 02 03 04 26 66 30
## 2 00 01 02 03 04 35 66 30
## 3 00 01 02 03 04 36 56 30
## 4 00 01 02 03 04 36 66 31
## 5 00 01 02 03 04 44 66 30
## 6 00 01 02 03 04 45 56 30n<-nrow(filtro)
paste("Existe ", n, "eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 30 y menor o igual a 50, de un total de ", N , " alternativas. Lo que representa una probabilidad del ", round(n/N*100,4),"%")## [1] "Existe 1004092 eventos en donde los puntos sumados de fichas de dominó son mayor o igual a 30 y menor o igual a 50, de un total de 1184040 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 84.8022 %"Conteste estas preguntas extras:
- Que es mas probable que salga un 10 rojo en la ruleta o que la suma de dos cartas sea 10?
# RULETA
N <- length(S.ruleta)
n <- 1
paste ("La probabilidad de que caiga un 10 rojo en la ruleta de ", N , " alternativas es: ", round(n/N * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que caiga un 10 rojo en la ruleta de 72 alternativas es: 1.39 %"# CARTAS
filtro <- subset(S.casos, suma == 10)
n <- nrow(filtro)
filtro## C1 C2 valor1 valor2 suma
## 21 2 8 2 8 10
## 33 3 7 3 7 10
## 45 4 6 4 6 10
## 57 5 5 5 5 10
## 69 6 4 6 4 10
## 81 7 3 7 3 10
## 93 8 2 8 2 10
## 114 9 A 9 1 10
## 126 A 9 1 9 10paste("Existe ", n, "eventos donde los puntos sumados de dos cartas sea 10, con un total de 169 alternativas. Representa una probabilidad de ", round(n/169*100,4),"%")## [1] "Existe 9 eventos donde los puntos sumados de dos cartas sea 10, con un total de 169 alternativas. Representa una probabilidad de 5.3254 %"- Que es más probable que la suma de dos cartas sea menor a 15 o que la suma de siete fichas sea menor a 50 puntos?
# CARTAS Probabilida cartas omalgo diferente
filtro <- subset(S.casos, suma < 15)
n <- nrow(filtro)
filtro## C1 C2 valor1 valor2 suma
## 2 10 2 10 2 12
## 3 10 3 10 3 13
## 4 10 4 10 4 14
## 10 10 A 10 1 11
## 14 2 10 2 10 12
## 15 2 2 2 2 4
## 16 2 3 2 3 5
## 17 2 4 2 4 6
## 18 2 5 2 5 7
## 19 2 6 2 6 8
## 20 2 7 2 7 9
## 21 2 8 2 8 10
## 22 2 9 2 9 11
## 23 2 A 2 1 3
## 24 2 J 2 10 12
## 25 2 K 2 10 12
## 26 2 Q 2 10 12
## 27 3 10 3 10 13
## 28 3 2 3 2 5
## 29 3 3 3 3 6
## 30 3 4 3 4 7
## 31 3 5 3 5 8
## 32 3 6 3 6 9
## 33 3 7 3 7 10
## 34 3 8 3 8 11
## 35 3 9 3 9 12
## 36 3 A 3 1 4
## 37 3 J 3 10 13
## 38 3 K 3 10 13
## 39 3 Q 3 10 13
## 40 4 10 4 10 14
## 41 4 2 4 2 6
## 42 4 3 4 3 7
## 43 4 4 4 4 8
## 44 4 5 4 5 9
## 45 4 6 4 6 10
## 46 4 7 4 7 11
## 47 4 8 4 8 12
## 48 4 9 4 9 13
## 49 4 A 4 1 5
## 50 4 J 4 10 14
## 51 4 K 4 10 14
## 52 4 Q 4 10 14
## 54 5 2 5 2 7
## 55 5 3 5 3 8
## 56 5 4 5 4 9
## 57 5 5 5 5 10
## 58 5 6 5 6 11
## 59 5 7 5 7 12
## 60 5 8 5 8 13
## 61 5 9 5 9 14
## 62 5 A 5 1 6
## 67 6 2 6 2 8
## 68 6 3 6 3 9
## 69 6 4 6 4 10
## 70 6 5 6 5 11
## 71 6 6 6 6 12
## 72 6 7 6 7 13
## 73 6 8 6 8 14
## 75 6 A 6 1 7
## 80 7 2 7 2 9
## 81 7 3 7 3 10
## 82 7 4 7 4 11
## 83 7 5 7 5 12
## 84 7 6 7 6 13
## 85 7 7 7 7 14
## 88 7 A 7 1 8
## 93 8 2 8 2 10
## 94 8 3 8 3 11
## 95 8 4 8 4 12
## 96 8 5 8 5 13
## 97 8 6 8 6 14
## 101 8 A 8 1 9
## 106 9 2 9 2 11
## 107 9 3 9 3 12
## 108 9 4 9 4 13
## 109 9 5 9 5 14
## 114 9 A 9 1 10
## 118 A 10 1 10 11
## 119 A 2 1 2 3
## 120 A 3 1 3 4
## 121 A 4 1 4 5
## 122 A 5 1 5 6
## 123 A 6 1 6 7
## 124 A 7 1 7 8
## 125 A 8 1 8 9
## 126 A 9 1 9 10
## 127 A A 1 1 2
## 128 A J 1 10 11
## 129 A K 1 10 11
## 130 A Q 1 10 11
## 132 J 2 10 2 12
## 133 J 3 10 3 13
## 134 J 4 10 4 14
## 140 J A 10 1 11
## 145 K 2 10 2 12
## 146 K 3 10 3 13
## 147 K 4 10 4 14
## 153 K A 10 1 11
## 158 Q 2 10 2 12
## 159 Q 3 10 3 13
## 160 Q 4 10 4 14
## 166 Q A 10 1 11paste("Existe ", n, "eventos donde los puntos sumados de dos cartas sean menor a 15 puntos, con un total de 169 alternativas. Representa una probabilidad de ", round(n/169*100,4),"%")## [1] "Existe 103 eventos donde los puntos sumados de dos cartas sean menor a 15 puntos, con un total de 169 alternativas. Representa una probabilidad de 60.9467 %"# DOMINO Probalilida cartas omalgo diferente
filtro <- filter(fichas, suma < 50)
head(filtro)## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1 00 01 02 03 04 05 06 21
## 2 00 01 02 03 04 05 11 17
## 3 00 01 02 03 04 05 12 18
## 4 00 01 02 03 04 05 13 19
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## 6 00 01 02 03 04 05 15 21n<-nrow(filtro)
paste("Existe ", n, "eventos donde los puntos sumados de fichas de dominó sean menor a 50 puntos, con un total de 1184040 alternativas. Representa una probabilidad de ", round(n/1184040 *100,4),"%")## [1] "Existe 1011499 eventos donde los puntos sumados de fichas de dominó sean menor a 50 puntos, con un total de 1184040 alternativas. Representa una probabilidad de 85.4278 %"# PROBCARTAS filtro <- subset(S.casos, suma >=8 & suma <= 12)
n <- nrow(filtro)
filtro## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
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## 12360 00 01 02 26 34 35 46 36
## 12361 00 01 02 26 34 35 55 36
## 12362 00 01 02 26 34 35 56 37
## 12363 00 01 02 26 34 35 66 38
## 12364 00 01 02 26 34 36 44 35
## 12365 00 01 02 26 34 36 45 36
## 12366 00 01 02 26 34 36 46 37
## 12367 00 01 02 26 34 36 55 37
## 12368 00 01 02 26 34 36 56 38
## 12369 00 01 02 26 34 36 66 39
## 12370 00 01 02 26 34 44 45 35
## 12371 00 01 02 26 34 44 46 36
## 12372 00 01 02 26 34 44 55 36
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## 12400 00 01 02 26 35 46 55 39
## 12401 00 01 02 26 35 46 56 40
## 12402 00 01 02 26 35 46 66 41
## 12403 00 01 02 26 35 55 56 40
## 12404 00 01 02 26 35 55 66 41
## 12405 00 01 02 26 35 56 66 42
## 12406 00 01 02 26 36 44 45 37
## 12407 00 01 02 26 36 44 46 38
## 12408 00 01 02 26 36 44 55 38
## 12409 00 01 02 26 36 44 56 39
## 12410 00 01 02 26 36 44 66 40
## 12411 00 01 02 26 36 45 46 39
## 12412 00 01 02 26 36 45 55 39
## 12413 00 01 02 26 36 45 56 40
## 12414 00 01 02 26 36 45 66 41
## 12415 00 01 02 26 36 46 55 40
## 12416 00 01 02 26 36 46 56 41
## 12417 00 01 02 26 36 46 66 42
## 12418 00 01 02 26 36 55 56 41
## 12419 00 01 02 26 36 55 66 42
## 12420 00 01 02 26 36 56 66 43
## 12421 00 01 02 26 44 45 46 38
## 12422 00 01 02 26 44 45 55 38
## 12423 00 01 02 26 44 45 56 39
## 12424 00 01 02 26 44 45 66 40
## 12425 00 01 02 26 44 46 55 39
## 12426 00 01 02 26 44 46 56 40
## 12427 00 01 02 26 44 46 66 41
## 12428 00 01 02 26 44 55 56 40
## 12429 00 01 02 26 44 55 66 41
## 12430 00 01 02 26 44 56 66 42
## 12431 00 01 02 26 45 46 55 40
## 12432 00 01 02 26 45 46 56 41
## 12433 00 01 02 26 45 46 66 42
## 12434 00 01 02 26 45 55 56 41
## 12435 00 01 02 26 45 55 66 42
## 12436 00 01 02 26 45 56 66 43
## 12437 00 01 02 26 46 55 56 42
## 12438 00 01 02 26 46 55 66 43
## 12439 00 01 02 26 46 56 66 44
## 12440 00 01 02 26 55 56 66 44
## 12441 00 01 02 33 34 35 36 33
## 12442 00 01 02 33 34 35 44 32
## 12443 00 01 02 33 34 35 45 33
## 12444 00 01 02 33 34 35 46 34
## 12445 00 01 02 33 34 35 55 34
## 12446 00 01 02 33 34 35 56 35
## 12447 00 01 02 33 34 35 66 36
## 12448 00 01 02 33 34 36 44 33
## 12449 00 01 02 33 34 36 45 34
## 12450 00 01 02 33 34 36 46 35
## 12451 00 01 02 33 34 36 55 35
## 12452 00 01 02 33 34 36 56 36
## 12453 00 01 02 33 34 36 66 37
## 12454 00 01 02 33 34 44 45 33
## 12455 00 01 02 33 34 44 46 34
## 12456 00 01 02 33 34 44 55 34
## 12457 00 01 02 33 34 44 56 35
## 12458 00 01 02 33 34 44 66 36
## 12459 00 01 02 33 34 45 46 35
## 12460 00 01 02 33 34 45 55 35
## 12461 00 01 02 33 34 45 56 36
## 12462 00 01 02 33 34 45 66 37
## 12463 00 01 02 33 34 46 55 36
## 12464 00 01 02 33 34 46 56 37
## 12465 00 01 02 33 34 46 66 38
## 12466 00 01 02 33 34 55 56 37
## 12467 00 01 02 33 34 55 66 38
## 12468 00 01 02 33 34 56 66 39
## 12469 00 01 02 33 35 36 44 34
## 12470 00 01 02 33 35 36 45 35
## 12471 00 01 02 33 35 36 46 36
## 12472 00 01 02 33 35 36 55 36
## 12473 00 01 02 33 35 36 56 37
## 12474 00 01 02 33 35 36 66 38
## 12475 00 01 02 33 35 44 45 34
## 12476 00 01 02 33 35 44 46 35
## 12477 00 01 02 33 35 44 55 35
## 12478 00 01 02 33 35 44 56 36
## 12479 00 01 02 33 35 44 66 37
## 12480 00 01 02 33 35 45 46 36
## 12481 00 01 02 33 35 45 55 36
## 12482 00 01 02 33 35 45 56 37
## 12483 00 01 02 33 35 45 66 38
## 12484 00 01 02 33 35 46 55 37
## 12485 00 01 02 33 35 46 56 38
## 12486 00 01 02 33 35 46 66 39
## 12487 00 01 02 33 35 55 56 38
## 12488 00 01 02 33 35 55 66 39
## 12489 00 01 02 33 35 56 66 40
## 12490 00 01 02 33 36 44 45 35
## 12491 00 01 02 33 36 44 46 36
## 12492 00 01 02 33 36 44 55 36
## 12493 00 01 02 33 36 44 56 37
## 12494 00 01 02 33 36 44 66 38
## 12495 00 01 02 33 36 45 46 37
## 12496 00 01 02 33 36 45 55 37
## 12497 00 01 02 33 36 45 56 38
## 12498 00 01 02 33 36 45 66 39
## 12499 00 01 02 33 36 46 55 38
## [ reached 'max' / getOption("max.print") -- omitted 999000 rows ]paste("Existe ", n, "eventos en donde los puntos sumados de de las cartas esté entre 8 y 12 puntos, de un total de 169 alternativas. Lo que representa una probabilidad del ", round(n/169*100,4),"%")## [1] "Existe 1011499 eventos en donde los puntos sumados de de las cartas esté entre 8 y 12 puntos, de un total de 169 alternativas. Lo que representa una probabilidad del 598520.1183 %"# Evento dominó
filtro <- filter(fichas, suma >= 20 & suma <= 30)
head(filtro)## F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 suma
## 1 00 01 02 03 04 05 06 21
## 2 00 01 02 03 04 05 14 20
## 3 00 01 02 03 04 05 15 21
## 4 00 01 02 03 04 05 16 22
## 5 00 01 02 03 04 05 23 20
## 6 00 01 02 03 04 05 24 21- Qué es más probable: que salga en la suma un valor entre 8 y 12 en dos barajas o que salga un valor de suma entre 20 y 30 puntos en siete fichas de dominó?
# CARTAS
filtro <- subset(S.casos, suma >=8 & suma <= 12)
n <- nrow(filtro)
filtro## C1 C2 valor1 valor2 suma
## 2 10 2 10 2 12
## 10 10 A 10 1 11
## 14 2 10 2 10 12
## 19 2 6 2 6 8
## 20 2 7 2 7 9
## 21 2 8 2 8 10
## 22 2 9 2 9 11
## 24 2 J 2 10 12
## 25 2 K 2 10 12
## 26 2 Q 2 10 12
## 31 3 5 3 5 8
## 32 3 6 3 6 9
## 33 3 7 3 7 10
## 34 3 8 3 8 11
## 35 3 9 3 9 12
## 43 4 4 4 4 8
## 44 4 5 4 5 9
## 45 4 6 4 6 10
## 46 4 7 4 7 11
## 47 4 8 4 8 12
## 55 5 3 5 3 8
## 56 5 4 5 4 9
## 57 5 5 5 5 10
## 58 5 6 5 6 11
## 59 5 7 5 7 12
## 67 6 2 6 2 8
## 68 6 3 6 3 9
## 69 6 4 6 4 10
## 70 6 5 6 5 11
## 71 6 6 6 6 12
## 80 7 2 7 2 9
## 81 7 3 7 3 10
## 82 7 4 7 4 11
## 83 7 5 7 5 12
## 88 7 A 7 1 8
## 93 8 2 8 2 10
## 94 8 3 8 3 11
## 95 8 4 8 4 12
## 101 8 A 8 1 9
## 106 9 2 9 2 11
## 107 9 3 9 3 12
## 114 9 A 9 1 10
## 118 A 10 1 10 11
## 124 A 7 1 7 8
## 125 A 8 1 8 9
## 126 A 9 1 9 10
## 128 A J 1 10 11
## 129 A K 1 10 11
## 130 A Q 1 10 11
## 132 J 2 10 2 12
## 140 J A 10 1 11
## 145 K 2 10 2 12
## 153 K A 10 1 11
## 158 Q 2 10 2 12
## 166 Q A 10 1 11paste("Existe ", n, "eventos en donde los puntos sumados de de las cartas esta entre 8 y 12 puntos, con un total de 169 alternativas. Representa una probabilidad de ", round(n/169*100,4),"%")## [1] "Existe 55 eventos en donde los puntos sumados de de las cartas esta entre 8 y 12 puntos, con un total de 169 alternativas. Representa una probabilidad de 32.5444 %"¿A qué conclusiones llegan respecto a los ejercicios vistos en este caso?. que la probanilidad es un juego que aparece en la mayorai de las ocaciones y nosotros como personas no nos damos cuenta pero esto tambien nos lleva ala toma de decciones. y en el Caso la mayorai de los Juegos Vistos Aqui son de Azar que es Parote del La Probabilidad.
Bibliografía
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.