Probabilidad y Distribuciones

Material de apoyo

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Actividad 2.1. Espacio muestral

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Identificar el espacio muestral de un experimento estadístico mediante un ejercicio propuesto con el fin de conocer conceptos básicos de probabilidad.

Realizar operaciones básicas con eventos mediante un ejercicio propuesto para conocer algunos axiomas de probabilidad.

Conceptos: experimento, evento simple, evento compuesto, espacio muestral, espacio nulo, evento seguro, operaciones básicas con eventos.

1. Una urna contiene 5 pelotas, 3 Rojas y 2 Azules, si dos son seleccionadas al azar sin remplazo, responde lo siguiente:

   a) Escribe los eventos simples del experimento.

   b) Define dos eventos compuestos.

   • Cuáles son los arreglos en donde hay al menos 1 pelota Roja?

   • Cuáles son los arreglos en donde hay dos pelotas Rojas?

   • Cuales son los eventos en donde se cumple: \(A∪B,\space A∩B,\space A^c\space y\space A- B\) ?

     
     

2. Asignación 2.1.

   Investigar los siguientes conceptos:
   

   • Experimento, evento simple, evento compuesto, espacio muestral, espacio nulo, evento seguro, operaciones básicas con eventos.
     

   • Formato de entrega.
     
     

3. Asignación 2.2.

   1. Investigar lo siguiente:
   • Clasificación de probabilidad y cómo se calculan?
     

   2. Considerar el siguiente experimento: Lanzamiento de dos dados balanceados.

      a) Escribe el espacio muestral.

      b) Evento A: Que la suma de las caras superiores de los dados sea mayor que 8.

      c) Evento B: La multiplicación de las caras superiores sea menor que 20.

      d) ¿Cuales son los eventos en donde se cumple: \(A∪B,\space A∩B,\space A^c\space y\space A- B\)?
      

   3. Formato de entrega.

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Actividad 2.2. Operaciones con eventos

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Duración: una sesión

13

Objetivo:

Realizar operaciones básicas con eventos mediante un ejercicio propuesto para aplicar los axiomas de probabilidad.

Conceptos: experimento, evento simple, evento compuesto, espacio muestral, espacio nulo, evento seguro, operaciones básicas con eventos.

1. Revisión de la Asignación 2.2.

   • Calcular las probabilidades de todas las operaciones con eventos:\(A∪B,\space A∩B,\space A^c\space y\space A- B\)
     
     

2. Asignación 2.3.

   • Investigar las técnicas de conteo y como se calculan.

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Actividad 2.3. Técnicas de conteo

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer las técnicas de conteo mediante un ejercicio propuesto para conocer en que tipo de situaciones es útil aplicarlas.

Conceptos: regla de la multiplicación, permutación y combinación.

1. Se requiere comprar una tarjeta de circuito impreso, para ello se cuenta con un listado de 30 posibles proveedores. De cuántas formas se pueden elegir tres proveedores de los 30? De cuántas formas se pueden elegir 15 proveedores de los 30?
   

   a) Escribe los eventos simples del experimento, cuántos son?
   

   b) Cuál técnica usarías para calcularlos? Por qué?
   

   c) Escribe cinco eventos que pueden formar parte del espacio muestral.
   
   

2. Se sabe que de los proveedores la mitad ofrece la misma calidad de las tarjetas, por lo que se ha tomado la decisión de considerar al primero que sea seleccionado para solicitarle otros productos.  ¿De cuantas formas se pueden elegir cinco proveedores que garanticen la misma calidad de las tarjetas?
   
   

3. Las fallas en los teclados de computadoras pueden ser atribuidas a defectos eléctricos o mecánicos. Un taller de reparación cuenta con 25 teclados averiados, de los cuales 6 tienen defectos eléctricos y 19 tienen defectos mecánicos.​
   

   a) ¿Cuántas maneras hay de seleccionar al azar cinco de estos teclados para una inspección completa (sin tener en cuenta el orden)?
   

   b) ¿De cuántas maneras puede seleccionarse una muestra de cinco teclados, de manera que solo dos tengan un defecto eléctrico?
   

   c) Considerando que se seleccionó una muestra de 3 teclados, utiliza un diagrama de árbol para representar los posibles eventos y sus probabilidades. 
   
   

4. Una empresa productora emplea 10 trabajadores en el turno de día, 8 en el turno de la tarde y 6 en el turno de media noche. Un consultor de control de calidad seleccionará 5 de estos trabajadores para entrevistarlos. Suponga que la selección se hace de tal modo que cualquier grupo particular de 5 trabajadores tiene la misma oportunidad de ser seleccionado al igual que cualquier otro grupo (escogiendo 5 de entre 24 sin remplazo).
   

   a) ¿Cuántas selecciones resultarán en las que los 5 trabajadores seleccionados provengan de un turno de día?
   

   b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 trabajadores seleccionados sean del mismo turno?
   
   

5. Tres personas son seleccionadas al azar de un registro de votantes y de personas con licencia de manejo, para reportarse como miembros de un jurado. El concejal del condado toma nota del género de cada persona.

   a) Defina el experimento.
   

   b) Haga una lista de los eventos simples en E.
   

   c) Si es igualmente probable que cada persona sea hombre o mujer, ¿qué probabilidad tiene cada evento simple?
   

   d) ¿cuál es la probabilidad de que solo una de las tres sea mujer?
   

   \(e\) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean mujeres?
   
   

6. La probabilidad desempeñó una función en el fraude en la lotería. Para determinar cada dígito del número ganador de tres dígitos se indica cada uno de los números (0,1,2,…..,9) en una pelota de ping pong; las diez pelotas se introducen en una urna y el número seleccionado del dígito es el número de la pelota que flota hacia la parte superior de la máquina. Para alterar las probabilidades, unos defraudadores inyectaron un líquido en todas las pelotas excepto las numeradas con el 4 y el 6. Después compraron todos los boletos de lotería con los posibles números ganadores.
   

   a) ¿Cuántos posibles números ganadores había?
   

   b) ¿Cuáles son?
   
   

7. Un minorista vende solamente dos tipos de consolas estereofónicas y la experiencia muestra que tienen igual demanda. Cuatro clientes entran uno tras otro a la tienda para comprar un estéreo. El minorista se interesa en la preferencia de sus clientes. Encontrar la probabilidad de que los cuatro clientes prefieran el mismo tipo de consola.
   
   

8. Un inversionista tiene la oportunidad de invertir en tres de cinco tipos recomendados de acciones. El inversionista no sabe que sólo dos de los cinco tipos producir á un beneficio sustancial en los próximos cinco años. Si el inversionista selecciona los tres tipos de acciones al azar (dándole a cada combinación de tres tipos la misma probabilidad de selección). ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione los dos tipos de acciones más beneficiosos?
   
   

9. Asignación 2.4

   Investigar lo siguiente:

   • Regla de la suma

   • Regla de la multiplicación

   • Dependencia e independencia de eventos

   • Probabilidad condicionada

   • Formato de entrega

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Actividad 2.4. Reglas de probabilidad

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer las reglas de probabilidad para conocer en que tipo de situaciones es útil aplicarlas.

Conceptos: regla de la suma, regla de multiplicación, dependencia e independencia de eventos, probabilidad condicional.

1. Un furgón contiene seis sistemas electrónicos complejos. Se seleccionan al azar dos de los seis para someterlos a pruebas rigurosas y clasificarlos como defectuosos o no defectuosos.
   

   a) Si dos de los seis sistemas son realmente defectuosos, encuentre la probabilidad de que al menos uno de los dos sistemas probados sean defectuosos.
   

   b). Encuentre la probabilidad de que los dos sean defectuosos.
   

   c) Encuentre las probabilidades indicadas en a) y b) para el caso de que cuatro de los seis sistemas sean realmente defectuoso.
   
   

2. Asignación 2.5

   1. En un estudio de las causas de interrupciones del abasto de energía eléctrica, se recopilaron los datos siguientes:

      a) Se debe a falla de transformadores el 5%.

      b) Resulta de daño en las líneas de alimentación en 80%.

      c) Se involucra a ambos problemas en 1%.
      

      A partir de esos porcentajes, calcule la probabilidad aproximada de que una interrupción del abasto de energía comprenda:

      a) Daño de las líneas, dado que el daño proviene de los trasformadores. (0.20)

      b) Daño de transformadores, dado que el daño está en las líneas. (0.0125)

      c) Daño de transformadores sin daño en las líneas. (0.04)

      d) Daño de transformadores, dada la ausencia de daño en las líneas. (0.20)

      e) Daño en transformadores o en las líneas (0.84)
      

   2. Una encuesta entre los consumidores en una comunidad en particular mostró que el 10% quedaron inconformes con los trabajos de plomería efectuados en sus casas. La mitad de las quejas se referían al plomero A. Encuentre las siguientes probabilidades si el plomero A realiza el 40% de los trabajos de plomería de la ciudad:

      a) de que el consumidor reciba un trabajo de plomería que no le satisfaga, dado que se trata del plomero A. (0.125)

      b) de que el consumidor reciba un trabajo de plomería que si le satisfaga, dado que se trata del plomero A. (0.875)
      

   3. Tres equipos de radar que funcionan independientemente, están disponibles para detectar en cualquier avión que vuela sobre cierta área. Cada equipo tiene una probabilidad de 0.02 de no detectar un avión que vuele en el área.

      a) Si un avión entra por casualidad al área ¿cuál es la probabilidad de que no sea detectado? (0.000008)

      b) Si un avión entra por casualidad al área ¿cuál es la probabilidad de que sea detectado por los tres equipos de radares? (0.9411)
      

   4. La víctima de un accidente morirá a menos de que reciba en los próximos 10 minutos una cantidad de sangre tipo A Rh positivo, que sea suministrado por un solo donante. Se tarda dos minutos en definir el tipo de sangre de un posible donante y dos minutos en realizar la transfusión. Hay una gran cantidad de donantes diferentes cuyo tipo de sangre se desconoce y 40% de ellos tienen el tipo de sangre A Rh positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva la víctima si solamente se dispone de un equipo para determinar el tipo de sangre? (0.8704)
      

3. Formato de entrega.

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Actividad 2.5. Reglas de probabilidad

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer las reglas de probabilidad para conocer en que tipo de situaciones es útil aplicarlas.

Conceptos: regla de la suma, regla de multiplicación, dependencia e independencia de eventos, probabilidad condicional.

1. Revisar Asignación 2.5.

   • Todos los ejercicios.
     
     

2. Asignación 2.6.

   Investigar lo siguiente:

   • Probabilidad total, cómo se calcula?

   • Teorema de Bayes , como se calcula?

   • Formato de entrega.

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Actividad 2.6. Teorema de Bayes y probabilidad total.

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Duración: una sesión

17

Objetivo:

Conocer la ley de probabilidad total y teorema de Bayes mediante ejercicios propuestos para conocer en que tipo de situaciones es útil aplicarlos.

Conceptos: ley de la probabilidad total, teorema de Bayes.

1. Resolver los siguientes ejercicios.

   a) La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de la cuchilla se desgastan. Sóolo el 1% de productos cortados con cuchillas nuevas tienen cortes irregulares, el 3% de los cortados con cuchillas promedio exhiben irregularidades y el 5% de los cortados con cuchillas desgastadas presentan irregularidades. Si el 25% de las cuchillas utilizadas en el proceso de corte son nuevas, el 60% tiene el promedio y el 15% de las cuchillas están desgastadas, ¿cuál es la proporción de productos que tendrán cortes irregulares? (0.028)
   

   b) Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeños y ligeros o en empaques pesados y grandes. Suponga que el 2% y el 1% de las muestras enviadas en empaques pequeños y grandes, respectivamente, se rompan durante el trayecto a su destino. Si el 60% de las muestras se envían en empaques grandes, y el 40% en empaques pequeños, ¿cuál es la porción de muestras que se romperán durante el envío? (0.014)
   
   

2. Asignación 2.7

   Resuelve los siguientes ejercicios:

   1. En cierta población de votantes 40% son republicanos y 60% son demócratas. Se reporta que 30% de los republicanos y 70% de los demócratas están a favor de cierta elección. Se escoge a una persona al azar de esta población y se declara a favor de dicha elección. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona sea demócrata. (7/9)
      
   2. Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; 70% de las mujeres reacciona de manera positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente del 40%. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cual es la probabilidad de que haya sido contestada por un hombre? (0.40)
      
   3. Cuando los artículos llegan al nal de una línea de producción, un supervisor escoge los que deben pasar por una inspección completa; 10% de todos los artículos producidos son defectuosos; 60% de todos los artículos defectuosos y 20% de todos los artículos buenos pasan por una inspección completa. ¿Cual es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que pasó por una inspección completa? (0.25)
      
   4. Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial. El porcentaje de fracasos es 20% para A y 10% para B. Sin embargo, B cuesta más y por esto se utiliza solamente en el 30% de los casos (se utiliza A en el otro 70%). Se entrenó a un trabajador según uno de los dos métodos pero no logró aprenderlo correctamente. ¿Cual es la probabilidad de que haya recibido el entrenamiento con el método A? (14/17)
      
      
   5. Formato de entrega.

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Actividad 2.7. Teorema de Bayes y probabilidad total.

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Duración: una sesión

18

Objetivo:

Conocer la ley de probabilidad total y teorema de Bayes mediante ejercicios propuestos para conocer en que tipo de situaciones es útil aplicarlos.

Conceptos: ley de la probabilidad total, teorema de Bayes.

1. Revisión de la asignación 2.6.

   • Todos los ejercicios.
     
     

2. Asignación 2.8

   a) ¿Qué es una variable aleatoria discreta? ¿Cómo se clasifica?

   b) Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

   c) ¿Cómo se calcula la media?

   d) ¿Cómo se calcula la varianza?

   c)Formato de entrega.

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Actividad 2.8. Distribuciones de probabilidad discreta.

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Duración: una sesión

19

Objetivo:

Presentar las características que tiene una Distribución de Probabilidad Discreta mediante un ejercicio propuesto para definir la variable aleatoria y estimar algunos parámetros.

Conceptos: distriución de probabilidad, variable aleatorioa, media de una distribución, varianza de una distribución..

1. Una urna contiene 5 pelotas, 3 Rojas y 2 Azules, si dos son seleccionadas al azar sin remplazo, realiza lo siguiente:
   

   a) Escribir el espacio muestral del experimento.
   

   b) Definir la variable aleatoria discreta.
   

   c) Construir la función de probabilidad (tabla de probabilidades).
   

   d) Calcular la media de una variable aleatoria discreta.
   

   e) Calcular la varianza de una variable aleatoria discreta.
   

   f) Realizar la gráfica de probabilidad.
   

   g) Calcular las probabilidades correspondientes utilizando la función de probabilidad (tabla de probabilidades).
   
   

2. Estimar las probabilidades anteriores utilizando software.
   
   

3. Asignación 2.9.

   1. Resolver los siguientes ejercicios sobre probabilidad para variable aleatoria discreta.
      

      a) (VAD) Suponga que \(X\) representa el número de fallas mecánicas diarias que ocurren en una planta procesadora de alimentos. Suponga además, que la distribución de probabilidad de \(X\) es la siguiente:
      

      \[X\]	\[0\]	\[ 1 \]	\[ 2 \]	\[ 3 \]	\[ 4 \]	\[ 5 \]
      \[ p(X) \]	\[ 0.28 \]	\[ 0.37 \]	\[ 0.17 \]	\[ 0.12 \]	\[ 0.05 \]	\[ 0.01 \]

      • Encuentrar el valor esperado de \(X\) . \(( E ( x ) = μ = 1 . 32)\)
        
      • Construir la gráfica de la distribución de probabilidad e identificar la \(μ\)
        
      • ¿Cuál es la probabilidad de encontrar dos fallas mecánicas en un día? \((0.17)\).
        
        

      b) (VAD) Una companía fabrica paquetes de clips. El numero de clips por paquete varía, como se indica en la tabla adjunta.
      

      Número de clips	\[ 47 \]	\[ 48 \]	\[ 49 \]	\[ 50 \]	\[ 51 \]	\[ 52 \]	\[ 53 \]
      Proporción de paquetes	\[ 0.04 \]	\[ 0.13 \]	\[ 0.21 \]	\[ 0.29 \]	\[ 0.20 \]	\[ 0.10 | \]	\[ 0.03 \]

      
      

      • ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clip (ambos inclusive)? (0.7)
        

      • Calcular la media del número de clips. (49.9)
        

      • Calcular la varianza del número de clips. (1.95)
        
        

   2. Investigar lo siguiente:

      • Características de una distribución binomial.
        

      • Función de probabilidad.
        

      • ¿Cómo se estima la media de una distribución binomial?
        

      • ¿Cómo se estima la varianza de una distribución binomial?
        
        

   3. Formato de entrega.

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Actividad 2.9. Distribución Binomial.

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer las características de una Distribución Binomial a través de una discusión grupal con la finalidad de identificar situaciones que se modelen bajo esta distribución..

Conceptos: distribución binomial, éxito, fracaso.

1. Revisar la Asignación 2.9.

   • Discutir de manera grupal sobre las características de una Distribución Binomial.
     
     

2. Analiza el siguiente ejercicio y responde: ¿Se puede considerar un experimento binomial? Justificar respuesta.

   Suponga que en la clase de PYE se aplica un examen sorpresa con cinco preguntas de falso y verdadero, si los estudiantes contestas al azar las preguntas:

   a) defina el espacio muestral o escriba los posibles resultados del experimento. (32)
   

   b) Sí, para que los estudiantes aprueben el examen, necesitan contestar al menos cuatro preguntas correctamente, cuál es la probabilidad de se apruebe el examen? (3/16)
   

   c) Cuál es la probabilidad de que reprueben? (13/16)
   

   d) Cuál es la probabilidad de que obtenga tres preguntas correctamente? (5/16)
   

   e) Cuál es la probabilidad de que saque 10 de calificación? (1/32)
   
   

3. Utilizar software para calcular las probabilidades del ejercicio anterior.
   
   

4. Asignación 2.10.

   Resuelve el siguiente ejercicio:

   Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: Calcular:

   a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? (0.0746)
   

   b) ¿Y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? (0.9885)
   

   c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? (0.4013)
   

   (d) Formato de entrega.

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Actividad 2.10. Taller 1 (VAD, DB)

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Aplicar los temas vistos en sesiones anteriores mediante un listado de ejercicios propuestos con el fin de calcular probabilidades de un distribución discreta.

Conceptos: variable aleatoria, distribución de una variable aleatoria, distribución binomial, éxito, fracaso, probabilidad de éxito, probabilidad de fracaso.

Realiza lo que se pide a continuación:

1. Una tienda de electrónica vende un modelo particular de computadoras portátil. Hay sólo cuatro computadoras en existencia y la gerente se pregunta cuál será la demanda de hoy para este modelo en particular. Ella se entera en el departamento de marketing de que la distribución de probabilidad para \(x\) , la demanda diaria para laptop, es como se muestra en la tabla.

   \[ x \]	\[ 0 \]	\[ 1 \]	\[ 2 \]	\[ 3 \]	\[ 4 \]	\[ 5 \]
   \[ p(x) \]	\[ 0.10 \]	\[ 0.40 \]	\[ 0.20 \]	\[ 0.15 \]	\[ 0.10 \]	\[ 0.05 \]

   
   

   Calcular:

   a) La media de \(x\) . (1.9)
   

   b) Varianza y la desviación estándar de \(x\) . (1.79, 1.34)
   

   c) ¿Es probable que cinco o más clientes deseen comprar una laptop hoy? (No)

   
   
   

2. Sea \(X\) una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

   \[ X \]	\[ 0 \]	\[ 1 \]	\[ 2 \]	\[ 3 \]
   \[ p(x) \]	\[ 0.2746 \]	\[ 0.4436 \]	\[ 0.2389 \]	\[ 0.0429 \]

   
   

   Calcular:

   a) P ( X > = 2). (0.2818)
   

   b) P ( X < = 1). ( 0.7182)
   

   c) P ( X = 1). (0.4436)
   

   d) Calcular el valor esperado μ X . (1.0501)

   
   
   

3. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes.
   

   Calcular:

   a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? (0.0746)
   

   b) ¿Y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? (0.9885)
   

   c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? (0.4013)

   
   
   

4. Se probó el régimen formado por una dosis diaria de vitamina C para determinar su efectividad para prevenir el resfriado común. Diez personas que estuvieron siguiendo el régimen prescrito fueron observadas durante un año. Ocho pasaron el invierno sin resfriado. Suponga que la probabilidad de pasar el invierno sin resfriado es 0.5 cuando no se sigue el régimen de vitamina C. ¿Cuál es la probabilidad de que?:
   

   a) ¿Al menos 8 sobrevivan dado que el régimen es ineficiente para aumentar la resistencia al resfriado? (0.0547)
   

   b) ¿Al menos 6 pero no más de 9 sobrevivan? (0.3760)
   
   

5. Asignación 2.11

   Investigar lo siguiente:

   • Características de una distribución poisson.
     

   • Función de probabilidad.
     

   • ¿Cómo se estima la media de una distribución poisson?
     

   • ¿Cómo se estima la varianza de una distribución poisson?
     
     

   • Formato de entrega.

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Actividad 2.11. Distribución de probabilidad Poisson

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer las características de una Distribución Poisson a través de una discusión grupal con la finalidad de identificar situaciones que se modelen bajo esta distribución..

Conceptos: distribución poisson, logaritmo base e.

1. Revisión de la Asignación 2.11.

   • Discutir de manera grupal las características de una distribución Poisson y su función de probabilidad.
     
     

2. Resolver el siguiente ejercicio utilizando la función de probabilidad y utilizando software.

   a) Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho.
   

   • ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? (0.2707)
     

   • ¿Y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? (0.2381)
     

   • ¿Cuál es la probabilidad de que fallen diez en 125 horas? (0.1251)
     
     

   b) Una planta procesadora y enlatadora de alimentos tiene 20 máquinas enlatadoras automáticas en operación constante. La probabilidad de que la máquina se descomponga en un determinado día es 0.05.
   

   • ¿Encuentre la probabilidad de que en un día determinado fallen dos máquinas enlatadoras?
     
     

3. Asignación 2.12.

   Investigar lo siguiente:

   • Características de una distribución hipergeométrica.
     

   • Función de probabilidad.
     

   • ¿Cómo se estima la media de una distribución hipergeométrica?
     

   • ¿Cómo se estima la varianza de una distribución hipergeométrica?
     
     

   • Formato de entrega.

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Actividad 2.12. Distribución de probabilidad Hipergeométrica.

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer las características de una Distribución Hipergeométrica a través de una discusión grupal con la finalidad de identificar situaciones que se modelen bajo esta distribución..

Conceptos: distribución hipergemétrica, combinación.

1. Revisar la Asignación 2.12.

   • Discutir de manera grupal las características de una distribución hipergeométrica.
     
     

2. Analizar de manera grupal las diferencias entre la distribución binomial, poisson e hipergeométrica.
   
   

3. Resolver el siguiente ejercicios utilizando la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica.
   

   a) Suponer que la producción de un día de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote seis piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria \(X\) igual al número de piezas de la muestra que no cumplen.

   Calcular:

   • ¿Cuál es la probabilidad de encontrar ninguna pieza defectuosa? (0.6943)

   • ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos dos piezas defectuosas? (0.0437)
     
     

4. Resolver el siguiente ejercicio en clase.

   Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo.

   Calcular:

   • ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? (0.0119)

   • ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? (0.4074)

   • ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? (0.8045)
     
     

5. Asignación 2.13.

   • Resolver Taller2(P,H) que se encuentra en plataforma, sección de “Documentos del curso”.
     
     

   • Realizar la siguiente investigación:

     a) ¿Qués es una variable aleatoria continua?

     b) Función de probabilidad.

     c) Función de probabilidad acumulada.

     c) ¿Cómo se calcula la media de una distribución de probabilidad continua?

     d) ¿Cómo se calcula la varianza de una distribución de probabilidad continua?

     e) Formato de entrega.

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Actividad 2.13. Distribución de probabilidad Continua.

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer la función de probabilidad de una variable aleatoria continua mediante una investigación previa con la finalidad de calcular probabilidades.

Conceptos: variable aleatoria continua, función de probabilidad, función de probabilidad acumulada, media, varianza.

1. Revisar la Asignación 2.13 resolviendo el siguiente ejercicio:

   Suponga que la función de densidad de probabilidad de la magnitud \(X\) de una carga dinámica sobre un puente (en newtons) está dada por:

   \[ f(x)=\left\lbrace\frac{1}{8}+\frac{3}{8}x~~~~~si~0\leq~x\leq2\\       0~~~en~ otro~ caso \right. \]

   
   

   a) Realiza la gráfica en el intervalo de la función.

   b) Verifica si es una función de probabilidad.

   c) Calcula el valor esperado \((E(x))\) (1.25)

   d) Calcular la desviación estándar. (0.5204)

   e) \(P(x<1.2)\) (0.420)

   f) \(P(0.5\leq x \leq1.5)\) (0.500)

   g) \(P(x \geq 1.8)\) (0.1675)

2. Asignación 2.14.

   • La corriente en un circuito determinado medido por un amperímetro es una variable aleatoria continua X con la función de densidad siguiente:

     \[ f(x)=\left\lbrace0.075x + 0.2~~~~~si~3\leq~x\leq5\\ 0~~~en~ otro~ caso \right. \]

     a) Realizar la gráfica en el intervalo de la función.

     b) Verificar si es una función de probabilidad.

     c) Calcular el Valor Esperado \((E(x))\) (4.05)

     d) Calcular la desviación estándar. (0.5752)

     e) \(P(x<3.5)\) (0.2218)

     f) \(P(3.5\leq x \leq4.5)\) (0.500)

     g)\(P(x \geq 3.8)\) (0.6360)

   
   

   • La dirección de una imperfección respecto a una línea de referencia sobre un objeto circular como un neumático, un rotor de freno o un volante está, en general, sujeta a incertidumbre. Considere la línea de referencia que conecta el vástago de la válvula de un neumático con el punto central, y se \(X\) el ́ángulo medido en el sentido de las manecillas del reloj a la ubicación de una imperfección. Una posible función de densidad de probabilidad de \(X\) es: \[ f(x)=\left\lbrace\frac{1}{360}~~~~~si~0\leq~x\leq360\\ ~~~~~~~~~~~0~~~en~ otro~ caso \right. \]
     

     a) Realizar la gráfica en el intervalo de la función.

     b) Verificar si es una función de probabilidad.

     c) Calcular el Valor Esperado \((E(x))\) (180)

     d) Calcular la desviación estándar. (103.923)

     e) \(P(x<130)\) (0.3611)

     f) \(P(250\leq x \leq300)\)(0.1389)

     g) \(P(x \geq 330)\)(0.08333)

     h) Formato de entrega.

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Actividad 2.14. Distribución de probabilidad Continua.

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer la función de probabilidad de una variable aleatoria continua mediante una investigación previa con la finalidad de calcular probabilidades.

Conceptos: variable aleatoria continua, función de probabilidad, función de probabilidad acumulada, media, varianza.

1. Revisión de la Asignación 2.14 utilizando software.

   
   

2. Asignación 2.15.

   • Características de una distribución exponencial.

   • Aplicación.

   • Función de probabilidad.

   • Función de probabilidad acumulada.

   • Media

   • Varianza

   • Formato de entrega.

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Actividad 2.15. Distribución de probabilidad exponencial.

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Duración: una sesión

26

Objetivo:

Conocer la función de probabilidad de una distribución exponenecial mediante una investigación previa con la finalidad de calcular probabilidades.

Conceptos: distribución exponencial, lambda.

1. Revisión de la Asignación 2.15.

   • De manera grupal discutir las las características y aplicaciones de una distribución exponencial, función de probabilidad y el cálculo de sus parámetros.

     
     
     

2. Resuelve el siguiente ejercicio:

   Intervalo de tiempo, en el flujo de tránsito es el lapso transcurrido entre el tiempo en que un automóvil termina de pasar por un punto fijo y el instante en que el siguiente vehículo comienza a pasar por ese punto. Sea \(X\) = el intervalo de tiempo para dos automóviles consecutivos seleccionados al azar en una autopista durante un periodo de tráfico intenso. La siguiente función de densidad de probabilidad de \(X\) es en esencia la sugerida en “The Statistical Properties of Freeway Traffic”.

   \[ f(x)=\left\lbrace 0.15e^{-0.15(x-0.5)}~~~~~si~x\geq0.5\\ ~~~~~~~~~~~0~~~en~ otro~ caso \right. \]

   Calcular:

   a) Realiza la gráfica en el intervalo de la función.

   b) Verifica si es una función de probabilidad.

   c) Calcular el Valor Esperado \((E(x))\) (7.166667)

   d) Calcular la desviación estándar. (6.6666)

   e) \(P(x<3.5)\) (0.3624)

   f) \(P(4.5\leq x \leq8.5)\)(0.2476)

   g) \(P(x \geq 2.3)\)(0.7634)

   
   

3. Asignación 2.16.

   Un motor tiene una vida media de 5 años. Si la vida ́útil de este tipo de motor es una variable que se distribuye en forma exponencial:

   Calcular:

   a) ¿Cuál es la probabilidad de que el motor falle antes de los 4.5 años? (0.5934)

   b) ¿Cuál es la probabilidad de que el motor falle después de 6 años? (0.3011)

   c) ¿Cuál es la probabilidad de que el motor falle entre los 4 y 6 años? (0.1481)

   d) Formato de entrega.

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Actividad 2.16. Taller 3(VAC,DE)

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Aplicar los temas vistos en sesiones anteriores mediante un listado de ejercicios propuestos con el fin de calcular probabilidades de una distribución de probabilidad continua.

Conceptos: variable aleatoria contiua, distribución exponencial, lambda, media, varianza.

1. Resuelve los siguientes ejercicios:

   a) La longitud de ciertos tornillos (en centímetros) es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

   \[f(x)=\left\lbrace\frac{3}{4}(-x^2 +4x-3)~~~~~si~1\leq~x\leq3\\0~~~en~ otro~ caso \right.\]

   Calcular:

   • Realizar la gráfica de la función.

   • Verificar si es una función de probabilidad.

   • Calcular el Valor Esperado \((E(x))\)(2)

   • Calcular la desviación estándar. (0.4472)

   • \(P(x\leq1)\) (0)

   • \(P(1.8\leq x \leq2.3)\)(0.3663)

   • \(P(x \geq 2)\)(0.5000)

     
     

   b) La vida, en horas de cierto tipo de lámparas varía aleatoriamente según la siguiente función de densidad:

   \[f(x)=\left\lbrace\frac{k}{x^2}~~~~~si~x\geq100~hrs.~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\0~~~si~~~~~x\leq100~hrs.~\right.\]

   Calcular:

   • Calcular el valor de \(k\) para la función de densidad.

   • Verifica si es una función de probabilidad.

   • \(P(x\leq200)\) (0.5)

   • \(P(250\leq x \leq350)\)(0.1143)

   • \(P(x \geq 500)\)(0.2000)

   
   

   c) Se sabe que el tiempo de vida útil de un tractor sigue una distribución exponencial con media de 8 años.

   Calcular:

   • ¿Cuál es la probabilidad de que el tractor de este tipo se tenga que reemplazar antes de los 12 años? (0.7767)

   • ¿Cuál es la probabilidad de que el tractor de este tipo se tenga que reemplazarlo después de los 15 años? ( )

   
   

   d) La duración de un cierto modelo de batería tiene una distribución exponencial. Se sabe que la media es de 5000 horas.

   Calcular:

   • El fabricante de las baterías debe informar cual es la duración de esas baterías. ¿Qué duración debe informar si quiere que la probabilidad de que una batería concreta viva más que esa duración informada sea del 90%? (526.8 horas)

   • ¿Cuál es la probabilidad de que la bateria dure por lo menos 10000 horas? (0.1353)

   • ¿Cuál es la probabilidad de que la bateria dure menos 5000 horas? (0.6321)

   
   

2. Asignación 2.17.

   Investigar lo siguiente:

   • Características de una distribución normal.

   • Aplicación.

   • Función de probabilidad.

   • Función de probabilidad acumulada.

   • Media.

   • Varianza.

   • Función de probabilidad de la distribución normal estándar.

   • Formato de entrega.

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Actividad 2.17. Distribución de Probabilidad Normal

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Conocer las características de la distribución normal y distribución normal estándar mediante una discusión grupal con la finalidad de establecer su relación y calcular probabilidades.

Conceptos: distribución normal, distribución normal estándar, valor z.

1. Resolver el siguiente ejercicio utilizando la función de probabilidad.

   El ancho de una herramienta utilizada en la fabricación de semiconductores tiene una distribución normal con media 0.5 micrómetros y desviación estándar de 0.05 micrómetros.

   Calcular:

   a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta sea mayor que 0.62 micrómetros? (0.0082)

   2. ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta se encuentre entre 0.47 y 0.63 micrómetros? (0.7217)

   c) ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta sea menor que 0.454 micrómetros? (0.1788)

   d) ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta se encuentre entre 0.552 y 0.61 micrómetros? (0.1353)

   e) ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta se encuentre entre 0.472 y 0.486 micrómetros? (0.1020)

   
   

2. Resolver el ejercicio utilizando software.
   
   

3. Resolver el ejercicio utilizando la distribución normal estándar.
   
   

4. Asignación 2.18.

   Resuelve el siguiente ejercicio:

   El diámetro de los pernos de una fábrica tiene una distribución normal con una media de 950 mm y una desviación estándar de 10 mm.

   Calcular:

   a) ¿Cuál es la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga un diámetro entre 947 y 958? (0.4060)

   b) ¿Cuál es el valor apropiado de \(C\) tal que un perno escogido al azar tenga un diámetro menor que \(C\) con una probabilidad de 0.8531? (960.5)

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Actividad 2.18. Distribución de Probabilidad Normal

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Duración: una sesión

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Objetivo:

Utilizar software para calcular probabilidades de ejercicios propuestos con la finalidad de practicar ejercicios que se modelen bajo una distribución normal. .

Conceptos: distribución normal, distribución normal estándar, valor z.

1. Revisar Asignación 2.18.

   • Revisar el ejercicio utilizando software.
     
     

2. Resolver el siguiente ejercicio utilizando software.

   Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con una media de 78 y una desviación estándar de 6.

   Calcular:

   a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que presenta el examen obtenga una calificación mayor que 72? (0.8413)

   b) Suponga que a los estudiantes que se encuentran en el 10% de la parte superior de la distribución se le asigna una calificación A.

   c) ¿Cuál es la calificación mínima que debe obtener un estudiante para obtener una calificación de A? (85.68)

   c) ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoria si el evaluador pretende que solamente el 28 . 1% de los estudiantes apruebe? (81.48)

   d) Calcular, aproximadamente la proporción de los estudiantes que tienen calificaciones que exceden por lo menos en cinco puntos a la calificación reprobatoria del 25% (de calificaciones inferiores). (0.4364)
   
   

3. Asignación 2.19.

   Resolver “Taller 4 (DN,DNE)”.