Medidas de Tendencia Central y de LocalizaciĆ³n
Lina Buitrago PhD(c), labuitragor@unal.edu.co
Juan Sosa PhD, jcsosam@unal.edu.co
1 IntroducciĆ³n
Las variables cuantitativas se pueden resumir con varios tipos de medidas, que permiten caracterizar su comportamiento bien sea en la muestra o en la poblaciĆ³n observada:
- Tendencia central.
- LocalizaciĆ³n.
- Variabilidad.
- Forma.
Dado que en general no se acostumbra a medir toda la poblaciĆ³n (censo), generalmente las mediciones se hacen sobre una muestra, por lo que las medidas que se presentan a continuaciĆ³n se denominan muestrales.
2 Medidas de tendencia central
Existen diferentes medidas de tendencia central. Las mƔs utilizadas son la media aritmƩtica (promedio), la mediana, y la moda.
Como su nombre lo indica, el propĆ³sito consiste en proporcionar un valor que describa adecuadamente el centro del conjunto de datos.
La interpretaciĆ³n de estas medidas debe tener en cuenta las medidas de variabilidad, ya que la calidad de las medidas de tendencia central estĆ” relacionada intrĆnsecamente con la dispersiĆ³n de los datos.
2.1 Media aritmƩtica
Asumiendo que los valores observados en la muestra son \(x_1,\ldots,x_n\), la media aritmƩtica es el valor que se ubica en el centro de gravedad de los datos, el cual se calcula como: \[M(x)=\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]
2.1.1 CaracterĆsticas
- Otorga a todas las observaciones la misma importancia relativa, \(\frac{1}{n}\).
- Corresponde al centro de gravedad de los datos, es decir, \(\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = 0\).
- Es sensible a datos atĆpicos.
- No es una buena representaciĆ³n del centro de los datos cuando su distribuciĆ³n es marcadamente asimĆ©trica (sesgada).
2.1.2 Ejemplo
Los siguientes datos corresponden a la resistencia a la flexiĆ³n (en megapascales, MPa = \(10^6\) Pa, con Pa = Newton/m\(^2\)) de un determinado tipo de concreto de alto desempeƱo obtenido con el uso de superplastificantes y ciertos aglomerantes (ver Magazine of Concrete Research, 1997, p.Ā 81-98, para mĆ”s detalles). Calcular la resistencia a la flexiĆ³n promedio.
5.9, 7.2, 7.3, 6.3, 8.1, 6.8, 7.0, 7.6, 6.8, 6.5, 7.0, 6.3, 7.9, 9.0, 8.2, 8.7, 7.8, 9.7, 7.4, 7.7, 9.7, 7.8, 7.7, 11.6, 11.3, 11.8, 10.7
El tamaƱo de la muestra es \(n=27\), y ademĆ”s, el promedio de resistencia a la flexiĆ³n correspondiente estĆ” dado por: \[ M(x) = \frac{1}{27}(5.9 + 7.2 + \ldots + 10.7) = 8.141\,. \]
# resistencias
x <- c(5.9, 7.2, 7.3, 6.3, 8.1, 6.8, 7.0, 7.6, 6.8, 6.5, 7.0, 6.3, 7.9, 9.0,
8.2, 8.7, 7.8, 9.7, 7.4, 7.7, 9.7, 7.8, 7.7, 11.6, 11.3, 11.8, 10.7)
# tamaƱo de la muestra
length(x)## [1] 27# media
mean(x)## [1] 8.140741# otra manera
sum(x)/length(x)## [1] 8.140741# suma de las desviaciones
sum(x - mean(x))## [1] -5.329071e-152.1.3 Propiedades
- \(\min\{x_i\}\leq M(x)\leq \max\{x_i\}\).
- Si \(k\) es una constante y \(x_1=k,\ldots,x_n=k\), entonces \(M(x)=k\).
- Si \(k\) es una constante, entonces \(M(x+k)=M(x)+k\).
- Si \(k\) es una constante, entonces \(M(kx)=kM(x)\).
- Si \(k_1\) y \(k_2\) son constantes, entonces \(M(k_1 + k_2x)=k_1 + k_2M(x)\).
- Si los datos se encuentran particionados en \(m\) grupos con tamaƱos \(n_1,\ldots,n_m\) y medias \(M_1(x),\ldots,M_m(x)\), respectivamente, entonces la media correspondiente a todo el conjunto de datos estƔ dada por: \[ M(x)=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m} n_j M_j(x) \]
2.1.4 Ejemplo
De 500 estudiantes cuya estatura promedio es 1.57 metros, 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1.52 metros, ĀæcuĆ”l es la estatura promedio de los hombres?
En este caso \(n=500\) (total de individuos en la muestra), \(n_1=150\) (total de mujeres), y \(n_2=500-150=350\) (total de hombres). AdemĆ”s, el promedio āglobalā es \(\bar{x} = 1.57\) y el promedio de las mujeres es \(\bar{x}_1 = 1.52\). Si \(\bar{x}_2\) denota el promedio de los hombres, entonces: \[ \bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n} \quad\Rightarrow\quad \bar{x}_2 = \frac{(1.57)(500) - (150)(1.52)}{350}=1.591\,. \] AsĆ, el promedio de los hombres es 1.591 metros.
# promedio de los hombres
(1.57*500 - 150*1.52)/350## [1] 1.5914292.1.5 Datos agrupados por valores
Considere la siguiente tabla de frecuencias asociada con los valores de una variable:
| Valor | F. Absoluta | F. Relativa |
|---|---|---|
| \(y_1\) | \(n_1\) | \(h_1\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(y_m\) | \(n_m\) | \(h_m\) |
| Total | \(n\) | \(1\) |
En este caso el promedio se calcula como: \[ M(y)=\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}n_jy_{j}=\sum_{j=1}^{m}h_jy_j \]
2.1.6 Ejemplo
La siguiente tabla estĆ” asociada con el nĆŗmero de hermanos de un grupo de estudiantes. Calcular el nĆŗmero de hermanos promedio.
| No.Ā Hermanos | F. Absoluta |
|---|---|
| 0 | 38 |
| 1 | 67 |
| 2 | 44 |
| 3 | 32 |
| 4 | 11 |
| 5 | 8 |
| Total | 200 |
El nĆŗmero promedio de hermanos para estos \(n=200\) estudiantes es de \(1.675\), ya que \[M(y)=\frac{1}{200}(0*38+1*67+2*44+3*32+4*11+5*8)=\frac{335}{200}=1.675\]
Note que el valor del promedio no es necesariamente un valor plausible de la variable, ya que no es posible tener \(1.675\) hermanos.
# nĆŗmero de hermanos
yj <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
# frecuencia absoluta
nj <- c(38, 67, 44, 32, 11, 8)
# tamaƱo de la muestra
sum(nj)## [1] 200# frecuencia relativa
hj <- nj/sum(nj)
print(hj)## [1] 0.190 0.335 0.220 0.160 0.055 0.040# promedio
sum(nj*yj)/sum(nj)## [1] 1.675# otra manera
sum(hj*yj)## [1] 1.6752.1.7 Datos agrupados por intervalos
Para las variables continuas, la informaciĆ³n se presenta en una tabla de frecuencias donde los datos se encuentran agrupados por intervalos:
| Intervalo | Marca de clase | F. Absoluta | F. Relativa |
|---|---|---|---|
| \(l_{0}-l_{1}\) | \(y_1\) | \(n_1\) | \(h_1\) |
| \(l_{1}-l_{2}\) | \(y_2\) | \(n_2\) | \(h_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(l_{m-1}-l_{m}\) | \(y_m\) | \(n_m\) | \(h_m\) |
donde \(y_j=\frac{l_{j-1}+l_{j}}{2}\) es la marca de clase del intervalo \(j\). En este caso el promedio se calcula como: \[ M(y)=\bar{y}\approx \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}n_jy_{j}=\sum_{j=1}^{m}h_jy_j \] ĀæEn la fĆ³rmula anterior, por quĆ© se utiliza \(\approx\) en lugar de \(=\)?
2.1.8 Ejemplo
La siguiente tabla resume con intervalos el peso (kg) de una muestra de materiales. Calcular el peso promedio.
| Intervalo | Marca de clase | F. Absoluta |
|---|---|---|
| \(15-16\) | \(15.5\) | \(2\) |
| \(16-17\) | \(16.5\) | \(5\) |
| \(17-18\) | \(17.5\) | \(29\) |
| \(18-19\) | \(18.5\) | \(76\) |
| \(19-20\) | \(19.5\) | \(118\) |
| \(20-21\) | \(20.5\) | \(96\) |
| \(21-22\) | \(21.5\) | \(83\) |
| \(22-23\) | \(22.5\) | \(37\) |
| \(23-24\) | \(23.5\) | \(4\) |
El nĆŗmero de intervalos es \(m=9\) y el tamaƱo de la muestra es \(n=\sum_{j=1}^{m} n_j = 450\). De este modo, la media asociada con este conjunto de datos agrupados estĆ” dada por: \[M(y)\approx\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}n_j\,y_{j}=\frac{1}{450}\left( 2*15.5 + 5*16.5 + \ldots + 4*23.5 \right)=20.015\,.\] Por lo tanto, el peso promedio de este grupo de materiales es 20.015 kg.
# limite inferior de los intervalos
li <- 15:23
# limite superior de los intervalos
ls <- 16:24
# marca de clase
yj <- (li+ls)/2
print(yj)## [1] 15.5 16.5 17.5 18.5 19.5 20.5 21.5 22.5 23.5# numero de intervalos
length(yj)## [1] 9# frecuencia absoluta
nj <- c(2, 5, 29, 76, 118, 96, 83, 37, 4)
# tamaƱo de la muestra
sum(nj)## [1] 450# frecuencia relativa
hj <- nj/sum(nj)
print(hj)## [1] 0.004444444 0.011111111 0.064444444 0.168888889 0.262222222 0.213333333
## [7] 0.184444444 0.082222222 0.008888889# media
sum(nj*yj)/sum(nj)## [1] 20.01556# otra manera
sum(hj*yj)## [1] 20.015562.2 Media aritmƩtica ponderada
La media aritmĆ©tica otorga igual peso a cada observaciĆ³n: \(1/n\). Sin embargo, en algunas ocasiones la importancia relativa de los datos no es la misma, por lo que los datos son ponderados de tal forma que esta importancia se ve reflejada en las medidas estadĆsticas correspondientes.
La media aritmĆ©tica ponderada es un promedio que tiene en cuenta la importancia relativa de cada uno de los datos, la cual se calcula como: \[ M(x)=\frac{\sum_{i} w_i x_i}{\sum_{i} w_i} \] donde \(w_i\) es la ponderaciĆ³n y \(x_i\) es el dato, la clase o la marca de clase correspondiente.
2.2.1 Ejemplo
Las calificaciones de un estudiante estĆ”n conformadas de acuerdo con la informaciĆ³n que se presenta en la siguiente tabla. Calcular la calificaciĆ³n promedio del estudiante.
| Actividad | CalificaciĆ³n | Valor |
|---|---|---|
| Examen | 4.5 | 40% |
| Trabajo | 1.0 | 10% |
| InvestigaciĆ³n | 3.5 | 50% |
Se observa que las actividades acadĆ©micas no tienen el mismo peso en la evaluaciĆ³n. Por lo tanto, siguiendo la fĆ³rmula del promedio ponderado se obtiene que el promedio del estudiante es: \[ M(x) = \frac{\sum_{i} w_i x_i}{\sum_{i} w_i} = \frac{(4.5)(0.4) + (1.0)(0.10) + (3.5)(0.50) }{0.40 + 0.10 + 0.50} =3.65. \] Luego, el promedio del estudiante en esta asignatura es 3.65.
# calificacion
x <- c(4.5, 1.0, 3.5)
# valor
w <- c(40, 10, 50)/100 # w <- c(0.4, 0.1, 0.5)
print(w)## [1] 0.4 0.1 0.5# suma de los pesos
sum(w)## [1] 1# promedio
sum(w*x)/sum(w)## [1] 3.652.3 Mediana
La mediana o percentil 50 del conjunto de datos \(x_1,\ldots, x_n\) corresponde al valor que acumula el \(50\%\) de los datos, la cual se calcula como:
\[ P_{50}= \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & \text{si $n$ es impar}\\ \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} & \text{si $n$ es par} \end{cases} \] donde \(x_{(i)}\) es la observaciĆ³n que ocupa la \(i\)-Ć©sima posiciĆ³n del conjunto de datos ordenado ascendentemente.
2.3.1 CaracterĆsticas
- Se calcula para variables medidas en al menos una escala ordinal.
- No se basa en la magnitud de los datos.
- Es robusta (no se ve afectada) a datos atĆpicos.
- Se recomienda su uso cuando la distribuciĆ³n de los datos es considerablemente asĆmetrica (sesgada).
- La media y la mediana coinciden cuando la distribuciĆ³n de los datos es simĆ©trica.
- No tiene propiedades aritmƩticas directas y sencillas de aplicar como la media aritmƩtica.
2.3.2 Ejemplo
Calcular e interpretar la mediana del conjunto de datos asociados con el concreto de alto desempeƱo.
Dado que el tamaƱo de la muestra es un nĆŗmero impar, \(n=27\), se tiene que la mediana corresponde a la observaciĆ³n ubicada en la posiciĆ³n \(\frac{n+1}{2}=14\) del conjunto de datos ordenados ascendentemente, esto es, \(P_{50} = x_{(14)} = 7.7\). Por lo tanto, el 50% de las resistencias a la flexiĆ³n es menor (mayor) o igual a 7.7. AdemĆ”s, se observa que en este caso la mediana (7.7) es ligeramente inferior que la media (8.141), lo cual sugiere que la distribuciĆ³n de las resistencias presenta un leve sesgo positivo (a la derecha).
# resistencias
x <- c(5.9, 7.2, 7.3, 6.3, 8.1, 6.8, 7.0, 7.6, 6.8, 6.5, 7.0, 6.3, 7.9, 9.0,
8.2, 8.7, 7.8, 9.7, 7.4, 7.7, 9.7, 7.8, 7.7, 11.6, 11.3, 11.8, 10.7)
# tamaƱo de la muestra
n <- length(x)
print(n)## [1] 27# posicion central
pos <- (n+1)/2
print(pos)## [1] 14# ordenar datos ascendentemente
x <- sort(x, decreasing = FALSE)
print(x)## [1] 5.9 6.3 6.3 6.5 6.8 6.8 7.0 7.0 7.2 7.3 7.4 7.6 7.7 7.7 7.8
## [16] 7.8 7.9 8.1 8.2 8.7 9.0 9.7 9.7 10.7 11.3 11.6 11.8# mediana, dato en la posicion (n+1)/2
x[pos]## [1] 7.7# otra manera
median(x)## [1] 7.7# otra manera
quantile(x, probs = 0.5)## 50%
## 7.72.3.3 Ejemplo
Los datos de la siguiente tabla corresponden al nĆŗmero de hijos de una muestra de empleados. Calcular e interpretar la mediana.
| NĆŗmero de hijos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F. Absoluta | 12 | 12 | 6 | 4 | 6 | 40 |
El tamaƱo de la muestra es \(n=40\). Ahora, debido a que el total de datos es par y que los datos de la tabla estƔn organizados ascendentemente, se tiene que la mediana es el valor ubicado entre las observaciones de las posiciones \(\frac{n}{2} = 20\) y \(\frac{n}{2} + 1 = 21\). Por lo tanto, la mediana es \(P_{50} = \frac{1+1}{2} = 1\). Este valor indica que la mitad de los empleados no tienen hijos o tienen uno solo.
# numero de hijos
y <- 0:4
# frecuencia absoluta
nj <- c(12, 12, 6, 4, 6)
# tamaƱo de la muestra
n <- sum(nj)
print(n)## [1] 40# posiciones centrales
n/2## [1] 20n/2 + 1## [1] 21# frecuencias acumuladas
cumsum(nj)## [1] 12 24 30 34 40# mediana, promedio de los datos en las posiciones n/2 y n/2 + 1
(y[2] + y[2])/2## [1] 1# en este caso no se debe utilizar las funciones median y quantile dado que los
# datos estan agrupados en una tabla2.3.4 Datos agrupados por intervalos
Cuando los datos estĆ”n agrupados en una tabla de frecuencias por intervalos, el cĆ”lculo de la mediana es como sigue: \[ P_{50}\approx l_{k-1}+a_k\left(\frac{0.5\,n-N_{k-1}}{n_k}\right) \] donde \(k\) es el Ćndice del primer intervalo cuya frecuencia relativa acumulada es mayor o igual a \(50\%\).
2.3.5 Ejemplo
Calcular e interpretar la mediana del peso del conjunto de datos asociados con la muestra de materiales.
| Intervalo | Marca de clase | F. Absoluta |
|---|---|---|
| \(15-16\) | \(15.5\) | \(2\) |
| \(16-17\) | \(16.5\) | \(5\) |
| \(17-18\) | \(17.5\) | \(29\) |
| \(18-19\) | \(18.5\) | \(76\) |
| \(19-20\) | \(19.5\) | \(118\) |
| \(20-21\) | \(20.5\) | \(96\) |
| \(21-22\) | \(21.5\) | \(83\) |
| \(22-23\) | \(22.5\) | \(37\) |
| \(23-24\) | \(23.5\) | \(4\) |
El Ćndice del primer intervalo que acumula el \(50\%\) de los datos es \(k = 5\), y por lo tanto el intervalo de referencia es \((19,20]\). AsĆ, la mediana correspondiente es: \[ P_{50} \approx 19+ 1*\left(\frac{0.5*450-112}{118}\right)=19.958\,. \] Es decir que el \(50\%\) de los materias presentan un peso menor o igual que \(19.958\) kg.
# limite inferior de los intervalos
li <- 15:23
# limite superior de los intervalos
ls <- 16:24
# frecuencia absoluta
nj <- c(2, 5, 29, 76, 118, 96, 83, 37, 4)
# tamaƱo de la muestra
n <- sum(nj)
print(n)## [1] 450# frecuencia relativa
hj <- nj/sum(nj)
print(hj)## [1] 0.004444444 0.011111111 0.064444444 0.168888889 0.262222222 0.213333333
## [7] 0.184444444 0.082222222 0.008888889# frecuencia relativa aucumulada
Hj <- cumsum(hj)
print(Hj)## [1] 0.004444444 0.015555556 0.080000000 0.248888889 0.511111111 0.724444444
## [7] 0.908888889 0.991111111 1.000000000# frecuencia absoluta acumulada
Nj <- cumsum(nj)
print(Nj)## [1] 2 7 36 112 230 326 409 446 450# indice primer intervalo tal que Hj > 0.5
k <- 5
# mediana
li[k] + (ls[k]-li[k])*((0.5*n - Nj[k-1])/nj[k])## [1] 19.95763# en este caso no se debe utili zar las funciones median y quantile dado que los
# datos estan agrupados en una tabla2.4 Moda
La moda de un conjunto de datos agrupados por intervalos corresponde al(a los) valor(res) que maximiza(n) la distribuciĆ³n de frecuencias, la cual se calcula como: \[ M_d(x) = l_{k-1}+a_k\left(\frac{n_k-n_{k-1}}{2n_k-n_{k-1}-n_{k+1}}\right) \] donde \(k\) es el Ćndice del(de los) interlo(s) con mayor frecuencia absoluta.
2.4.1 Ejercicio
Calcular e interpretar la moda del peso del conjunto de datos asociados con la muestra de materiales.
3 Medidas de localizaciĆ³n
Las medidas de localizaciĆ³n o percetiles son valores que delimitan superiormente un determinado porcentaje de los datos observados.
El percentil \(t\) de un conjunto de datos, denotado con \(P_t\), se define como un valor tal que \(t\%\) de los datos es menor o igual que dicho valor.
Como casos particulares se tienen los cuartiles (percentiles 25, 50 y 75; la mediana es el percentil 50 o cuartil 2).
3.1 Ejemplo
Calcular e interpretar los cuartiles del conjunto de datos asociados con el concreto de alto desempeƱo.
El percentil 25 o cuartil 1 es \(P_{25}=Q_1 = 7.00\), mientras que el percentil 75 o cuartil 3 es \(P_{75} = Q_3 = 7.85\). La mediana estĆ” calculada en el Ejemplo 2.3.2. AsĆ, por ejemplo, el 25% de la resistencias es menor o igual que 7.00 MPa.
# resistencias
x <- c(5.9, 7.2, 7.3, 6.3, 8.1, 6.8, 7.0, 7.6, 6.8, 6.5, 7.0, 6.3, 7.9, 9.0,
8.2, 8.7, 7.8, 9.7, 7.4, 7.7, 9.7, 7.8, 7.7, 11.6, 11.3, 11.8, 10.7)
# percentiles 25, 50, y 75
quantile(x, probs = c(0.25, 0.5, 0.75))## 25% 50% 75%
## 7.00 7.70 8.853.2 Datos agrupados
Cuando los datos estĆ”n agrupados en una tabla de frecuencias por intervalos, el cĆ”lculo del percentil \(t\) es como sigue: \[ P_{t} = l_{k-1}+a_k\left(\frac{(n)(t/100) - N_{k-1}}{n_k}\right) \] donde \(k\) es el Ćndice del primer intervalo cuya frecuencia relativa acumulada es mayor o igual a \(t\%\).
3.3 Ejercicio
Calcular e interpretar los cuartiles del peso del conjunto de datos asociados con la muestra de materiales.
4 Referencias
