1 Los Objetivos De La Práctica

1.1 * El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

  • Analizar, Comprender Y Construir Combinaciones A Partir De Un Conjunto De Datos De Un Grupo De Personas, Extraídas De Un Espacio Muestral, Además De Nombre De Empresas Reconocidas Mundialmente.

1.2 * Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

  • Importar E Implementar Las Librerías Necesarias Para Realiza La Práctica Correspondiente

  • Cargar Los Datos Estadísticos A Emplear En La Práctica

  • Identificar, Analizar Y Comprender La Fórmula Para Determinar El Factorial De Un Número

  • Identificar, Analizar Y Comprender La Fórmula Para Determinar Las Combinaciones Posibles De Un Conjunto De Datos Sin Orden

  • Determinar Probabilidades A Partir De Un Espacio Muestral De Las Combinaciones Realizadas

  • Analizar Y Encontrar La Probabilidad Con Base En Frecuencia O Contabilizar Eventos Específicos Del Espacio Muestral

  • Realizar Un Análisis Crítico De La Practica Realizada

2 * Investigaciones Pertinentes

2.1 * Las Combinaciones

Una combinación, de acuerdo a la teoría, se entiende como una secuencia ordenada de signos (que pueden ser letras y/o números) sólo conocida por uno o pocos individuos y que permite abrir o poner en funcionamiento a determinados mecanismos.

En el entorno de las matemáticas, se habla de combinación cuando se hace mención en los subconjuntos conformados por una cantidad determinada de elementos de un conjunto finito, analizado y que difieren en, al menos, un elemento.

2.1.1 * Las Caracteristicas De Las Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

  • No entran todos los elementos

  • No importa el orden

  • No se repiten los elementos

Generalmente utilizamos el término para referirnos tanto a elementos que se mezclan sin importar en el orden, como aquellos en los que sí importa el orden; sin embargo, existe una forma de nombrar a cada una de estas mezclas. Una de ellas es combinación, la otra, permutación.

La regla de conteo de combinaciones permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en \(r\) objetos de un conjunto (usualmente mayor) de \(n\) objetos.

El número de combinaciones distintas de \(n\) objetos distintos que se pueden formar, tomando \(r\) de ellos a un tiempo.

2.1.2 * La Fórmula Para Determinar Las Combinaciones

Para hacer combinaciones es necesario identificar la importancia del valor factorial de un número

2.1.2.1 * El Factorial De Un Número

El factorial de un número es el producto de \(n\) por todos los naturales menores que el y se representa con el \(!n\), entonces \(n!=n\times(n-1)...\times 1\).

La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120.

La función factorial es una fórmula matemática representada por el signo de exclamación \(!\). En la fórmula Factorial se deben multiplicar todos los números enteros y positivos que hay entre el número que aparece en la fórmula y el número \(1\).

La formula para determinar las combinaciones posibles son:

\[ S=Cn\binom{n}{r} = \frac{n!}{(r!\cdot(n-r)!)} \]

Donde:

  • S Es El Espacio Muestral Y La Cantidad De Combinaciones

  • Cn Es El Número De Combinaciones Posibles

  • N/R Es Símbolo De Combinar N Elementos En Grupos De

  • Rn Es El Total De Elementos

  • R Es De Cuantos En Cuantos Elementos Se Hacen Grupos

3 * Desarrollo Metodológico De La Práctica

3.1 * Actividad No. 1 - Nombre Personas

3.1.1 * Determinar El Número De Combinaciones Posibles De Nombres

Se trata de hacer combinaciones con los nombres de cuatro personas: “Oscar”, “Paco”, “Paty”, “Laura” … … (otros nombres) en grupos de 2. Entonces \(n=4\), porque hay cuatro nombres o elementos y \(r=2\) porque se trata de agrupar de dos en dos.

¿Cuántas combinaciones deberá haber?

  • Oscar y Paco

  • Oscar y Hanny

  • Oscar y Laura

  • Paco y Stephany

  • … …

  • Oscar y Laura

library(gtools)
nombres <- c("Oscar", "Paco", "Paty", "Laura", "Rubén", "Luis", "Lucy", "Alberto", "Juan", "Stephany", "Andrea", "Hanny")

n <- length(nombres)
r <- 2 # ¿cómo agrupar?

Cn <- factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r))

paste("Existen ", Cn , " posibles combinaciones del total de ", n , " nombres ", " en grupos de ", r ," en ", r)
## [1] "Existen  66  posibles combinaciones del total de  12  nombres   en grupos de  2  en  2"

3.1.2 * Las Combinaciones Posibles De Nombres

Se utiliza la función combinations() y se requiere por lo menos tres atributos:

  • La cantidad de elementos n

  • Los grupos de cuanto en cuanto se forman r

  • y los elementos, o sea en este caso el vector v

Se muestran las posibles combinaciones de los nombres de personas. Las función combinations() ordena los valores alfabéticamente y luego construye las combinaciones.

nombres
##  [1] "Oscar"    "Paco"     "Paty"     "Laura"    "Rubén"    "Luis"    
##  [7] "Lucy"     "Alberto"  "Juan"     "Stephany" "Andrea"   "Hanny"
Cn.nombres <- combinations(n = length(nombres), r = 2, v = nombres)
Cn.nombres
##       [,1]      [,2]      
##  [1,] "Alberto" "Andrea"  
##  [2,] "Alberto" "Hanny"   
##  [3,] "Alberto" "Juan"    
##  [4,] "Alberto" "Laura"   
##  [5,] "Alberto" "Lucy"    
##  [6,] "Alberto" "Luis"    
##  [7,] "Alberto" "Oscar"   
##  [8,] "Alberto" "Paco"    
##  [9,] "Alberto" "Paty"    
## [10,] "Alberto" "Rubén"   
## [11,] "Alberto" "Stephany"
## [12,] "Andrea"  "Hanny"   
## [13,] "Andrea"  "Juan"    
## [14,] "Andrea"  "Laura"   
## [15,] "Andrea"  "Lucy"    
## [16,] "Andrea"  "Luis"    
## [17,] "Andrea"  "Oscar"   
## [18,] "Andrea"  "Paco"    
## [19,] "Andrea"  "Paty"    
## [20,] "Andrea"  "Rubén"   
## [21,] "Andrea"  "Stephany"
## [22,] "Hanny"   "Juan"    
## [23,] "Hanny"   "Laura"   
## [24,] "Hanny"   "Lucy"    
## [25,] "Hanny"   "Luis"    
## [26,] "Hanny"   "Oscar"   
## [27,] "Hanny"   "Paco"    
## [28,] "Hanny"   "Paty"    
## [29,] "Hanny"   "Rubén"   
## [30,] "Hanny"   "Stephany"
## [31,] "Juan"    "Laura"   
## [32,] "Juan"    "Lucy"    
## [33,] "Juan"    "Luis"    
## [34,] "Juan"    "Oscar"   
## [35,] "Juan"    "Paco"    
## [36,] "Juan"    "Paty"    
## [37,] "Juan"    "Rubén"   
## [38,] "Juan"    "Stephany"
## [39,] "Laura"   "Lucy"    
## [40,] "Laura"   "Luis"    
## [41,] "Laura"   "Oscar"   
## [42,] "Laura"   "Paco"    
## [43,] "Laura"   "Paty"    
## [44,] "Laura"   "Rubén"   
## [45,] "Laura"   "Stephany"
## [46,] "Lucy"    "Luis"    
## [47,] "Lucy"    "Oscar"   
## [48,] "Lucy"    "Paco"    
## [49,] "Lucy"    "Paty"    
## [50,] "Lucy"    "Rubén"   
## [51,] "Lucy"    "Stephany"
## [52,] "Luis"    "Oscar"   
## [53,] "Luis"    "Paco"    
## [54,] "Luis"    "Paty"    
## [55,] "Luis"    "Rubén"   
## [56,] "Luis"    "Stephany"
## [57,] "Oscar"   "Paco"    
## [58,] "Oscar"   "Paty"    
## [59,] "Oscar"   "Rubén"   
## [60,] "Oscar"   "Stephany"
## [61,] "Paco"    "Paty"    
## [62,] "Paco"    "Rubén"   
## [63,] "Paco"    "Stephany"
## [64,] "Paty"    "Rubén"   
## [65,] "Paty"    "Stephany"
## [66,] "Rubén"   "Stephany"

3.2 * Actividad No. 2 - Nombre Empresas

3.2.1 * Determinar El Número De Combinaciones Posibles De Empresas

Se trata de hacer combinaciones con los nombres de 10 empresas reconocidas a nivel mundial: “Atlas”, “Guadalajara”, “Monterrey”, “América”, “Cruz Azul”, “Santos” en grupos de 3. Entonces \(n=9\), porque hay seis equipos o elementos y \(r=5\) porque se trata de agrupar de tres en tres.

¿Cuántas combinaciones deberá haber?

empresas <- c("Televisa", "Bimbo", "Carso", "Telcel", "Arca Continental", "Telmex", "Liverpool", "Walmart", "Sears", "Movistar")
n <- length(empresas)
r <- 5 # ¿cómo agrupar?
Cn <- factorial(n) / (factorial(r) * factorial(n-r))
paste("Existen ", Cn , " posibles combinaciones del total de ", n , " empresas ", " en grupos de ", r ," en ", r)
## [1] "Existen  252  posibles combinaciones del total de  10  empresas   en grupos de  5  en  5"

3.2.2 * Las Combinaciones Posibles De Empresas

Se utiliza la función combinations() y se requiere por lo menos tres atributos:

  • La cantidad de elementos n

  • Los grupos de cuanto en cuanto se forman r

  • y los elementos, o sea en este caso el vector v

Se muestran las posibles combinaciones de los nombres de personas. Las función combinations() ordena los valores alfabéticamente y luego construye las combinaciones.

empresas
##  [1] "Televisa"         "Bimbo"            "Carso"            "Telcel"          
##  [5] "Arca Continental" "Telmex"           "Liverpool"        "Walmart"         
##  [9] "Sears"            "Movistar"
Cn.empresas <- combinations(n = length(empresas), r, v = empresas)
Cn.empresas
##        [,1]               [,2]        [,3]        [,4]        [,5]      
##   [1,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Liverpool" "Movistar"
##   [2,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Liverpool" "Sears"   
##   [3,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Liverpool" "Telcel"  
##   [4,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Liverpool" "Televisa"
##   [5,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Liverpool" "Telmex"  
##   [6,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Liverpool" "Walmart" 
##   [7,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Movistar"  "Sears"   
##   [8,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Movistar"  "Telcel"  
##   [9,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Movistar"  "Televisa"
##  [10,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Movistar"  "Telmex"  
##  [11,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Movistar"  "Walmart" 
##  [12,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Sears"     "Telcel"  
##  [13,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Sears"     "Televisa"
##  [14,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Sears"     "Telmex"  
##  [15,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Sears"     "Walmart" 
##  [16,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Telcel"    "Televisa"
##  [17,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Telcel"    "Telmex"  
##  [18,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Telcel"    "Walmart" 
##  [19,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Televisa"  "Telmex"  
##  [20,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Televisa"  "Walmart" 
##  [21,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Carso"     "Telmex"    "Walmart" 
##  [22,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Movistar"  "Sears"   
##  [23,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"  
##  [24,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"
##  [25,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Movistar"  "Telmex"  
##  [26,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Movistar"  "Walmart" 
##  [27,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Sears"     "Telcel"  
##  [28,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Sears"     "Televisa"
##  [29,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Sears"     "Telmex"  
##  [30,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Sears"     "Walmart" 
##  [31,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"
##  [32,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Telcel"    "Telmex"  
##  [33,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Telcel"    "Walmart" 
##  [34,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Televisa"  "Telmex"  
##  [35,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Televisa"  "Walmart" 
##  [36,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Liverpool" "Telmex"    "Walmart" 
##  [37,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Sears"     "Telcel"  
##  [38,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Sears"     "Televisa"
##  [39,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Sears"     "Telmex"  
##  [40,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Sears"     "Walmart" 
##  [41,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"
##  [42,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"  
##  [43,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Telcel"    "Walmart" 
##  [44,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"  
##  [45,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Televisa"  "Walmart" 
##  [46,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Movistar"  "Telmex"    "Walmart" 
##  [47,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
##  [48,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
##  [49,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
##  [50,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
##  [51,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
##  [52,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
##  [53,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
##  [54,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
##  [55,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
##  [56,] "Arca Continental" "Bimbo"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
##  [57,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Sears"   
##  [58,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"  
##  [59,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"
##  [60,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Telmex"  
##  [61,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Walmart" 
##  [62,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Telcel"  
##  [63,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Televisa"
##  [64,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Telmex"  
##  [65,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Walmart" 
##  [66,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"
##  [67,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Telcel"    "Telmex"  
##  [68,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Telcel"    "Walmart" 
##  [69,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Televisa"  "Telmex"  
##  [70,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Televisa"  "Walmart" 
##  [71,] "Arca Continental" "Carso"     "Liverpool" "Telmex"    "Walmart" 
##  [72,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Telcel"  
##  [73,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Televisa"
##  [74,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Telmex"  
##  [75,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Walmart" 
##  [76,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"
##  [77,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"  
##  [78,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Telcel"    "Walmart" 
##  [79,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"  
##  [80,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Televisa"  "Walmart" 
##  [81,] "Arca Continental" "Carso"     "Movistar"  "Telmex"    "Walmart" 
##  [82,] "Arca Continental" "Carso"     "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
##  [83,] "Arca Continental" "Carso"     "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
##  [84,] "Arca Continental" "Carso"     "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
##  [85,] "Arca Continental" "Carso"     "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
##  [86,] "Arca Continental" "Carso"     "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
##  [87,] "Arca Continental" "Carso"     "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
##  [88,] "Arca Continental" "Carso"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
##  [89,] "Arca Continental" "Carso"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
##  [90,] "Arca Continental" "Carso"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
##  [91,] "Arca Continental" "Carso"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
##  [92,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Telcel"  
##  [93,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Televisa"
##  [94,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Telmex"  
##  [95,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Walmart" 
##  [96,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"
##  [97,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"  
##  [98,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Walmart" 
##  [99,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"  
## [100,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"  "Walmart" 
## [101,] "Arca Continental" "Liverpool" "Movistar"  "Telmex"    "Walmart" 
## [102,] "Arca Continental" "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [103,] "Arca Continental" "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [104,] "Arca Continental" "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [105,] "Arca Continental" "Liverpool" "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [106,] "Arca Continental" "Liverpool" "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [107,] "Arca Continental" "Liverpool" "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [108,] "Arca Continental" "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [109,] "Arca Continental" "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [110,] "Arca Continental" "Liverpool" "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [111,] "Arca Continental" "Liverpool" "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [112,] "Arca Continental" "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [113,] "Arca Continental" "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [114,] "Arca Continental" "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [115,] "Arca Continental" "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [116,] "Arca Continental" "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [117,] "Arca Continental" "Movistar"  "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [118,] "Arca Continental" "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [119,] "Arca Continental" "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [120,] "Arca Continental" "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [121,] "Arca Continental" "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [122,] "Arca Continental" "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [123,] "Arca Continental" "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [124,] "Arca Continental" "Sears"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [125,] "Arca Continental" "Sears"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [126,] "Arca Continental" "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [127,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Sears"   
## [128,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"  
## [129,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"
## [130,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Telmex"  
## [131,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Movistar"  "Walmart" 
## [132,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Telcel"  
## [133,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Televisa"
## [134,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Telmex"  
## [135,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Sears"     "Walmart" 
## [136,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"
## [137,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Telcel"    "Telmex"  
## [138,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Telcel"    "Walmart" 
## [139,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Televisa"  "Telmex"  
## [140,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Televisa"  "Walmart" 
## [141,] "Bimbo"            "Carso"     "Liverpool" "Telmex"    "Walmart" 
## [142,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Telcel"  
## [143,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Televisa"
## [144,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Telmex"  
## [145,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Sears"     "Walmart" 
## [146,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"
## [147,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"  
## [148,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Telcel"    "Walmart" 
## [149,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"  
## [150,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Televisa"  "Walmart" 
## [151,] "Bimbo"            "Carso"     "Movistar"  "Telmex"    "Walmart" 
## [152,] "Bimbo"            "Carso"     "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [153,] "Bimbo"            "Carso"     "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [154,] "Bimbo"            "Carso"     "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [155,] "Bimbo"            "Carso"     "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [156,] "Bimbo"            "Carso"     "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [157,] "Bimbo"            "Carso"     "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [158,] "Bimbo"            "Carso"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [159,] "Bimbo"            "Carso"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [160,] "Bimbo"            "Carso"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [161,] "Bimbo"            "Carso"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [162,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Telcel"  
## [163,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Televisa"
## [164,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Telmex"  
## [165,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Walmart" 
## [166,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"
## [167,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"  
## [168,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Walmart" 
## [169,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"  
## [170,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"  "Walmart" 
## [171,] "Bimbo"            "Liverpool" "Movistar"  "Telmex"    "Walmart" 
## [172,] "Bimbo"            "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [173,] "Bimbo"            "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [174,] "Bimbo"            "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [175,] "Bimbo"            "Liverpool" "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [176,] "Bimbo"            "Liverpool" "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [177,] "Bimbo"            "Liverpool" "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [178,] "Bimbo"            "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [179,] "Bimbo"            "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [180,] "Bimbo"            "Liverpool" "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [181,] "Bimbo"            "Liverpool" "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [182,] "Bimbo"            "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [183,] "Bimbo"            "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [184,] "Bimbo"            "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [185,] "Bimbo"            "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [186,] "Bimbo"            "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [187,] "Bimbo"            "Movistar"  "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [188,] "Bimbo"            "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [189,] "Bimbo"            "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [190,] "Bimbo"            "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [191,] "Bimbo"            "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [192,] "Bimbo"            "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [193,] "Bimbo"            "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [194,] "Bimbo"            "Sears"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [195,] "Bimbo"            "Sears"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [196,] "Bimbo"            "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [197,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Telcel"  
## [198,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Televisa"
## [199,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Telmex"  
## [200,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Sears"     "Walmart" 
## [201,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"
## [202,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"  
## [203,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"    "Walmart" 
## [204,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"  
## [205,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"  "Walmart" 
## [206,] "Carso"            "Liverpool" "Movistar"  "Telmex"    "Walmart" 
## [207,] "Carso"            "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [208,] "Carso"            "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [209,] "Carso"            "Liverpool" "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [210,] "Carso"            "Liverpool" "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [211,] "Carso"            "Liverpool" "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [212,] "Carso"            "Liverpool" "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [213,] "Carso"            "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [214,] "Carso"            "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [215,] "Carso"            "Liverpool" "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [216,] "Carso"            "Liverpool" "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [217,] "Carso"            "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [218,] "Carso"            "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [219,] "Carso"            "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [220,] "Carso"            "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [221,] "Carso"            "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [222,] "Carso"            "Movistar"  "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [223,] "Carso"            "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [224,] "Carso"            "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [225,] "Carso"            "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [226,] "Carso"            "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [227,] "Carso"            "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [228,] "Carso"            "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [229,] "Carso"            "Sears"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [230,] "Carso"            "Sears"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [231,] "Carso"            "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [232,] "Liverpool"        "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [233,] "Liverpool"        "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [234,] "Liverpool"        "Movistar"  "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [235,] "Liverpool"        "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [236,] "Liverpool"        "Movistar"  "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [237,] "Liverpool"        "Movistar"  "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [238,] "Liverpool"        "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [239,] "Liverpool"        "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [240,] "Liverpool"        "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [241,] "Liverpool"        "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [242,] "Liverpool"        "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [243,] "Liverpool"        "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [244,] "Liverpool"        "Sears"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [245,] "Liverpool"        "Sears"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [246,] "Liverpool"        "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [247,] "Movistar"         "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [248,] "Movistar"         "Sears"     "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [249,] "Movistar"         "Sears"     "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [250,] "Movistar"         "Sears"     "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [251,] "Movistar"         "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"    "Walmart" 
## [252,] "Sears"            "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"    "Walmart"

4 * Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

4.1 * Interpretación De La Práctica

4.1.1 * Intepretación Sobre La Actividad No. 1 - Nombres

¿En cuántas ocasiones aparece el nombre de Laura en combinaciones de dos en dos?.

Reg <- subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Laura" | Cn.nombres[,2] == "Laura")
Reg
##       [,1]      [,2]      
##  [1,] "Alberto" "Laura"   
##  [2,] "Andrea"  "Laura"   
##  [3,] "Hanny"   "Laura"   
##  [4,] "Juan"    "Laura"   
##  [5,] "Laura"   "Lucy"    
##  [6,] "Laura"   "Luis"    
##  [7,] "Laura"   "Oscar"   
##  [8,] "Laura"   "Paco"    
##  [9,] "Laura"   "Paty"    
## [10,] "Laura"   "Rubén"   
## [11,] "Laura"   "Stephany"
creg <- length(Reg)
paste("Existen ", creg, " ocasiones en que se encuentran Oscar, de un total de ", nrow(Cn.nombres), " representan ", round(creg / nrow(Cn.nombres) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  22  ocasiones en que se encuentran Oscar, de un total de  66  representan  33.33 %"

¿En cuántas ocasiones aparece el nombre de Oscar en las combinaciones de dos en dos?

Reg <- subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Oscar" | Cn.nombres[,2] == "Oscar")
Reg
##       [,1]      [,2]      
##  [1,] "Alberto" "Oscar"   
##  [2,] "Andrea"  "Oscar"   
##  [3,] "Hanny"   "Oscar"   
##  [4,] "Juan"    "Oscar"   
##  [5,] "Laura"   "Oscar"   
##  [6,] "Lucy"    "Oscar"   
##  [7,] "Luis"    "Oscar"   
##  [8,] "Oscar"   "Paco"    
##  [9,] "Oscar"   "Paty"    
## [10,] "Oscar"   "Rubén"   
## [11,] "Oscar"   "Stephany"
creg <- length(Reg)
paste("Existen ", creg, " ocasiones en que se encuentran Oscar, de un total de ", nrow(Cn.nombres), " representan ", round(creg / nrow(Cn.nombres) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  22  ocasiones en que se encuentran Oscar, de un total de  66  representan  33.33 %"

En las combinaciones de nombres de dos en dos, ¿en cuántas ocasiones existe Laura y Oscar juntos o contiguos y en ese orden?.

filtro <- subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Laura" & Cn.nombres[,2] == "Oscar")
frecuencia <- nrow(filtro)
paste("Existen ", frecuencia, " ocasiones en que se encuentran Laura y Oscar juntos en ese orden, de un total de ", nrow(Cn.nombres), " representan ", round(frecuencia / nrow(Cn.nombres) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  1  ocasiones en que se encuentran Laura y Oscar juntos en ese orden, de un total de  66  representan  1.52 %"
filtro
##      [,1]    [,2]   
## [1,] "Laura" "Oscar"

En las combinaciones de nombres de dos en dos, ¿en cuántas ocasiones existe Oscar en la primer columna de todo el espacio muestral?

filtro <- subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Oscar")
filtro
##      [,1]    [,2]      
## [1,] "Oscar" "Paco"    
## [2,] "Oscar" "Paty"    
## [3,] "Oscar" "Rubén"   
## [4,] "Oscar" "Stephany"
frecuencia <- nrow(filtro)
paste("Existen ", frecuencia, " ocasiones en que se encuentran Oscar en la primer columna  , de un total de ", nrow(Cn.nombres), " representan ", round(frecuencia / nrow(Cn.nombres) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  4  ocasiones en que se encuentran Oscar en la primer columna  , de un total de  66  representan  6.06 %"

En cuántas ocasiones aparece en primera columna Oscar y Paco o Paty en segunda columna

filtro <- subset(Cn.nombres, Cn.nombres[,1] == "Oscar" & (Cn.nombres[,2] == "Paco" | Cn.nombres[,2] == "Paty"))
filtro
##      [,1]    [,2]  
## [1,] "Oscar" "Paco"
## [2,] "Oscar" "Paty"
frecuencia <- nrow(filtro)
paste("Existen ", frecuencia, " ocasiones en que se encuentran aparece en primera columna Oscar y Paco o Paty en segunda columna, de un total de ", nrow(Cn.nombres), " representan ", round(frecuencia / nrow(Cn.nombres) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  2  ocasiones en que se encuentran aparece en primera columna Oscar y Paco o Paty en segunda columna, de un total de  66  representan  3.03 %"

4.1.2 * Intepretación Sobre La Actividad No. 2 - Empresas

En cuántas ocasiones aparece de manera contigua y en este orden las empresas de Arca Continental y Bimbo en primera y segunda columna respectivamente.

filtro <- subset(Cn.empresas, (Cn.empresas[,1] == "Arca Continental" & Cn.empresas[,2] == "Bimbo"))
frecuencia <- nrow(filtro)
paste("Existen ", frecuencia, " aparece de manera contigua y en este orden las empresas de Arca Continental y Bimbo en cualquier columna , de un total de ", nrow(Cn.empresas), " representan ", round(frecuencia / nrow(Cn.empresas) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  56  aparece de manera contigua y en este orden las empresas de Arca Continental y Bimbo en cualquier columna , de un total de  252  representan  22.22 %"
filtro
##       [,1]               [,2]    [,3]        [,4]        [,5]      
##  [1,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Liverpool" "Movistar"
##  [2,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Liverpool" "Sears"   
##  [3,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Liverpool" "Telcel"  
##  [4,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Liverpool" "Televisa"
##  [5,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Liverpool" "Telmex"  
##  [6,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Liverpool" "Walmart" 
##  [7,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Movistar"  "Sears"   
##  [8,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Movistar"  "Telcel"  
##  [9,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Movistar"  "Televisa"
## [10,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Movistar"  "Telmex"  
## [11,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Movistar"  "Walmart" 
## [12,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Sears"     "Telcel"  
## [13,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Sears"     "Televisa"
## [14,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Sears"     "Telmex"  
## [15,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Sears"     "Walmart" 
## [16,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Telcel"    "Televisa"
## [17,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Telcel"    "Telmex"  
## [18,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Telcel"    "Walmart" 
## [19,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Televisa"  "Telmex"  
## [20,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Televisa"  "Walmart" 
## [21,] "Arca Continental" "Bimbo" "Carso"     "Telmex"    "Walmart" 
## [22,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Movistar"  "Sears"   
## [23,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Movistar"  "Telcel"  
## [24,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Movistar"  "Televisa"
## [25,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Movistar"  "Telmex"  
## [26,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Movistar"  "Walmart" 
## [27,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Sears"     "Telcel"  
## [28,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Sears"     "Televisa"
## [29,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Sears"     "Telmex"  
## [30,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Sears"     "Walmart" 
## [31,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Telcel"    "Televisa"
## [32,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Telcel"    "Telmex"  
## [33,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Telcel"    "Walmart" 
## [34,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Televisa"  "Telmex"  
## [35,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Televisa"  "Walmart" 
## [36,] "Arca Continental" "Bimbo" "Liverpool" "Telmex"    "Walmart" 
## [37,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Sears"     "Telcel"  
## [38,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Sears"     "Televisa"
## [39,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Sears"     "Telmex"  
## [40,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Sears"     "Walmart" 
## [41,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Telcel"    "Televisa"
## [42,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Telcel"    "Telmex"  
## [43,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Telcel"    "Walmart" 
## [44,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Televisa"  "Telmex"  
## [45,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Televisa"  "Walmart" 
## [46,] "Arca Continental" "Bimbo" "Movistar"  "Telmex"    "Walmart" 
## [47,] "Arca Continental" "Bimbo" "Sears"     "Telcel"    "Televisa"
## [48,] "Arca Continental" "Bimbo" "Sears"     "Telcel"    "Telmex"  
## [49,] "Arca Continental" "Bimbo" "Sears"     "Telcel"    "Walmart" 
## [50,] "Arca Continental" "Bimbo" "Sears"     "Televisa"  "Telmex"  
## [51,] "Arca Continental" "Bimbo" "Sears"     "Televisa"  "Walmart" 
## [52,] "Arca Continental" "Bimbo" "Sears"     "Telmex"    "Walmart" 
## [53,] "Arca Continental" "Bimbo" "Telcel"    "Televisa"  "Telmex"  
## [54,] "Arca Continental" "Bimbo" "Telcel"    "Televisa"  "Walmart" 
## [55,] "Arca Continental" "Bimbo" "Telcel"    "Telmex"    "Walmart" 
## [56,] "Arca Continental" "Bimbo" "Televisa"  "Telmex"    "Walmart"

En cuántas ocasiones aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Carso y Telmex en primera y segunda columna respectivamente.

filtro <- subset(Cn.empresas, (Cn.empresas[,1] == "Carso" & Cn.empresas[,2] == "Telmex"))
frecuencia <- nrow(filtro)
paste("Existen ", frecuencia, " aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Carso y Telmex en cualquier columna , de un total de ", nrow(Cn.empresas), " representan ", round(frecuencia / nrow(Cn.empresas) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  0  aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Carso y Telmex en cualquier columna , de un total de  252  representan  0 %"
filtro
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]

¿En cuántas ocasiones aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Bimbo y Telcel en cualquier columna uno y dos, dos y tres, tres y cuatro o cuatro y cinco?

filtro <- subset(Cn.empresas, (Cn.empresas[,1] == "Bimbo" & Cn.empresas[,2] == "Telcel") 
                 | (Cn.empresas[,2] == "Bimbo" & Cn.empresas[,3] == "Telcel") 
                 | 
                   (Cn.empresas[,3] == "Bimbo" & Cn.empresas[,4] == "Telcel") 
                 | (Cn.empresas[,4] == "Bimbo" & Cn.empresas[,5] == "Telcel"))
frecuencia <- nrow(filtro)
paste("Existen ", frecuencia, " aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Bimbo y Telcel en cualquier columna, de un total de ", nrow(Cn.empresas), " representan ", round(frecuencia / nrow(Cn.empresas) * 100, 2), "%")
## [1] "Existen  4  aparece de manera contigua y en este orden los equipos de Bimbo y Telcel en cualquier columna, de un total de  252  representan  1.59 %"
filtro
##      [,1]               [,2]     [,3]       [,4]       [,5]     
## [1,] "Arca Continental" "Bimbo"  "Telcel"   "Televisa" "Telmex" 
## [2,] "Arca Continental" "Bimbo"  "Telcel"   "Televisa" "Walmart"
## [3,] "Arca Continental" "Bimbo"  "Telcel"   "Telmex"   "Walmart"
## [4,] "Bimbo"            "Telcel" "Televisa" "Telmex"   "Walmart"

5 Referencias Bibliográficas

  • Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.

  • Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.

  • Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.

  • Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.