Devoir 1 : Dynamique de population

Question 0 : - la taille d’une ville sera plus grande que l’autre après un grandre nombre d'immigration - etant donné que la probabilité d’un immigration vers ville1 est donné P1(t) = N1(t) / (N1(t)+N2(t)) donc la probabilité d’un immigration vers ville2 est: P2(t) = 1 - P1(t) = 1 - N1(t) / (N1(t)+N2(t)) = N2(t) / (N1(t)+N2(t))

Cela veut dire que la probabilité de immigration est décidé par la population de chaque ville N(t). Si une fois il y a plusieurs de immigrants choisissent continuellement la même ville, la population de cette ville sera probablement venir grande. Donc nous pensons que le résultat sera one-sided(une ville est plus grand que l’autre).

Question 1 : Premières observations de la dynamique Après 1000 experiences avec n1 = 1, n2 = 1, t = 1000 (1 habitant au départ dans chaque ville et 1000 immigrants), on constate que les habitants dans les villes sont equitablement entre 0 et 1. On peut déja dire que l’intuition de Question 0 n’est pas bonne.

set.seed(100)
evolution <- function(t = 1000) {
    n1 <- 1
    n2 <- 1
    pt <- 1:t
    for (i in 1:t) {
        if (runif(1) < n1/(n1 + n2)) {
            n1 <- n1 + 1
        } else {
            n2 <- n2 + 1
        }
        pt[i] <- n1/(n1 + n2)
    }
    pt
}
plot(evolution(), ylim = c(0, 1), type = "l", main = "10 Trajectoires", xlab = "Nombre des immigrants t", 
    ylab = "probabilite p(t)")
simulation <- function(x = 10) {
    for (i in 1:x) lines(evolution(t = 1000), col = i + 100)
}
simulation()

Question 2 : On conserve 2000 comme valeur du nombre d’immigrants En consequence, avec la courbe de question 1, on peut voir que c’est bien une loi uniforme.

evolution <- function(n1 = 1, n2 = 1, t = 2000) {
    pt <- 1:t
    for (i in 1:t) {
        pt <- n1/(n1 + n2)
        if (runif(1) < pt) {
            n1 <- n1 + 1
        } else {
            n2 <- n2 + 1
        }
    }
    pt
}
simulation <- function(limite = 2000) {
    frequence_pt <- c()
    for (i in 1:limite) {
        frequence_pt[i] <- evolution(1, 1, 2000)
    }
    frequence_pt
}
hist(simulation(), xlab = "pt", main = "Les limite de pt")

Question 3 : Etant donné que l’intuition dans question 0, on pense que la taille de la population N(t) décide la probabilité de P(t), donc si l’état initial n(1) est plus grande, la taille de la ville va venir plus grande.

• Etats initiaux (n1(1),n2(1)) ∈ {(1,1),(10,10),(100,100)}

N1 = 10 et N2 = 10

evolution <- function(n1 = 1, n2 = 1, t = 2000) {
    pt <- 1:t
    for (i in 1:t) {
        pt <- n1/(n1 + n2)
        if (runif(1) < pt) {
            n1 <- n1 + 1
        } else {
            n2 <- n2 + 1
        }
    }
    pt
}
simulation <- function(limite = 2000) {
    frequence_pt <- c()
    for (i in 1:limite) {
        frequence_pt[i] <- evolution(10, 10, 2000)
    }
    frequence_pt
}
hist(simulation(), xlab = "pt", main = "Les limite de pt")

N1 = 100 et N2 = 100

evolution <- function(n1 = 1, n2 = 1, t = 2000) {
    pt <- 1:t
    for (i in 1:t) {
        pt <- n1/(n1 + n2)
        if (runif(1) < pt) {
            n1 <- n1 + 1
        } else {
            n2 <- n2 + 1
        }
    }
    pt
}
simulation <- function(limite = 2000) {
    frequence_pt <- c()
    for (i in 1:limite) {
        frequence_pt[i] <- evolution(100, 100, 2000)
    }
    frequence_pt
}
hist(simulation(), xlab = "pt", main = "Les limite de pt")

Ensuite on teste avec les valeurs inéquilibre

N1 = 1 et N2 = 10

evolution <- function(n1 = 1, n2 = 1, t = 2000) {
    pt <- 1:t
    for (i in 1:t) {
        pt <- n1/(n1 + n2)
        if (runif(1) < pt) {
            n1 <- n1 + 1
        } else {
            n2 <- n2 + 1
        }
    }
    pt
}
simulation <- function(limite = 2000) {
    frequence_pt <- c()
    for (i in 1:limite) {
        frequence_pt[i] <- evolution(1, 10, 2000)
    }
    frequence_pt
}
hist(simulation(), xlab = "pt", main = "Les limite de pt")

Et enfin N1 = 1 et N2 = 100

evolution <- function(n1 = 1, n2 = 1, t = 2000) {
    pt <- 1:t
    for (i in 1:t) {
        pt <- n1/(n1 + n2)
        if (runif(1) < pt) {
            n1 <- n1 + 1
        } else {
            n2 <- n2 + 1
        }
    }
    pt
}
simulation <- function(limite = 2000) {
    frequence_pt <- c()
    for (i in 1:limite) {
        frequence_pt[i] <- evolution(1, 100, 2000)
    }
    frequence_pt
}
hist(simulation(), xlab = "pt", main = "Les limite de pt")

On peut voir que La plus grande frequence est 0.5, lors de l'arrivé de deuxième immigrant avec la probabilite p(t)=101/201≃1/2 =0.5, l’influence de un immigrant est très petite. Donc, dans ce cas là(les populations des deux villes sont proche et très grande), c'est presque un événement à probabilité égale.

La probabilité initial du première immigrant choisit une ville est P1(t) = ½, 1/11, 1/101 P2(t) = ½, 10/11, 100/101 Une fois la population d’une ville vienne grande, la taille sera venir plus grande

Evidemment, l’état initial ait très probable une influence sur la loi de la limite de P(t).

Question 4 : Change d’avis?

Le résultat n'est donc pas tout conforme à nos intuitions. On pensait que la simulation allait donner lieu à deux grands cas de répartition (répartion en faveur de la ville A ou de la ville B), alors que on n’a pas considéreé à la répartition est uniforme.