Caso 4 Medidas de dispersión
Samuel Damas Montes
2023-02-15
1 Objetivo
Determinar medidas de dispersión de datos como edades, sueldos y calificaciones.
2 Descripción
Simular muestra de varios conjuntos de datos
Se identifica media de los datos
Se muestran tablas de frecuencias
Se calculan medidas de dispersión, varianza y desviación estándar.
Se visualiza la dispersión de los datos en relación a la media.
Se calcula el coeficiente de variación y se compara con similares conjuntos de datos.
3 Marco teórico
¿Para que sirven las medidas de dispersión?
El reporte de una medida de centralización como la media, mediana y moda sólo da información parcial sobre un conjunto o distribución de datos. Diferentes muestras o poblaciones pueden tener medidas idénticas de centro y aun así diferir una de otra en otras importantes maneras. [@devore2016].
La imagen siguiente muestra tres conjuntos de datos y los tres tienen media y mediana igual, sin embargo la dispersión es diferentes, es decir cual conjunto de datos se aleja mas de la media.
La primera tiene la cantidad más grande de variabilidad, la tercera tiene la cantidad más pequeña y la segunda es intermedia respecto a las otras dos en este aspecto.
3.1 Varianza
La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos. La varianza está basada en la diferencia entre el valor de cada observación (\(x_i\)) y la media \(\bar{x}\) [@anderson2008].
3.1.1 Fórmulas
Se identifican las fórmulas para varianza poblacional y muestral, dependiendo de los datos a analizar, si es todas las observaciones de la población y solo una muestra de la misma.
Para efectos de este ejercicio se utiliza mas específicamente la varianza y desviación muestral.
3.1.1.1 Fórmula de varianza poblacional
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i- \mu)^2}{N} \]
siendo \(\mu\) la media poblacional y \(N\) el total de los datos de la población.
3.1.1.2 Fórmula de varianza muestral
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
siendo \(\bar{x}\) la media muestral y \(n\) el total de los datos de la muestra.
Las unidades al cuadrado de la varianza dificultan la comprensión e interpretación intuitiva de los valores numéricos de la varianza.
3.2 Desviación estándar
La desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Continuando con la notación adoptada para la varianza muestral y para la varianza poblacional, se emplea \(\varsigma\) para denotar la desviación estándar muestral y \(\sigma\) para denotar la desviación estándar poblacional.
¿Qué se gana con convertir la varianza en la correspondiente desviación estándar?.
Como la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, las unidades de la varianza, son al cuadrado, posiblemente dificulta su interpretación, por tanto, la desviación estándar de se interpreta de mejor manera la variabilidad de los datos porque el valor resultante se mide en las mismas unidades que los datos originales. [@anderson2008].
Una interpretación preliminar de la desviación estándar muestral es que es el tamaño de una desviación típica o representativa de la media muestral dentro de la muestra dada.[@devore2016]
3.2.1 Fórmula de desviación estándar poblacional
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
3.2.2 Fórmula de desviación estándar muestral
\[ S = \sqrt{S^2} \]
3.3 Coeficiente de variación (CV)
En algunas ocasiones se requiere un estadístico descriptivo que indique cuán grande es la desviación estándar en relación con la media. Existe el coeficiente de variación y resuelve ese propósito.
La fórmula del coeficiente de variación indica el grado de dispersión de un conjunto de datos con respecto a la media.
\[ CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \right) \text{%} \]
4 Desarrollo
4.1 Librerías
Instalar librerías anticipadamente con install.packages(“fdth”)
library(fdth) # Para tablas de frecuencias
library(ggplot2) # Para gráficos4.2 Datos edades
Se establece valor de semilla para que se generen los mismos datos.
set.seed(1117)Se generan 200 edades en dos conjuntos de datos diferentes.
edades1 se genera con función de aleatoriedad sample()
edades2 se genera con la función de distribución normal rnorm().
n <- 200
edades1 <- sample(x = 18:60,size = n,replace = TRUE )4.2.1 edades1
4.2.1.1 Mostrar los datos edades1
Se identifican los datos edades1
edades1## [1] 55 52 38 54 25 18 47 45 38 36 39 36 56 38 43 37 56 41 29 48 20 46 23 47 18
## [26] 55 23 46 55 18 41 43 20 27 39 27 40 40 47 24 34 30 39 58 21 39 54 54 46 25
## [51] 43 27 46 28 55 36 44 57 32 20 46 18 53 60 51 23 37 28 47 40 25 50 28 18 47
## [76] 30 50 56 48 45 24 22 59 35 37 23 30 49 45 55 26 46 58 31 43 30 36 31 47 19
## [101] 25 45 45 23 59 20 59 41 32 22 42 39 28 28 52 46 31 32 49 44 32 23 24 42 26
## [126] 23 53 33 57 34 30 43 27 52 27 26 42 26 32 33 24 41 24 59 39 25 34 49 51 23
## [151] 35 30 39 54 39 30 45 27 49 36 33 23 19 59 36 21 28 41 34 23 33 34 48 32 31
## [176] 19 37 45 30 35 21 33 24 23 23 42 37 29 32 40 38 51 56 39 45 25 51 21 44 514.2.1.2 Tablas de frecuencias edades1
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades1.
En las tablas de frecuencias se determina matemáticamente el número de clases, La opción matemáticamente más consistente es la conocida como regla de Sturges.
La solución de esta ecuación proporciona una regla práctica para obtener el número de clases.
\[ k=1+3.322*log10(n) \]
Siendo k el número de clases
log es la función logarítmica de base 10, log10()
y n el total de la muestra
El rango de clase de acuerdo a Sturges está dada por \[ h=\frac{max(datos) - min(datos)}{k} \]Siendo h el rango de cada clase y max(datos) - min(datos) el rango del total de los datos, es decir la diferencia entre límite superior menos límite inferior.
Existen otras formas de determinar el número de clases a utilizar, algunas más complejas, otras más simples.
Independientemente de la forma de cálculo seleccionada ya se Sturges, Scott o Freedman-Diaconis (FD), lo realmente importante es que la información mostrada en la tabla de frecuencia sea fácil de revisar, que no contenga un número excesivo de clases y que la información que en ella se refleja permita comprender cómo se presentan los datos en la población o de una muestra.
El número de clase de acuerdo par \(n=200\) de acuerdo a Sturges es:
k <- round(1+3.322 * log10(n))
k## [1] 9La amplitud h1 y h2 para cada conjunto de datos es igual a:
h = diff(range(edades1)) / k
h## [1] 4.666667tabla.edades1 <- fdt(x = edades1, breaks="Sturges")
tabla.edades1## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [17.82,22.57) 18 0.09 9.0 18 9.0
## [22.57,27.33) 34 0.17 17.0 52 26.0
## [27.33,32.08) 27 0.14 13.5 79 39.5
## [32.08,36.83) 19 0.10 9.5 98 49.0
## [36.83,41.59) 27 0.14 13.5 125 62.5
## [41.59,46.34) 27 0.14 13.5 152 76.0
## [46.34,51.09) 20 0.10 10.0 172 86.0
## [51.09,55.85) 14 0.07 7.0 186 93.0
## [55.85,60.6) 14 0.07 7.0 200 100.0Class limits significa el rango de cada clase
f significa la frecuencia, la suma de f debe ser el total de elementos.
rf significa frecuencia relativa la suma de todas las rf debe ser el 1
rf% significa el valor relativo pero en porcentaje, la suma de rf% debe ser el 100%
cf significa frecuencia acumulada
cf% significa frecuencia porcentual acumulada
4.2.1.3 Histograma de edades1
hist(edades1, breaks = "Sturges" ) 
4.2.1.4 Dispersión de edades1
datos.edades1 <- data.frame(x = 1:length(edades1), edad= edades1)
ggplot(datos.edades1, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades1), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades1", subtitle = paste("media = ", mean(edades1)))
4.2.2 edades2
4.2.2.1 Crear y mostrar los datos edades2
edades2 <- round(rnorm(n = n, mean = 30, sd = 5))Se identifican los datos edades2
sort(edades2)## [1] 13 19 19 20 20 20 21 21 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25
## [26] 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27
## [51] 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29
## [76] 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31
## [101] 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 33
## [126] 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35 35 35
## [151] 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37
## [176] 37 37 37 37 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39 39 40 40 40 41 42 42 42 43 45 454.2.2.2 Tablas de frecuencias edades2
Se muestran las tablas de frecuencias del conjunto de datos edades2.
tabla.edades2 <- fdt(x = edades2, breaks="Sturges")
tabla.edades2## Class limits f rf rf(%) cf cf(%)
## [12.87,16.49) 1 0.00 0.5 1 0.5
## [16.49,20.11) 5 0.03 2.5 6 3.0
## [20.11,23.73) 9 0.04 4.5 15 7.5
## [23.73,27.35) 37 0.18 18.5 52 26.0
## [27.35,30.97) 43 0.22 21.5 95 47.5
## [30.97,34.59) 52 0.26 26.0 147 73.5
## [34.59,38.21) 37 0.18 18.5 184 92.0
## [38.21,41.83) 10 0.05 5.0 194 97.0
## [41.83,45.45) 6 0.03 3.0 200 100.04.2.2.3 Histograma de edades2
hist(edades2, breaks = "Sturges" ) 
4.2.2.4 Dispersión de edades2
datos.edades2 <- data.frame(x = 1:length(edades2), edad= edades2)
ggplot(datos.edades2, aes(x=x, y=edad))+
geom_point() +
geom_hline(yintercept = mean(edades2), col='red') +
ggtitle(label = "Dispersión de edades2", subtitle = paste("media = ", mean(edades2)))
4.3 Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión varianza y desviación estándar miden el valor de dispersión de un conjunto de datos numéricos.
La dispersión significa que tanto los datos están alejados de la media, el valor de la desviación se compara con la media y se interpreta que tanto los valores distan del valor de la media.
4.3.1 Medias aritméticas de edades
media_edades1 <- mean(edades1)
media_edades2 <- mean(edades2)
media_edades1; media_edades2 ## [1] 37.25## [1] 30.924.3.2 Varianza y desviación estándar
\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1} \]
\[ S = \sqrt{S^{2}} \]
tabla.varianza.edades1 <- data.frame(x = edades1,
x_media = media_edades1,
xi.menos.media = edades1 - media_edades1,
xi.menos.media.cuad = (edades1 - media_edades1)^2)
tabla.varianza.edades1## x x_media xi.menos.media xi.menos.media.cuad
## 1 55 37.25 17.75 315.0625
## 2 52 37.25 14.75 217.5625
## 3 38 37.25 0.75 0.5625
## 4 54 37.25 16.75 280.5625
## 5 25 37.25 -12.25 150.0625
## 6 18 37.25 -19.25 370.5625
## 7 47 37.25 9.75 95.0625
## 8 45 37.25 7.75 60.0625
## 9 38 37.25 0.75 0.5625
## 10 36 37.25 -1.25 1.5625
## 11 39 37.25 1.75 3.0625
## 12 36 37.25 -1.25 1.5625
## 13 56 37.25 18.75 351.5625
## 14 38 37.25 0.75 0.5625
## 15 43 37.25 5.75 33.0625
## 16 37 37.25 -0.25 0.0625
## 17 56 37.25 18.75 351.5625
## 18 41 37.25 3.75 14.0625
## 19 29 37.25 -8.25 68.0625
## 20 48 37.25 10.75 115.5625
## 21 20 37.25 -17.25 297.5625
## 22 46 37.25 8.75 76.5625
## 23 23 37.25 -14.25 203.0625
## 24 47 37.25 9.75 95.0625
## 25 18 37.25 -19.25 370.5625
## 26 55 37.25 17.75 315.0625
## 27 23 37.25 -14.25 203.0625
## 28 46 37.25 8.75 76.5625
## 29 55 37.25 17.75 315.0625
## 30 18 37.25 -19.25 370.5625
## 31 41 37.25 3.75 14.0625
## 32 43 37.25 5.75 33.0625
## 33 20 37.25 -17.25 297.5625
## 34 27 37.25 -10.25 105.0625
## 35 39 37.25 1.75 3.0625
## 36 27 37.25 -10.25 105.0625
## 37 40 37.25 2.75 7.5625
## 38 40 37.25 2.75 7.5625
## 39 47 37.25 9.75 95.0625
## 40 24 37.25 -13.25 175.5625
## 41 34 37.25 -3.25 10.5625
## 42 30 37.25 -7.25 52.5625
## 43 39 37.25 1.75 3.0625
## 44 58 37.25 20.75 430.5625
## 45 21 37.25 -16.25 264.0625
## 46 39 37.25 1.75 3.0625
## 47 54 37.25 16.75 280.5625
## 48 54 37.25 16.75 280.5625
## 49 46 37.25 8.75 76.5625
## 50 25 37.25 -12.25 150.0625
## 51 43 37.25 5.75 33.0625
## 52 27 37.25 -10.25 105.0625
## 53 46 37.25 8.75 76.5625
## 54 28 37.25 -9.25 85.5625
## 55 55 37.25 17.75 315.0625
## 56 36 37.25 -1.25 1.5625
## 57 44 37.25 6.75 45.5625
## 58 57 37.25 19.75 390.0625
## 59 32 37.25 -5.25 27.5625
## 60 20 37.25 -17.25 297.5625
## 61 46 37.25 8.75 76.5625
## 62 18 37.25 -19.25 370.5625
## 63 53 37.25 15.75 248.0625
## 64 60 37.25 22.75 517.5625
## 65 51 37.25 13.75 189.0625
## 66 23 37.25 -14.25 203.0625
## 67 37 37.25 -0.25 0.0625
## 68 28 37.25 -9.25 85.5625
## 69 47 37.25 9.75 95.0625
## 70 40 37.25 2.75 7.5625
## 71 25 37.25 -12.25 150.0625
## 72 50 37.25 12.75 162.5625
## 73 28 37.25 -9.25 85.5625
## 74 18 37.25 -19.25 370.5625
## 75 47 37.25 9.75 95.0625
## 76 30 37.25 -7.25 52.5625
## 77 50 37.25 12.75 162.5625
## 78 56 37.25 18.75 351.5625
## 79 48 37.25 10.75 115.5625
## 80 45 37.25 7.75 60.0625
## 81 24 37.25 -13.25 175.5625
## 82 22 37.25 -15.25 232.5625
## 83 59 37.25 21.75 473.0625
## 84 35 37.25 -2.25 5.0625
## 85 37 37.25 -0.25 0.0625
## 86 23 37.25 -14.25 203.0625
## 87 30 37.25 -7.25 52.5625
## 88 49 37.25 11.75 138.0625
## 89 45 37.25 7.75 60.0625
## 90 55 37.25 17.75 315.0625
## 91 26 37.25 -11.25 126.5625
## 92 46 37.25 8.75 76.5625
## 93 58 37.25 20.75 430.5625
## 94 31 37.25 -6.25 39.0625
## 95 43 37.25 5.75 33.0625
## 96 30 37.25 -7.25 52.5625
## 97 36 37.25 -1.25 1.5625
## 98 31 37.25 -6.25 39.0625
## 99 47 37.25 9.75 95.0625
## 100 19 37.25 -18.25 333.0625
## 101 25 37.25 -12.25 150.0625
## 102 45 37.25 7.75 60.0625
## 103 45 37.25 7.75 60.0625
## 104 23 37.25 -14.25 203.0625
## 105 59 37.25 21.75 473.0625
## 106 20 37.25 -17.25 297.5625
## 107 59 37.25 21.75 473.0625
## 108 41 37.25 3.75 14.0625
## 109 32 37.25 -5.25 27.5625
## 110 22 37.25 -15.25 232.5625
## 111 42 37.25 4.75 22.5625
## 112 39 37.25 1.75 3.0625
## 113 28 37.25 -9.25 85.5625
## 114 28 37.25 -9.25 85.5625
## 115 52 37.25 14.75 217.5625
## 116 46 37.25 8.75 76.5625
## 117 31 37.25 -6.25 39.0625
## 118 32 37.25 -5.25 27.5625
## 119 49 37.25 11.75 138.0625
## 120 44 37.25 6.75 45.5625
## 121 32 37.25 -5.25 27.5625
## 122 23 37.25 -14.25 203.0625
## 123 24 37.25 -13.25 175.5625
## 124 42 37.25 4.75 22.5625
## 125 26 37.25 -11.25 126.5625
## 126 23 37.25 -14.25 203.0625
## 127 53 37.25 15.75 248.0625
## 128 33 37.25 -4.25 18.0625
## 129 57 37.25 19.75 390.0625
## 130 34 37.25 -3.25 10.5625
## 131 30 37.25 -7.25 52.5625
## 132 43 37.25 5.75 33.0625
## 133 27 37.25 -10.25 105.0625
## 134 52 37.25 14.75 217.5625
## 135 27 37.25 -10.25 105.0625
## 136 26 37.25 -11.25 126.5625
## 137 42 37.25 4.75 22.5625
## 138 26 37.25 -11.25 126.5625
## 139 32 37.25 -5.25 27.5625
## 140 33 37.25 -4.25 18.0625
## 141 24 37.25 -13.25 175.5625
## 142 41 37.25 3.75 14.0625
## 143 24 37.25 -13.25 175.5625
## 144 59 37.25 21.75 473.0625
## 145 39 37.25 1.75 3.0625
## 146 25 37.25 -12.25 150.0625
## 147 34 37.25 -3.25 10.5625
## 148 49 37.25 11.75 138.0625
## 149 51 37.25 13.75 189.0625
## 150 23 37.25 -14.25 203.0625
## 151 35 37.25 -2.25 5.0625
## 152 30 37.25 -7.25 52.5625
## 153 39 37.25 1.75 3.0625
## 154 54 37.25 16.75 280.5625
## 155 39 37.25 1.75 3.0625
## 156 30 37.25 -7.25 52.5625
## 157 45 37.25 7.75 60.0625
## 158 27 37.25 -10.25 105.0625
## 159 49 37.25 11.75 138.0625
## 160 36 37.25 -1.25 1.5625
## 161 33 37.25 -4.25 18.0625
## 162 23 37.25 -14.25 203.0625
## 163 19 37.25 -18.25 333.0625
## 164 59 37.25 21.75 473.0625
## 165 36 37.25 -1.25 1.5625
## 166 21 37.25 -16.25 264.0625
## 167 28 37.25 -9.25 85.5625
## 168 41 37.25 3.75 14.0625
## 169 34 37.25 -3.25 10.5625
## 170 23 37.25 -14.25 203.0625
## 171 33 37.25 -4.25 18.0625
## 172 34 37.25 -3.25 10.5625
## 173 48 37.25 10.75 115.5625
## 174 32 37.25 -5.25 27.5625
## 175 31 37.25 -6.25 39.0625
## 176 19 37.25 -18.25 333.0625
## 177 37 37.25 -0.25 0.0625
## 178 45 37.25 7.75 60.0625
## 179 30 37.25 -7.25 52.5625
## 180 35 37.25 -2.25 5.0625
## 181 21 37.25 -16.25 264.0625
## 182 33 37.25 -4.25 18.0625
## 183 24 37.25 -13.25 175.5625
## 184 23 37.25 -14.25 203.0625
## 185 23 37.25 -14.25 203.0625
## 186 42 37.25 4.75 22.5625
## 187 37 37.25 -0.25 0.0625
## 188 29 37.25 -8.25 68.0625
## 189 32 37.25 -5.25 27.5625
## 190 40 37.25 2.75 7.5625
## 191 38 37.25 0.75 0.5625
## 192 51 37.25 13.75 189.0625
## 193 56 37.25 18.75 351.5625
## 194 39 37.25 1.75 3.0625
## 195 45 37.25 7.75 60.0625
## 196 25 37.25 -12.25 150.0625
## 197 51 37.25 13.75 189.0625
## 198 21 37.25 -16.25 264.0625
## 199 44 37.25 6.75 45.5625
## 200 51 37.25 13.75 189.0625Calculando la suma y determinando varianza
n <- length(edades1)
suma <- sum(tabla.varianza.edades1$xi.menos.media.cuad)
suma## [1] 26733.5varianza <- suma / (n -1)
varianza## [1] 134.3392Con las funciones de var() y sd() se determinan la varianza y a desviación respectivamente y con mean() la media de la muestra.
varianza_edades1 <- var(edades1)
varianza_edades2 <- var(edades2)
desv.std_edades1 <- sd(edades1)
desv.std_edades2 <- sd(edades2)Se muestran los valores generados, el punto y coma en R significa en una misma linea se ejecutan dos instrucciones o dos comandos, en este caso solo mostrar los valores.
varianza_edades1; varianza_edades2## [1] 134.3392## [1] 29.47095desv.std_edades1; desv.std_edades2 ## [1] 11.59048## [1] 5.4287164.3.3 Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) es un estadístico que permite comparar entre dos o mas conjuntos de datos cuál es estos tiene una dispersión mayor o menor.
Al identificar el CV de un conjunto de datos y compararlo con otro CV de otro conjunto de datos similares, se puede determinar cual de los datos tiene mayor o menor dispersión y se puede concluir en cual es estos está mas dispersos sus datos, es decir cuál de ellos se aleja mas o menos de la media, según sea el caso.
Para determinar el coeficiente de variación se establece la división de la desviación estándar entre la media del conjunto de datos.
\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \]
CV_edades1 <- desv.std_edades1 / media_edades1
CV_edades1## [1] 0.3111538CV_edades2 <- desv.std_edades2 / media_edades2
CV_edades2## [1] 0.1755735 Interpretación
¿Qué representan las tablas de frecuencias para los datos edades?
Las tablas de frecuencia representan las clases y la frecuencias de casos de cada una de las clases, permiten observar los valores relativos y porcentuales de las frecuencias.
Con respecto a edades1 existe un 17.0% de valores que están en un rango o intervalo entre 22.57 y 27.33 esto persiviendose como la mayor frecuencia dentro de estos datos y siendo 34 números con estos valores.
En relación a edades2 existe una cantidad de valores entre 12.87 y 16.49 que representan el 0.5% esto persiviendose como la menor frecuencia dentro de estos datos y siendo 1 número con este valor.
¿Cuáles son los valores media y desviación de los conjuntos de datos edades?
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades1, el valor la media es de: 37.25, la desviación es de: 11.5904787.
Con respecto a los valores estadísticos del conjunto de datos edades2, el valor la media es de: 30.92, la desviación es de: 5.4287158.
¿Cuáles son los valores de coeficiente de variación para los conjuntos de datos edades y que representan?
El coeficiente de variación de edades1 es de: 0.3111538y el CV de edades2 es de: 0.175573
Existe mayor dispersión en los valores del conjunto de datos edades1 con respecto a edades2 por tener ligeramente mayor valor en su coeficiente de variación.