casot4
Romo Bernal Axell Roy
2023-02-20
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(267386)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 24 22 56 54 31 55 38 36 42 33 43 23 38 40 22 52 44 53 46 18 24 39 18 57 20
## [26] 43 35 22 50 34 29 28 21 51 22 27 39 47 43 21 32 35 36 42 21 19 33 60 27 56
## [51] 53 42 20 41 40 49 29 18 48 46 60 55 30 27 18 32 44 47 54 48 48 28 57 54 24
## [76] 58 42 49 22 44 43 18 27 31 30 32 33 43 22 21 52 23 44 40 41 39 43 41 55 54
## [101] 46 36 32 58 36 25 18 51 18 40 27 57 28 55 54 37 44 25 60 36 59 29 47 33 53
## [126] 29 53 43 60 55 18 59 51 27 59 57 43 42 19 22 43 53 33 58 56 39 24 24 40 19
## [151] 23 42 59 26 56 27 52 32 58 51 21 26 41 22 46 28 25 44 56 44 50 48 21 38 26
## [176] 60 41 41 30 58 25 52 39 44 28 44 23 26 58 48 50 26 38 58 31 59 27 45 44 464.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 27 0.14 13.5 27 13.5
## [22.57,27.33) 26 0.13 13.0 53 26.5
## [27.33,32.08) 20 0.10 10.0 73 36.5
## [32.08,36.83) 13 0.06 6.5 86 43.0
## [36.83,41.59) 21 0.10 10.5 107 53.5
## [41.59,46.34) 31 0.16 15.5 138 69.0
## [46.34,51.09) 17 0.09 8.5 155 77.5
## [51.09,55.85) 19 0.10 9.5 174 87.0
## [55.85,60.6) 26 0.13 13.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 16 18 21 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25
## [26] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27
## [51] 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31
## [126] 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33
## [151] 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35
## [176] 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 38 38 39 39 40 40 42 444.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
4.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 38.965## [1] 29.8454.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 24 38.965 -14.965 223.951225
## 2 22 38.965 -16.965 287.811225
## 3 56 38.965 17.035 290.191225
## 4 54 38.965 15.035 226.051225
## 5 31 38.965 -7.965 63.441225
## 6 55 38.965 16.035 257.121225
## 7 38 38.965 -0.965 0.931225
## 8 36 38.965 -2.965 8.791225
## 9 42 38.965 3.035 9.211225
## 10 33 38.965 -5.965 35.581225
## 11 43 38.965 4.035 16.281225
## 12 23 38.965 -15.965 254.881225
## 13 38 38.965 -0.965 0.931225
## 14 40 38.965 1.035 1.071225
## 15 22 38.965 -16.965 287.811225
## 16 52 38.965 13.035 169.911225
## 17 44 38.965 5.035 25.351225
## 18 53 38.965 14.035 196.981225
## 19 46 38.965 7.035 49.491225
## 20 18 38.965 -20.965 439.531225
## 21 24 38.965 -14.965 223.951225
## 22 39 38.965 0.035 0.001225
## 23 18 38.965 -20.965 439.531225
## 24 57 38.965 18.035 325.261225
## 25 20 38.965 -18.965 359.671225
## 26 43 38.965 4.035 16.281225
## 27 35 38.965 -3.965 15.721225
## 28 22 38.965 -16.965 287.811225
## 29 50 38.965 11.035 121.771225
## 30 34 38.965 -4.965 24.651225
## 31 29 38.965 -9.965 99.301225
## 32 28 38.965 -10.965 120.231225
## 33 21 38.965 -17.965 322.741225
## 34 51 38.965 12.035 144.841225
## 35 22 38.965 -16.965 287.811225
## 36 27 38.965 -11.965 143.161225
## 37 39 38.965 0.035 0.001225
## 38 47 38.965 8.035 64.561225
## 39 43 38.965 4.035 16.281225
## 40 21 38.965 -17.965 322.741225
## 41 32 38.965 -6.965 48.511225
## 42 35 38.965 -3.965 15.721225
## 43 36 38.965 -2.965 8.791225
## 44 42 38.965 3.035 9.211225
## 45 21 38.965 -17.965 322.741225
## 46 19 38.965 -19.965 398.601225
## 47 33 38.965 -5.965 35.581225
## 48 60 38.965 21.035 442.471225
## 49 27 38.965 -11.965 143.161225
## 50 56 38.965 17.035 290.191225
## 51 53 38.965 14.035 196.981225
## 52 42 38.965 3.035 9.211225
## 53 20 38.965 -18.965 359.671225
## 54 41 38.965 2.035 4.141225
## 55 40 38.965 1.035 1.071225
## 56 49 38.965 10.035 100.701225
## 57 29 38.965 -9.965 99.301225
## 58 18 38.965 -20.965 439.531225
## 59 48 38.965 9.035 81.631225
## 60 46 38.965 7.035 49.491225
## 61 60 38.965 21.035 442.471225
## 62 55 38.965 16.035 257.121225
## 63 30 38.965 -8.965 80.371225
## 64 27 38.965 -11.965 143.161225
## 65 18 38.965 -20.965 439.531225
## 66 32 38.965 -6.965 48.511225
## 67 44 38.965 5.035 25.351225
## 68 47 38.965 8.035 64.561225
## 69 54 38.965 15.035 226.051225
## 70 48 38.965 9.035 81.631225
## 71 48 38.965 9.035 81.631225
## 72 28 38.965 -10.965 120.231225
## 73 57 38.965 18.035 325.261225
## 74 54 38.965 15.035 226.051225
## 75 24 38.965 -14.965 223.951225
## 76 58 38.965 19.035 362.331225
## 77 42 38.965 3.035 9.211225
## 78 49 38.965 10.035 100.701225
## 79 22 38.965 -16.965 287.811225
## 80 44 38.965 5.035 25.351225
## 81 43 38.965 4.035 16.281225
## 82 18 38.965 -20.965 439.531225
## 83 27 38.965 -11.965 143.161225
## 84 31 38.965 -7.965 63.441225
## 85 30 38.965 -8.965 80.371225
## 86 32 38.965 -6.965 48.511225
## 87 33 38.965 -5.965 35.581225
## 88 43 38.965 4.035 16.281225
## 89 22 38.965 -16.965 287.811225
## 90 21 38.965 -17.965 322.741225
## 91 52 38.965 13.035 169.911225
## 92 23 38.965 -15.965 254.881225
## 93 44 38.965 5.035 25.351225
## 94 40 38.965 1.035 1.071225
## 95 41 38.965 2.035 4.141225
## 96 39 38.965 0.035 0.001225
## 97 43 38.965 4.035 16.281225
## 98 41 38.965 2.035 4.141225
## 99 55 38.965 16.035 257.121225
## 100 54 38.965 15.035 226.051225
## 101 46 38.965 7.035 49.491225
## 102 36 38.965 -2.965 8.791225
## 103 32 38.965 -6.965 48.511225
## 104 58 38.965 19.035 362.331225
## 105 36 38.965 -2.965 8.791225
## 106 25 38.965 -13.965 195.021225
## 107 18 38.965 -20.965 439.531225
## 108 51 38.965 12.035 144.841225
## 109 18 38.965 -20.965 439.531225
## 110 40 38.965 1.035 1.071225
## 111 27 38.965 -11.965 143.161225
## 112 57 38.965 18.035 325.261225
## 113 28 38.965 -10.965 120.231225
## 114 55 38.965 16.035 257.121225
## 115 54 38.965 15.035 226.051225
## 116 37 38.965 -1.965 3.861225
## 117 44 38.965 5.035 25.351225
## 118 25 38.965 -13.965 195.021225
## 119 60 38.965 21.035 442.471225
## 120 36 38.965 -2.965 8.791225
## 121 59 38.965 20.035 401.401225
## 122 29 38.965 -9.965 99.301225
## 123 47 38.965 8.035 64.561225
## 124 33 38.965 -5.965 35.581225
## 125 53 38.965 14.035 196.981225
## 126 29 38.965 -9.965 99.301225
## 127 53 38.965 14.035 196.981225
## 128 43 38.965 4.035 16.281225
## 129 60 38.965 21.035 442.471225
## 130 55 38.965 16.035 257.121225
## 131 18 38.965 -20.965 439.531225
## 132 59 38.965 20.035 401.401225
## 133 51 38.965 12.035 144.841225
## 134 27 38.965 -11.965 143.161225
## 135 59 38.965 20.035 401.401225
## 136 57 38.965 18.035 325.261225
## 137 43 38.965 4.035 16.281225
## 138 42 38.965 3.035 9.211225
## 139 19 38.965 -19.965 398.601225
## 140 22 38.965 -16.965 287.811225
## 141 43 38.965 4.035 16.281225
## 142 53 38.965 14.035 196.981225
## 143 33 38.965 -5.965 35.581225
## 144 58 38.965 19.035 362.331225
## 145 56 38.965 17.035 290.191225
## 146 39 38.965 0.035 0.001225
## 147 24 38.965 -14.965 223.951225
## 148 24 38.965 -14.965 223.951225
## 149 40 38.965 1.035 1.071225
## 150 19 38.965 -19.965 398.601225
## 151 23 38.965 -15.965 254.881225
## 152 42 38.965 3.035 9.211225
## 153 59 38.965 20.035 401.401225
## 154 26 38.965 -12.965 168.091225
## 155 56 38.965 17.035 290.191225
## 156 27 38.965 -11.965 143.161225
## 157 52 38.965 13.035 169.911225
## 158 32 38.965 -6.965 48.511225
## 159 58 38.965 19.035 362.331225
## 160 51 38.965 12.035 144.841225
## 161 21 38.965 -17.965 322.741225
## 162 26 38.965 -12.965 168.091225
## 163 41 38.965 2.035 4.141225
## 164 22 38.965 -16.965 287.811225
## 165 46 38.965 7.035 49.491225
## 166 28 38.965 -10.965 120.231225
## 167 25 38.965 -13.965 195.021225
## 168 44 38.965 5.035 25.351225
## 169 56 38.965 17.035 290.191225
## 170 44 38.965 5.035 25.351225
## 171 50 38.965 11.035 121.771225
## 172 48 38.965 9.035 81.631225
## 173 21 38.965 -17.965 322.741225
## 174 38 38.965 -0.965 0.931225
## 175 26 38.965 -12.965 168.091225
## 176 60 38.965 21.035 442.471225
## 177 41 38.965 2.035 4.141225
## 178 41 38.965 2.035 4.141225
## 179 30 38.965 -8.965 80.371225
## 180 58 38.965 19.035 362.331225
## 181 25 38.965 -13.965 195.021225
## 182 52 38.965 13.035 169.911225
## 183 39 38.965 0.035 0.001225
## 184 44 38.965 5.035 25.351225
## 185 28 38.965 -10.965 120.231225
## 186 44 38.965 5.035 25.351225
## 187 23 38.965 -15.965 254.881225
## 188 26 38.965 -12.965 168.091225
## 189 58 38.965 19.035 362.331225
## 190 48 38.965 9.035 81.631225
## 191 50 38.965 11.035 121.771225
## 192 26 38.965 -12.965 168.091225
## 193 38 38.965 -0.965 0.931225
## 194 58 38.965 19.035 362.331225
## 195 31 38.965 -7.965 63.441225
## 196 59 38.965 20.035 401.401225
## 197 27 38.965 -11.965 143.161225
## 198 45 38.965 6.035 36.421225
## 199 44 38.965 5.035 25.351225
## 200 46 38.965 7.035 49.491225Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 32638.75varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 164.0138Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 164.0138## [1] 21.19696desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.80679## [1] 4.6040164.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3286742CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.15426425 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 15.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 38.965, la desviación es de: 12.806789.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 29.845, la desviación es de: 4.6040156.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3286742y el CV de edades2 es de: 0.1542642
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.