Code
3.1 Basic Distributional Quantities
Teori Resiko
**
Dalam Materi ini akan mempelajari: - moments, - percentiles, and - generating functions.
3.1.1 Moments
Dengan memisalkan X merupakan suatu variabel acak kontinu dengan probability density function (pdf) \(f_X(x)\) dan fungsi ditribusi \(F_X(x)\) .
Momen baku ke-k dari X yang dinotasikan dengan \(μ'_k\) adalah nilai ekspektasi dari pangkat ke-k dari X yang diharapkan, asalkan mempunyai nilai. Momen pertama \(μ'_1\) adalah nilai tengah (mean) dari X yang biasanya dilambangkan dengan μ . Rumus untuk \(μ'_k\) adalah sebagai berikut :
\[
\begin{align}
μ'_k = E(X^k) = \int_{0}^{∞}x^kf_X(x)dx
\end{align}
\]
Untuk mendukung dari variabel acak X dapat diasumsikan sebagai nonnegatif dikarenakan pada kenyataannya jarang sekali bernilai negatif. Salah satu contohnya yang menunjukkan bahwa raw moments untuk variabel nonnegatif dapat dihitung menggunakan rumus :
\[
\begin{align}
μ'_k = \int_{0}^{∞}kx^{k-1}[1-F_X(x)]dx,
\end{align}
\]
yang didasarkan pada fungsi survival \(S_X(x)=1−F_X(x)\) . Pada rumus ini berguna disaat k=1.
Central moment ke -k dari X yang dinotasikan dengan \(μ_k\) yang merupakan nilai yang diharapkan dari pangkat ke-k dari deviasi x dan dari mean μ. Maka untuk rumus \(μ_k\) adalah
\[
\begin{align}
μ_k = E[(X-μ)^k] = \int_{0}^{∞}(x-μ)^kf_X(x)dx
\end{align}
\]
Momen pusat kedua \(μ_2\) mendefinisikan varians dari X yang dinotasikan dengan \(σ^2\) . Akar kuadrat dari varians adalah simpangan baku \(σ\) .
Rasio momen sentral ketiga terhadap pangkat tiga dari deviasi standar \((μ_3/σ^3)\) yang mendefinisikan koefisien kemiringan yang merupakan ukuran simetri. Koefisien kemencengan yang positif menunjukkan bahwa distribusi condong ke kanan (condong ke kanan).
Rasio momen sentral keempat dengan pangkat empat dari deviasi standar \((μ_4/σ^4)\) mendefinisikan koefisien kurtosis. Distribusi normal memiliki koefisien kurtosis 3. Distribusi dengan koefisien kurtosis lebih besar dari 3 memiliki ekor yang lebih berat daripada distribusi normal, sedangkan distribusi dengan koefisien kurtosis kurang dari 3 memiliki ekor yang lebih ringan dan lebih datar.
Example 3.1.1
Mengasumsikan bahwa variabel acak X memiliki distribusi gamma dengan rata-rata 9 dan skewness 1. Maka dicari perhitungan varians dari X.
pdf dari X adalah :
\[
\begin{align}
f_{X}\left( x \right) = \frac{\left( x / \theta \right)^{\alpha}}{x ~\Gamma\left( \alpha \right)} e^{- x / \theta}
\end{align}
\] Untuk \(x>0\) , dan \(α>0\) , maka momen baku ke-k adalah
\[
\begin{align}
\mu_{k}^{\prime} = \mathrm{E}\left( X^{k} \right) = \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)\theta^{\alpha}}x^{k + \alpha - 1}e^{- x / \theta} dx} = \frac{\Gamma\left( k + \alpha \right)}{\Gamma\left( \alpha \right)}\theta^{k}
\end{align}
\]
Dengan memberikan \(\Gamma\left( r + 1 \right) = r\Gamma\left( r \right)\) dan \(\Gamma\left( 1 \right) = 1\) . Maka \(\mu_{1}^{\prime} = \mathrm{E}\left( X \right) = \alpha\theta\)
$$
\[\begin{align}
\mu_{2}^{\prime} &= \mathrm{E}\left( X^{2} \right) = \left( \alpha + 1 \right)\alpha\theta^{2} =
\mu_{3}^{\prime} = \mathrm{E}\left( X^{3} \right) = \left( \alpha + 2 \right)\left( \alpha + 1 \right)\alpha\theta^{3}\\
\mathrm{Var}\left( X \right) &= (\alpha + 1)\alpha\theta^2 - (\alpha\theta)^2 = \alpha\theta^{2}\\
\end{align}\] \[
\]
\[\begin{array}{ll}
\text{Skewness} &= \frac{\mathrm{E}\left\lbrack {(X - \mu_{1}^{\prime})}^{3} \right\rbrack}{{\left( \mathrm{Var}X \right)}^{3/2}} = \frac{\mu_{3}^{\prime} - 3\mu_{2}^{\prime}\mu_{1}^{\prime} + 2{\mu_{1}^{\prime}}^{3}}{{\left(\mathrm{Var} X \right)}^{3/2}} \\
&= \frac{\left( \alpha + 2 \right)\left( \alpha + 1 \right)\alpha\theta^{3} - 3\left( \alpha + 1 \right)\alpha^{2}\theta^{3} + 2\alpha^{3}\theta^{3}}{\left( \alpha\theta^{2} \right)^{3/2}} \\
&= \frac{2}{\alpha^{1/2}} = 1.
\end{array}\]
$$
Maka didapatkan hasil \[
\begin{align}
α&=4\\
E(X)&=αθ=8\\
θ&=2\\
Var(X)&=αθ^2=16
\end{align}
\]
3.1.2 Quantiles
Kuantil dapat digunakan dalam menggambarkan karakteristik distribusi X. Ketika distribusi X kontinu, untuk suatu pecahan tertentu 0≤p≤1 kuantil yang sesuai adalah solusi dari persamaan
\[
\begin{align}
F_X(π_p)=p
\end{align}
\] Sebagai contoh, titik tengah distribusi, \(π_{0.5}\) adalah median. Persentil adalah jenis kuantil; persentil \(100p\) yang merupakan angka sedemikian rupa sehingga \(100×p\) persen dari data berada di bawahnya.
3.1.3 Moment Generating Function
Fungsi pembangkit momen (mgf)dilambangkan dengan MX(t) secara unik mencirikan distribusi dari X . Meskipun ada kemungkinan dua distribusi yang berbeda memiliki momen yang sama namun tetap berbeda, tidak demikian halnya dengan fungsi pembangkit momen. Artinya, jika dua variabel acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya memiliki distribusi yang sama. Fungsi pembangkit momen diberikan oleh untuk semua nilai t yang memiliki nilai ekspektasi.
\[
\begin{align}
M_X(t) = E(e^{tX}) = \int_{0}^{∞}e^{tX}f_X(x)dx
\end{align}
\] MGF adalah fungsi real yang turunan ke-k pada nol sama dengan momen mentah ke-k dari X . Dalam simbol, ini adalah
\[
\begin{align}
\frac{d^k}{dt^k}MX(t)\Bigr|_{t=0} = E(X^{k})
\end{align}
\]
Example 3.1.3
Variabel acak X memiliki distribusi eksponensial dengan mean \(1/b\) . Maka dapat menacari b jika \(M_{X}\left( - b^{2} \right) = 0.2\) .
\[
\begin{align}
M_{X}(t) = \mathrm{E}\left( e^{tX} \right) = \int_{0}^{\infty}{e^{\text{tx}}be^{- bx} dx} = \int_{0}^{\infty}{be^{- x\left( b - t \right)} dx} = \frac{b}{\left( b - t \right)}.
\end{align}
\] Maka
\[
\begin{align}
M_{X}\left( - b^{2} \right) = \frac{b}{\left( b + b^{2} \right)} = \frac{1}{\left( 1 + b \right)} = 0.2
\end{align}
\]
Maka akan didapatkan
\[
\begin{align}
\frac{1}{\left( 1 + b \right)} &= 0.2\\
1&=0.2(1+b)\\
1&=0.2+0.2b\\
0.8&=0.2b\\
4&=b\\
\end{align}
\] Kita juga dapat menggunakan fungsi pembangkit momen untuk menghitung fungsi pembangkit probabilitas dengan
\[
\begin{align}
P_X(z)= E(z^X)=M_X(logz)
\end{align}
\]
---
title: "3.1 Basic Distributional Quantities "
subtitle: "Teori Resiko"
author: "Clara Della Evania (20204920018)"
date:  "`r format(Sys.Date(), '%B %d, %Y')`"
output:
  rmdformats::robobook:   # https://github.com/juba/rmdformats
    self_contained: true
    thumbnails: true
    lightbox: true
    gallery: true
    lib_dir: libs
    df_print: "paged"
    code_folding: "show"
    code_download: yes
    css: "style.css"

---


```{r include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(class.source = "nocopy",
                      class.output = "nocopy",
                      message = F,
                      warning = F)
```


<br>


<img style="float: right; margin: -50px 50px 0px 50px; width:25%" src="me.jpeg"/> 

|
:---- |:----
Kontak| *:* $\downarrow$
Email| clara.evania@student.matanauniversity.ac.id
Instagram | https://www.instagram.com/claraevania/ 
RPubs  | https://rpubs.com/claradellaevania/ 

**

Dalam Materi ini akan mempelajari:
  - moments,
  - percentiles, and
  - generating functions.

# 3.1.1 Moments

Dengan memisalkan `X` merupakan suatu variabel acak kontinu dengan `probability density function (pdf)` $f_X(x)$ dan fungsi ditribusi $F_X(x)$. 

Momen baku ke-k dari `X` yang dinotasikan dengan $μ'_k$ adalah nilai ekspektasi dari pangkat ke-k dari `X` yang diharapkan, asalkan mempunyai nilai. Momen pertama $μ'_1$ adalah nilai tengah (mean) dari `X` yang biasanya dilambangkan dengan `μ` . Rumus untuk $μ'_k$ adalah sebagai berikut :

$$
\begin{align}
μ'_k = E(X^k) = \int_{0}^{∞}x^kf_X(x)dx
\end{align}
$$

Untuk mendukung dari variabel acak `X` dapat diasumsikan sebagai nonnegatif dikarenakan pada kenyataannya jarang sekali bernilai negatif. Salah satu contohnya yang menunjukkan bahwa raw moments untuk variabel nonnegatif dapat dihitung menggunakan rumus :

$$
\begin{align}
μ'_k =  \int_{0}^{∞}kx^{k-1}[1-F_X(x)]dx,
\end{align}
$$

yang didasarkan pada fungsi survival $S_X(x)=1−F_X(x)$. Pada rumus ini berguna disaat k=1.

Central moment ke -k dari `X` yang dinotasikan dengan $μ_k$ yang merupakan nilai yang diharapkan dari pangkat ke-k dari deviasi x dan dari mean `μ`. Maka untuk rumus $μ_k$ adalah 

$$
\begin{align}
μ_k = E[(X-μ)^k] = \int_{0}^{∞}(x-μ)^kf_X(x)dx
\end{align}
$$

Momen pusat kedua $μ_2$ mendefinisikan varians dari `X` yang dinotasikan dengan $σ^2$. Akar kuadrat dari varians adalah simpangan baku $σ$ . 

Rasio momen sentral ketiga terhadap pangkat tiga dari deviasi standar $(μ_3/σ^3)$ yang mendefinisikan koefisien kemiringan yang merupakan ukuran simetri. Koefisien kemencengan yang positif menunjukkan bahwa distribusi condong ke kanan (condong ke kanan). 

Rasio momen sentral keempat dengan pangkat empat dari deviasi standar $(μ_4/σ^4)$ mendefinisikan koefisien kurtosis. Distribusi normal memiliki koefisien kurtosis 3. Distribusi dengan koefisien kurtosis lebih besar dari 3 memiliki ekor yang lebih berat daripada distribusi normal, sedangkan distribusi dengan koefisien kurtosis kurang dari 3 memiliki ekor yang lebih ringan dan lebih datar. 

## Example 3.1.1 
Mengasumsikan bahwa variabel acak X memiliki distribusi gamma dengan rata-rata 9 dan skewness 1. Maka dicari perhitungan varians dari X.

pdf dari X adalah :

$$
\begin{align}
f_{X}\left( x \right) = \frac{\left( x / \theta \right)^{\alpha}}{x ~\Gamma\left( \alpha \right)} e^{- x / \theta}
\end{align}
$$
Untuk $x>0$, dan $α>0$, maka momen baku ke-k adalah

$$
\begin{align}
\mu_{k}^{\prime} = \mathrm{E}\left( X^{k} \right) = \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\Gamma\left( \alpha \right)\theta^{\alpha}}x^{k + \alpha - 1}e^{- x / \theta} dx} = \frac{\Gamma\left( k + \alpha \right)}{\Gamma\left( \alpha \right)}\theta^{k}
\end{align}
$$

Dengan memberikan $\Gamma\left( r + 1 \right) = r\Gamma\left( r \right)$ dan $\Gamma\left( 1 \right) = 1$. Maka $\mu_{1}^{\prime} = \mathrm{E}\left( X \right) = \alpha\theta$


$$
\begin{align}
\mu_{2}^{\prime} &= \mathrm{E}\left( X^{2} \right) = \left( \alpha + 1 \right)\alpha\theta^{2} =
\mu_{3}^{\prime} = \mathrm{E}\left( X^{3} \right) = \left( \alpha + 2 \right)\left( \alpha + 1 \right)\alpha\theta^{3}\\

\mathrm{Var}\left( X \right) &= (\alpha + 1)\alpha\theta^2 - (\alpha\theta)^2 = \alpha\theta^{2}\\

\end{align}
$$
$$\begin{array}{ll}
\text{Skewness}  &= \frac{\mathrm{E}\left\lbrack {(X - \mu_{1}^{\prime})}^{3} \right\rbrack}{{\left( \mathrm{Var}X \right)}^{3/2}} = \frac{\mu_{3}^{\prime} - 3\mu_{2}^{\prime}\mu_{1}^{\prime} + 2{\mu_{1}^{\prime}}^{3}}{{\left(\mathrm{Var} X \right)}^{3/2}} \\
 &= \frac{\left( \alpha + 2 \right)\left( \alpha + 1 \right)\alpha\theta^{3} - 3\left( \alpha + 1 \right)\alpha^{2}\theta^{3} + 2\alpha^{3}\theta^{3}}{\left( \alpha\theta^{2} \right)^{3/2}} \\
 &= \frac{2}{\alpha^{1/2}} = 1.
 \end{array}
 $$

Maka didapatkan hasil 
$$
\begin{align}
α&=4\\
E(X)&=αθ=8\\
θ&=2\\
Var(X)&=αθ^2=16
\end{align}
$$


# 3.1.2 Quantiles

Kuantil dapat digunakan dalam menggambarkan karakteristik distribusi `X`. Ketika distribusi `X` kontinu, untuk suatu pecahan tertentu `0≤p≤1` kuantil yang sesuai adalah solusi dari persamaan 

$$
\begin{align}
F_X(π_p)=p
\end{align}
$$
Sebagai contoh, titik tengah distribusi, $π_{0.5}$ adalah median. Persentil adalah jenis kuantil; persentil $100p$ yang merupakan angka sedemikian rupa sehingga $100×p$ persen dari data berada di bawahnya.

# 3.1.3 Moment Generating Function

Fungsi pembangkit momen (mgf)dilambangkan dengan `MX(t)` secara unik mencirikan distribusi dari `X` . Meskipun ada kemungkinan dua distribusi yang berbeda memiliki momen yang sama namun tetap berbeda, tidak demikian halnya dengan fungsi pembangkit momen. Artinya, jika dua variabel acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya memiliki distribusi yang sama. Fungsi pembangkit momen diberikan oleh untuk semua nilai t yang memiliki nilai ekspektasi.

$$
\begin{align}
M_X(t) = E(e^{tX}) = \int_{0}^{∞}e^{tX}f_X(x)dx
\end{align}
$$
MGF adalah fungsi real yang turunan ke-k pada nol sama dengan momen mentah ke-k dari X . Dalam simbol, ini adalah 

$$
\begin{align}
\frac{d^k}{dt^k}MX(t)\Bigr|_{t=0} = E(X^{k})
\end{align}
$$

## Example 3.1.3
Variabel acak X memiliki distribusi eksponensial dengan mean $1/b$. Maka dapat menacari b jika $M_{X}\left( - b^{2} \right) = 0.2$.

$$
\begin{align}
M_{X}(t) = \mathrm{E}\left( e^{tX} \right) = \int_{0}^{\infty}{e^{\text{tx}}be^{- bx} dx} = \int_{0}^{\infty}{be^{- x\left( b - t \right)} dx} = \frac{b}{\left( b - t \right)}.
\end{align}
$$
Maka 

$$
\begin{align}
M_{X}\left( - b^{2} \right) = \frac{b}{\left( b + b^{2} \right)} = \frac{1}{\left( 1 + b \right)} = 0.2
\end{align}
$$

Maka akan didapatkan 

$$
\begin{align}
 \frac{1}{\left( 1 + b \right)} &= 0.2\\
 1&=0.2(1+b)\\
 1&=0.2+0.2b\\
 0.8&=0.2b\\
 4&=b\\
\end{align}
$$
Kita juga dapat menggunakan fungsi pembangkit momen untuk menghitung fungsi pembangkit probabilitas dengan

$$
\begin{align}
P_X(z)= E(z^X)=M_X(logz)
\end{align}
$$


# Referensi 
- https://openacttexts.github.io/Loss-Data-Analytics/ChapFrequency-Modeling.html#S:goodness-of-fit
