Caso 4. Medidas de dispersión.
Saira Aracely Vargas Pulgarin.
2023-02-15
Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
Desarrollo
Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficosDatos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1213)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )edades1
Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 51 41 51 32 44 21 19 36 34 32 28 37 34 41 23 56 39 53 31 54 49 60 48 60 21
## [26] 36 51 49 28 49 22 56 46 51 47 60 25 47 26 39 24 28 58 53 47 34 43 58 47 57
## [51] 52 51 35 34 60 22 25 44 52 25 21 38 28 60 19 49 34 23 54 51 49 47 23 58 22
## [76] 44 29 49 31 28 36 55 24 39 60 22 50 26 22 48 45 29 57 51 38 31 60 49 50 28
## [101] 58 28 45 25 47 40 44 22 40 51 20 22 45 60 51 44 32 57 33 30 56 36 27 32 24
## [126] 32 31 44 23 36 28 60 43 35 22 28 21 18 50 43 35 56 48 24 49 51 19 21 36 30
## [151] 37 35 27 46 22 52 39 49 42 44 56 22 46 21 43 53 57 54 55 59 20 36 41 38 43
## [176] 35 34 21 56 24 44 59 40 54 33 45 54 22 50 60 18 20 50 19 24 27 48 39 30 31Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 27 0.14 13.5 27 13.5
## [22.57,27.33) 19 0.10 9.5 46 23.0
## [27.33,32.08) 24 0.12 12.0 70 35.0
## [32.08,36.83) 20 0.10 10.0 90 45.0
## [36.83,41.59) 16 0.08 8.0 106 53.0
## [41.59,46.34) 21 0.10 10.5 127 63.5
## [46.34,51.09) 34 0.17 17.0 161 80.5
## [51.09,55.85) 13 0.06 6.5 174 87.0
## [55.85,60.6) 26 0.13 13.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
edades2
Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 18 18 19 19 19 20 21 21 21 22 22 22 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 25 25
## [26] 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28
## [76] 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30
## [101] 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32
## [126] 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34
## [151] 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36
## [176] 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 40 41 41 41 42 42Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 39.395## [1] 30.295Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 51 39.395 11.605 134.676025
## 2 41 39.395 1.605 2.576025
## 3 51 39.395 11.605 134.676025
## 4 32 39.395 -7.395 54.686025
## 5 44 39.395 4.605 21.206025
## 6 21 39.395 -18.395 338.376025
## 7 19 39.395 -20.395 415.956025
## 8 36 39.395 -3.395 11.526025
## 9 34 39.395 -5.395 29.106025
## 10 32 39.395 -7.395 54.686025
## 11 28 39.395 -11.395 129.846025
## 12 37 39.395 -2.395 5.736025
## 13 34 39.395 -5.395 29.106025
## 14 41 39.395 1.605 2.576025
## 15 23 39.395 -16.395 268.796025
## 16 56 39.395 16.605 275.726025
## 17 39 39.395 -0.395 0.156025
## 18 53 39.395 13.605 185.096025
## 19 31 39.395 -8.395 70.476025
## 20 54 39.395 14.605 213.306025
## 21 49 39.395 9.605 92.256025
## 22 60 39.395 20.605 424.566025
## 23 48 39.395 8.605 74.046025
## 24 60 39.395 20.605 424.566025
## 25 21 39.395 -18.395 338.376025
## 26 36 39.395 -3.395 11.526025
## 27 51 39.395 11.605 134.676025
## 28 49 39.395 9.605 92.256025
## 29 28 39.395 -11.395 129.846025
## 30 49 39.395 9.605 92.256025
## 31 22 39.395 -17.395 302.586025
## 32 56 39.395 16.605 275.726025
## 33 46 39.395 6.605 43.626025
## 34 51 39.395 11.605 134.676025
## 35 47 39.395 7.605 57.836025
## 36 60 39.395 20.605 424.566025
## 37 25 39.395 -14.395 207.216025
## 38 47 39.395 7.605 57.836025
## 39 26 39.395 -13.395 179.426025
## 40 39 39.395 -0.395 0.156025
## 41 24 39.395 -15.395 237.006025
## 42 28 39.395 -11.395 129.846025
## 43 58 39.395 18.605 346.146025
## 44 53 39.395 13.605 185.096025
## 45 47 39.395 7.605 57.836025
## 46 34 39.395 -5.395 29.106025
## 47 43 39.395 3.605 12.996025
## 48 58 39.395 18.605 346.146025
## 49 47 39.395 7.605 57.836025
## 50 57 39.395 17.605 309.936025
## 51 52 39.395 12.605 158.886025
## 52 51 39.395 11.605 134.676025
## 53 35 39.395 -4.395 19.316025
## 54 34 39.395 -5.395 29.106025
## 55 60 39.395 20.605 424.566025
## 56 22 39.395 -17.395 302.586025
## 57 25 39.395 -14.395 207.216025
## 58 44 39.395 4.605 21.206025
## 59 52 39.395 12.605 158.886025
## 60 25 39.395 -14.395 207.216025
## 61 21 39.395 -18.395 338.376025
## 62 38 39.395 -1.395 1.946025
## 63 28 39.395 -11.395 129.846025
## 64 60 39.395 20.605 424.566025
## 65 19 39.395 -20.395 415.956025
## 66 49 39.395 9.605 92.256025
## 67 34 39.395 -5.395 29.106025
## 68 23 39.395 -16.395 268.796025
## 69 54 39.395 14.605 213.306025
## 70 51 39.395 11.605 134.676025
## 71 49 39.395 9.605 92.256025
## 72 47 39.395 7.605 57.836025
## 73 23 39.395 -16.395 268.796025
## 74 58 39.395 18.605 346.146025
## 75 22 39.395 -17.395 302.586025
## 76 44 39.395 4.605 21.206025
## 77 29 39.395 -10.395 108.056025
## 78 49 39.395 9.605 92.256025
## 79 31 39.395 -8.395 70.476025
## 80 28 39.395 -11.395 129.846025
## 81 36 39.395 -3.395 11.526025
## 82 55 39.395 15.605 243.516025
## 83 24 39.395 -15.395 237.006025
## 84 39 39.395 -0.395 0.156025
## 85 60 39.395 20.605 424.566025
## 86 22 39.395 -17.395 302.586025
## 87 50 39.395 10.605 112.466025
## 88 26 39.395 -13.395 179.426025
## 89 22 39.395 -17.395 302.586025
## 90 48 39.395 8.605 74.046025
## 91 45 39.395 5.605 31.416025
## 92 29 39.395 -10.395 108.056025
## 93 57 39.395 17.605 309.936025
## 94 51 39.395 11.605 134.676025
## 95 38 39.395 -1.395 1.946025
## 96 31 39.395 -8.395 70.476025
## 97 60 39.395 20.605 424.566025
## 98 49 39.395 9.605 92.256025
## 99 50 39.395 10.605 112.466025
## 100 28 39.395 -11.395 129.846025
## 101 58 39.395 18.605 346.146025
## 102 28 39.395 -11.395 129.846025
## 103 45 39.395 5.605 31.416025
## 104 25 39.395 -14.395 207.216025
## 105 47 39.395 7.605 57.836025
## 106 40 39.395 0.605 0.366025
## 107 44 39.395 4.605 21.206025
## 108 22 39.395 -17.395 302.586025
## 109 40 39.395 0.605 0.366025
## 110 51 39.395 11.605 134.676025
## 111 20 39.395 -19.395 376.166025
## 112 22 39.395 -17.395 302.586025
## 113 45 39.395 5.605 31.416025
## 114 60 39.395 20.605 424.566025
## 115 51 39.395 11.605 134.676025
## 116 44 39.395 4.605 21.206025
## 117 32 39.395 -7.395 54.686025
## 118 57 39.395 17.605 309.936025
## 119 33 39.395 -6.395 40.896025
## 120 30 39.395 -9.395 88.266025
## 121 56 39.395 16.605 275.726025
## 122 36 39.395 -3.395 11.526025
## 123 27 39.395 -12.395 153.636025
## 124 32 39.395 -7.395 54.686025
## 125 24 39.395 -15.395 237.006025
## 126 32 39.395 -7.395 54.686025
## 127 31 39.395 -8.395 70.476025
## 128 44 39.395 4.605 21.206025
## 129 23 39.395 -16.395 268.796025
## 130 36 39.395 -3.395 11.526025
## 131 28 39.395 -11.395 129.846025
## 132 60 39.395 20.605 424.566025
## 133 43 39.395 3.605 12.996025
## 134 35 39.395 -4.395 19.316025
## 135 22 39.395 -17.395 302.586025
## 136 28 39.395 -11.395 129.846025
## 137 21 39.395 -18.395 338.376025
## 138 18 39.395 -21.395 457.746025
## 139 50 39.395 10.605 112.466025
## 140 43 39.395 3.605 12.996025
## 141 35 39.395 -4.395 19.316025
## 142 56 39.395 16.605 275.726025
## 143 48 39.395 8.605 74.046025
## 144 24 39.395 -15.395 237.006025
## 145 49 39.395 9.605 92.256025
## 146 51 39.395 11.605 134.676025
## 147 19 39.395 -20.395 415.956025
## 148 21 39.395 -18.395 338.376025
## 149 36 39.395 -3.395 11.526025
## 150 30 39.395 -9.395 88.266025
## 151 37 39.395 -2.395 5.736025
## 152 35 39.395 -4.395 19.316025
## 153 27 39.395 -12.395 153.636025
## 154 46 39.395 6.605 43.626025
## 155 22 39.395 -17.395 302.586025
## 156 52 39.395 12.605 158.886025
## 157 39 39.395 -0.395 0.156025
## 158 49 39.395 9.605 92.256025
## 159 42 39.395 2.605 6.786025
## 160 44 39.395 4.605 21.206025
## 161 56 39.395 16.605 275.726025
## 162 22 39.395 -17.395 302.586025
## 163 46 39.395 6.605 43.626025
## 164 21 39.395 -18.395 338.376025
## 165 43 39.395 3.605 12.996025
## 166 53 39.395 13.605 185.096025
## 167 57 39.395 17.605 309.936025
## 168 54 39.395 14.605 213.306025
## 169 55 39.395 15.605 243.516025
## 170 59 39.395 19.605 384.356025
## 171 20 39.395 -19.395 376.166025
## 172 36 39.395 -3.395 11.526025
## 173 41 39.395 1.605 2.576025
## 174 38 39.395 -1.395 1.946025
## 175 43 39.395 3.605 12.996025
## 176 35 39.395 -4.395 19.316025
## 177 34 39.395 -5.395 29.106025
## 178 21 39.395 -18.395 338.376025
## 179 56 39.395 16.605 275.726025
## 180 24 39.395 -15.395 237.006025
## 181 44 39.395 4.605 21.206025
## 182 59 39.395 19.605 384.356025
## 183 40 39.395 0.605 0.366025
## 184 54 39.395 14.605 213.306025
## 185 33 39.395 -6.395 40.896025
## 186 45 39.395 5.605 31.416025
## 187 54 39.395 14.605 213.306025
## 188 22 39.395 -17.395 302.586025
## 189 50 39.395 10.605 112.466025
## 190 60 39.395 20.605 424.566025
## 191 18 39.395 -21.395 457.746025
## 192 20 39.395 -19.395 376.166025
## 193 50 39.395 10.605 112.466025
## 194 19 39.395 -20.395 415.956025
## 195 24 39.395 -15.395 237.006025
## 196 27 39.395 -12.395 153.636025
## 197 48 39.395 8.605 74.046025
## 198 39 39.395 -0.395 0.156025
## 199 30 39.395 -9.395 88.266025
## 200 31 39.395 -8.395 70.476025Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 32045.8varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 161.0341Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 161.0341## [1] 25.93766desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 12.68992## [1] 5.092903Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3221201CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1681104Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 15.5% de valores que están en un rango o intervalo entre 36.83 y 41.59.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 36.83 y 46.34 que representan el 14.5%.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 39.395, la desviación es de: 12.689923.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.295, la desviación es de: 5.0929032.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3221201y el CV de edades2 es de: 0.1681104
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.