Caso 05 Espacio Muestral
Marco Antonio Mauricio Martínez
2023-02-24
1 Objetivo
Crear eventos a partir de un espacio muestral de alumnos.
2 Descripción
Se crea un espacio muestral de alumno llamando una función que se encuentra en la dirección de github.com
Se carga ejecutando la función
Se describen los datos con summary()
Se crean algunos eventos relativos al espacio muestral
3 Fundamento teórico
Al hacer diseños experimentales, estudios observacionales y estudios retrospectivos, el resultado final es un conjunto de datos que, por supuesto, está sujeto a la incertidumbre.
Aunque sólo uno de ellos tiene la palabra experimento en su descripción, el proceso de generar los datos o el proceso de observarlos forma parte de un experimento. (Walpole, Myers, and Myers 2012).
El espacio muestral se define con una literal matemática \(S\) e implica el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se le llama El espacio muestral y se representa con el símbolo S. (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2010).
A cada resultado en un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente punto muestral. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos, podemos listar los miembros separados por comas y encerrarlos entre llaves.
La imagen siguiente identifica que el resultado de un experimento es el espacio muestral a partir de ahí se puede construir eventos que se utilizan para calcular probabilidades.
Por consiguiente, el espacio muestral \(S\), es el conjunto de los resultados posibles o eventos.
Cuando se lanza una moneda al aire, se puede escribir como:
\[ S = \text{{'aguila', 'sello'}} \]
Por ejemplo si se construye todo el espacio muestral de tirar un solo dado y conocer las posibles resultados de los puntos que se ven cara arriba del dado, sería que un dado puede caer 1, 2, 3, 4, 5 o 6 entonces. Los valores del 1 al 6 son los puntos muestrales de \(S\).
\[ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \]
Los espacios muestrales con un número grande o infinito de puntos muestrales se describen mejor mediante un enunciado o método de la regla.
Por ejemplo, si el conjunto de resultados posibles de un experimento fuera el conjunto de ciudades en el mundo con una población de más de un millón de habitantes, nuestro espacio muestral se escribiría como:
\[ S = \text{x | x ciudades con pobación de mas de un millón de habitantes} \]
Se lee: \(S\) es el conjunto de todas las x’s, tales que x es una ciudad con una población de más de un millón de habitantes.
Ahora bien, el concepto de eventos tiene que ver con un conjunto de puntos muestrales. Evento es un subconjunto de todo el espacio muestral.
De tal forma que en el caso del experimento de tirar un dado, el espacio muestral
Puede tener tal vez tres eventos en los que le interese al investigador:
E2, los números impares, es decir los nones o que no son pares.
Entonces, se pueden identificar ciertos eventos del espacio muestral.
E1: Los alumnos con promedio mayor a 85
E2: Los alumnos del género femenino
E3: Los alumnos de la carrera de sistemas o de otra carrera;
E4: Los alumnos con peso igual o superior a 80 kgs ;
Los eventos E1, E2, E3, E4 y cualquier otro evento siendo subconjuntos de todo el espacio muestral contienen puntos muestrales o elementos, que sirven para concluir con algunas ideas, además, estos eventos pueden combinarse unos con otros de tal forma que pueden conformar otros eventos o conjuntos y enriquecer aún más las ideas concluyentes.
4 Desarrollo
4.1 Función which()
Antes de ver algunos ejemplos se recomienda entender la función which() que se utiliza para determinar posiciones de un vector bajo una expresión de comparación. Luego esas posiciones sirven para acceder a los elementos de un vector.
Se presenta un ejercicio para probar la función which().
La función which() devuelve la posición o índice (index) de un elemento dentro de un vector, ejemplo, se tienen 12 números:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 30 | 40 | 50 | 60 | 20 | 10 | 40 | 20 | 50 | 40 | 60 | 50 |
Sólo las posiciones 1, 5, 6 y 8 tienen valores por debajo de 40 que equivalen a 30, 20, 10 y 20 respectivamente.
Con la función which() se encuentran las posiciones de ese vector y luego haciendo uso de [posiciones] se encuentran los valores que están por debajo de 40.
numeros <- c(30,40,50,60,20,10,40,20,50,40,60,50)
numeros## [1] 30 40 50 60 20 10 40 20 50 40 60 50n <- length(numeros)4.2 Posiciones y valores con which()
posiciones <- which(numeros < 40)
paste("Las posiciones o índices (index)")## [1] "Las posiciones o índices (index)"posiciones## [1] 1 5 6 8numeros[posiciones]## [1] 30 20 10 204.3 Espacios muestrales
Se construye espacios muestrales y alguno eventos respectivos de experimentos de lanzar un dado y de contar alumnos inscritos en una institución de educación superior.
4.3.1 Dados
El espacio muestral de tirar un dado y sus seis posibles valores que pueda caer.
S <- c(1,2,3,4,5,6)
S## [1] 1 2 3 4 5 64.3.1.1 Evento pares
Regresando al caso del dado. Con esa misma función which() se construyen los eventos para el caso de un solo dado.
El operador %in% evalúa si los valores de S están en el vector c(2,4,5). Con la función paste() se muestra el mensaje.
pares <- S[which(S %in% c(2, 4, 6))]
pares## [1] 2 4 6paste("Los números pares ")## [1] "Los números pares "paste(pares)## [1] "2" "4" "6"paste("Existen ", length(pares), " puntos muestrales del total de ", length(S) , " que tiene S")## [1] "Existen 3 puntos muestrales del total de 6 que tiene S"4.3.1.2 Evento nones
El operador %in% evalúa si los valores de S están en el vector c(1,3,5). Con la función paste() se muestra el mensaje.
nones <- S[which(S %in% c(1, 3, 5))]
paste("Los números impares ")## [1] "Los números impares "paste(nones)## [1] "1" "3" "5"paste("Existen ", length(nones), " puntos muestrales del total de ", length(S) , " que tiene S")## [1] "Existen 3 puntos muestrales del total de 6 que tiene S"4.3.1.3 Evento menores a 4
El operador < evalúa si los valores de S están por debajo de cuatro.
menor.cuatro <- S[which(S < 4)]
menor.cuatro## [1] 1 2 3paste(menor.cuatro)## [1] "1" "2" "3"paste("Existen ", length(menor.cuatro), " puntos muestrales del total de ", length(S) , " que tiene S")## [1] "Existen 3 puntos muestrales del total de 6 que tiene S"paste("Existen ", length(menor.cuatro), " puntos muestrales del total de ", length(S) , " que tiene S")## [1] "Existen 3 puntos muestrales del total de 6 que tiene S"4.3.2 Alumnos
Crear espacio muestral alumnos
\[ S = alumnos = \text{{x | x son estudiantes inscritos en una institución educativa de nivel superior}} \]
4.3.2.1 Cargar la función
Se carga la función que se encuentra en github.com
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/main/funciones/funcion%20crea%20alumnos.r") 4.3.2.2 Crear data.frame alumnos
Se crea un conjunto de datos en un data.frame llamado alumnos.
alumnos <- genAlumnos(10000, 1156)4.3.2.2.1 Factorizar alumnos
Factorizar significa categorizar variables que son de tipo character o textos y se puede utilizar para identificar frecuencias con datos character y/o tipo factor con la función summary().
Utilizar la función as.factor() para factorizar o categorizar en estadística y en el ámbito de ciencia de los datos significa limpiar datos, transformar datos y preparar datos para realizar análisis posteriores.
alumnos$matricula <- as.factor(alumnos$matricula)
alumnos$carrera <- as.factor(alumnos$carrera)
alumnos$genero <- as.factor(alumnos$genero)4.3.2.3 Mostrar diez registros iniciales
head(alumnos, 10)## matricula carrera genero promedio edad peso altura
## 1 1 ELECTRICA F 87.23 21 59.80 159.80
## 2 2 INDUSTRIAL M 84.45 21 79.27 179.27
## 3 3 INFORMATICA M 89.89 22 82.43 182.43
## 4 4 BIOQUIMICA F 83.53 20 62.56 162.56
## 5 5 CIVIL F 83.23 20 64.82 164.82
## 6 6 MECATRONICA M 92.11 23 80.68 180.68
## 7 7 ELECTRICA M 86.15 21 77.70 177.70
## 8 8 TIC F 91.62 23 58.46 158.46
## 9 9 ARQUITECTURA F 80.54 19 56.31 156.31
## 10 10 TIC M 85.62 21 77.43 177.434.3.2.4 Mostrar diez registros finales
tail(alumnos, 10)## matricula carrera genero promedio edad peso altura
## 9991 9991 INDUSTRIAL M 82.34 20 76.24 176.24
## 9992 9992 ELECTRONICA M 86.09 21 82.96 182.96
## 9993 9993 ELECTRICA M 85.56 21 77.86 177.86
## 9994 9994 CIVIL M 83.60 20 78.94 178.94
## 9995 9995 MECATRONICA M 88.58 22 83.61 183.61
## 9996 9996 QUIMICA F 81.24 20 60.63 160.63
## 9997 9997 ADMINISTRACION M 93.21 23 84.33 184.33
## 9998 9998 INDUSTRIAL M 86.67 21 77.73 177.73
## 9999 9999 ARQUITECTURA F 77.32 18 61.93 161.93
## 10000 10000 BIOQUIMICA F 84.17 20 60.86 160.864.3.2.5 Estructura de los datos
str() muestra la estructura de los datos.
str(alumnos)## 'data.frame': 10000 obs. of 7 variables:
## $ matricula: Factor w/ 10000 levels "1","2","3","4",..: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ carrera : Factor w/ 13 levels "ADMINISTRACION",..: 5 7 8 3 4 10 5 13 2 13 ...
## $ genero : Factor w/ 2 levels "F","M": 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 ...
## $ promedio : num 87.2 84.5 89.9 83.5 83.2 ...
## $ edad : num 21 21 22 20 20 23 21 23 19 21 ...
## $ peso : num 59.8 79.3 82.4 62.6 64.8 ...
## $ altura : num 160 179 182 163 165 ...4.3.2.6 Describir los datos
La función summary() identifica los principales estadísticos descriptivos de los datos.
summary(alumnos)## matricula carrera genero promedio edad
## 1 : 1 TIC : 832 F:5124 Min. :72.39 Min. :17.00
## 2 : 1 BIOQUIMICA : 807 M:4876 1st Qu.:83.60 1st Qu.:20.00
## 3 : 1 MECATRONICA: 793 Median :86.01 Median :21.00
## 4 : 1 CIVIL : 790 Mean :85.98 Mean :20.99
## 5 : 1 ELECTRONICA: 786 3rd Qu.:88.32 3rd Qu.:22.00
## 6 : 1 SISTEMAS : 786 Max. :98.48 Max. :25.00
## (Other):9994 (Other) :5206
## peso altura
## Min. :52.15 Min. :152.2
## 1st Qu.:59.98 1st Qu.:160.0
## Median :64.55 Median :164.6
## Mean :69.73 Mean :169.7
## 3rd Qu.:79.84 3rd Qu.:179.8
## Max. :91.26 Max. :191.3
## 4.3.3 Eventos de alumnos
Se crean los eventos de alumnos
4.3.3.1 Alumnos de una carrera ‘SISTEMAS’
Con la función subset() se filtran o selecconan registros con una condición dada.
Con la función nrow() se determinan la cantidad de registros de sistemas. nrow() actúa sobre un data.frame y lenght() sobre un vector.
sistemas <- subset(alumnos, carrera == 'SISTEMAS')
nrow(sistemas)## [1] 786summary(sistemas)## matricula carrera genero promedio edad
## 29 : 1 SISTEMAS :786 F:407 Min. :76.36 Min. :18.00
## 45 : 1 ADMINISTRACION: 0 M:379 1st Qu.:83.95 1st Qu.:20.00
## 57 : 1 ARQUITECTURA : 0 Median :86.25 Median :21.00
## 65 : 1 BIOQUIMICA : 0 Mean :86.16 Mean :21.05
## 84 : 1 CIVIL : 0 3rd Qu.:88.25 3rd Qu.:22.00
## 86 : 1 ELECTRICA : 0 Max. :98.33 Max. :25.00
## (Other):780 (Other) : 0
## peso altura
## Min. :53.49 Min. :153.5
## 1st Qu.:60.12 1st Qu.:160.1
## Median :63.88 Median :163.9
## Mean :69.65 Mean :169.6
## 3rd Qu.:79.93 3rd Qu.:179.9
## Max. :88.46 Max. :188.5
## 4.3.3.2 Evento femeninos
femeninos <- subset(alumnos, genero == 'F')
summary(femeninos)## matricula carrera genero promedio edad
## 1 : 1 BIOQUIMICA : 420 F:5124 Min. :73.84 Min. :17
## 4 : 1 TIC : 418 M: 0 1st Qu.:83.67 1st Qu.:20
## 5 : 1 SISTEMAS : 407 Median :86.09 Median :21
## 8 : 1 INFORMATICA: 401 Mean :86.03 Mean :21
## 9 : 1 MECATRONICA: 399 3rd Qu.:88.38 3rd Qu.:22
## 11 : 1 CIVIL : 396 Max. :98.48 Max. :25
## (Other):5118 (Other) :2683
## peso altura
## Min. :52.15 Min. :152.2
## 1st Qu.:58.55 1st Qu.:158.6
## Median :60.07 Median :160.1
## Mean :60.07 Mean :160.1
## 3rd Qu.:61.61 3rd Qu.:161.6
## Max. :68.28 Max. :168.3
## 4.3.3.3 Evento masculinos
masculinos <- subset(alumnos, genero == 'M')
summary(masculinos)## matricula carrera genero promedio edad
## 2 : 1 TIC : 414 F: 0 Min. :72.39 Min. :17.00
## 3 : 1 CIVIL : 394 M:4876 1st Qu.:83.52 1st Qu.:20.00
## 6 : 1 MECATRONICA : 394 Median :85.94 Median :21.00
## 7 : 1 ELECTRONICA : 391 Mean :85.93 Mean :20.98
## 10 : 1 BIOQUIMICA : 387 3rd Qu.:88.27 3rd Qu.:22.00
## 13 : 1 ADMINISTRACION: 380 Max. :98.33 Max. :25.00
## (Other):4870 (Other) :2516
## peso altura
## Min. :69.24 Min. :169.2
## 1st Qu.:77.79 1st Qu.:177.8
## Median :79.95 Median :179.9
## Mean :79.89 Mean :179.9
## 3rd Qu.:82.01 3rd Qu.:182.0
## Max. :91.26 Max. :191.3
## 5 Interpretación
Se simulan dos experimentos: el primero es tirar un dado y se identifica su espacio muestral y el segundo es los estudiantes que son espacio muestral de alumnos inscritos.
Se construyeron espacios muestrales de dados siendo 6 los puntos muestrales del dado y 5000 de alumnos.
A partir de los espacios muestrales se construyeron eventos.
El espacio muestral del dado su estructura es un vector y el espacio muestral de alumnos la estructura es un data.frame.
Modificar con un valor de 10000 alumnos \(n\) del espacio muestral y semilla de los últimos cuatro dígitos de su número de control conteste lo siguiente:
¿Cuántos alumnos son del género Femenino y en qué porcentaje %?
La cantidad de alumnos del género femenino son 5124 y representan el 51.24%.
paste("Cantidad de alumnas:", length(which(alumnos$genero == "F")))## [1] "Cantidad de alumnas: 5124"paste("Porcentaje de alumnas:", length(which(alumnos$genero == "F")) / length(alumnos$genero) * 100,'%')## [1] "Porcentaje de alumnas: 51.24 %"¿Cuántos alumnos son del género Masculino y en qué porcentaje %?
La cantidad de alumnos del género masculino son 4876 y representan el 48.76%.
paste("Cantidad de alumnos:", length(which(alumnos$genero == "M")))## [1] "Cantidad de alumnos: 4876"paste("Porcentaje de alumnos:", length(which(alumnos$genero == "M")) * 100 / length(alumnos$genero),'%')## [1] "Porcentaje de alumnos: 48.76 %"¿Cuántos alumnos tiene promedio mayor que 92 y en qué porcentaje %?
La cantidad de alumnos con promedio mayor a 92 son 396 y representan el 3.96%.
paste("Cantidad de alumnos con promedio mayor a 9.2:", length(which(alumnos$promedio > 92)))## [1] "Cantidad de alumnos con promedio mayor a 9.2: 396"paste("Porcentaje de alumnos con promedio mayor a 9.2:", length(which(alumnos$promedio > 92)) * 100 / length(alumnos$promedio), "%")## [1] "Porcentaje de alumnos con promedio mayor a 9.2: 3.96 %"¿De qué carrera hay más y menos alumnos y en que porcentaje?
La carrera con más alumnos es TICs, con 832 alumnos, que representan el 8.32% del total de alumnos, mientras que la carrera con menos alumnos es Mecánica, con 712 alumnos, representando el 7.12% del total.
# Recogemos el nombre de la carrera con más y menos repeticiones MaxAlumnosNombre = names(which.max(table(alumnos$carrera))) MinAlumnosNombre = names(which.min(table(alumnos$carrera))) # Recogemos su valor MaxAlumnos = max(table(alumnos$carrera)) MinAlumnos = min(table(alumnos$carrera)) # Calculamos el porcentaje respecto al total MaxPorcentaje = MaxAlumnos * 100 / length(alumnos$carrera) MinPorcentaje = MinAlumnos * 100 / length(alumnos$carrera) paste("La carrera en la que hay más alumnos es",MaxAlumnosNombre, "con",MaxAlumnos, "alumnos representando el", MaxPorcentaje, "%")## [1] "La carrera en la que hay más alumnos es TIC con 832 alumnos representando el 8.32 %"paste("La carrera en la que hay menos alumnos es",MinAlumnosNombre, "con",MinAlumnos, "alumnos representando el", MinPorcentaje, "%")## [1] "La carrera en la que hay menos alumnos es MECANICA con 712 alumnos representando el 7.12 %"¿Cuántos alumnos son de la carrera de SISTEMAS y en qué porcentaje?
Hay 786 alumnos inscritos en la carrera de sistemas y representan el 7.86%.
paste("Cantida de alumnos en Sistemas:", length(which(alumnos$carrera == "SISTEMAS")))## [1] "Cantida de alumnos en Sistemas: 786"paste("Porcentaje de alumnos inscritos en Sitemas:", length(which(alumnos$carrera == "SISTEMAS")) * 100 / length(alumnos$carrera),"%")## [1] "Porcentaje de alumnos inscritos en Sitemas: 7.86 %"¿Hay más alumnos de SISTEMAS o de CIVIL?
Podemos ver que hay 4 alumnos más inscritos en la carrera de Ing. Civil, por tanto, hay más alumnos en Civil.
paste("Alumnos inscritos en Sistemas:", length(which(alumnos$carrera == "SISTEMAS")))## [1] "Alumnos inscritos en Sistemas: 786"paste("Alumnos inscritos en Civil:", length(which(alumnos$carrera == "CIVIL")))## [1] "Alumnos inscritos en Civil: 790"¿Cuántos alumnos están por encima del 180 cms?
Hay 2399 alumnos que miden más de 180cm.
paste("Alumnos que miden más de 180cm:", length(which(alumnos$altura > 180)))## [1] "Alumnos que miden más de 180cm: 2399"¿Cuántos alumnos tienen un peso por debajo de 60 kgs?
Hay 2512 alumnos que pesan menos de 60 Kgs.
paste("Alumnos con peso menor a 60Kgs:", length(which(alumnos$peso < 60)))## [1] "Alumnos con peso menor a 60Kgs: 2512"
6 Bibliografía
Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.