1 Objetivo

Aplicar y simular algunas técnicas de conteo para determinar probabilidades.

2 Descripción

Cargar librerías
Generar datos a partir de la función source()
Aplicar técnicas de conteo aditivo y multiplicativo
Interpretar resultados de técnicas de conteo
Interpretar diagrama de árbol
Interpretar probabilidades elementales

3 Marco conceptual

3.1 ¿Que son las técnicas de conteo en probabilidad?

Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de casos o eventos o situaciones a partir de contabilizar cada uno de ellos dentro de un espacio muestral.

El espacio muestral se define con una literal matemática S

3.1.1 Principio suma o aditivo

Contar cuántas ocasiones existe de un evento dentro de un espacio muestral.

Se tienen cuatro opciones a elegir en un espacio muestral identificada S, ¿Cual es el número de opciones?.

Imaginar que se tienen ciertas opciones ’A, B, C y D para desplazarse de un lugar a otro.

S <- c("A", 'B', 'C', 'D')
n.opciones <- length(S)
paste("El número total de opciones de S es cuatro.", n.opciones)

## [1] "El número total de opciones de S es cuatro. 4"

El principio aditivo significa contar las opciones.

¿En cuántas ocasiones existe A dentro de S?. Una ¿En cuántas ocasiones existe B dentro de S?. Una ¿En cuántas ocasiones existe C dentro de S?. Una.

Imaginar que se acude a una tienda de ropa se pueden elegir algún producto de entre varios de ellos; pantalones, camisas, playeras, zapatos.

Se identifica S nuevamente como espacio muestral que contiene todos los elementos de la muestra.

productos <- c('PANTALON', 'CAMISA', 'PLAYERA', 'ZAPATO')
productos

## [1] "PANTALON" "CAMISA"   "PLAYERA"  "ZAPATO"

n.productos <- length(productos)
paste("El número total de opciones de productos diferentes es: ", n.productos)

## [1] "El número total de opciones de productos diferentes es:  4"

3.1.2 Principio multiplicativo

Combina el principio aditivo con la operación de multiplicación.

Se trata de multiplicar las opciones de un tipo por las opciones de otro tipo y sumar los resultados de cada alternativa.

Se decide ir a una tienda de ropa, se puede adquirir, P Pantalones, C Camisas, P Playeras, Z Zapatos; existe por cada producto marcas de fabricantes específicas. De cada tipo de productos existen diferentes marcas X, Y y Z. De igual forma se puede elegir alguna talla de cualquier marca de algún tipo de productos.

La idea es determinar la cantidad de opciones que se tienen en total utilizando el principio multiplicativo.

¿Cuántas y cuáles opciones existen para elegir un sólo producto diferente?, Es el total de productos. Resp. cuatro opciones, un producto diferente de cada uno.
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de pantalón. Resp. tres
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de camisa. Resp. tres
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de playera. Resp. tres
¿Cuántas opciones se tienen para elegir una marca de zapato. Resp. tres

marcas <- c("X", "Y", "Z")
n.marcas <- length(marcas)
paste("Marcas diferentes a elegir son: ", n.marcas)

## [1] "Marcas diferentes a elegir son:  3"

¿Cuántas opciones existen para elegir un tipo de producto de alguna marca en particular?. Resp. \[ 4\text{ productos diferentes}\times 3\text{ marcas diferentes} = 12\]

paste("Alternativas de elegir producto y marca diferente son: ", n.productos * n.marcas)

## [1] "Alternativas de elegir producto y marca diferente son:  12"

Existe variedad en tallas de cada producto diferente, es decir, los pantalones, las camisas y las playeras tienen tallas diferentes, C Chica, M Mediana, G Grande, X Extra Grande:

De los pantalones existe talla C, M y G, son tres tallas
De las camisas existen tallas M y G, son dos tallas
De las playeras existen tallas C, M, G y X, son cuatro tallas
De los zapatos existen medidas 24, 25, 26, 27 y 28 en tallas centímetros., son cinco tallas o medidas.

tallas.PANTALON <- c("C", "M", "G")
tallas.CAMISAS <- c("M", "G")
tallas.PLAYERAS <- c("C", "M", "G", "X")
# Los zapatos tienen medidas particulares
tallas.ZAPATOS <- as.character(c(24:28))
tallas.PANTALON

## [1] "C" "M" "G"

tallas.CAMISAS

## [1] "M" "G"

tallas.PLAYERAS

## [1] "C" "M" "G" "X"

tallas.ZAPATOS

## [1] "24" "25" "26" "27" "28"

¿Cuántas opciones hay en total de elegir un producto distinto de marca diferente y de talla única?.

n.tallas.pantalones <- length(tallas.PANTALON)
n.tallas.camisas <- length(tallas.CAMISAS)
n.tallas.playeras <- length(tallas.PLAYERAS)
n.tallas.zapatos <- length(tallas.ZAPATOS)
n.opciones <- (n.marcas * n.tallas.pantalones)  + (n.marcas * n.tallas.camisas) + (n.marcas * n.tallas.playeras) + (n.marcas * n.tallas.zapatos)
paste("Existen varias alternativas de elegir producto, marca y talla diferente, son: ", n.opciones)

## [1] "Existen varias alternativas de elegir producto, marca y talla diferente, son:  42"

\[ opciones = (n.marcas \times n.tallas.pantalones) + (n.marcas \times n.tallas.camisas) + \\ (n.marcas \times n.tallas.playeras) + (n.marcas \times n.tallas.zapatos) \]

\[ (3 \times 3) + (3 \times 2) + \\ (3 \times 4) + (3 \times 5) = 42 \]

Si se multiplica el número de opciones de marcas de cada producto por sus correspondientes tallas y sumando parcialmente cada resultado para determinar finalmente el total de opciones.

Se aplica un principio aditivo y multiplicativo para encontrar la cantidad de opciones y poder elegir un producto de entre todo el espacio muestral S.

¿Que sucede si de entre todos los productos hay alternativas de seleccionar para el género femenino y para el género masculino?

\[ opciones = (n.marcas \times n.tallas.pantalones \times n.generos) + (n.marcas \times n.tallas.camisas\times n.generos) + \\ (n.marcas \times n.tallas.playeras\times n.generos) + (n.marcas \times n.tallas.zapatos\times n.generos) \]

\[ (3 \times 3 \times 2) + (3 \times 2 \times 2) + \\ (3 \times 4 \times 2) + (3 \times 5 \times 2) = 84 \]

4 Desarrollo

4.1 Espacio muestral

Se visualiza todo el espacio muestral S

La función source() permite cargar funciones y scripts, para este ejemplo se carga un script que contiene la construcción del espacio muestral.

La función nrow() devuelve la cantidad de registros u observaciones de un data.frame.

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Probabilidad-y-EstadIstica-VIRTUAL-DISTANCIA/main/scripts/ESPACIO%20MUESTRAL%20pantalones%20camisas%20playeras%20zapatos.r")
S

##    productos marcas tallas   generos
## 1   PANTALON      X      C  Femenino
## 2   PANTALON      Y      C  Femenino
## 3   PANTALON      Z      C  Femenino
## 4   PANTALON      X      M  Femenino
## 5   PANTALON      Y      M  Femenino
## 6   PANTALON      Z      M  Femenino
## 7   PANTALON      X      G  Femenino
## 8   PANTALON      Y      G  Femenino
## 9   PANTALON      Z      G  Femenino
## 10  PANTALON      X      C Masculino
## 11  PANTALON      Y      C Masculino
## 12  PANTALON      Z      C Masculino
## 13  PANTALON      X      M Masculino
## 14  PANTALON      Y      M Masculino
## 15  PANTALON      Z      M Masculino
## 16  PANTALON      X      G Masculino
## 17  PANTALON      Y      G Masculino
## 18  PANTALON      Z      G Masculino
## 19    CAMISA      X      M  Femenino
## 20    CAMISA      Y      M  Femenino
## 21    CAMISA      Z      M  Femenino
## 22    CAMISA      X      G  Femenino
## 23    CAMISA      Y      G  Femenino
## 24    CAMISA      Z      G  Femenino
## 25    CAMISA      X      M Masculino
## 26    CAMISA      Y      M Masculino
## 27    CAMISA      Z      M Masculino
## 28    CAMISA      X      G Masculino
## 29    CAMISA      Y      G Masculino
## 30    CAMISA      Z      G Masculino
## 31   PLAYERA      X      C  Femenino
## 32   PLAYERA      Y      C  Femenino
## 33   PLAYERA      Z      C  Femenino
## 34   PLAYERA      X      M  Femenino
## 35   PLAYERA      Y      M  Femenino
## 36   PLAYERA      Z      M  Femenino
## 37   PLAYERA      X      G  Femenino
## 38   PLAYERA      Y      G  Femenino
## 39   PLAYERA      Z      G  Femenino
## 40   PLAYERA      X      X  Femenino
## 41   PLAYERA      Y      X  Femenino
## 42   PLAYERA      Z      X  Femenino
## 43   PLAYERA      X      C Masculino
## 44   PLAYERA      Y      C Masculino
## 45   PLAYERA      Z      C Masculino
## 46   PLAYERA      X      M Masculino
## 47   PLAYERA      Y      M Masculino
## 48   PLAYERA      Z      M Masculino
## 49   PLAYERA      X      G Masculino
## 50   PLAYERA      Y      G Masculino
## 51   PLAYERA      Z      G Masculino
## 52   PLAYERA      X      X Masculino
## 53   PLAYERA      Y      X Masculino
## 54   PLAYERA      Z      X Masculino
## 55    ZAPATO      X     24  Femenino
## 56    ZAPATO      Y     24  Femenino
## 57    ZAPATO      Z     24  Femenino
## 58    ZAPATO      X     25  Femenino
## 59    ZAPATO      Y     25  Femenino
## 60    ZAPATO      Z     25  Femenino
## 61    ZAPATO      X     26  Femenino
## 62    ZAPATO      Y     26  Femenino
## 63    ZAPATO      Z     26  Femenino
## 64    ZAPATO      X     27  Femenino
## 65    ZAPATO      Y     27  Femenino
## 66    ZAPATO      Z     27  Femenino
## 67    ZAPATO      X     28  Femenino
## 68    ZAPATO      Y     28  Femenino
## 69    ZAPATO      Z     28  Femenino
## 70    ZAPATO      X     24 Masculino
## 71    ZAPATO      Y     24 Masculino
## 72    ZAPATO      Z     24 Masculino
## 73    ZAPATO      X     25 Masculino
## 74    ZAPATO      Y     25 Masculino
## 75    ZAPATO      Z     25 Masculino
## 76    ZAPATO      X     26 Masculino
## 77    ZAPATO      Y     26 Masculino
## 78    ZAPATO      Z     26 Masculino
## 79    ZAPATO      X     27 Masculino
## 80    ZAPATO      Y     27 Masculino
## 81    ZAPATO      Z     27 Masculino
## 82    ZAPATO      X     28 Masculino
## 83    ZAPATO      Y     28 Masculino
## 84    ZAPATO      Z     28 Masculino

N <- nrow(S) # nrow determina la cantidad de observaciones

En caso de que hubiese sólo un artículo de cada tipo de producto de cada marca de cada talla.

¿Cuántas opciones hay de elegir un pantalón de entre todo el espacio muestral? Resp. \(18 / 84 = 0.2142 = 21%\)
La función subset() en R significa hacer un filtro, entre paréntesis se le indica de cual data.frame procesar seguido de alguna condición que es precisamente la que hace el filtro. subset(data.frame, condicion)

producto <- "PANTALON"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos

##    productos marcas tallas   generos
## 1   PANTALON      X      C  Femenino
## 2   PANTALON      Y      C  Femenino
## 3   PANTALON      Z      C  Femenino
## 4   PANTALON      X      M  Femenino
## 5   PANTALON      Y      M  Femenino
## 6   PANTALON      Z      M  Femenino
## 7   PANTALON      X      G  Femenino
## 8   PANTALON      Y      G  Femenino
## 9   PANTALON      Z      G  Femenino
## 10  PANTALON      X      C Masculino
## 11  PANTALON      Y      C Masculino
## 12  PANTALON      Z      C Masculino
## 13  PANTALON      X      M Masculino
## 14  PANTALON      Y      M Masculino
## 15  PANTALON      Z      M Masculino
## 16  PANTALON      X      G Masculino
## 17  PANTALON      Y      G Masculino
## 18  PANTALON      Z      G Masculino

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  18  opciones de elegir un(a)  PANTALON  de entre todo el espacio muestral , representan  0.2143  o sea  21.43 %  del total del espacio muestral"

¿Cuántas opciones hay de elegir una camisa de entre todo el espacio muestral? Resp. \(12 / 84 = 1428 = 14%\)

producto <- "CAMISA"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos

##    productos marcas tallas   generos
## 19    CAMISA      X      M  Femenino
## 20    CAMISA      Y      M  Femenino
## 21    CAMISA      Z      M  Femenino
## 22    CAMISA      X      G  Femenino
## 23    CAMISA      Y      G  Femenino
## 24    CAMISA      Z      G  Femenino
## 25    CAMISA      X      M Masculino
## 26    CAMISA      Y      M Masculino
## 27    CAMISA      Z      M Masculino
## 28    CAMISA      X      G Masculino
## 29    CAMISA      Y      G Masculino
## 30    CAMISA      Z      G Masculino

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  12  opciones de elegir un(a)  CAMISA  de entre todo el espacio muestral , representan  0.1429  o sea  14.29 %  del total del espacio muestral"

¿Cuántas opciones hay de elegir una playera de entre todo el espacio muestral? Resp. \(24 / 84 = 0.2857= 28%\)

producto <- "PLAYERA"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos

##    productos marcas tallas   generos
## 31   PLAYERA      X      C  Femenino
## 32   PLAYERA      Y      C  Femenino
## 33   PLAYERA      Z      C  Femenino
## 34   PLAYERA      X      M  Femenino
## 35   PLAYERA      Y      M  Femenino
## 36   PLAYERA      Z      M  Femenino
## 37   PLAYERA      X      G  Femenino
## 38   PLAYERA      Y      G  Femenino
## 39   PLAYERA      Z      G  Femenino
## 40   PLAYERA      X      X  Femenino
## 41   PLAYERA      Y      X  Femenino
## 42   PLAYERA      Z      X  Femenino
## 43   PLAYERA      X      C Masculino
## 44   PLAYERA      Y      C Masculino
## 45   PLAYERA      Z      C Masculino
## 46   PLAYERA      X      M Masculino
## 47   PLAYERA      Y      M Masculino
## 48   PLAYERA      Z      M Masculino
## 49   PLAYERA      X      G Masculino
## 50   PLAYERA      Y      G Masculino
## 51   PLAYERA      Z      G Masculino
## 52   PLAYERA      X      X Masculino
## 53   PLAYERA      Y      X Masculino
## 54   PLAYERA      Z      X Masculino

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  24  opciones de elegir un(a)  PLAYERA  de entre todo el espacio muestral , representan  0.2857  o sea  28.57 %  del total del espacio muestral"

¿Cuántas opciones hay de elegir un zapato de entre todo el espacio muestral? Resp. \(30 / 84 = 0.2857= 28%\)

producto <- "ZAPATO"
productos <- subset(S, productos == producto)
productos

##    productos marcas tallas   generos
## 55    ZAPATO      X     24  Femenino
## 56    ZAPATO      Y     24  Femenino
## 57    ZAPATO      Z     24  Femenino
## 58    ZAPATO      X     25  Femenino
## 59    ZAPATO      Y     25  Femenino
## 60    ZAPATO      Z     25  Femenino
## 61    ZAPATO      X     26  Femenino
## 62    ZAPATO      Y     26  Femenino
## 63    ZAPATO      Z     26  Femenino
## 64    ZAPATO      X     27  Femenino
## 65    ZAPATO      Y     27  Femenino
## 66    ZAPATO      Z     27  Femenino
## 67    ZAPATO      X     28  Femenino
## 68    ZAPATO      Y     28  Femenino
## 69    ZAPATO      Z     28  Femenino
## 70    ZAPATO      X     24 Masculino
## 71    ZAPATO      Y     24 Masculino
## 72    ZAPATO      Z     24 Masculino
## 73    ZAPATO      X     25 Masculino
## 74    ZAPATO      Y     25 Masculino
## 75    ZAPATO      Z     25 Masculino
## 76    ZAPATO      X     26 Masculino
## 77    ZAPATO      Y     26 Masculino
## 78    ZAPATO      Z     26 Masculino
## 79    ZAPATO      X     27 Masculino
## 80    ZAPATO      Y     27 Masculino
## 81    ZAPATO      Z     27 Masculino
## 82    ZAPATO      X     28 Masculino
## 83    ZAPATO      Y     28 Masculino
## 84    ZAPATO      Z     28 Masculino

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  30  opciones de elegir un(a)  ZAPATO  de entre todo el espacio muestral , representan  0.3571  o sea  35.71 %  del total del espacio muestral"

4.2 Diagrama de Árbol

Es una representación gráfica que permite representar probabilidades de un espacio muestral.

La suma de las frecuencias debe ser el total de los productos.
La suma de las frecuencias relativas o probabilidades relativas debe ser 1.
La suma de las probabilidades en valores % debe ser 100%.

5 Interpretación

Son ideas personales de los participantes, alumnos sobre lo que se desarrolla, a que conclusiones llegan.

De las preguntas 1 a 3, conteste descriptiva y narrativa, de las preguntas 4 en adelante realice el cálculo de probabilidades y muestre los resultados como lo indica la pregunta 4.

¿Para que sirven técnicas de conteo aditivas y multiplicativas?

Para contar el número de posibles resultados o combinaciones que pueden ocurrir en un evento o experimento.
¿Que representa un diagrama de árbol en términos de probabilidad?

Es una representación gráfica que se utiliza en probabilidad para visualizar los posibles resultados y las probabilidades asociadas a un experimento o evento aleatorio, cada rama del árbol representa una opción o resultado posible del evento o experimento.
¿Cómo determinar probabilidades?

Para determinar probabilidades, primero debe identificar el evento o resultado que desea analizar. Luego, debe determinar cuántos resultados posibles existen para ese evento y cuántos de esos resultados posibles corresponden al evento que le interesa.

La probabilidad se define como el número de resultados favorables dividido por el número total de resultados posibles.

¿Cuántas y cuáles ocasiones existen para elegir un producto que sea pantalón y del género Femenino?, ¿cuál es su probabilidad?

producto <- "PANTALON"
genero <- "Femenino"
productos <- subset(S, productos == producto & generos == genero)
productos

##   productos marcas tallas  generos
## 1  PANTALON      X      C Femenino
## 2  PANTALON      Y      C Femenino
## 3  PANTALON      Z      C Femenino
## 4  PANTALON      X      M Femenino
## 5  PANTALON      Y      M Femenino
## 6  PANTALON      Z      M Femenino
## 7  PANTALON      X      G Femenino
## 8  PANTALON      Y      G Femenino
## 9  PANTALON      Z      G Femenino

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " ", genero, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  9  opciones de elegir un(a)  PANTALON   Femenino  de entre todo el espacio muestral , representan  0.1071  o sea  10.71 %  del total del espacio muestral"

¿Cuál es la probabilida de elegir una playera del género Masculino de talla G?

producto <- "PLAYERA"
genero <- "Masculino"
talla <- "G"
productos <- subset(S, productos == producto & generos == genero & tallas == talla)
productos

##    productos marcas tallas   generos
## 49   PLAYERA      X      G Masculino
## 50   PLAYERA      Y      G Masculino
## 51   PLAYERA      Z      G Masculino

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " ", genero, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  3  opciones de elegir un(a)  PLAYERA   Masculino  de entre todo el espacio muestral , representan  0.0357  o sea  3.57 %  del total del espacio muestral"

¿Cuál es la probabilidad de elegir una camisa del género Femenino talla CH?

producto <- "CAMISA"
genero <- "Femenino"
talla <- "CH"
productos <- subset(S, productos == producto & generos == genero & tallas == talla)
productos

## [1] productos marcas    tallas    generos  
## <0 rows> (or 0-length row.names)

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " ", genero, " de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  0  opciones de elegir un(a)  CAMISA   Femenino  de entre todo el espacio muestral , representan  0  o sea  0 %  del total del espacio muestral"

Existe probabilidad de elegir unos zapatos del número 22 o talla 22.

producto <- "ZAPATO"
talla <- "22"
productos <- subset(S, productos == producto & tallas == talla)
productos

## [1] productos marcas    tallas    generos  
## <0 rows> (or 0-length row.names)

n.productos <- nrow(productos)
paste("Existen ", n.productos, " opciones de elegir un(a) ", producto, " ", "de entre todo el espacio muestral", ", representan ",  round(n.productos / N,4), " o sea ", round(n.productos / N * 100, 2), "%  del total del espacio muestral")

## [1] "Existen  0  opciones de elegir un(a)  ZAPATO   de entre todo el espacio muestral , representan  0  o sea  0 %  del total del espacio muestral"

Caso 06. Técnicas de conteo Principio aditivo multiplicativo y diagrama de árbol

Farid Hassany Alba Monrreal

2023-02-23