Pada subbab ini, saya ingin menjelaskan estimasi kemungkinan maksimal
pada grup data(group data), sensor data(cencored), dan data
terpotong(truncated data).
MLE fro Group Data
Pada bagian ini, saya ingin memperoleh perkiraan kemungkinan maksimum
parameter data grup data(dalam kategori rentang) dan setiap pengamatan
terhadap fungsi likehood adalah probabbilitas jatuh dalam kelompok
tertentu(interval). Biarkan \(N_j\)
mewakili jumlah pengamatan dalam interval \((C_{j-1},C_j]\). Fungsi likehood untuk grup
data dinyatakan sebagai berikut:
function
Dimana, \(C_0\) adalah kemungkinan
pengamatan kecil dan \(C_k\) adalah
pengamatan terbesar yang mungkin.
Contoh
For a group of policies, you are given that losses follow the
distribution function \(F_X(x) = 1 -
\frac{\theta}{x},\)for \(\theta < x
< \infty\). Further, a sample of 20 losses resulted in the
following:
function
Calculate the maksimum likehood estimate of \(\theta\) Jawab:
Pada interval yang pertama pada fungsi likehood terdapat probabilitas
yaitu \(X ≤ 10, Pr(X ≤ 10) = F_X(10)\).
Kontribusi untuk observasi 5 dan 6 yaitu \(P_r(10≤X≤25)=F_X(25)-F_X(10)\) dan \(P(X>25)=1-F_X(25)\) Jadi fungsi likehood
diberikan:
function
Setelha itu, mencari likehood algoritma
function
Constant disini maksudnya adalah angka yang tidak bergantung pada
\(\theta\). Kita turunkan dan
mendapatkan,
function
Jadi, solusinya adalah
function
Jadi, theta nya adalah 5.5
MLE for Cencored Data
Kontribusi pengamatan tersensor terhadap fungsi kemungkinan adalah
probabilitas variabel acak melebihi batas spesifik ini. Perhatikan bahwa
kontribusi data lengkap dan tersensor berbagi fungsi bertahan hidup,
untuk titik lengkap fungsi bertahan hidup ini dikalikan dengan fungsi
hazard, tetapi untuk pengamatan tersensor tidak demikian. Fungsi
kemungkinan untuk data yang disensor kemudian diberikan oleh
function
Dimana \(R\) adalah jumlah kerugian
yang diketahui dibawah batas limit \(u\)\(m\)
adalah jumla loss yang lebih besar dari batas \(u\)
MLE for Truncated Data
berkaitan dengan estimasi kemungkinan maksimum dari distribusi
kontinu dari variabel acak \(X\) ketika
data tidak lengkap karena truncated atau pemotongan. Kontribusi terhadap
fungsi kemungkinan pengamatan X terpotong di D akan menjadi probabilitas
bersyarat dan \(F_X(x)\) akan
digantikan oleh \(\frac{F_X(x)}{S_X(d)}\). Fungsi likehood
untuk data truncated diberikan
function
Dimana \(k\) adalah jumlah loss yang
lebih besar dari yang dapat dikurangkan D
