Statistik Uji

Contoh 1

1. Jim Nasium mengklaim bahwa A.C.T. skor yang dicapai oleh mahasiswa adalah 22. Al Dente menduga klaim ini terlalu rendah dan memilih sampel acak dari 121 mahasiswa. Rata-rata sampel adalah 23.3 dan standar deviasi populasi diasumsikan 3.3. Uji pada tingkat signifikansi 5% (alfa).

I. Hipotesis

H0: \(\mu\leq22\)

H1: \(\mu>22\)

2. Tingkat Signifikansi (\(\alpha=0.05\))

3. Statistik Uji:

mean0=22
xbar=23.3
s=3.3
n=121

z_value=(xbar-mean0)/(s/sqrt(n))
z_value

## [1] 4.333333

z_table=qnorm(0.95,lower.tail = TRUE)
z_table

## [1] 1.644854

4. Daerah Kritis

H0 ditolak jika z_value>z_table. (Uji sisi kanan)

V. Kesimpulan

Karena z_value=4.333333 lebih besar dari z_table=1.645, sehingga dapat disimpulkan bahwa H0 ditolak pada tingkat signifikansi 5%.

Contoh 2

2. Sekretaris asosiasi tukang kebun profesional mengklaim bahwa rata-rata biaya layanan kepada pelanggan adalah 90 USD per bulan. Merasa angka ini terlalu tinggi, dilakukan penarikan sampel acak dari 14 pelanggan yang diberi pertanyaan terkait biaya layanan. Berdasarkan sampel diperoleh biaya rata-rata 85 USD dan standar deviasi 10 USD. Uji pada tingkat signifikansi 0,10. Asumsikan bahwa biaya tersebut terdistribusi secara normal.

I. Hipotesis

H0: \(\mu\geq 90\)

H1: \(\mu<90\)

2. Tingkat signifikansi (\(\alpha=0.10\))

3. Statistik Uji:

mean0=90
xbar=85
s=10
n=14

t_value=(xbar-mean0)/(s/sqrt(n))
t_value

## [1] -1.870829

t_table=qt(0.10, df=13,lower.tail = TRUE)
t_table

## [1] -1.350171

4. Daerah Kritis

H0 ditolak jika t_value<t_table(0,10;df=13). (Uji sisi kiri)

V. Kesimpulan

Karena t_value=-1.870829 lebih rendah dari t_table=-1.350171, sehingga dapat disimpulkan bahwa H0 ditolak pada tingkat signifikansi 10%.

Contoh 3

3. Hasil harian untuk pabrik kimia rata-rata mencapai 880 ton selama beberapa tahun terakhir. Manajer pabrik ingin mengetahui apakah rata-rata ini telah berubah. Kemudian manajer memilih secara acak hasil harian dalam 50 hari dan mencatat hasilnya. Berdasarkan hasil penarikan sampel diperoleh rata-rata 871 ton dengan standar deviasi 21 ton. Dengan menggunakan α = 0.01, lakukan pengujian apakah rata-rata hasil harian pabrik telah berubah.

I. Hipotesis

H0: \(\mu=880\)

H1: \(\mu\neq880\)

2. Tingkat signifikansi (\(\alpha=0.01\))

3. Statistik Uji:

mean0=880
xbar=871
s=21
n=50

z_value=(xbar-mean0)/(s/sqrt(n))
z_value

## [1] -3.030458

z_table=qnorm(0.975,lower.tail = TRUE)
z_table

## [1] 1.959964

4. Daerah Kritis

H0 ditolak jika |z_value|>z_table=1.96. (Uji dua sisi)

V. Kesimpulan

Karena |z_value|=3.03 lebih besar dari z_table=1.96, sehingga dapat disimpulkan bahwa H0 ditolak pada tingkat signifikansi 1% (terdapat perbedaan rata-rata hasil harian pabrik).

Statistik Uji

Contoh

A marketing company claims that it receives 8% responses from its mailing. To test this claim, a random sample of 500 were surveyed with 25 responses. Test at the α = 0.05 significance level.

I. Hipotesis

H0: \(p=0.08\)

H1: \(p\neq0.08\)

2. Tingkat signifikansi (\(\alpha=0.05\))

3. Statistik Uji:

p0=0.08
phat=25/500
n=500

sp1<-sqrt(p0*(1-p0)/n)

z_value=(phat-p0)/(sp1)
z_value

## [1] -2.472677

z_table=qnorm(0.975,lower.tail = TRUE)
z_table

## [1] 1.959964

4. Daerah Kritis

H0 ditolak jika |z_value|>z_table=1.96. (Uji dua sisi)

V. Conclusion

Karena |z_value|=-2.47 lebih besar dari z_table=1.96, sehingga dapat disimpulkan bahwa H0 ditolak pada tingkat signifikansi 5% (Ada cukup bukti untuk menolak klaim perusahaan tentang tingkat respons 8%).

Statistik Uji

Contoh 1

1.Apakah ada perbedaan skor rata-rata Daftar Periksa Nikotin (HONC) untuk pria versus wanita? (gunakan \(\alpha=0.05\))

I. Hipotesis

H0: \(\mu_{1}-\mu_{2}=0\) (same)

H1: \(\mu_{1}-\mu_{2}\neq0\) (different)

2. Tingkat signifikansi (\(\alpha=0.05\))

3. Statistik Uji:

delta0<-0
mean1<-2.8
mean2<-1.6

n1<-150
n2<-182

sd1<-3.6
sd2<-2.9

z_value<-((mean1-mean2)-delta0)/sqrt((sd1^2/n1)+(sd2^2/n2))
z_value

## [1] 3.295301

IV.Daerah Kritis

z_table<-qnorm(0.025,lower.tail = FALSE)
z_table

## [1] 1.959964

H0 ditolak jika \(|z_{value}|>z_{table}\) . (Uji dua sisi)

V. Kesimpulan

Karena |z_value|= 3.29 lebih besar dari z_table= 1.96 , sehingga dapat disimpulan bahwa H0 ditolak pada tingkat signifikansi 5%.

Contoh 2

2. Dua prosedur pelatihan dibandingkan dengan mengukur waktu yang diperlukan peserta pelatihan untuk merakit perangkat. Kelompok peserta pelatihan yang berbeda dilatih menggunakan setiap metode. Apakah ada perbedaan dalam kedua metode tersebut? Gunakan α = 0,01.

I. Hipotesis

H0: \(\mu_{1}-\mu_{2}=0\) (Tidak ada perbedaan)

H1: \(\mu_{1}-\mu_{2}\neq0\) (Ada perbedaan)

2. Tingkat signifikansi (\(\alpha=0.05\))

3. Statistik Uji:

• Equality of Variances Checking

sd1<-4.9
sd2<-4.5

larger_s2<-sd1^2
smaller_s2<-sd2^2

#divide larger and smaller

div_result<- larger_s2/smaller_s2
div_result

## [1] 1.185679

Karena hasilnya lebih kecil dari 3, sehingga akan digunakan statistik uji dengan asumsi ragamnya sama (Equal Variances Assumption).

• Statistik Uji menggunakan Equal Variances Assumption:

n1<-10
n2<-12

mean1<-35
mean2<-31

sd1<-4.9
sd2<-4.5

delta0<-0

s2<-((n1-1)*sd1^2 + (n2-1)*sd2^2)/(n1+n2-2)
s2

## [1] 21.942

t_value<-((mean1-mean2)-delta0)/sqrt((s2)*(1/n1+1/n2))
t_value

## [1] 1.994349

IV.Daerah Kritis

t_table<-qt(0.005,df=20,lower.tail = FALSE)
t_table

## [1] 2.84534

H0 ditolak jika \(|t_{value}|>t_{0.005;20}\) . (Uji dua sisi)

V. Kesimpulan

Karena |t_value|= 1.99 lebih kecil dari \(t_{0.005;20}\)= 2.845 , sehingga dapat disimpulkan bahwa H0 tidak ditolak pada tingkat signifikansi 1% (tidak terdapat perbedaan antara dua metode pelatihan).

t-test for Difference between Means

To perform a two-sample hypothesis test with dependent samples.Three conditions are required to conduct the test.

1. The samples must be randomly selected.

2. The samples must be dependent (paired).

3. Both populations must be normally distributed.

Statistik Uji

Contoh

Pusat kelas membaca mengklaim bahwa siswa akan tampil lebih baik pada tes membaca standar setelah melalui kursus membaca yang ditawarkan oleh pusat mereka. Dengan menggunakan α = 0.05, apakah ada cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa nilai siswa setelah kursus lebih baik daripada nilai sebelum kursus? Tabel berikut menunjukkan skor membaca dari 6 siswa sebelum dan sesudah kursus.

library(dplyr)
before<-c(85,96,70,76,81,78)
after<-c(88,85,89,86,92,89)

# Create a data frame
my_data <- data.frame( 
                group = rep(c("before", "after"), each = 6),
                score = c(before,  after)
                )

print(my_data)

##     group score
## 1  before    85
## 2  before    96
## 3  before    70
## 4  before    76
## 5  before    81
## 6  before    78
## 7   after    88
## 8   after    85
## 9   after    89
## 10  after    86
## 11  after    92
## 12  after    89

group_by(my_data, group) %>%
  summarise(
    count = n(),
    mean = mean(score, na.rm = TRUE),
    sd = sd(score, na.rm = TRUE)
  )

## # A tibble: 2 x 4
##   group  count  mean    sd
##   <chr>  <int> <dbl> <dbl>
## 1 after      6  88.2  2.48
## 2 before     6  81    8.90

I. Hipotesis

H0: \(\mu_{d}\leq0\)

H1: \(\mu_{d}>0\) (Claim)

2. Tingkat signifikansi (\(\alpha=0.05\))

3. Statistik Uji:

# compute the difference
d <- with(my_data, 
        score[group == "after"] - score[group == "before"])
d

## [1]   3 -11  19  10  11  11

#compute t-test (cara 1)
t_valuea<-(mean(d)-0)/(sd(d)/sqrt(6))
t_valuea

## [1] 1.713433

# Compute t-test
t_value <- t.test(after,before, paired = TRUE)
t_value

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  after and before
## t = 1.7134, df = 5, p-value = 0.1473
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -3.585142 17.918475
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                7.166667

IV.Daerah Kritis

t_table<-qt(0.05,df=5,lower.tail = FALSE)
t_table

## [1] 2.015048

H0 ditolak jika \(|t_{value}|>t_{table}\) . (uji dua sisi)

V. Kesimpulan

Karena t_value=1.7134 lebih kecil dari t_table= 2.015048 , sehingga dapat disimpulkan bahwa H0 tidak ditolak pada tingkat signifikansi 5%.