Riesgo y posibles resultados

Bajo riesgo, el resultado de cualquier acción no es conocida con certeza, y los resultados son usualmente representados por una función de frecuencias.

# Datos sobre eventos hipotéticos
event <- c(1, 2, 3)
probability <- c(1/6, 3/6, 2/6)
returns <- c(0.12, 0.09, 0.06)

mydata <- data.frame(event, probability, returns) 
mydata

##   event probability returns
## 1     1   0.1666667    0.12
## 2     2   0.5000000    0.09
## 3     3   0.3333333    0.06

Activos de riesgo

Retorno esperado / retorno promedio

\[ E(R_i) = \bar{R_i} = \sum_{j = 1}^{J}{P_{ij} R_{ij}} \] \[ E(R_i) = \bar{R_i} = \int_{-\infty}^{\infty}{R_i* f(R_i)}dR_i \]

Propiedades:

1. \(E(\alpha R_{1} + \beta R_{2}) = \alpha E(R_{1}) + \beta E(R_{2})\)
2. \(E(K) = K\)
3. \(E(\alpha R_{1} + K) = \alpha E(R_{1}) + K\)

Trabajo en R

# Retornos sobre varios activos
event <- c("A", "B", "C")
probability <- c(1/3, 1/3, 1/3)
rAsset1 <- c(0.15, 0.09, 0.03)
rAsset2 <- c(0.16, 0.10, 0.04)
rAsset3 <- c(0.01, 0.10, 0.19)
rAsset5 <- c(0.16, 0.10, 0.04)

table42 <- data.frame(event, probability, rAsset1, rAsset2, rAsset3, rAsset5) 
table42

##   event probability rAsset1 rAsset2 rAsset3 rAsset5
## 1     A   0.3333333    0.15    0.16    0.01    0.16
## 2     B   0.3333333    0.09    0.10    0.10    0.10
## 3     C   0.3333333    0.03    0.04    0.19    0.04

r1 <- probability * rAsset1
r1

## [1] 0.05 0.03 0.01

Retorno del activo 1

sum(r1)

## [1] 0.09

Retorno de todos los activos

r <- c(sum(probability * rAsset1), sum(probability * rAsset2), sum(probability * rAsset3), sum(probability * rAsset5))
r

## [1] 0.09 0.10 0.10 0.10

Usando una función especial

weighted.mean(rAsset1, probability)

## [1] 0.09

prod <- probability * table42[ ,3:6]
prod

##   rAsset1    rAsset2     rAsset3    rAsset5
## 1    0.05 0.05333333 0.003333333 0.05333333
## 2    0.03 0.03333333 0.033333333 0.03333333
## 3    0.01 0.01333333 0.063333333 0.01333333

apply(prod, 2, sum)

## rAsset1 rAsset2 rAsset3 rAsset5 
##    0.09    0.10    0.10    0.10

library(data.table)
mydata <- fread("https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vTmo-Z95Qurudv8xzVi118XEQ9H749SkRjfHq-j_-FqN9zNcC2dGSA9njY7t9jtvJSFVxIkqTRlSMHZ/pub?output=tsv")
mydata

##     month micro  dell    ge
##  1:   Jan -0.66 -2.88 10.11
##  2:   Feb -3.55 20.29  4.57
##  3: March -4.48 -8.34 -4.16
##  4: April  2.09  6.62  2.00
##  5:   May -2.89  3.94 -3.96
##  6:  June  3.96  3.67 -3.21
##  7:  July  5.38 -2.58 -5.04
##  8:   Aug -2.34 -8.47 -8.93
##  9:  Sept -6.43 -4.88 -5.76
## 10:   Oct  6.99 11.81  9.79
## 11:   Nov -3.19 -0.32 -4.79
## 12:   Dec  1.49 -7.17 13.64

average <- apply(mydata[, 2:4], 2, mean)
average

##      micro       dell         ge 
## -0.3025000  0.9741667  0.3550000

Activos de Riesgo: Dispersión

\[ V(R_i) = \sigma_i^2 = E(R_i - E(R_i))^2 = E(R_i^2) - [E(R_i)]^2 \]

\[ \sigma_i^2 = \left \{ \begin{array}{ll} \sum_{j = 1}^{J}{P_i (R_{ij} - E(R_{ij}))^2} & para \quad v.a.d. \\ \\ \int_{-\infty}^{\infty}{(R_i - E(R_i))^2 f(R_i)}dR_i & para \quad v.a.c. \end{array} \right. \]

Propiedades:

1. \(V(\alpha R_{1} + \beta R_{2}) = \alpha^2 V(R_{1}) + \beta^2 V(R_{2}) + 2 \alpha \beta cov(R_1, R_2)\)
2. \(V(K) = 0\)
3. \(V(\alpha R_{1} + K) = \alpha^2 V(R_{1})\)

std <- apply(mydata[ , 2:4], 2, sd)
std

##    micro     dell       ge 
## 4.236566 8.760252 7.459210

Portafolios

Medidas relevantes en un portafolio

Retorno de un portafolio:

\[ R_{p} = \sum_{i = 1}^{N}{X_i R_{i}}\] \[ \sum_{i = 1}^{N}{X_i} = 1 \quad \left \{ \begin{array}{l} \text{Sin operaciones en corto} \quad 0 \leqslant X_i \leqslant 1 \\ \text{Con operaciones en corto} \quad X_i \in \Re \end{array} \right. \]

\[\bar{R}_{p} = E(R_{p}) = \sum_{i = 1}^{N}{X_i \bar{R}_{i}}\]

port1 <- 0.5 * mydata$micro + 0.5 * mydata$dell
port1 <- cbind(micro = mydata$micro, dell = mydata$dell, port1)
port1

##       micro  dell  port1
##  [1,] -0.66 -2.88 -1.770
##  [2,] -3.55 20.29  8.370
##  [3,] -4.48 -8.34 -6.410
##  [4,]  2.09  6.62  4.355
##  [5,] -2.89  3.94  0.525
##  [6,]  3.96  3.67  3.815
##  [7,]  5.38 -2.58  1.400
##  [8,] -2.34 -8.47 -5.405
##  [9,] -6.43 -4.88 -5.655
## [10,]  6.99 11.81  9.400
## [11,] -3.19 -0.32 -1.755
## [12,]  1.49 -7.17 -2.840

apply(port1, 2, mean)

##      micro       dell      port1 
## -0.3025000  0.9741667  0.3358333

Varianza de un portafolio

\[\sigma_{p}^2 = E(R_{p}- \bar{R}_p)^2 = \sum_{j = 1}^{N}{X_j^2 \sigma_j^2} + \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{k = 1, k \neq j}^{N}{X_j X_k \sigma_{jk}}}\]

apply(port1, 2, var)

##    micro     dell    port1 
## 17.94849 76.74201 28.12537

apply(port1, 2, sd)

##    micro     dell    port1 
## 4.236566 8.760252 5.303335

Covarianza entre dos activos

\[ \sigma_{mn} = E[(R_{mj}- \bar{R}_{m})(R_{nj}- \bar{R}_{n})]\]

cov(port1[, 1:2])

##           micro      dell
## micro 17.948493  8.905484
## dell   8.905484 76.742008

\[ \rho_{mn} = \frac{\sigma_{mn}} {\sigma_m \cdot \sigma_n} \]

Diversificación

L?mite de la diversificaci?n \[\sigma_{p}^2 = \sum_{j = 1}^{N}{X_j^2 \sigma_j^2} + \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{k = 1, k \neq j}^{N}{X_j X_k \sigma_{jk}}}\] \[ X_j = 1/N\] \[\sigma_{p}^2 =\frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N}{\frac{\sigma_j^2}{N}} + \frac{N-1}{N} \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{k = 1, k \neq j}^{N} \frac{\sigma_{jk}}{N(N-1)}}\] \[ \bar{\sigma}_j^2 = \frac{1}{N} \sigma_j^2\] \[\sigma_p^2 =\frac{1}{N} \bar{\sigma}_j^2 + \frac{N-1}{N}{\bar{\sigma}_{jk}}\]\[\lim_{N \rightarrow \infty}{\sigma_p^2} = ?\]

Correlacion/Covarianza

Definici?n correlaci?n/covarianza:

\[ \rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}} {\sigma_i \cdot \sigma_j} \] \[ -1 \leqslant \rho_{ij} \leqslant 1\]

cor(port1[ , 1:2])

##           micro      dell
## micro 1.0000000 0.2399534
## dell  0.2399534 1.0000000

Correlación positiva perfecta

\[ \rho = +1\]

\[ \bar{R}_p = X_C \bar{R}_C + (1 - X_C ) \bar{R}_S \] \[ \sigma_p = X_C \cdot \sigma_C + (1 - X_C ) \cdot \sigma_S \] \[ X_C = \frac{\sigma_P - \sigma_S}{\sigma_C - \sigma_S}\] \[ \bar{R}_P = \left( \bar{R}_S - \frac{\bar{R}_C - \bar{R}_S}{\sigma_C - \sigma_S} \sigma_S \right) + \left( \frac{\bar{R}_C - \bar{R}_S}{\sigma_C - \sigma_S}\right) \sigma_P \]

Correlación negativa perfecta:

\[ \rho = -1\]

\[ \bar{R}_p = X_C \bar{R}_C + (1 - X_C ) \bar{R}_S \]

\[ \sigma_p = \left\{ \begin{array}{ll} X_C \cdot \sigma_C - (1 - X_C ) \cdot \sigma_S & \\ -X_C \cdot \sigma_C + (1 - X_C ) \cdot \sigma_S & \end{array} \right.\]

\[ X_C = \frac{ \sigma_S}{\sigma_S + \sigma_C}\] \[\bar{R}_P = \left( \bar{R}_C + \frac{\bar{R}_C - \bar{R}_S}{\sigma_C-\sigma_S} \sigma_S \right) + \frac{\bar{R}_C - \bar{R}_S}{\sigma_C-\sigma_S} \sigma_P\]

Nula correlación:

\[ \rho = 0\]

\[ \bar{R}_p = X_C \bar{R}_C + (1 - X_C ) \bar{R}_S \] \[\sigma_P^2 = X_C^2 \sigma_C^2 + (1 - X_C)^2 \sigma_S^2 \] \[ X_C^\star = \frac{ \sigma_S^2}{\sigma_S^2 + \sigma_C^2}\]

Curva de portafolios posibles

El conjunto de puntos que describen los portafolios es llamada el conjunto factible o región factible (Luenberger, 1998, p. 155). La región factible tiene dos propiedades importantes:

• Si hay al menos tres activos no perfectamente correlacionados y con medias diferentes, el conjunto factible será una región sólida en dos dimensiones.
• La región factible es convexa a la izquierda.

Curva cóncava: cuando una linea recta conectando cualquier par de puntos sobre la curva se ubica totalmente bajo la curva.

Curva convexa: cuando se ubica enteramente por encima.

La recta puede ser considerada cualquiera tanto cóncava como convexa.

w <- seq(from = 0, to = 1, by = 0.1)
w

##  [1] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

portafolios <- cbind(w, 1-w)
portafolios

##         w    
##  [1,] 0.0 1.0
##  [2,] 0.1 0.9
##  [3,] 0.2 0.8
##  [4,] 0.3 0.7
##  [5,] 0.4 0.6
##  [6,] 0.5 0.5
##  [7,] 0.6 0.4
##  [8,] 0.7 0.3
##  [9,] 0.8 0.2
## [10,] 0.9 0.1
## [11,] 1.0 0.0

rPortafolios <- apply(portafolios, 1, function(x) mean(x[1] * mydata$micro + x[2] * mydata$dell))
portafolios <- cbind(portafolios, rPortafolios)
portafolios

##         w     rPortafolios
##  [1,] 0.0 1.0   0.97416667
##  [2,] 0.1 0.9   0.84650000
##  [3,] 0.2 0.8   0.71883333
##  [4,] 0.3 0.7   0.59116667
##  [5,] 0.4 0.6   0.46350000
##  [6,] 0.5 0.5   0.33583333
##  [7,] 0.6 0.4   0.20816667
##  [8,] 0.7 0.3   0.08050000
##  [9,] 0.8 0.2  -0.04716667
## [10,] 0.9 0.1  -0.17483333
## [11,] 1.0 0.0  -0.30250000

portafolios

##         w     rPortafolios
##  [1,] 0.0 1.0   0.97416667
##  [2,] 0.1 0.9   0.84650000
##  [3,] 0.2 0.8   0.71883333
##  [4,] 0.3 0.7   0.59116667
##  [5,] 0.4 0.6   0.46350000
##  [6,] 0.5 0.5   0.33583333
##  [7,] 0.6 0.4   0.20816667
##  [8,] 0.7 0.3   0.08050000
##  [9,] 0.8 0.2  -0.04716667
## [10,] 0.9 0.1  -0.17483333
## [11,] 1.0 0.0  -0.30250000

plot(portafolios[, 1], portafolios[ , 3])

sdPortafolios <- apply(portafolios, 1, function(x) sd(x[1] * mydata$micro + x[2] * mydata$dell))
portafolios <- cbind(portafolios, sdPortafolios)
portafolios

##         w     rPortafolios sdPortafolios
##  [1,] 0.0 1.0   0.97416667      8.760252
##  [2,] 0.1 0.9   0.84650000      7.996468
##  [3,] 0.2 0.8   0.71883333      7.258277
##  [4,] 0.3 0.7   0.59116667      6.554331
##  [5,] 0.4 0.6   0.46350000      5.896907
##  [6,] 0.5 0.5   0.33583333      5.303335
##  [7,] 0.6 0.4   0.20816667      4.797375
##  [8,] 0.7 0.3   0.08050000      4.409291
##  [9,] 0.8 0.2  -0.04716667      4.172106
## [10,] 0.9 0.1  -0.17483333      4.112017
## [11,] 1.0 0.0  -0.30250000      4.236566

plot(portafolios[ , 4], portafolios[ , 3])

El conjunto de m?nima varianza y la frontera eficiente

El límite izquierdo del conjunto factible es llamado el portafolio de mínima varianza.

Frontera eficiente es aquella región que satisface a los inversionistas caracterizados tanto por la aversión al riesgo y la insaciabilidad.

El modelo de Markowitz

\[ Min \quad \frac{1}{2} \sum_{i,j = 1}^{N}{w_i w_j \sigma_{i,j}}\] \[s.a. \sum_{i=1}^{N}{w_i R_i} = R\] \[ \sum_{i = 1}^{N}{w_i} = 1\]

Un ejemplo de laboratorio

Suponga que hay tres activos no correlacionados. Cada uno tiene varianza 1, y las rentabilidades promedio son 1, 2, y 3, respectivamente. (Luenberger, 1998, pp. 159-160)

Efecto de la inclusi?n de un activo sin riesgo

\[ \bar{R}_C = (1-X) R_f + X \bar{R}_A \] \[ cov(R_f,R_A) = 0\] \[ \sigma_C = X \sigma_A\] \[ X = \frac{\sigma_C}{\sigma_A} \] \[ \bar{R}_C = R_f + \left( \frac{\bar{R}_A - R_f}{\sigma_A} \right) \sigma_C\]

Consideraciones adicionales sobre portafolios

1. Inflación
2. Incertidumbre de los retornos. Estacionariedad.
3. Información de corto plazo y decisiones de largo plazo.

Cálculo de la Frontera Eficiente

• Modelo básico

\[ \text{Max} \quad tan \theta = \frac{\bar{R}_P - R_F}{\sigma_P} \] \[\text{s.t.} \quad \sum_{i =1}^{N}{X_i} = 1 \]

Esto es: \(X_i\) : \[ \frac{\sum_{i =1}^{N}{X_i \bar{R}_i - R_F}}{\left[ \sum_{i =1}^{N}{X_i^2 \sigma_i^2} + \sum_{i =1}^{N} \sum_{j = 1, i \neq j}^{N} {X_i X_j \sigma_ij} \right]^{1/2}} \rightarrow Max \]

• Solución

\[ \lambda X_i^* \sigma_i^2 + \lambda \sum_{j =1, j \neq i }^{N}{X_j^* \sigma_{ij}} = \bar{R}_i - R_F\] \[ Z_i \sigma_i^2 + \sum_{j =1, j \neq i }^{N}{Z_j \sigma_{ij}} = \bar{R}_i - R_F\] Donde: \(\lambda = \frac{\bar{R}_P - R_F}{\sigma_P}\), \(Z_i = \lambda X_i\), \(X_i^* = \frac{{Z}_i}{\sum_{i = 1}^{N}{Z_i}}\)

CAPM: Capital Asset Pricing Model

Si el portafolio de mercado M es eficiente, el retorno esperado \(\bar{r}_i\) de cualquier activo \(i\) satisface: \[ \bar{r}_i - r_f = \beta_i (\bar{r}_M - r_f) \] d?nde: \[ \beta_i = \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}\]

Considere un portafolio conformado por una proporci?n \(X \in R\) invertida en el activo \(i\) y \(1-x\) en el portafolio de mercado M. \[\bar{r}_X = X \bar{r}_i + (1-X) \bar{r}_M \]

\[ \sigma_X = [X^2 \sigma_i^2 + 2X(1-X)\sigma_{iM} + (1-X)^2 \sigma_M^2]^{1/2} \]

Las derivadas con respecto a \(X\) son: \[ \frac{d\bar{r}_X}{dX} = \bar{r}_i - \bar{r}_M\] \[ \frac{d \sigma_X}{dX} = \frac{X\sigma_i^2 + (1-2X) \sigma_{iM} + (X-1)\sigma_M^2 }{\sigma_X} \]

La incremento en el riesgo del portafolio de mercado \(M\) por la inclusi?n del activo \(i\) es: \[\left. \frac{d \sigma_X}{dX} \right|_{X=0} = \frac{\sigma_{iM} - \sigma_M^2}{\sigma_M} \]

Usando la relaci?n entre derivadas: \[ \frac{d \bar{r}_X }{d \sigma_X} = \frac{d \bar{r}_X / dX}{d \sigma_X / dX}\] \[ \left. \frac{d \bar{r}_X }{d \sigma_X} \right|_{X=0} = \frac{(\bar{r}_i - \bar{r}_M)\sigma_M}{\sigma_{iM} - \sigma_M^2}\]

La pendiente de ese portafolio debe ser igual a la pendiente de la l?nea del mercado de capitales. Entonces: \[ \frac{(\bar{r}_i - \bar{r}_M)\sigma_M}{\sigma_{iM} - \sigma_M^2} = \frac{\bar{r}_{M} - r_f}{\sigma_M} \]

Un poco de ?lgebra para obtener \(r_i\): \[ \bar{r}_i = r_f + \left( \frac{\bar{r}_{M} - r_f}{\sigma_M^2}\right) \sigma_{iM} \] \[ \bar{r}_i = r_f + \beta_i (\bar{r}_{M} - r_f) \]

Beta de un portafolio

Sea el portafolio \(P\) con retorno \(r_P\) dado por: \[ r_P = \sum_{i = 1}^{n}{X_i r_i} \]

Recordando las propiedades de la covarianza: \[cov(r_P, r_M) = \sum_{i = 1}^{n}{X_i cov(r_i, r_M)}\]

El beta para un portafolio es el promedio ponderado de las betas de los activos en el portafolio: \[ \beta_P = \sum_{i = 1}^{n}{X_i \beta_i}\]

Supuestos del CAPM

1. No hay costos de transacción.
2. Los activos son infinitamente divisibles.
3. No hay impuestos personales.
4. Un individuo no es capaz de afecta el precio de una acción comprando o vendiendo activos.
5. Los inversionistas toman decisiones basados únicamente en términos de valores esperados y desviaciones estándar de los retornos en sus portafolios.
6. Las ventas en corto son permitidas.
7. Se puede prestar y pedir prestado a la tasa libre de riesgo.
8. Todos los inversionistas definen el periodo relevante de la misma manera.
9. Todos los inversionistas tienen idénticas expectativas con respecto a la información necesaria para tomar sus decisiones de inversión en portafolios.
10. Todos los activos son negociables (incluyendo el capital humano).

La línea del mercado de activos (Security market line)

Riesgo sistémico

Para hacer el modelo empíricamente válido, agregamos \(\varepsilon_i\) al CAPM: \[ \bar{r}_i = r_f + \beta_i (\bar{r}_{M} - r_f) + \varepsilon_i\]

Tomando \(E[.]\), tenemos \(E[\varepsilon_i]=0\), y tomando la correlación con \(r_M\), encontramos que \(cov(\varepsilon_i, r_M)=0\). Entonces, \[ \sigma_i^2 = \beta_i^2 \sigma_M^2 + var(\varepsilon_i) \] Riesgo del activo \(i\) = riesgo sistémico + riesgo no sistémico

El trabajo empírico en el CAPM

Estimación del beta

R y RStudio: https://ideas.repec.org/p/ebg/iesewp/d-0822.html Doc: Pablo Fernandez (2009). Betas used by professors: A survey with 2,500 answers. Web: Bloomberg Guide: Beta. http://guides.lib.byu.edu/c.php?g=216390&p=1428678

Evaluación del CAPM

1. Expectativas vs realizaciones o historia. Si se supone que las expectativas—en promedio—son correctas, entonces en largo periodos de tiempo los eventos pueden ser tomados como proxies de las expectativas.
2. Hipótesis que se deben mantener si uno acepta el CAPM:

• Mayores riesgos deben corresponder a mayores betas.
• El retorno debe estar linealmente relacionado con el beta. Es decir, debe tener la primera derivada constante.
• El riesgo no sistémico no debería ser retribuido (aumentar el retorno).

APT

Conceptualización

Modelo APT (Arbitrage Pricing Theory)

• Una aproximación multifactorial a la valoración de activos (Ross, 1976, 1977) Deriva los precios de los activos de argumentos de arbitraje.

• Basada en la ley del único precio: Dos activos idénticos no pueden tener precios diferentes.

• Los supuestos sobre la forma de la función de utilidad que son requeridos en el CAPM no son necesarios.

• Es un equilibrio más general que el asumido en el CAPM. No se limita a los dos primeros momentos.

• Esta teoría no suone que todos los inversionistas toman sus decisiones basados en el enfoque media-varianza. En este teoría lo único que se supone es que lo individuos prefieren mayores a menores retornos.

• Si requiere asumir expectativas homogéneas.

• En la práctica requiere menos información sobre las covarianzas de los activos en el mercado.

• Hay una estructura subyacente de factores que explican la mayor parte de la varianza de los activos en el mercado.

• En esta teoría se supone un universo considerablemente grande de activos.

APT: Especificación del modelo

El APT asume que los retornos están relacionados de manera lineal con un conjunto de índices: \[R_i = a_i + b_{i1}I_1 + b_{i2}I_2 +\cdots+ b_{ij}I_j + e_i\] Dónde:

• \(a_i\) : retorno esperado para el activo \(i\) si todos los índices tiene un valor de cero.

• \(I_j\) : Valor del \(j\)-ésimo índice que impacta los retornos del activo \(i\)

• \(b_{ij}\) : Medida de sensibilidad del retorno del activo \(i\) al \(j\)-ésimo indice.

• \(e_i\) : Término de error aleatorio con media cero y varianza \(\sigma_{ei}^2\)

La contribución de APT está en demostrar como (y bajo que condiciones) uno puede ir desde un modelo de multi-indices a una descripción del equilibrio.

Condiciones econométricas

Para que el modelo describa completamente los procesos generadores de los retornos debe ocurrir que:

\[ E(e_i e_j) = 0, \qquad \forall i \neq j\] \[ E[e_i (I_j - \bar{I}_j)] = 0, \qquad \forall i,j\]

APT: A factor approach

Suponga que hay \(n\) activos con retornos \(r_i\), \(i = 1,2,...,n\) y un factor \(f\) que es una variable cuantitativa aleatoria. Con esa información es posible construir un modelo de regresión:

\[ r_i = a_i + b_i f + e_i\] En este modelo, \(a_i\) es el intercepto y \(b_i\) son los factores de carga. Además, se cumplen las siguientes condiciones:

\[ E[e_i] = 0\] \[E[(f_i - \bar{f}) e_i] = 0\] \[E[e_i e_j] = 0, i \neq j \]

A partir de estas condiciones se pueden obtener los parámetros del análisis de media-varianza como:

\[\bar{r}_i = a_i + b_i \bar{f}\] \[\sigma_i^2 = b_i^2 \sigma_f^2 + \sigma_{e_i}^2\] \[\sigma_{ij} = b_i b_j \sigma_f^2, i \neq j \] \[ b_i = \frac {cov(r_i, f)} {\sigma_f^2} \]

Los parámetros de un portafolio con \(w_i\), \(\sum_{i=1}^n w_i = 1\)

\[r_p = \sum w_i a_i + \sum w_i b_i f + \sum w_i e_i \] que puede ser representado de manera simplificada como: \[r_p = a + b f + e\] donde: \[ \sigma_e^2 = E[e^2] = \sum w_i^2 \sigma_{e_i}^2 \] dado que \(E[e_i e_j] = 0, i \neq j\).

Límite de la diversificación: Asumiendo que \(\sigma_{e_i}^2 = s^2\) y \(w_i = 1/n\), se puede demostrar que \(\sigma_e^2 \rightarrow 0\).

APT: A two-factor approach

\[ r_i = a_i + b_{1i} f_1 + b_{2i} f_2 +e_i\] En este modelo, \(a_i\) es el intercepto y \(b_{1i}\) y \(b_{2i}\) son los factores de carga. Además, se cumplen las siguientes condiciones:

\[ E[e_i] = 0\] \[E[(f_{ki} - \bar{f}_{k}) e_i] = 0, k = 1, 2\] \[E[e_i e_j] = 0, i \neq j \]

A partir de estas condiciones se pueden obtener los parámetros del análisis de media-varianza como:

\[\bar{r}_i = a_i + b_{1i} \bar{f}_1 + b_{2i} \bar{f}_2\] \[cov(r_i, r_j) = b_{1i} b_{1j} \sigma_{f_1}^2 + (b_{1i} b_{2j} + b_{2i} b_{1j} )cov(f_1, f_2) + b_{2i} b_{2j} \sigma_{f_2}^2 +\sigma_{e_i}^2 ;\quad i \neq j \]

\[cov(r_i, r_j) = b_{1i}^2 \sigma_{f_1}^2 + 2 b_{1i} b_{2i} cov(f_1, f_2) + b_{2i}^2 \sigma_{f_2}^2 +\sigma_{e_i}^2 ;\quad i = j \] y los \(b_{1i}\) y \(b_{2i}\) puedes ser obtenidos resolviendo el siguiente sistema:

\[cov(r_i, f_1) = b_{1i} \sigma_{f_1}^2 + b_{2i} \sigma_{f_1.f_2}\] \[cov(r_i, f_2) = b_{1i}\sigma_{f_1.f_2} + b_{2i} \sigma_{f_2}^2\]

Selección de factores

1. Factores externos o de contexto: PIB, IPC, Tasa de desempleo, índices de la construcción, accidentalidad, morbilidad, percepción del sector (v.gr. Turismo y riesgo personal), etc.

2. Factores extraídos: Tasa de retorno del portafolio de mercado, retorno de otro activo individual, índices sobre canastas de acciones, o factores construidos a través del análisis de componentes principales, razón de retornos de dos activos individuales, número de días a un determinado pico de mercado, promedio móvil del retorno de mercado, etc.

3. Factores específicos de la firma: razón precio/ganancias, % de pago de dividendos, pronóstico de ganancias de la firma, ganancias trimestrales, etc. Esto puede llevar a un modelo como: \[r_i = a_i + b_i f + c g_i + e_i\]

APT: Una aproximación práctica y simple (Versión 1: Luenberger, 1998, p. 207-209)

Suponga que los retornos se pueden representar como un modelo unifactorial especial (esto es sin error): la única fuente de incertidumbre del activo \(i\) es el factor \(f\).

\[ r_i = a_i + b_i f \]

El objetivo clave es mostrar que \(a_i\) y \(b_i\) deben estar relacionados para que no haya oportunidades de arbitraje.

Asumiendo dos activos con \(b_i \neq b_j\), el espacio de portafolios posibles con estos dos activos es:

\[r_p = w(a_i + b_i f) + (1-w)(a_j + b_j f)\]

Que puede ser organizado como:

\[ r_p = [w a_i + (1-w) a_j] + [w b_i + (1-w)b_j]f \]

En este modelo, el riesgo del portafolio (variación en el retorno del activo \(i\)) depende del coeficiente de \(f\). Este coeficiente puede llegar a ser cero cuando:
\[ w = \frac {b_j}{b_j - b_i}\]

En este caso, el retorno del portafolio esta dado por: \[ r_p = \frac {a_i b_j}{b_j - b_i} - \frac {b_i a_j}{b_j - b_i} \]

Si este valor es denominado \(\lambda_0\), entonces podemos encontrar que:

\[ \frac {a_j - \lambda_0} {b_j} = \frac {a_i - \lambda_0} {b_i} = c \]

Y se hace evidente la relacion entre \(a_i\) y \(b_i\):

\[ a_i = \lambda_0 + b_i c \]

Entonces el retorno esperado (medio) del activo \(i\) puede ser calculado como: \[ r_i = \lambda_0 + b_i (c + \bar{f}) \] En esta expresion se excluye \(a_i\) debido a que es informacion redundante porque \(a_i = f(b_i)\). Si \(\lambda_1 = c + \bar{f}\), entonces: \[r_i = \lambda_0 + b_i \lambda_1\]

Una vez las constantes \(\lambda_0\) y \(\lambda_1\) son conocidas, el retorno experado del activo \(r_i\) es totalmente determinado por el factor de carga \(b_i\) dado que \(a_i\) es función de \(b_i\).

Si \(\lambda_0 = r_f\), y \(\lambda_1 = \bar{r}_M - r_f\), entonces \(b_i = \beta_i\) del CAPM.

Una formalizacion simplificada del APT

Supongase que hay \(n\) activos cuyas tasa de retorno son gobernadas por \(m<n\) factores de acuerdo con la equacion:

\[ r_i = a_i + \sum_{j = 1}^{m} {b_{ij}f_j}\] para \(i = 1,2,...,n\). Entonces hay una serie de constantes \(\lambda_0, \lambda_1, ..., \lambda_m\) tal que: \[ r_i=\lambda_0 + \sum_{j = 1}^{m} {b_{ij}\lambda_j} \] para \(i = 1,2,...,n\).

El valor \(\lambda_j\) es el precio del riesgo asociado al factor \(f_i\), frecuentemente llamado el precio del factor.

APT: Una aproximación práctica y simple. Version 2 (Elton & Gruber)

Suponga:

\[ R_i = a_i + b_{ij} I_1 + b_{i2} I_2 + e_i, \qquad E(e_i e_j) \approx 0 \]

Si un inversionita mantiene portafolios bien diversificados, entonces el riesgo residual tenderá a cero y solo el riesgo sistémico importara. Los únicos términos asociados al riesgo sistémico en la anterior ecuación son \(b_{i1}\) y \(b_{i2}\). Entonces, los tres elementos de un inversionista preocupado por el retorno y el riesgo de cualquier portafolio \(p\) es: \(\bar{R}_p\), \(b_{p1}\), y \(b_{p2}\).

Suponga tres portafolio diversificados dados por:

Todos los portafolios que resultan de la combinación de estos tres portafolios se ubican el plano que pasa por esos tres puntos. La ecuación del plano puede ser calculada con la información de la tabla.

\[\bar{R}_i = \lambda_0 + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2}\] \[\lambda_0 = 7.75, \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3.75\]

Un portafolio construido con estos tres portafolio tiene:

\[\bar{R}_p = \sum_{i = 1}^{N}{X_i \bar{R}_i}\] \[b_{p1} = \sum_{i = 1}^{N}{X_i b_{i1}}\] \[b_{p2} = \sum_{i = 1}^{N}{X_i b_{i2}}\] \[ \sum_{i = 1}^{N}{X_i} = 1\]

Un problema para entender los resultados del modelo

Asuma que usted tiene la posibilidad de invertir en un portafolio E que retorna 15% y tiene \(b_{i1} = 0.6\) y \(b_{i2} = 0.6\). Compárelo con un portafolio conformado por \(D = 1/3 A + 1/3 B + 1/3 C\)

Una posibilidad de arbitraje

A manera de conclusión

La ecuación general del plano en el espacio del retorno esperado del portafolio \(i\), \(b_{i1}\) y \(b_{i2}\) es: \[\bar{R}_i = \lambda_0 + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2} \] Este es el modelo de equilibrio producido en el APT cuando los retornos son generados por un modelo de dos índices.

\(\lambda_1\) y \(\lambda_2\) son los retornos esperados por soportar los riesgos asociados a \(I_1\) y \(I_2\) respectivamente.

Si \(b_1\) y \(b_2\) son iguales a cero, entonces \(\lambda_0 = R_f\), y

Si \(b_{1i}= 1\) y \(b_{2i}= 0\), entonces \(\lambda_1 = \bar{R}_1 - R_f\), y \(\bar{R}_1\) es el retorno del portafolio que solo está sujeto al riesgo del índice \(I_1\).

APT: Una demostración del caso general

En el caso más general, el proceso generador de los retornos puede ser representado por:

\[ R_i = a_i + b_{ij} I_1 + b_{i2} I_2 + \cdots + b_{iJ} I_J + e_i, \qquad E(e_i e_j) \approx 0 \]

y, el modelo APT que surge de este proceso generador es:

\[\bar{R}_i = \lambda_0 + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2} + \cdots + \lambda_J b_{iJ} \]

Donde \(\lambda_0 = R_f\), y \(\lambda_j = \bar{R}_j - R_f\)

Una demostraci?n m?s rigurosa con dos ?ndices

\[ R_i = a_i + b_{ij} I_1 + b_{i2} I_2 + e_i\] \[ -[ \bar{R}_i = a_i + b_{ij} \bar{I}_1 + b_{i2} \bar{I}_2]\] \[ R_i = \bar{R}_i + b_{ij} (I_1 - \bar{I}_1) + b_{i2} (I_2 - \bar{I}_2) + e_i\]

Supuestos básicos

Asumiendo que hay bastantes activos en el mercado es posible formar un portafolio con las siguientes características:

• \(\sum_{i=1}^N X_i =0\) : El portafolio implica cero inversión,

• \(\sum_{i=1}^N X_i b_{i1} =0\) : El riesgo del portafolio respecto al factor 1 es cero.

• \(\sum_{i=1}^N X_i b_{i2} =0\) : El riesgo del portafolio respecto al factor 2 es cero.

• \(\sum_{i=1}^N {X_i e_{i}} \approx 0\) : Riesgo residual aproximado a cero.

Si es posible construir este portafolio, entonces:

\[\sum_{i=1}^N X_i \bar{R}_i =0\]

Un poco de algebra lineal

En términos vectoriales, la ecuación \(\sum_{i=1}^N X_i b_{i1} =0\) indica que \[\mathbf{X} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{0}\] y \(\sum_{i=1}^N X_i =0\) es \[\mathbf{X} \cdot \mathbf{1} = \mathbf{0}\]

Estos resultados implican que:

\[\mathbf{X} \perp \mathbf{1}; \quad \mathbf{X} \perp \mathbf{B_1}; \quad \mathbf{X} \perp \mathbf{B_2} \rightarrow \mathbf{X} \perp \mathbf{R} \]

Desde el algebra lineal, un teorema establecer que si un vector es ortogonal a \(N-1\) vectores implica que sea ortogonal al \(N\)-ésimo vector, entonces el \(N\)-esimo vector puede ser expresado como una combinación lineal de los \(N-1\) vectores.

Entonces el retorno esperado \(R_i\) puede ser expresado como una combinación lineal de: \[\bar{R}_i = \lambda_0 + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2} \]

Formando tres portafolios con las siguientes características:

• \(b_{p1} = 0\) y \(b_{p1} = 0\)
• \(b_{p1} = 1\) y \(b_{p1} = 0 \rightarrow \bar{R}_1 - R_f\)
• \(b_{p1} = 0\) y \(b_{p1} = 1 \rightarrow \bar{R}_2 - R_f\)

Esta expresión se puede generalizar a:

\[ \bar{R}_i = R_f + b_{i1} (\bar{R}_1 - R_f) + b_{i2} (\bar{R}_2 - R_f) + \cdots + b_{iJ} (\bar{R}_J - R_f) \]

o también a:

\[ \bar{R}_i = \lambda_0 + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2} + \cdots + \lambda_J b_{iJ} \]

Debido a que la condición de no-arbitraje se debería mantener para cualquier subconjunto de activos, no es necesario identificar todos los activos riesgos o un “portafolio de mercado” para probar el APT.

Estimación del APT

Recapitulemos

Proceso generador de los retornos puede ser representado:

\[R_i = a_i + b_{ij} I_1 + b_{i2} I_2 + \cdots + b_{iJ} I_J + e_i, \qquad E(e_i e_j) \approx 0\]

y, el modelo APT que surge de este proceso generador: \[\bar{R}_i = \lambda_0 + \lambda_1 b_{i1} + \lambda_2 b_{i2} + \cdots + \lambda_J b_{iJ} \]

Donde:

• \(I_j\) : son los factores o índices que afectan a más de un activo y son la fuente de covarianza entre activos.

• \(b_{ij}\) : son únicos para cada activo y representan un atributo del activo.

• \(\lambda_j\) : es el retorno esperado extra requerido debido a la sensibilidad del un activo al \(j\)-th atributo del activo.

\[\lambda_0 = R_f\], y \[\lambda_j = \bar{R}_j - R_f\]

La hipótesis de los mercados eficientes (EMH)

Teoría que afirma que el precio de los activos reflejan toda la información disponible en el mercado acerca de su valor económico. Si los activos reflejan toda la información disponible entonces se puede afirmar que el mercado es eficiente. En este contexto, es imposible para los agentes obtener beneficios superiores a los del mercado de manera consistente. Para los participantes en este mercado el precio de hoy refleja toda la información y las expectativas sobre el precio del activo mañana.

La teoría no implica que los precios de los activos sean los “correctos”, que el mercado está en equilibrio, o que las expectativas sobre el comportamiento del mercado sean “racionales”. Es más, un equilibrio competitivo implica un mercado eficiente, pero lo contrario no es necesariamente cierto. En un mercado competitivo la única razón para transar es el beneficio derivado de información especial o “privilegiada”, pero el cambio en el precio contradice la existencia de un equilibrio competitivo.

Algo de historia

Los desarrollos iniciales de la teoría fueron explorados por Regnault (1863), Bachelier (1990), Cowles (1933), Mandelbrot (1963), y Samuelson (1965). Eugene Fama (1965) formalizó la teoría a través del concepto de expectativas iteradas y desde entonces toda la investigación ha estado basada en el trabajo de Fama (1965).

Las primeras pruebas estuvieron basadas en la hipótesis de caminatas aleatorias. Esta hipótesis sostiene que los incrementos en los (logaritmos) de los precios deberían estar independientemente distribidos con varianza fija y finita. Esta restricción sobre la varianza no es establecida en la EMH, ya que la EMH solo afirma que los precios deben reflejar toda la información disponible.

Para Samuelson (1965), “la cotización de mercado…ya contiene en si mismo toda lo que se puede saber acerca del futuro y en ese sentido ha descontado la humanamente posibles contingencias futuras.”

Bajo la EMH, los agentes no tendrían razones para transar en el mercado a menos que los costos de transacción e información sean cero. Dado que en el mundo real hay transacciones, uno puede inferir que los precios reflejan la información hasta cuando el costo marginal de la información adicional y los costos de transacción no exceden el beneficio marginal de la decisión de transar. En otras palabras, se puede afirmar que las desviaciones de la EMH reflejan esos beneficios marginales.

Formas de EHM (Fama, 1988)

• Forma Débil: Toda la información contenida en los precios históricos es reflejada en los precios actuales. Pruebas sobre la predecibilidad de los retornos (Fama, 1991).

• Semifuerte: Toda la información públicamente disponible está incorporada en los precios actuales. Pruebas de estudios de eventos.

• Fuerte: Toda la información, pública y privada, está completamente incorporada en los precios de los activos y ningún tipo de agente puede obtener beneficios en exceso de manera consistente. Evaluación de si un inversionista o grupos de inversionistas han ganado retornos en exceso.

La preocupación principal es la velocidad con que la información es incorporada en los precios de los activos.

Porqué molestarse en investigar un activo si el trading sobre el activo es no rentable?

Grossman y Stiglitz (1976) afirman que los especuladores invierten en información y recuperan la inversión con transacciones marginalmente rentables, las cuales presionan los precios hacia su valor justo. En este mundo, el mercado es impulsado por la investigación activa y especuladores informados.

La teoría de Grossman y Stiglitz (1976) y la APT de Ross (1976) introdujeron el realismo de los agentes humanos, el trading activo y la producción del la información dentro de la EHM. Ambas teorías están basadas, al final, en el arbitraje.

Para que el arbitraje funcione es necesario que los agentes tengan la posibilidad de transar en corto o endeudarse. Deben ser ricos o tener acceso al financiamiento. Y si el endeudamiento fuera difícil? (Restricciones de financiamiento)

Shleifer y Vishny (1997) muestran que cuando el riesgo de financiamiento es alto, las ineficiencia de mercado pueden persistir. Esto puede hacer más dificil la convergencia a la justa valoración de los activos en el mercado. En otras palabras, el arreglo institucional importa y puede mantener los precios de los activos lejos de su valor justo.

Shleifer y Vishny (1997) también muestra que en el mercado hay un conflicto entre los abitrajistas racional y aquellos movidos por el sentimiento, quienes mantienen los precios lejos de su valor justo. El arreglo institucional puede hacer más persistente este conflicto.

Implicaciones de la EMH

• Si los retornos no pueden ser predichos a partir de los retornos pasados, entonces las reglas de trading no tienen utilidad alguna.

• Si la forma semifuerte de EMH es soportada por la evidencia empírica, entonces el de trading basado en la información públicamente disponible es sospechoso.

• Si la forma forma fuerte soportada por la evidencia, entonces elvalor del análisis de los activos sería sospechoso.

“Une frecuentemente lee que si la EMH se cumple, entonces la mejor estimación del precio de mañana es el precio de hoy, o un retorno esperado de cero. Esto no es una implicación correcta del modelo de mercado eficiente. La implicación es que la información pasada no contiene nada acerca de la magnitud de la desviación del retorno de hoy del retorno esperado.” (Elton & Gruber, 2014, p. 416)